algoritmo da roma mcmxvii

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\[ 
 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + 
\frac{x^4}{24}. 
 \] 
 
4. **Questão 4**: Encontre o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Infinito 
 **Resposta**: c) 5 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 5\), temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5. 
 \] 
 
5. **Questão 5**: Calcule a integral \(\int (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx\). 
 a) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C\) 
 b) \(x^4 - x^3 + 3x + C\) 
 c) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 2x + C\) 
 d) \(x^4 - x^3 + 2x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int 4x^3 \, dx = x^4, \quad \int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3, \quad \int 3 \, dx = 3x. 
 \] 
 
6. **Questão 6**: Determine a integral definida \(\int_1^2 (2x^2 + 3x) \, dx\). 
 a) 5 
 b) 7 
 c) 10 
 d) 12 
 **Resposta**: b) 7 
 **Explicação**: A antiderivada de \(2x^2 + 3x\) é \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\). 
Avaliando de 1 a 2: 
 \[ 
 \left[\frac{2}{3}(2^3) + \frac{3}{2}(2^2)\right] - \left[\frac{2}{3}(1^3) + \frac{3}{2}(1^2)\right] 
= \left[\frac{16}{3} + 6\right] - \left[\frac{2}{3} + \frac{3}{2}\right]. 
 \] 
 
7. **Questão 7**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{5x^2 - 4}\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{3}{5}\) 
 c) \(\frac{5}{3}\) 
 d) 1 
 **Resposta**: b) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x^2\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{5}. 
 \] 
 
8. **Questão 8**: Determine a derivada da função \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot 
u'\), onde \(u = x^2 + 1\) e \(u' = 2x\). Portanto, a derivada é: 
 \[ 
 g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. 
 \] 
 
9. **Questão 9**: Calcule a integral \(\int e^{2x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 b) \(2e^{2x} + C\) 
 c) \(e^{2x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} e^{2x}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, \(k = 2\), então: 
 \[ 
 \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C. 
 \] 
 
10. **Questão 10**: Encontre o valor de \(f''(x)\) para \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1\). 
 a) \(12x - 12\) 
 b) \(12x - 8\) 
 c) \(12x - 4\) 
 d) \(12x - 16\) 
 **Resposta**: a) \(12x - 12\) 
 **Explicação**: A primeira derivada é \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4\). A segunda 
derivada é: 
 \[ 
 f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1). 
 \] 
 
11. **Questão 11**: Calcule a integral \(\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), temos: 
 \[