algoritmo da roma mcmv

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c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}\) para \(x\) 
próximo a 0: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}. 
 \] 
 
61. **Questão 61**: Calcule a integral \(\int (2x^4 - 3x^3 + 5) \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x + C\) 
 b) \(\frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x + C\) 
 c) \(\frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 3x + C\) 
 d) \(\frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 5x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int 2x^4 \, dx = \frac{2}{5}x^5, \quad \int -3x^3 \, dx = -\frac{3}{4}x^4, \quad \int 5 \, dx = 
5x. 
 \] 
 
62. **Questão 62**: Determine a derivada de \(g(x) = e^{-x^2}\). 
 a) \(-2xe^{-x^2}\) 
 b) \(2xe^{-x^2}\) 
 c) \(-e^{-x^2}\) 
 d) \(e^{-x^2}\) 
 **Resposta**: a) \(-2xe^{-x^2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos que a derivada de \(e^{u}\) é \(e^{u} 
\cdot u'\), onde \(u = -x^2\) e \(u' = -2x\). Portanto, 
 \[ 
 g'(x) = -2xe^{-x^2}. 
 \] 
 
63. **Questão 63**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: b) 2 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 3x\). Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3\right] - \left[0\right] = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{1}{4} + 
\frac{8}{3} = \frac{1}{4} + \frac{32}{12} = \frac{1 + 32}{12} = \frac{33}{12}. 
 \] 
 
64. **Questão 64**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 2\), temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2. 
 \] 
 
65. **Questão 65**: Calcule a integral \(\int (x^2 + 3x + 2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 3x + C\) 
 c) \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 4x + C\) 
 d) \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 5x + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3, \quad \int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2, \quad \int 2 \, dx = 2x. 
 \] 
 
66. **Questão 66**: Determine a derivada de \(h(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos que a derivada de \(\ln(u)\) é 
\(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = x^2 + 1\) e \(u' = 2x\). Portanto, 
 \[ 
 h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. 
 \] 
 
67. **Questão 67**: Calcule a integral \(\int_1^2 (4x^2 - 3x + 1) \, dx\). 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5 
 **Resposta**: b) 3 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x\). Avaliando de 1 a 2: 
 \[ 
 \left[\frac{4}{3}(2^3) - \frac{3}{2}(2^2) + 2\right] - \left[\frac{4}{3}(1^3) - \frac{3}{2}(1^2) + 
1\right]. 
 \] 
 
68. **Questão 68**: Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5