CÁLCULO NUMÉRICO SÁBADO - 09 11 - 10H-pt-BR

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CÁLCULO NUMÉRICO SÁBADO - 09.11 - 10H
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Sejam todos muito bem vindos e bem vindas. Eu sou a professora Ana Lúcia Nogueira e a minha formação básica é matemática, mas enfim, tenho mestrado, doutorado, enfim. E é na verdade, eu trabalho há muitos anos, já é em universidades e transito por diversas áreas do conhecimento. Então sejam todos muito bem vindos, bem vindas.
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Nessa nossa aula, ouvir de hoje, que é sobre o cálculo numérico, a disciplina e zero de funções reais. Vamos lá, vamos tocar. Eu sempre deixo essa tela aqui porque é muito importante que a gente tenha conhecimento de que os conteúdos aqui disponíveis eles nas nessas aulas da Cruzeiro do Sul educacional tem só essa finalidade educacional.
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E para o seu estudo individual, então, é proibida a cópia reprodução total ou parcial, né? Mas vamos que vocês devem deixar isso bem claro aqui, tá bom? Então vamos lá. Claro, a gente começa com uma introdução. Bom cálculo numérico é a disciplina que estuda as técnicas para a solução aproximada de problemas matemáticos.
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Essas técnicas são de natureza analítica e computacional. As principais preocupações normalmente envolvem exatidão e desencanto. Aliado ao aumento contínuo da capacidade de computação disponível, o desenvolvimento de métodos numéricos tornou a simulação computacional de problemas matemáticos uma prática usual.
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Nas mais diversas áreas científicas e tecnológicas podem ser problemas matemáticos e computacionais, mas elas são utilizadas em todas as áreas científicas EE tecnológicas. As então chamadas simulações numéricas são constituídas de um arranjo de vários esquemas numéricos dedicados a resolver problemas específicos.
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Como por exemplo, resolver equações algébricas, resolver sistemas de equações lineares interpolar e ajustar pontos, calcular derivadas e integrais, resolver equações diferenciais urinárias, et cetera, et cetera, desde que o homem começou a observar os fenômenos naturais.
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E verificar que os mesmos seguiam princípios constantes. Ele observou que esses fenômenos podiam ser colocados por meio de fórmulas. Este princípio levou à utilização da matemática como uma ferramenta para auxiliar essas observações. Este é o princípio da matemática como um modelo, ou seja.
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Modelar matematicamente o mundo em que vivemos e suas leis naturais. Quem falou isso foi o Washington. É nesse aí está Oo link da referência a matemática como modelo ferramenta é não é não é revista eletrônica de educação em 2005, eu acho que começa bem a gente pensando sobre isso.
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Bom, grande parte dos problemas matemáticos surge da necessidade de solucionar problemas da natureza. Fenômenos, né? Sendo que é possível descrever muitos fenômenos naturais por meio de modelos matemáticos. O Gomes falou isso por método numérico. Entende se o método para calcular a solução de um problema.
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Realizando uma sequência finita de operações aritméticas, a obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido. A diferença entre o valor obtido aproximado e o valor exato é designado por erro.
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Pretende se dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos sobre as Fontes de erro para que se possa eliminar ou pelo menos controlar o seu valor. A figura representa de forma sucinta as etapas para solucionar. 11 problema dessa natureza tem um problema.
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Realiza se a modelagem através do modelo matemático trabalha se a os critérios e as interações, enfim, desse modelo para se chegar, resolve essas questões para se chegar na solução. Vamos ver a origem dos erros.
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A noção de aproximação em cálculo numérico está relacionada ao fato de que os computadores e calculadoras têm capacidade finita para armazenar informação ou é maior que seja a sua potência. Isso significa que eles só conseguem representar um número finito de números reais. Cada um é um número fixo de dígitos.
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Como o conjunto dos números reais é infinito e contínuo, ou seja, não tem espaço nenhum entre os pontos, é necessário representar os números de forma aproximada, o que resulta em erros de arredondamento ao efetuarmos operações matemáticas.
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Mesmo que com números naturais ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos. Assim, temos de interpretar números que são finitos, mas que possuem representação infinita. Por exemplo, a divisão de 1:3, ou seja, 1/3, ela é finita.
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Está entre 0 e 1, todavia, possui representação no conjunto dos números reais com infinitas casas decimais 0,33333333 infinitamente e são as denominadas dízimas periódica. Além disso, lidamos também com números que não podem ser expressos.
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Como a divisão de 2 números inteiros, os chamados racionais, que tem essa definição claro denominador não. Então que são quando não conseguimos representar como a divisão de 2 números inteiros, então eles não são racionais, eles são chamados de números irracionais.
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O que acarreta em chegarmos a apenas uma representação aproximada do mundo em questão. Então, porque esses números irracionais eles têm. Eles são considerados, como disse, mas não periódicos. Eles têm infinitas casas decimais, algumas que você consegue perceber alguma coisa.
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Como os algébricos é que podem ser solução de equações algébricas e outros, e nem isso são que são os transcendentes, mas todos os erracionais que não podem ser colocados na forma de fração de 2 inteiros, eles é, têm infinitas casas decimais. E aí como é que a gente vai trabalhar com esse ponto que está? Se chama um Dante, né?
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Qual a evolução das tecnologias? Ah, não. Antes disso, basta saber que, embora a gente tenha números naturais e inteiros, a gente chama infinidade, que a gente chama de infinidade inumerável. Então, os naturais, os inteiros e até os racionais têm o mesmo tamanho, digamos, de infinito.
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É a mesma cardinalidade desse infinito. Mas os inflacionais aí aumentam essa cardinalidade de uma maneira enorme, né? E aí a gente tem os reais e que são que formam essa reta contínua que não tem espaço entre o espanto, tá bom?
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Então, com a evolução das tecnologias, os cálculos complexos ficaram a cargo de máquinas que operam diversos cálculos. Mesmo assim, trabalham com o número infinito de ecursos, o que não é suficiente quando lidamos com números de infinitos dígitos. Assim, qualquer cálculo realizado por mãos ou humanas ou por máquinas.
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Que envolva números que não possam ser expressos por um número infinito de dígitos. Não fornecerá como resultado um valor exato, mas SIM 1 valor aproximado. E quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. É por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a margem de.
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E desde quando podemos verificar se já tenha ocorrido? Ah, vejamos um exemplo bem antigo, a crise na escola pitagórica, lá do século 5 antes de Cristo. Foi 56? Não sei. Acho que sim, foi causada pela descoberta de que 2 segmentos nem sempre são comensuráveis. Ou seja.
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A razão entre os cumprimentos de 2 segmentos não é sempre uma fração de números inteiros. A descoberta foi uma consequência do teorema de tymulas, que estabelece que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa.
