feito a mão i4mo

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c) \(\frac{1}{2x}\) 
 d) \(\sqrt{x}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
48. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 2\), então o limite é 2. 
 
49. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\int (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^4 + 
2x^3 - 2x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = 1\). 
 
50. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \cos(x)\)?** 
 a) \(-\sin(x)\) 
 b) \(\sin(x)\) 
 c) \(-\cos(x)\) 
 d) \(\cos(x)\) 
 **Resposta:** a) \(-\sin(x)\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\cos(x)\) é \(-\sin(x)\) por definição. 
 
51. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 5}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** c) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos por \(x^2\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{1 - 
\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}\). 
 
52. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (5x^2 - 4x + 3) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é \(\int (5x^2 - 4x + 3) \, dx = \frac{5}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\). 
Avaliando de 0 a 1, obtemos \(\frac{5}{3} - 2 + 3 = \frac{5}{3} - \frac{6}{3} + \frac{9}{3} = 2\). 
 
53. **Qual é a solução da equação diferencial \(y' = -2y\)?** 
 a) \(y = Ce^{-2x}\) 
 b) \(y = Ce^{2x}\) 
 c) \(y = Ce^{-x}\) 
 d) \(y = Ce^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-2x}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial separável. Integrando, obtemos \(\int 
\frac{dy}{y} = -2\int dx\), resultando em \(\ln|y| = -2x + C\), ou \(y = Ce^{-2x}\). 
 
54. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)?** 
 a) \(3x^2 - 6x\) 
 b) \(2x^2 - 3x\) 
 c) \(3x^2 + 6x\) 
 d) \(3x^2\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 - 6x\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do poder: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 
 
55. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental, que pode ser derivado pela regra de 
L'Hôpital, onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Derivando, 
obtemos \(e^x\) e \(1\), resultando em \(1\). 
 
56. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{5}{12}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\int (x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\). 
Avaliando de 0 a 1, obtemos \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{8}{12} = 
\frac{5}{12}\). 
 
57. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 4\), então o limite é 4. 
 
58. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\)?**