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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 
É a função f: ℝ → ℝ, definida pela lei 
y = f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c  ℝ e a ≠ 0. 
O coeficiente c é chamado de termo independente. 
Quando a função apresenta todos os coeficientes não 
nulos, diz-se que a função é completa. 
Se os coeficientes b ou c forem nulos, então diz-se que 
a função é incompleta. 
 
RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
São os valores de x para que a função seja nula. Daí: 
 
f(x) = 0 
 
A consequência dessa definição é que, para 
encontrarmos as raízes da função quadrática, teremos 
que resolver uma equação do 2º grau. 
Para encontrarmos as soluções de uma equação do 2º 
grau, temos o seguinte: 
- Se a equação for incompleta, podemos usar a 
fatoração, ou o mesmo método que utilizamos para 
equações do 1º grau; 
- Se a equação for completa, utilizaremos a fórmula de 
Bháskara. 
 
FÓRMULA DE BHÁSKARA 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → Discriminante 
 
 
RELAÇÃO ENTRE (DISCRIMINANTE) E AS 
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
- Se  > 0, então a equação possui duas soluções reais 
e distintas; 
- Se  = 0, então a equação possui duas soluções reais 
e iguais; 
- Se  < 0, então a equação não possui soluções reais. 
 
RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS 
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DO 2º 
GRAU(RELAÇÕES DE GIRARD) 
Toda equação do 2º grau é definida por 
ax2 + bx + c = 0, com a, b e c  ℝ e a ≠ 0. 
Soma das soluções 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
Produto das soluções 
𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
É sempre uma parábola. 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA NO PLANO 
CARTESIANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS DO VÉRTICE(XV, YV) 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE  E O GRÁFICO DA FUNÇÃO 
•  > 0: Duas raízes reais e distintas 
 
 
•  = 0: Duas raízes reais e iguais 
 
 
•  < 0: Não possui raízes reais 
 
 
• x
1
 e x
2
 são as raízes da função 
• c é o ponto de encontro do gráfico da função com 
o eixo y → c = (0, y) 
• V é o vértice da parábola 
𝒙𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
 𝒆 𝒚𝒗 = −
∆
𝟒𝒂
 
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CONJUNTO IMAGEM 
 
 
 
 
 
Observação: 
- f(x) = a(x – x1)(x – x2) → forma fatorada 
 
- f(x) = a(x – xv)2 + yv → forma canônica 
 
- f(x) = x2 – Sx + P, onde S e P são, respectivamente 
a soma e o produto das raízes da função quadrática 
 
ESTUDO DO SINAL 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2000) Uma função quadrática tem o eixo das 
ordenadas como eixo de simetria. A distância entre os 
zeros da função é de 4 unidades, e a função tem -5 
como valor mínimo. Esta função é definida por 
a) 25
y x 20
4
= − 
b) 25
y x 20x
4
= − 
c) 25
y x 5
4
= − 
d) 25
y x 5x
4
= − 
 
2. (EEAr – 2001) Se o gráfico representativo de uma 
função do 2º grau é uma parábola, então a parábola 
que passa pelo ponto (-2, 0), e cujo vértice situa-se no 
ponto (1, 3), representa a função 
a) f(x) = -x2 + 2x + 8 
b) f(x) = -3x2 + 6x + 24 
c) 
2x 2x 8
f(x)
3 3 3
= − + + 
d) f(x) = x2 + 2x + 8 
 
3. (EEAr – 2001) O valor máximo definida em R por 
f(x) = mx2 + 6x + m, m  R* é igual a 8. Então o valor de 
m é 
a) 9 
b) 8 
c) -1 
d) -3 
 
4. (EEAr – 2002) A parábola de equação 
y = -2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é 
o ponto de coordenadas (3, v). A coordenada v é igual 
a 
a) -28 
b) 28 
c) -8 
d) 8 
 