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Quando se aplica o teorema para determinar a diagonal, por exemplo de 1^(2) de lado um obtém se que a diagonal é lado 2 lado, então D2 vai ser igual a 2, o número cujo quadrado é 2. Na época não se tinha noção de números não racionais.
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Nós estamos procurando o DEOD2. Nem se tinha 11 anotação para esse número que hoje a gente conhece como √2 representada dessa maneira que vocês estão vendo aí. E esse sinal de √2 aí é raiz quadrada, então ocorre aqui um número.
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Irracional √2 é um número que não pode ser representado em sua forma decimal com um número finito de dígitos. Assim, qualquer operação que envolva √2 será sujeita a aproximações pela sua representação. Por exemplo, eu posso pegar só1,41, 42 ou posso um,
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4142 136 ou ainda 141421356237309504880168872420971, e isso afeta quaisquer números que dependam da √2, por exemplo, como um seno e o cosseno eu as outras pessoas sobre a métrica também uma vez.
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Que ambos valem mais de 2/2 nesse caso, sendo com sendo, né? Uma primeira determinação. Aliás, o próprio π é um número racional, aliás, ele é transcendente. A √2 é ausédrica, mas o π é transcendente envolvido no cálculo da área de um círculo de raio r, então a saber qual é a área é π r ao quadrado.
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Por exemplo, no caso de RC 10 cm, temos as seguintes aproximações, conforme o número de casas decimais utilizadas em algarismos significativos para o número π, seja 3 10 ou 20, então a área será 314 m² se for só 3, se for com 10.
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AA área será 314,1 59265 3 m² e com 20 nem vou falar, mas tá em escrito 314 e 1 591 até 46 metros quadrados. Tem só pra dar ideia. Deixa eu tomar uma aguinha aqui? Nenhum.
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Esses resultados está incorreto, porém, o terceiro está mais preciso que o segundo, por sua vez, que está mais preciso que o primeiro. Isso porque, quando a gente utiliza mais casas decimais, aumentamos a precisão. Então, quanto maior o número de dígitos utilizados nos cálculos, maior a precisão do número, ou seja, mais próximo estamos.
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Da representação real do. As diferenças entre resultados para uma mesma operação podem ser consequência da precisão dos dados de entrada da operação, como nos casos ilustrados aqui, ou ainda da forma como estes números são representados nos computadores ou calculadoras.
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Pois devemos levar também em consideração que o estes computadores e calculadoras trabalham com sistemas de representação binário e outros também ao inserirmos um número no computador, normalmente o representamos na base decimal, o computador o converte para binário.
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Realiza operações matemáticas nessa base e converte o resultado novamente pra base decimal para que possamos observar. Por isso, ao analisarmos o resultado, devemos levar em consideração que este resultado é limitado em função dos números de dígitos que a máquina dispõe para trabalhar e também na conversão, pois podemos ter alguns desvios do resultado real.
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Já que o número possui uma representação finita decimal e pode não ter representação finita no sistema binário, ou vice versa, é. Nesse caso, a máquina fará aproximações do número, o que implica avaliarmos a precisão do resultado. Você já ouviu falar em?
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Ponto flutuante, aritmética do ponto flutuante, o sistema de representação numérica em uma máquina esse o sistema denominado sistema f, que depende de beta t nzim 1000 elisão, será chamado d.
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Aritmética de ponto flutuante. Nesse sistema, um número r será representado da seguinte forma, OR será mais ou menos entre países, ponto D1, d seguidinho D1D 2 até ODT multiplicado por. Ele deve ter levado pra cá, onde.
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Quem é a beta? É a base ter que tá no subíndice. Ali é o número de dígitos da parte da representação do número e chamamos de mantista. Quem são esses dígitos? Quem é OBJ de cada um? TJ varia de zero até.
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A base menos um, ou seja, OJ vai variar de um até t, mas OD um tem que ser diferente de zero, o primeiro dígito base. Por exemplo, se eu tiver na base 10, os dígitos vão de 0 a 9 só para explicitar. E quem é o CA? O CA é um esporte inteiro no intervalo.
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Saiu OM aqui não, mas é mizinho mizinho pequeno, não mizinho re aqui é mizinho e mizão é quem é o menor e o maior, tá se o expoente cá necessário para representar um determinado número for maior que o elisão, a gente dizemos que temos um overford.
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E se for menor que o enezinho, temos um Anderson bom, vamos ver o que significa. Vamos ver aí bom, se tivermos como resultado, por exemplo, o número x 1234, 82 no nosso sistema aqui, né?
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Como é que a gente pode escrever naquele sistema de mantista lá tal tal multivos? Eu posso escrever ponto 0,123482 multiplicado pelo 10. A quarta, né? Eu sou multiplicado por 10 a quarta. Eu volto para 4 casas decimais A direita e volto para OAA representação inicial.
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Note que esse número possui 6 dígitos na notícia, a máquina irá armazená lo, mas como só disponi 4 dígitos, terá 2 opções para representá lo por arredondamento ou trincamento. O que que consta 4 porque 10 ele vai doar quarta.
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Então, o que que é a redonda? Significa determinar o dígito após o último algarismo significativo do número, utilizando o seguinte critério, seu último algarismo é significativo é menor que 5 simplesmente.
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Desprezamos os demais vistos após o último algarismo significativo, mas se for maior que 5, nós somamos ao último algarismo, somamos já uma unidade ao último algarismo significativo. Então vamos lá.
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No arredondamento desse número, aí 0,123482 × 10 da quarta, vimos que o dígito após o algarismo significativo é o quarto, pois OT é 4. Então o algarismo significativo é o 4, né? É OT é 4 por acaso o quarto algarismo 4 também, não importa se é 4 OPC, tá até o outro.
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Mas é o seguinte, dele é o 8 e o 8 é maior que sim. Então na hora que eu for arredondar, a gente vai somar um ao quarto algarismo, então ele de 4 vai passar a ser 5, então a gente vai ficar com 0,1235 × 10 ou 4. E assim que fazer um de arredondamento?
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E o trancamento? O trancamento, simplesmente consideramos mesmos contidos pelo número de algarismos significativos e desprezamos o mais, o trancamento. Então, ao truncarmos esse mesmo número aí, né, com apenas 4 algarismos, nós vamos ficar com 0,1 10 34 × 10 a 4. OK, então, ou fazemos arredondamento ou.
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Também bom, podemos utilizar ambas as representações do número arredondado ou truncado. Optar por arredondar por truncar é uma opção quando realizamos uma operação e temos que estar cientes da margem de erro. Então, pela margem de erro que desejamos, a gente vai analisar se vai optar por um, por outro.
