feito a mão inuo

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**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot (2x) = 2x 
\sec^2(x^2)\). 
 
37. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** O limite é indeterminado na forma \(0/0\). Fatorando, temos \(\lim_{x \to 
1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3\). 
 
38. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\int (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = x^4 - 2x^3 + 2x\). Avaliando de 0 
a 1, obtemos \(1 - 2 + 2 = 1\). 
 
39. **Qual é a solução da equação diferencial \(y' + y = e^x\)?** 
 a) \(y = Ce^{-x} + e^x\) 
 b) \(y = Ce^{x} - e^x\) 
 c) \(y = Ce^{-x} - e^x\) 
 d) \(y = Ce^{x} + e^x\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-x} + e^x\) 
 **Explicação:** Usamos o método do fator integrante. O fator é \(e^{\int 1 \, dx} = e^x\). 
Multiplicando, obtemos \(y e^x = e^{2x} + C\), resultando em \(y = Ce^{-x} + e^x\). 
 
40. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\)?** 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(x \ln(x) + x^2\) 
 c) \(2x + \ln(x)\) 
 d) \(2x \ln(x) - x\) 
 **Resposta:** a) \(2x \ln(x) + x\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = (x^2)' \ln(x) + x^2 (\ln(x))' = 2x \ln(x) + 
x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x\). 
 
41. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x + 1}{2x^2 + 5}\)?** 
 a) \(\frac{3}{2}\) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{2}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos por \(x^2\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + 
\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}\). 
 
42. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 3 
 b) 4 
 c) 5 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** A integral é \(\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x\). Avaliando de 1 a 2, obtemos 
\((2^2 + 2) - (1^2 + 1) = (4 + 2) - (1 + 1) = 6 - 2 = 4\). 
 
43. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\)?** 
 a) \(-\frac{1}{x^2}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2}\) 
 c) \(-x\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{x^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). 
 
44. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 
1\), então \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = 0\). 
 
45. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, 
obtemos \( (1 - 1 + 1) - (0) = 1\). 
 
46. **Qual é a solução da equação diferencial \(y' + 2y = 3\)?** 
 a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{3}{2}\) 
 b) \(y = Ce^{2x} + 3\) 
 c) \(y = Ce^{-2x} - 3\) 
 d) \(y = Ce^{2x} - 3\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{3}{2}\) 
 **Explicação:** Usamos o método do fator integrante. O fator é \(e^{\int 2 \, dx} = 
e^{2x}\). Multiplicando, obtemos \(y e^{2x} = \frac{3}{2} e^{2x} + C\), resultando em \(y = 
Ce^{-2x} + \frac{3}{2}\). 
 
47. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \sqrt{x}\)?** 
 a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 b) \(\frac{1}{x}\)