5. (EEAr – 2002) A fórmula que define a função 
quadrática, cuja representação gráfica é uma parábola, 
cuja concavidade é voltada para baixo e que não 
intercepta o eixo das abscissas, é 
a) y = – x2 – 2x – 1 
b) y = – 5x + x2 + 7 
c) y = 3x – 2x2 – 2 
d) y = – 6 – x2 – 5x 
 
6. (EEAr – 2003) A função do 2o grau que descreve o 
gráfico abaixo é 
a) f(x) = x2 – x + 6 
b) f(x) = x2 + 5x - 6 
c) f(x) = -x2 – 5x + 6 
d) f(x) = x2 – 5x + 6 
 
 
 
7. (EEAr – 2003) O ponto de maior ordenada, 
pertencente ao gráfico da função real definida por 
f(x) = (3 – x)(x + 1), é o par ordenado (m, n). Então, 
“m – n” é igual a 
a) -3. b) 3. c) 5. d) -5 
 
8. (EEAr – 2004) Seja o gráfico da função definida por 
y = 2x2 + 3x – 2. O ponto do gráfico de menor ordenada 
tem coordenadas 
a) 
3 25
,
4 8
 
− − 
 
 
b) 
3
, 1
4
 
− − 
 
 
c) 
3 25
,
2 8
 
− − 
 
 
d) 
3
, 1
2
 
− − 
 
 
 
9. (EEAr – 2005) Dada a função f: R → R, definida por 
f(x) = -x2 + 3x – 2, é correto afirmar que 
a) f(x) ≥ 0, para x ≤ 1 ou x ≥ 2. 
b) f(x) < 0, para qualquer valor de x. 
c) f(x) ≤ 0, para nenhum valor de x. 
d) f(x) > 0, para 1 < x < 2. 
 
 
Im: [yv, +∞[ Im: ]-∞, yv] 
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10. (EEAr – 2006) Para que a função 
f(x) = 2x2 + (m - 1)x + 1, tenha valor mínimo igual a 1, o 
valor de m dever ser: 
a) -1 ou 2. 
b) -2 ou 1 
c) 1 
d) -2 
 
11. (EEAr – 2007) Para que a função 
f(x) = (k – 4)x2 + kx – (k - 2), seja quadrática deve se ter 
k ≠: 
a) -2 
b) 0 
c) 2 
d) 4 
 
12. (EEAr – 2009) Se f(x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2) 
possui um zero real duplo, então o valor de m é: 
a) 
1
4
− 
b) 
3
5
− 
c) 4 
d) 5 
 
13. (EEAr – 2009) A potência elétrica P lançada num 
circuito por um gerador é expressa por P = 10i – 5i2, 
onde “i” é a intensidade da corrente elétrica. Para que 
se possa obter a potência máxima do gerador, a 
intensidade da corrente elétrica deve ser, na unidade 
do SI (Sistema Internacional de Unidades), igual a 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
14. (EEAr – 2013) A menor raiz da função 
f(x) = x2 – 5x + 4 é ___ e a maior é ___. Completam 
corretamente a afirmação, na devida ordem, as 
palavras 
a) par e par 
b) par e ímpar 
c) ímpar e par 
d) ímpar e ímpar 
 
15. (EEAr – 2015) A função f(x) = x2 – 2x – 2 tem um 
valor _____, que é _____. 
a) mínimo; -5 
b) mínimo; -3 
c) máximo; 5 
d) máximo; 3 
 
16. (EEAr – 2017) Seja a função f(x) = 2x2 + 8x + 5. Se 
P(a, b) é o vértice do gráfico de f, então |a + b| é igual a 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
 
17. (EEAr – 2018) Dada a função f(x – 1) = x2 + 3x – 2, 
considerando os valores de f(1) e f(2), pode-se afirmar 
corretamente que 
a) f(1) = f(2) + 4 
b) f(2) = f(1) – 1 
c) f(2) = 2 f(1) 
d) f(1) = 2 f(2) 
 