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Agora, e o que que é o erro absoluto, né? Chamamos de erro absoluto ao módulo ou o valor absoluto da diferença entre o valor exato de um número XEO seu valor aproximado, vamos chamar aqui DeX bar. E quem é esse essa diferença?
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Simbolicamente, a gente representa essa diferença por um Delta x, que é o módulo EX menos x balco. Ocorre que, em geral, não conhecemos o valor exato DeX, então obtemos o que chamamos de erro relativo épsilon assim obtido. Esse épsilon é o quociente entre o Delta x pelo módulo DeX, ou seja.
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Módulo DeX menos x barra dividido pelo OPA, faltou o módulo DeX ali módulo DeX barra. Por exemplo, sabemos que o número irracional é tem ele aquele base da função exponencial é legal AX.
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Ele está entre 2,71 e 2,72, ou seja, o é pertence ao intervalo que vai de 2,71 até o 2,72. Então qualquer valor assumido para esse número nesse intervalo era um erro. Qual será o erro? Vou pegar o módulo entre.
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A diferença é de 2 e 71 −, 2 e 72 que vai dar 0,01 porque é o módulo dividido pelo mod(2), e 72 que é ele mesmo, porque é um número positivo. Essa razão vai dar aproximadamente 0,003 e é menor do que 0,01, menor que 1%.
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Mas se a gente quiser refinar essa precisão, e aí eu vou mudar, vou aumentar a possibilidade do intervalo, vou aumentar os dígitos e aí eu vou colocar. Oo número é pertencente agora no intervalo que vale 2,782 a 2,783, o nosso erro será menor ainda. Por quê?
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O módulo da diferença entre 2 e, 7182 e 2,71 83 imóvel vai dar 0,0 0011 105 e 9 ÷ 2,783. Isso vai dar aproximadamente 0,00003 e é menor do que.
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0,0001, ou seja, ou um 0,01%. Lá era 1%, aqui é 0,01%. Então acho que é relativo, é dado em termos percentuais. Então vamos agora ver o que que é.
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Quais são os zeros de funções reais? O número real a é chamado de zero de uma função f DeX ou raiz da equação f DeX igual a zero. Sabe que aí é uma equação função. Ali, se eu igualo 2 equações, eu tenho uma é. Se eu igualo a alguma coisa conserte, eu tenho uma equação.
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Então eles serão o zero da função ou raiz da inflação f de XE igual a zero TF de ato a zero. Então esse é a definiçãodo zero da função. Ele anula uma função. Em outras palavras, é o valor que, quando assumido pela função, resulta na imagem nula, ou ainda é o valor DeX que torna verdadeira.
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A sentença matemática da equação f de si igual a zero. Graficamente, o zero da função é o ponto da abcissa no qual o gráfico da função intercepta o eixo x. Por exemplo, seja a função afim f DeX igual a 2 x menos um é. Sabemos que o gráfico é sempre uma reta, né?
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De funções. Aqui tá linear. Para encontrar o zero dessa função, fazemos o quê? Bom, f DeX que é igual a 2 x menos um. Eu vou igualar a zero. Vou pegar a equação. Quero saber quando 2 x 21 + 0, quando 2 x for igual a um, ou seja, quando OX for igual meio.
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Então vamos vamos olhar no grau a reta passava pelos pontos 11 e 0. − 1 até dá pra, porque por 2 basta: pra gente achar a equação daquela reta, né? E a equação dela é 2 x menos um. Qual é? OA abissista ela porta, ela passa pelo ponto meio zero. Ou seja, então é.
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OY é zero, então ela está cortando o eixo x. Qual é a abcissa meio, tá, é isso? Esse é o zero. Então zero de funções vão pra são as abcissas dos pontos que cortam o eixo x do de uma função real, no caso das funções quadráticas y igual AF DeX.
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Do tipo função quadrática do tipo AX é quadrado, mas BX mais c, sendo ABC constantes EOA diferente de zero necessariamente, senão ela não seria uma função quadrática. No caso dessas funções quadráticas, costumamos encontrar os zeros da função pela conhecida fórmula de Bhaskara e Bhaskara.
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Saiu o bacara. É. E aí, qual é a fórmula de bhascara pra encontrar pelo menos para essas equações? A gente tem 11 forma de encontrar função na forma de radical, que é muito bom quando a gente tem. Então o Steve é menos b, mais ou menos a raiz de Delta sobre 2 a. Quem é esse Delta aí?
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É b ao −4^(2) AC. Além disso, nós sabemos que se o Delta, que é o valor que está dentro do radical, o deles quadrado, ali, se ele for positivo, nós teremos 2 raízes reais distintas. Se o Delta for zero, ainda assim teremos 2 raízes, mas reais iguais que vão ser menos b sobre 2 a.
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Ele é zero, né? E se o Delta for negativo, não teremos países reais porque temos a raiz quadrada número negativo. Aí nós seremos obrigatoriamente 2 países complexas que são conjuvadas. E o gráfico da função, que é uma parábola, nesse caso, não portaria o eixo x.
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Então, no caso do Delta maior que zero corta em: distintos do eixo x, no caso do Delta e gaserne toca o eixo x em um mundinho e a raizer real dupla, e no caso de Delta seja estritamente na orte zero, a parábola não corta o eixo e ela está acima ou está abaixo. Além disso, sabemos que OA constante a.
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Que é o coeficiente dos x 2. Se ela for maior que zero, a concavidade da parábola está voltada para cima, e se ela for, se o ar for negativo, já que ele não pode ser zero, ou ele é positivo, ou certamente não quiser, ou certamente não quiser. Quando for negativa, a concavidade é voltada para baixo, então é isso que temos. Então vamos ver aqui. Observe esse.
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3 funções quadráticas aqui representadas com seus respectivos gráficos, né? Y igual a menos x 2 + 6 x observe que é fácil de achar as raízes é isso, a gente igual a zero, a gente põe OX em evidência. OX é zero ou um x é 6, né? A segunda, o gráfico tá no meio.
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A observem que a essa primeira menos de 2 + 6 XOA é negativa com cavidade está para baixo e ela está cortando o eixo x das abissis 0 e 6. As parábolas são tem uma simetria em relação ao eixo central. Os abcissa vai dar o pro pro vértice, que pode ser máxima ou mínimo, tá?
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Vamos ver a segunda caução, 2 x 2 + 2 x menos quarto. As raízes são menos 2 e 1. É passo até de ver ali, passo a substituir. Mas elas foram encontradas a, por exemplo, a partir da fórmula de báscara, né? Quando você tem menos 2, você vai ter o qual o quadrado da 4 × 28, mas você vai ter meia.
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Menos, menos 4 com −4 − 8 pronto e se for 12 + 24 − 4 também quiser. Passo do vídeo aí nesse gráfico do meio. Aí a gente percebe o seu é a é positivo, é 2. Então a contabilidade está voltada para cima e ela corta.
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O eixo x nas abcissas menos 2 e 1 e por último, o terceiro y igual AX 2 − 4 x mais 5 vamos ver é b 2 − 4 AC. Vamos ver lá BB −4^(2) da 16 e 4 ACOA é um EOC 54 × 5 20.
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Então, 16 b 2 − 4 c 16 − 20, então o Delta vai dar menos 4, que é negativo. Portanto, 100 raízes reais não tem raízes reais, gera raízes com próprias. Observe também que o ponto c é sempre o ponto, é o termo independente DeX lá é o ponto onde corta o eixo y, né? É o ponto onde OX é o zero.
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Então aí temos todos pra mostrar o zero da função. Se damos um pouquinho alguns exemplos de quadráticas, vimos a fim de grau um essa de grau 2. Essas são funções chamadas polinomiais, né? Vamos olhar para esse gráfico aqui, ele é um polinômio cúbico e olhe para ele.
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É por que que eu sei que ela põe em nome público? Observem que ele corta o eixo x em 3 ponto, é uma função contínua. Aí tem lá menos infinito. Corta, atinge o máximo relativo, começa a decrescer, corta de novo o eixo x.
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Aí atravessa o eixo y, que é um ponto c dele, né? É. E de novo muda, inverte a sua contavidade e corta de novo o eixo x ele tá cortando o eixo x nos pontos. Vamos ver 12 − 4, no ponto menos um e no ponto 2.
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Esse polinômio eu poderia escrever, ele vai ter essa expressão x 3/4 + 3 x 2/4 − 3 x sobre 2 − 2 serve que o tema independente é menos 2 ainda de 4 é um y. Ele pode ser escrito da forma 14, que multiplica x mais 4 x mais um EX menos 2.
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Quando a gente fatora, é fácil da gente verificar, né? E a gente sempre a gente poderia ter partido dos das raízes. Se é menos 4 ou põe OX menos a raízes, então OX mais 4. Se é menos um x menos a raízes, é OX mais um. E se é 2 x menos 2, essas 3 raízes, o que eu não sei é OA. Então eu coloco OA em evidência.
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E efetuo as raízes efetuo. Algebricamente essa conta e verifico daí o que que como é que eu chego na equação, tá? Pelos pontos, obviamente eu vou ter condições além do bem bom. Observe que suas raízes então são x menos 4, chegamos um x 2 e ficam evidentes da forma fatura. Mas nem sempre é fácil, é.
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Fazer analiticamente, tá? É encontrar as raízes analiticamente, os polinômios públicos, né? Eles não tem aquela fórmula bonitinha de Bhaskara que tem para os os polinômios quádrugos, né? É, existem algumas formas, algum tipo de polinômio público, que é que eles sejam incompletos.
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E existem algumas formas, fora isso, alguns polinômios quádricos jovem 4. Aí a gente tem. Se eles forem bi quadrados, a gente consegue resolver, mas a partir de: e 5 a gente já não existe.
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Radicais, uma solução por radicais. Então isso é um teorema da matéria rática e que tem os matemáticos dele e da origem da antiguidade. E foi resolvido recentemente, sei lá, no século atrás, 1000, ou menos eu na teoria de balua. Ok, mas isso não vem aqui. Aqui a gente só tá querendo ver quem são os zeros, as funções reais.
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Então é sempre que a gente pode dar minha informação a mais, a gente vai fazer. Bom, em relação aos cálculos, sabemos que as raízes das funções afins e quadráficas são rapidamente calculadas analiticamente, porém, para algumas funções problema de graus mais altos ou funções mais complexas, não dispomos de formas explícitas para o cálculo de raízes. E aí se não tem, como calcular.
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O que que a gente vai fazer? Vamos recorrer aos métodos do cálculo numérico, que nos fornecem recursos para determinação de zeros de uma forma aproximada, porém, de acordo com alguma precisão prévia, termina com o cálculo numérico. Temos métodos distintos para o cálculo aproximado das raízes de uma equação qualquer, mas a ideia central dos métodos é partir.
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De uma aproximação inicial para a raiz. Em seguida, refinar essa aproximação por meio de uma sequência de cálculos que são repetidos a cada passo e que chamamos de interação. Então, vamos ver o que que são os métodos numéricos interativos.
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Então, os métodos numéricos consistem de 2 etapas,primeira etapa, localização ou isolamento das raízes, que que é isso? Consiste na obtenção de um intervalo fechado da b que contém uma única raiz da função. Segunda etapa, aproximação, refinamento.
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Consiste na obtenção de aproximações cada vez melhores para a raiz até a precisão fixada. A Epson pré estabelecida, né? Ou, em outras palavras, dentro do erro pré estabelecido nessa disciplina. Dentre os métodos para o cálculo das raízes de funções reais, vamos estudar 2 apenas em.
43:30
Tem vários, né? Mas vamos estudar. 2 são importantes, o método da dissecção e o método de Newton raption. Pra cada um desses métodos realizamos as etapas 1 e 2 e cada um tem características, mas ambos convergem para cada um tem a sua característica, né? Mas ambos convergem para raízes dentro de um intervalo estabelecido.
44:00
Claro, a previdência aí depende de de critérios que estão dentro das hipóteses. Vamos lá, né? A fundamentação é qual é? Eu falo rapidamente, meio por alto, mas só pra dar uma noção que do que que fundamenta o método pra gente.
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Poder utilizar e saber que estamos no caminho de encontrar uma solução. Tenho 2 teoremas que eu estou chamando do teorema e 12 teorema. Não seja f DeX uma função contínua no intervalo fechado, ABCO produto da valor da função no ponto dos extremos do intervalo.
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For negativo, ou seja, que é fdi a multiplicado pela FDB. For negativo. Isso significa que é eles têm sinais contrários. Um é positivo e outro é negativo, não sei qual, mas não tem. Então existe pelo menos um ponto x igual uns anos. E aí entre AEB, que é a raiz da função.
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Ou seja, o que que eu estou dizendo? A função é contínua e ela no ponto do extremo, o intervalo ela tem, ela assume um valor positivo dos extremos, elas assume sinais contrários. Então, Como Ela É contínua, se ela assume o negativo e o outro positivo, ela tem 1 hora que sair do negativo e chegar no positivo, tem que pagar pelo zero, ou o contrário e o positivo pro negativo 1 hora ela tem que passar pelo zero, né? Então ela, ela.
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Isso é um teorema do valor intermediado, tá? Agora esse teorema é apenas suficiente, tá? Ou seja, caso não seja satisfeito o suficiente, eu digo assim, seja satisfeito. Então eu posso otimizar. Caso isso não seja ainda assim, nós podemos ter zeros da função em algum intervalo.