18. (EEAr – 2019) Seja a função quadrática 
f(x) = ax2 + bx + 1. Se f(1) = 0 e f(–1) = 6, então o valor 
de a é 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
19. (EEAr – 2019) A função f(x) = ax2 + bx + c, cuja 
soma das raízes é 2, é representada graficamente por 
uma parábola com concavidade voltada para cima e 
que passa pelo ponto (0, –1). Sobre os sinais de a, b e 
c, é correto afirmar que 
a) ab > 0 
b) ac > 0 
c) bc > 0 
d) abc < 0 
 
20. (EEAr – 2020) Para que a função f: IR ⟶ A; 
f(x) = (x + 1)(x - 3) seja sobrejetora, é necessário ter o 
conjunto A igual a 
a) IR 
b) IR+ 
c) {y  IR/ y ≥ - 4} 
d) {y  IR/ y ≠ - 1 e y ≠ - 3} 
 
21. (EEAr – 2020) Para que a função quadrática 
y = -x2 + 3x + m - 2 admita o valor máximo igual a -3/4, 
o valor de m deve ser 
a) -3 
b) -2 
c) -1 
d) 0 
 
22. (EEAr – 2021) Um goleiro chuta a bola da origem e 
esta desenvolve a trajetória da parábola descrita pela 
fórmula y = -x2 - 2x + 24. Determine o produto entre as 
coordenadas do ponto no qual a bola atinge sua altura 
máxima. 
a) -25 b) -1 c) 30 d) 45 
 
23. (EsSA – 2012) Os gráficos das funções reais 
2
f(x) 2x
5
= − e g(x) = 3x2 – c possuem um único ponto 
em comum. O valor de c é 
a) 
1
5
− 
b) 0 
c) 
1
5
 
d) 
1
15
 
e) 1 
 
24. (EsSA – 2015) As funções do 2º grau com uma 
variável: f(x) = ax2 + bx + c terão o valor máximo quando 
a) a < 0 
b) b > 0 
c) c< 0 
d)  > 0 
e) a > 0 
 
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25. (EsSA – 2017) Os valores de k de modo que o valor 
mínimo da função f(x) = x2 + (2k – 1)x + 1, seja -3 são: 
a) 
5 3
e
2 2
− 
b) 
3 3
e
4 4
− 
c) 
5 3
e
2 2
− 
d) 
5 1
e
2 2
− 
e) 
5 1
e
2 2
− − 
 
26. (EsSA – 2020) O lucro de uma empresa é dado por 
uma lei L(x) = -x2 + 8x – 7, em que x é a quantidade 
vendida e L é o lucro (em milhares de Reais). Qual o 
valor do lucro máximo, em reais? 
a) 7000 
b) 10000 
c) 6000 
d) 8000 
e) 9000 
 
27. (EsPCEx – 2006) Em uma cabine de um estádio de 
futebol, um computador registra todos os lances de 
uma partida. Em um desses lances, Zaqueu cobrou 
uma falta, fazendo a bola descrever um arco de 
parábola contido num plano vertical, parábola esta 
simétrica ao seu eixo, o qual também era vertical. A 
bola caiu no chão exatamente a 30m de Zaqueu. 
Durante o trajeto, a bola passou raspando a cabeça do 
juiz. O juiz, que não interferiu na trajetória da bola, tinha 
1,76m de altura e estava ereto, 8m de distância de onde 
saiu o chute. Desse modo, a altura máxima, em metros, 
atingida pela bola foi de 
a) 2,25m 
b) 4,13m 
c) 6,37m 
d) 9,21m 
e) 15,92m 
 