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E qual é o teorema 2? Caso o teorema um seja satisfeito EECA derivada primeira da função f linha DeX existir e preservar o seu sinal no intervalo aberto AB, ou seja, se a derivada tem só um sinal, o é só positivo ou só negativa em todo o intervalo aberto.
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Então, este intervalo contém um único zero da função? Não, não tem mais que um, só tem um único, né? É isso tem a ver com os teoremas. Aí, quando a gente fala do gráfico, calcula máximos e Mini pontes locais extremos do intervalo, tá bom? Vale lembrar que a derivada nos dá o indicador do crescimento da função se ela não muda de sinal do intervalo.
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Significa que ela continua aumentando ou só aumentando ou só diminuindo quando percorremos todos os pontos do intervalo. E é por isso que só tem um. Porque quando a gente vê que ela tem valores distintos, ela poderia assumir mais um ali do outro. Mas se a derivada só tem um sinal.
47:53
Ou maior que zero. Aí ela vai assumir apenas 10 naquele intervalo. E é isso que a gente tem que procurar nesses gatos, né? Encontrar um intervalo que esteja procurando, que a gente desconfia que tem uma raiz lá, pensar uma raiz que poderia estar lá. Tem algumas coisas que a gente vê, como é que a gente pode pensar essa raiz?
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E começar a usar o método interativo para tentar encontrar o seu valor a aproximar. Então, dada uma função para definir o intervalo AB, podemos tabelar a função a função f DeX para vários valores de XE, analisar as mudanças de sinal. Então eu pego uma função.
48:52
Aí eu começo a analisar os sinais, eu começo a ver e já posso ouvir nomes infinitos, então, mas eu vou pegando aí votabolando, né? Ver quando que ela vai é porque eu quero que ela mude de sinal, não é? Eu não estou procurando um intervalo onde ela vai ter é sinal distinto, diferentes, é nesses extremos. Eu estou querendo fixar esse intervalo.
49:21
Então, por exemplo, vamos pegar essa função f DeX igual x 3, − 9 x mais 3 e vamos construir os seus valores. É essa função. Aí a gente teria que saber primeiramente os as suas raízes, nesse caso aqui, né? Mas a gente poderia ir analisando mesmo. Então pega OX nessa tabelinha XEF DeX, né?
49:49
Aí vamos pegando. Observa que como x ao cubo é, as potências públicas são muito grandes. Aí se OX é negativo, a potência, a Cuba vai ser muito negativa. Então ela quase é tirar 9 XE. Somar 3 não vai fazer muita diferença. Então observem que até ponto.
50:18
Menos 10 ainda está dando valor negativo. No menos 5 ainda está dando valor negativo, mas no menos 3 dá um valor positivo. OPA. Continuando no valor menos 11 ainda é positivo? É no valor zero. É positivo no valor um AI.
50:46
Negativo no 2, negativo, OPA, no 3 positivo 45. Eu observo que daí aí ela vai crescendo e aí OX ao público vai ficando muito grande. Então tirar 9 x aí se a matriz não vai fazer muita diferença, ela vai para mais infinito lá, né? Pode seguindo, então, observando as variações de sinal, nós podemos concluir que temos 3 intervalos aí.
51:16
Onde que ela mudou o sinal? A primeira vez ali entre por exemplo, menos 5 e menos 3. A segunda mudança de sinal vem entre um 0 e 1, e depois a terceira mudança entre o 2 e o 3. Então então esses.
51:45
E 3 intervalos contém pelo menos 10, né? Foi DeX cada um, né? Pode até ser que tenha mais ali, não sei. Ah, mas eu sei que essa função é cúbica. É uma função polinomial de grau 3, então sabemos que no máximo ela vai.
52:12
Ter 3 zeros reais, 3 raízes reais? Bom, se tem 3 intervalos, então obviamente cada um desses intervalos contém um único zero dessa missão, tá? A partir de uma equação, né? Vamos ver de outro outro jeito aqui de valer outra maneira.
52:49
A partir de uma equação f DeX igual a zero, podemos também obter uma equação equivalente g DeX igual h DeX isso daria resultados equivalentes AF DeX sem NU. Para encontrar os zeros das funções, ou pelo menos os intervalos aproximados zeros, vá se esboçar.
53:14
O os gráficos da g de XE, da h DeX no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos onde essas curvas se interceptam, já que nesse caso f da raiz de que si seria zero sem somente c.
53:39
OG de que se fosse igual ao g, de que de que? Sim, porque eu estou dizendo que aquela igualdade de g DeX com AK DeX é um sistema equivalente AF DeX 00. Nesse exemplo, AF DeX é x é 1^(3) − 9 x mais 3 nós podemos transformar numa equação f DeX igual a zero.
54:06
Como é que eu transformo aquela função numa equação? Eu posso pegar a equação, eu faço f DeX igual a zero, então eu vou ter que x 3 − 9 x mais 3 é zero, ou eu posso escrever da forma x 3 igual a 9 x menos 3. Ok, então quem eu vou chamar de g uma 10 EH outra. Então OG, por exemplo, é AX ao cubo.
54:37
EAH DeX é 9 x menos 3 e aí sim eu vou fazer a função pública x 3, o gráfico dela, ela tem 3 raízes reais nulas. É desculpa. 3 raízes iguais a zero é. Então ela passa ali pelo 03, é?
55:05
Multiplicidade 30 EH DeX é uma reta e ela vai cortar no ponto 1/3, né? E vai passar pelo y, né? Ordenando 3 também do y, como vocês fazendo e a gente fazendo os 2 gráficos.
55:32
A gente pode encontrar a intersecção aí nós fazendo a intersecção dos 2 gráficos, nós vimos que tem um que está lá no negativo no que se um ali e aquele que se um está aonde está entre menos 4 e menos 3. Não é isso? Quem é o que se 2 olhando o gráfico está entre 0 e 1?
56:02
E o terceiro ponto de interseção tá entre 2 e 3. Então, aí detectamos outra maneira de encontrar os interlaos. Tá bom aí? Depende muito da função, né? Vamos considerar agora a função f DeX igual a.
56:30
Raiz DeX menos 5 vezes é elevado a menos x. Olha, nesse caso é muito mais fácil a gente fazer pelo método de da equação DeX igual a zero, porque daí eu vou ter quando quer f DeX é igual a zero. Quandoo raio DeX for igual a 5 vezes, é elevado a menos x. Então eu vou chamar a gente DeX de Raí, de XEA. Outra função h DeX de 5 vezes z é menu x.
56:59
E construir os gráficos dessas 2 funções para encontrar o valor da interseção desse desse gráfico. Quem vai ser a raiz? Bom, a exponencial é com exponente negativo, ela é decrescente. A grave XE ela é assim do ao ao eixo x, né?
57:27
E ela vai cortar o risco y um ponto ali e a outra que é a raiz DeX ela só tá definida pra x estritamente maior ou a zero É Ela é OA, digamos, inverso de mão. A raiz é da raiz quadrada, né? Só que mudando os erros, tratando os erros. Então ali tá g DeX.
57:54
Bom, fazendo a interseção, vimos que tem um ponto de interseção ali que é a minha, meu zero, que eu estou procurando que se que vai estar entre 1 e 2, né? Como é que a gente refina isso, né? Então, nessa etapa anterior, aprendemos a isolar as raízes de uma função e como resultado, obtivemos um ou mais intervalos fechados. AB.
58:23
Contendo uma única raiz em cada um deles. Nessa etapa, haveremos métodos numéricos para o cálculo de uma aproximação para raízes, o método da dissecção e a seguir, o método de Newton action métodos interativos. Vamos dar uma olhada. Tem um há uma certa, um diagrama de fluxo de do que seriam os métodos.
58:57
Interativos, né? Os métodos interativos para refinamento da aproximação inicial para a raiz exata podem ser colocados num diagrama de fluxo. Todos os métodos interativos usam critério de parada quando a raiz aproximada atinge a precisão determinada épsilon.
59:22
Então tem um início, né? Os dados iniciais, quando a gente encontra as raízes, aí a gente tem AAF de XA, gente tem chamado o chute inicial, o intervalo. Então uma busca pelo pela pelo intervalo onde terá raízes e a precisão de cálculo ali naquele instante. Aí passamos para os cálculos iniciais.
59:49
Então, Na Na primeira interação, cai igual a um. Aí calculamos a aproximação. Aí vemos se essa aproximação está próxima o suficiente da mais exata, se sim, vamos pro cálculo final. Enfim, caso não, passamos por cálculos intermediários, ou seja, para o termo seguinte da interação do capital, mais um. E voltamos então.
1:00:18
E continuamos o processo, tá? Isso não é o que fazemos nessa sequência dele. O método da bissecção seja uma função f DeX contínua no intervalo fechado, EABE, tá OKO, produto de f de a por f de p seja negativo menor FZ. Para simplificar, vamos supor.
1:00:48
Que o intervalo aberto AB disseram que nós não estamos pegando AA raiz, né? Extremos o intervalo, né? Vamos supor que o intervalo aberto AB contém apenas uma raiz da equação f DeX de Brasil. Para simplificar, o objetivo desse método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz.
1:01:16
Até atingir a precisão requerida nesse caso e a diferença que OOO tamanho é do intervalo no na interação a metade do do intervalo e a interação tá seja menor que a Epson usando para isso a sucessão a sucessiva divisão do intervalo ao meio.
1:01:48
Por isso, bissecção. Mas como é que faz isso, né? Num primeiro momento, você tem 11. É ideia inicial ou um chute inicial x zero, você vai começar que vai estar num intervalo que vai de a 020. Então você vai pegar OX zero como um ponto médio de a 020.
1:02:17
Analisando quem é OF de a zero, se OF de a zero for negativo, OF de zero for positivo, né? E aí analisa, se OFOX zero é positivo, então você vai pegar o que? Se dentro desse intervalo a zero x zero? Aí você vai fazer o A1 igual ao a zero.
1:02:44
EOB um agora ao x zero, você já diminuiu esse tamanho? EE, quem vai ser OX um o ponto médio é entre os o que você chamou agora de a um mais b um analisando se OF de a um negativo, se OF de termo positivo. E aí nesse caso OF DeX um no serviço negativo, aonde você vai pegar? Você vai fazer o seguinte.
1:03:13
Porque se você vai pegar entre obviamente um X1B 1, mas quem você vai pegar agora? O A2, você vai pegar como um x, um EOB 2, como OB um 1 hora você pega de um lado, de um lado da Cortana. O que vai acontecendo, né? Continua esse processo, né? No gráfico, a gente tem uma ideia aí, você tinha um a zero b zero.
1:03:42
E aí você tem uma ideia, o que que você vai pegar? Você pega OX zero ali, sei lá, OX zero tá num determinado ponto, aí você vai pegar OB um como OX zero, EOA um, né, a zero, o que que vai acontecendo? Você vai trazendo, né, vai diminuindo x zero, daí OX um tá.
1:04:11
A esquerda aí OX 2 pula pra direita, daí OX 4. Então você vai ficar diminuindo os intervalos e aproximando para algum valor de si ali, tá bom, é cálculo. A máquina que costuma fazer, mas tem que se aproximar. Vamos encontrar aqui aproximação e para.
1:04:44
√2 com um erro inferior a 10 a menos 2 a 20 centavos pelo método da bisecção, e esse problema equivalente a determinar uma aproximação para o zero da função f DeX igual AX 2 − 2, né? Porque quando x 2 foi igual a 2 é f DeX é √2, né?
1:05:13
Então eu quero aproximar. Sabemos, sabemos que a √2, mas a gente também sabe que a √2 é um irracional, então nós não temos o valor exato de sim sempre aproximado, dependendo do erro do arredondamento ou truncamento e da quantidade de dígitos considerados, né? Então vamos pegar a função, né? F de XE do artigo 2, − 2.
1:05:43
E queremos encontrar o seu zero com erro inferior a 10 a menos 2 bom, quem é AF de um né? AF de um é 1^(2) − 2 no quadrado é 1 − 2^(2) − 1 quem é OF de 2 2^(2) é 4 − 2 vai dar 2 oba.
1:06:12
Então o produto de f de de 2 vai dar menos 2 que é negativo. E como é FA contínua nesse intervalo de um fechado de 1 a 2, podemos garantir que f tem zeros nesse intervalo. Além disso, qual é a sua primeira derivada? A primeira derivada do x 2 − 2 é 2 x.
1:06:43
Bom, é 2 x nesse intervalo que vai de um até 2. O dobro de 2 x é sempre positivo, então fninha entre x é uma hora que zero em todo intervalo aberto. 12. Então temos que o zero da f nesse intervalo fechado. 12 é o único. Então vamos fazer a interação com o método de dissecção.
1:07:13
A interação aqui tá só calculadas já nos seus resultados, né? No material teórico tem um trabalho bem feito do autor que é trabalhando com bastante cuidado. Eu é recomendo que vocês façam, recomendo que vocês façam aqui pra calcular também, né?
1:07:39
Não daria para eu ficar calculando aqui a toda hora, mas eu já peguei a tabela na interação, então nessa tabela eu coloquei qual é o item da o passo da interação. K, quem é o AK, quem é o bk que é o os limites inferiores superior do intervalo? Qual é o tamanho do intervalo que é bk menos AK, quem é OXK que eu vou colocar ali do do método?