28. (EsPCEx – 2007) Dada a função f: R → R tal que 
f(x) = x2 – 7x + 10, a única afirmação verdadeira a 
respeito de f(x) é 
a) f(-2) = -28 
b) a menor ordenada que f atinge é 2,25 
c) a função se anula para x = -2 ou para x = -5 
d) para x > 5, enquanto x cresce, f(x) também cresce 
e) dobrando x, f(x) também dobra 
 
29. (EsPCEx – 2008) Em uma determinada função 
quadrática, – 2 e 3 são suas raízes. Dado que o ponto 
(–3, 12) pertence ao gráfico dessa função, pode-se 
concluir que 
a) o seu valor máximo é -12,50 
b) o seu valor mínimo é 0,50 
c) o seu valor máximo é 6,25 
d) o seu valor mínimo é - 12,50 
e) o seu valor máximo é 0,50 
 
 
 
30. (EsPCEx – 2013) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal da 
venda deste produto é V(x) = 3x2 – 12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x) = 5x2 – 40x – 40. Sabendo 
que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o 
número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
a) 4 lotes 
b) 5 lotes 
c) 6 lotes 
d) 7 lotes 
e) 8 lotes 
 
31. (EsPCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são 
números reais, o maior valor de “d” tal que a função f: 
R → R definida por 𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 𝑐, 𝑥 ≥ 𝑑
𝑥2 − 4𝑥 + 3, 𝑥 < 𝑑
 seja 
injetora é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
32. (EsCPCEx – 2014) Considere a função bijetora 
f: [1, +) → (-, 3], definida por f(x) = -x2 + 2x + 2 e seja 
(a, b) o ponto de interseção de f com sua inversa. O 
valor numérico da expressão a + b é 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
33. (EsPCEx – 2015) Um portal de igreja tem a forma 
de um arco de parábola, conforme figura abaixo. A 
medida da sua base AB é 4 m e da sua altura é 5 m. 
Um vitral foi colocado 3,2 m acima da base. Qual a 
medida CD da base, em metros? 
 
a) 1,44 
b) 1,80 
c) 2,40 
d) 3,00 
e) 3,10 
 
34. (EsPCEx – 2020) Considere a função quadrática 
f: R → R, definida por f(x) = x2 + 3x + c, com c  R, cujo 
gráfico no plano cartesiano é uma parábola. Variando-
se os valores de c, os vértices das parábolas obtidas 
pertencem à reta de equação: 
a) 
9
y 2x
2
= − 
b) 
3
x
2
= − 
c) 
9
x
2
= − 
d) 
9
y
2
= − 
e) 
3
x
2
= 
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35. (EsPCEx – 2022) Considere a função f: [−3 ;1] → ℝ 
cuja lei de formação é f(x) = x2 – 4. Sejam L, H 
(pertencentes à Imagem de f) e r (pertencente ao 
Domínio de f) tais que: 
L é valor mínimo de f 
H é valor máximo de f 
r é zero de f 
Os valores de L, H e r são, respectivamente, 
a) 0; –3 e 2. 
b) –3; 0 e 2. 
c) –4; –3 e –2. 
d) –4; 5 e –2. 
e) –4; 5 e 2. 
 
36. (AFA - 2007) Analise as alternativas abaixo e 
marque a FALSA. 
a) Se a função f: R → R é tal que f(x) = ax + b, f(3) = 0 
e f() > 0, então f é crescente em todo o seu domínio. 
b) Seja f: R → R tal que f(x) = x2 – 3x + 2 e A um 
subconjunto do domínio de f. Se f é crescente em A e 
f(x)  0 em A, então A = [1, 2] 
c) Se o gráfico da função quadrática f definida por 
f(x) = x2 + kx +m é o da figura abaixo, então k – m = – 2 
 
d) Se na função f: R → R tal que f(x) = ax2 + bx + c 
(a ≠ 0), 
a4
b
c
2
= , então, necessariamente, o gráfico da 
função f é tangente ao eixo das abscissas. 
 
37. (AFA - 2011) Considere a função quadrática 
f: A → B de raízes x1 = 1 ou x2 = 3, cujas coordenadas 
do vértice são iguais. 
Se f(x) ≥ 0 x  A e f é função crescente  x  [p, q], 
então (q – p) é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
38. (AFA – 2012) Para angariar fundos de formatura, 
os cadetes do 1º ano da AFA vendem camisas de 
malha com o emblema da turma. Se o preço de venda 
de cada camisa é de 20 reais, eles vendem por mês 30 
camisas. 
Fizeram uma pesquisa e verificaram que, para cada 2 
reais de desconto no preço de cada camisa, são 
vendidas 6 camisas a mais por mês. 
Dessa forma, é correto afirmar que 
a) é possível fazer mais de 10 descontos de 2 reais. 
b) tanto faz vender as camisas por 12 reais cada uma 
ou 18 reais cada uma que o faturamento é o mesmo. 
c) o máximo faturamento ocorre se são vendidas 
menos de 40 camisas por mês. 
d) se o preço de venda de cada camisa é de 14 reais, 
então o faturamento é maior que 680 reais. 
 
39. (AFA - 2013) O gráfico de uma função polinomial 
do segundo grau y = f(x), que tem como coordenadas 
do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também 
passará pelo ponto de coordenadas 
a) (0, 26) b) (1, 18) c) (6, 4) d) (-1, 36) 
 
40. (AFA - 2016) Uma fábrica produz casacos de 
determinado modelo. O preço de venda de um desses 
casacos é de R$ 200,00, quando são vendidos 200 
casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma 
pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$ 2,00 
no preço de cada casaco, o número de casacos 
vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível 
com a venda de casacos acontecerá se a fábrica 
vender cada casaco por um valor, em reais, 
pertencente ao intervalo 
a) [105,125[ 
b) [125,145[ 
c) [145,165[ 
d) [165,185[ 
 
41. (AFA – 2019) Para angariar fundos para a 
formatura, os alunos do 3º ano do CPCAR vendem 
bombons no horário do intervalo das aulas. 
Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por 
R$ 4,00. Assim, perceberam que vendiam, em média, 
50 bombons por dia. 
A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre 
função, estimaram que para cada 5 centavos de 
desconto no preço de cada bombom (não podendo 
conceder mais que 70 descontos), seria possível 
vender 5 bombons a mais por dia. 
Considere: 
• p o preço de cada bombom; 
• n o número de bombons vendidos, em média, por 
dia; 
• x  N o número de reduções de 5 centavos 
concedidas no preço unitário de bombom; e 
• y a arrecadação diária com a venda dos bombons. 
Com base nessas informações, analise as proposições 
abaixo. 
(02) O gráfico que expressa n em função de p está no 
segmento AB do gráfico abaixo. 
 
(04) A maior arrecadação diária possível com a venda 
dos bombons, considerando os descontos de 5 
centavos, ocorre quando concederem 35 descontos de 
5 centavos. 
(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, 
serão vendidos mais de 100 bombons por dia. 
A soma das proposições verdadeiras é igual a 
a) 6 b) 10 c) 12 d) 14 
42. (EFOMM – 2011) Um projétil é lançado de baixo 
para cima e a sua trajetória descreve uma curva plana 
de equação h = 27t – 3t2, onde h é a altura em cada 
momento, em função do tempo. Sabendo que h está 
em quilômetros e t em minutos, qual será a altura 
máxima atingida por esse projétil? 
a) 6,075 x 10 km 
b) 6,75 x 10 km 
c) 60,75 x 10 km 
d) 67,5 x 10 km 
e) 675 x 10 km 
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43. (EFOMM - 2012) O lucro obtido pela venda de cada 
peça de roupa é x - 10, sendo x o preço da venda e 10 
o preço do custo. A quantidade vendida por mês é igual 
a 70 – x. O lucro mensal máximo obtido com a venda 
do produto é 
a) 1200 reais. 
b) 1000 reais. 
c) 900 reais. 
d) 800 reais. 
e) 600 reais. 
 