1:08:07
E quem é o valor do f de fiscal e fazendo, fazendo, fazendo. Nós chegamos. Após 7 interações, vamos ver a sétima, o que que tem o intervalo a 7 × 7? Quem é o A7 é o 1,4140 625. Quem é OB 7142-1875?
1:08:36
Ele tem um tamanho b 7 menos a 7, fazendo 27 menos a 7, deu aquele 0,0078125, isso vai ser menor. Isso é da ordem de 10 a menos 3, que é menor do que 10 a menos 2. Tá ok? Então eu posso garantir.
1:09:04
É razoável pelo método eu pegar a minha raiz DeX barra como sendo a média o ponto médio desse intervalo aí do a 7827/2. Então pegando esse ponto médio eu encontrei 1,4 1796 875, que é uma aproximação para o zero da missão dada por.
1:09:32
F DeX igual x 2002, ou podemos dizer para uma aproximação para a √2 com erro inferior a 1030 número 2, ou seja, enfim inferior a 0,01? Ok, então fizemos um método privado insecção aqui.
1:09:58
Vamos ver a questão da convergência. Estamos estudando métodos interativos em que partimos de uma instigativa inicial e, por meio do método mérito utilizado, obtemos aproximações sucessivas. É um erro cada vez menor. Quando isso ocorre, dizemos que o método é convergente. O método da é dissecção.
1:10:25
Quando quando pode ser utilizado? É convergente, quando sabemos da existência de uma raiz em determinado intervalo. OKA, estimativa do número de interações, como é que a gente vai fazer? Imagine se a gente vai quer refinar e aí isso vai aumentar muito, né? Então tem tem essa questão também do cálculo.
1:10:54
Computacional,né? O tempo de tratacional bom, a estimativa do número de interações, podemos saber quantas interações são necessárias para atingirmos a precisão desejada utilizando o método da bisecção isso, basta utilizar a seguinte equação, essa equação é que vai dar é deixa que os matemáticos já descobriram a equação ou.
1:11:24
Os computacionais n maior do que o log que log é esse log na base 10 EB zero menos a zero menos o log do épsilon dividido pelo log(2). Para o nosso exemplo que acabamos de fazer, o intervalo era o intervalo fechado 12, então um a zero era um b zero era 2 a nossa precisão.
1:11:54
Era de a ordem de 10 a menos 2 o nosso foi permitido. Então calculando ON pra saber se né, tava bom, vai ser log(1) menos o log de bom b zero menos a zero OB zero menos a zero é é 2 − 1 é um, então por isso que vai dar.
1:12:19
O log(1) menos o log de épsilon, que é o log(10) a menos 2 dividido pelo log(2) log(1) é zero, o log(10) a menos 2. Como a base desse novalítico é 10, isso vai ser menos 2, então menos, menos 2, né? Então vai ficar 2. E o log(2) no denominador. Pegamos com 5 casas 0,30102, né?
1:12:50
Então, 2 dividido por isso vai dar aproximadamente 6, 644. Como o número de interações tem que ser inteiro, então, com essa precisão estabelecida, comprovamos que o resultado será obtido após 7 interações com essa precisão, que foi o que nós conseguimos lá a partir do nosso exemplo. Ok? Então, tá.
1:13:20
Na aproximação da √2. Agora vamos, vamos ver, vamos, nós queremos refinar. Tinha sumido a palavra da minha cabeça.
1:13:45
Nós queremos refinar. Então pra isso eu vou querer a aproximação da √2, agora com o referior a 10 a menos. Quantas interações, no mínimo, seria necessário antes de eu sair fazendo todos aqueles cálculos? É melhor a fazer, é melhor verificar.
1:14:12
Quantas interações, no mínimo, seriam necessárias? Então eu vou usar a fórmula, né? Pra ter essa garantia sem fazer o processo interativo, vamos usar o quê? T zero menos a zero pra ser menor do que épsilon. Isso sem somente ser o log do módulo de ver zero menos a zero menos o log de épsilon dividido por.
1:14:41
Log(2) novamente, aí agora eu vou ter então o meu k agora teria que ser maior do que a diferença. O log da diferença de 2 − 1, que era o intervalo número 2, que vai ser o log(1) e o log(1) é zero menos o log(10) a menos 5. Esse log é menos 5.
1:15:08
Então menos, menos 5 vai dar mais 5. Então usar era mais 5, dá 5 dividido pelo log(2) que nós já tínhamos visto ali. E aí isso vai dar aproximadamente 16,61, ou seja, sendo necessárias 17 interações, atingiu essa parecida, é ok.
1:15:37
Então veja que para refinar é também. Nós partimos de 10 a menos 2 para 10 a menos 5, né? Tem de centésimos 0,002001. Bom, vamos ver o outro método agora. Método de.
1:16:06
O método de refinamento de muito navson é um método interativo que converge para a raiz da função f DeX por intermédio da seguinte função, uma FI DeX que é x menos o consciente entre AF de XEAF linha DeX percebe que ele já exige aqui.
1:16:32
A existência da FMIE que ela não se anule no intervalo. Em outras palavras, para o cálculo da raiz pelo método, devemos primeiramente determinar a primeira derivada da função em questão, para poder gerar as possíveis raízes x umbar x 2 bar x 2 bar que vamos encontrando no método, né? Tá o quê?
1:17:02
AX um bar seja igual AXX zero barra, AX 2 barra seja a fida x um barra, AX 3 barra seja a fida x 2 barra e assim sucessivamente até que o processo seja interrompido de acordo com a margem de Evo épsilon pré estabelecida nesse caso.
1:17:30
Ou seja, aqui o módulo da f No No ponto é no zero, é na aproximação do zero Na Na e kaésima internação AF de xis k barra em módulo seja menor do que épsilo é o ponto da para, né?
1:17:57
Qual é a interpretação geométrica desse método? É, observe o seguinte, as retas. Primeiro vamos observar AA figura. Então eu tenho uma curva f DeX é azul, f de XEA curva azul.
1:18:23
Eu estou querendo descobrir Quem É Aquele ponto r onde ela cortam esse CS ou pelo menos aproximação dele. Então eu vou pegar primeiro, observa. Aqui quem é Ol um é a reta tangente em que, em que ordenada desculpa, em que abcissa ela.
1:18:50
Tangencia AF DeX no ponto x um, aí eu pego, Ah, desculpa, tenho tinha l zero, quem é l zero? A primeira não encontra a quem é OX zero. OX zero é aquele primeiro ponto que eu é acho que tem, sei lá, é, comecei falar bom, acho que esse é o.
1:19:19
É o zero, vamos testar. Aí, eu acho a derivada calcula a derivada naquele ponto, né? E depois eu acho o outro ponto x um calcula a derivada. Depois eu vou fazer o quê? Eu vou calcular no outro OX 2 e eu vou veja que eu vou aproximando pelas tangentes, eu vou chegando.