44. (EFOMM – 2016) De acordo com conceitos 
administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela 
expressão matemática L = R - C, onde L é o lucro, C o 
custo da produção e R a receita do produto. Uma 
indústria produziu x peças e verificou que o custo de 
produção era dado pela função C(x) = x2 - 500x + 100 
e a receita representada por R(x) = 2000x – x2. Com 
base nessas informações, determine o número de 
peças a serem produzidas para que o lucro seja 
máximo. 
a) 625 
b) 781150 
c) 1000 
d) 250 
e) 375 
 
45. (EFOMM – 2018) Uma aluna do 3° ano da EFOMM, 
responsável pelas vendas dos produtos da SAMN 
(Sociedade Acadêmica da Marinha Mercante), 
percebeu que, com a venda de uma caneca a R$ 9,00, 
em média 300 pessoas compravam, quando colocadas 
as canecas à venda em um grande evento. Para cada 
redução de R$ 1,00 no preço da caneca, a venda 
aumentava de 100 unidades. Assim, o preço da 
caneca, para que a receita seja máxima, será de 
a) R$ 8,00 
b) R$ 7,00 
c) R$ 6,00 
d) R$ 5,00 
e) R$ 4,00 
 
46. (EFOMM – 2018) A forma de uma montanha pode 
ser descrita pela equação y = -x2 + 17x – 66 
(6  x  11). Considere um atirador munido de um rifle 
de alta precisão, localizado no ponto (2,0) e que a 
trajetória do tiro é uma linha reta. A partir de que ponto, 
na montanha, um indefeso coelho estará 100% seguro? 
a) (8,9) 
b) (8,6) 
c) (7,9) 
d) (7,5) 
e) (7,4) 
 
47. (EFOMM - 2019) Considere a função real 
f(x) = 1 + 4x + 2x2. Determine o ponto x* que define o 
valor mínimo global dessa função. 
a) x* = −2 
b) x* = −1 
c) x* = −1/2 
d) x*= 0 
e) x* =1 
 
 
48. (EN – 2013) Uma loja está fazendo uma promoção 
na venda de bolas: “Compre x bolas e ganhe x% de 
desconto”. A promoção é válida para compras de até 
60 bolas, caso em que é concedido o desconto máximo 
de 60%. Julia comprou 41 bolas mas poderia ter 
comprado mais bolas e gastado a mesma quantia. 
Quantas bolas a mais Julia poderia ter comprado? 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 18 
e) 24 
 
49. (EN – 2015) Um restaurante a quilo vende 200 
quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma 
pesquisa de opinião revelou que, a cada aumento de 
um real no preço do quilo, o restaurante perde 8 clientes 
por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. 
Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para 
que o restaurante tenha a maior receita possível por 
dia? 
a) 52 
b) 51 
c) 46 
d) 45 
e) 42 
 
50. (EN – 2021) Em uma pista plana quadrangular com 
10 m de lado, um corredor se encontra no vértice A e 
se locomove com velocidade constante 4v em direção 
ao vértice B, outro corredor se encontra no vértice D e 
se locomove com velocidade constante 3v em direção 
ao vértice A. Sabendo que os corredores começaram a 
se locomover no mesmo instante de tempo, a menor 
distância, em metros, registrada entre eles é igual a: 
 
a) 6 
b) 5 2 
c) 7 
d) 8 
e) 8,5 
 
 
GABARITO 
A) 7, 8, 12, 16, 22, 24, 27, 37, 42, 44 
B) 15, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 46, 47 
C) 1, 2, 3, 5, 10, 13, 14, 19, 20, 21, 25, 31, 33, 43, 45 
D) 4, 6, 9, 11, 17, 18, 23, 28, 29, 30, 35, 41, 48, 49, 50 
E) 26