1:19:50
Perto, OX zero está bem distante, à esquerda do ROX um passou para a direita, OX 2 ainda está à direita do mas está mais próximo. E eu vou achando pelo método, né? Então as retas, eles eram um. Nesse caso aí que a gente já consegue apresentar essas 2 para não ficar poluído demais a imagem.
1:20:15
Elas são as retas tangentes ao gráfico da f DeX, respectivamente: x zero, FX zero. EX, um FX, um EF é o ponto tal que AF de r é zero, né? Mas aí então tá. Então vamos determinar, pelo método de Newton rafts, uma aproximação para a seguinte função.
1:20:43
F DeX igual AX logaritmo natural x vezes logaritmo natural x menos um com o erro inferior a 10 a menos 3. Bom, a gente sabe que a função ele logaritmo é contínua. Se eu multiplicar por x, isso daí também vai ficar contínua, não tem problema. Enfim, então f DeX é uma função contínua.
1:21:11
Então sabemos que é x é contínua. Aliás, definida o logaritmo só está definido para x estritamente para x zero. Então contínua para x não estritamente não f zero. E qual é a sua derivada? Bom, é filhinha DeX derivo x não um multiplica pelo logaritmo mais OX vezes a derivada do logaritmo, que é muito sobre XE zero, que é a derivada da constante.
1:21:40
Então eu vou ficar com um vez OLM DeX, que dá LM DeX mais x vezes um sobre x que vai dar um e também é contínua para x estritamente maior que zero. Percebe que não sabe xis existe porque o xis existe também não estiver +0. E o processo interativo vai se dar da seguinte maneira, quem é OXK mais um é OXK menos.
1:22:07
OF de XK dividido pelo FMI de XK. Mas quem é isso pra essa função, né? XK quem é OF de XK? Vamos colocar lá na função, vai ser XKO logaritmo de XK menos um no morador dividido pela derivada no ponto XK.
1:22:33
Derivada no canto XK é o logaritmo natural XK mais um. Observem que eu fiquei com XK menos esse quociente. Vamos achar um colocar sobre o mesmo denominador, então eu vou multiplicar OXK todinho pelo logaritmo de XK mais um e subtrair.
1:22:59
Daquele numerador que é o xis k, logaritmo xis k número 1, subtraído tudo isso e dividido pelo logaritmo xis k mais um, fazendo essas continhas, observe que o numerador eu fico com XK, logaritmo natural de XK mais, XK menos xis k, logaritmo natural xis k, cancela, cancela, sobrou XK mais um.
1:23:28
Dividido pelo logaritmo natural de XK mais um, ou seja, resumindo o meu Oo meu a minha interação de ordem k mais um, ela será né? Pra XK mais um obtido por OXK mais um. Dividido pelo logaritmo EOXK mais um.
1:23:55
Bom, precisamos encontrar uma aproximação inicial x zero. A gente ainda não tem pra isso. Vamos recorrer aquele método gráfico da equivalência. Então vamos pegar a função original que era XLNX menos um. Vamos pegar equação igual a zero, ou seja, quando que x vezes logaritmo DeX menos um a zero.
1:24:24
É quando OX logaritmo DeX é bo um que eu posso escrever, então dividindo por x em ambos os membros eu posso, porque OX é estritamente, não é. Fizeram que o logaritmo DeX é um sobre x. Então uma das minhas funções é aqui eu já veio ver filme, sei lá, nome se dá para ela, não interessa.
1:24:55
AFM DeX eu chamei de logaritmo de XEAF2 de um sobre x e vamos e vamos esboçar os gráficos no mesmo plano cartesiano dessas 2 funções para encontrar o ponto de interseção. Para a gente ter aquele aquela primeira aproximação da primeiraraiz que a gente pra partir pra interação, né?
1:25:28
Esboçando o logaritmo DeX é uma função que a gente está vendo aqui. Ela é a sintória. A gente viu agora pouco. Já temos feito também a sintática ao eixo y, né? E ela corta o eixo x no ponto um, o ln(1), que é zero, né? Bom, e a função sobre x é.
1:25:55
É uma hipérbole, né? É, ela é sintática tanto ao eixo vertical quanto a lista horizontal. É, e nós estamos trabalhando só com cisma que zero. Então, olhando as 2, nós vemos que elas se cruzam em algum lugar. E esse lugar onde elas se cruzam está entre 1 e 2, né?
1:26:25
Então nós vamos é, a gente pegou essas funções definidas no intervalo é aberto 10 e até o 5 tá gráfico ali. Então, como o ponto de interseção da entre 1 e 2, nós vemos que há 10 da f nesse intervalo fechado.
1:26:55
E, portanto, vamos tomar, né? É, por exemplo, entre 1 e 2, vamos pegar um e meio. É uma boa ideia. Vamos realizar as interações como a gente tinha obtido, como, como seria no passo seguinte.
1:27:19
Aquele ponto mais um dividido pelo logaritmo daquele ponto somando mais um, né? Então, partindo do x zero e meio usando 4 casas decimais, obtemos a seguinte tabela tenha, qual é a ordem da interação, qual é OXK, qual é o módulo da f fiscal e qual é o tamanho do intervalo XK mais um menos XK.
1:27:48
Bom, no primeiro passo eu só peguei x zero. Como eu vou usar 4 casas decimais? Eu pus 1,5000 o valor da função. Nesse ponto, o módulo deu zero, 3918 no item seguinte. Quem foi o meu x um? Analisando o um e-mail mais um, né?
1:28:16
Dividido pelo logarifmo daquele um e-mail e chamado com um. Então, fazendo esses cálculos, deu 1,7787 o valor da função. Nesse ponto deu 00244. E a diferença desse intervalo, né? O tamanho desse intervalo deu zero, 3674. Aí vamos por um item 2, eu vou pegar a função AX 2, seria?
1:28:47
Pegar agora é o ponto x, um que tá ali. Somar um dividido pelo logaritmo do ponto x 1 + 1 fazendo as continhas de 1,7 632 e olha que o valor da função já nesse.com 4 casas decimais. Tá dando zero, né? E o tamanho do intervalo e o 0,0155, né?
1:29:16
Assim, em apenas 2 interações nós obtemos a aproximação x 2, 1,7, 632 que satisfaz a precisão requerida inferior a 10 a menos 3 no intervalo fechado em 2. Tá bom? Algumas observações aí.
1:29:45
Observe que, assim como o método da dissecção, o método de Newton rapsel é convergente. É importante observarmos que a convergência do método de Newton rapsel está sempre garantida para um intervalo fechado AB contendo a raiz da f DeX desde aqui.
1:30:12
AF de XEA, sua derivada f linha DeX sejam contínuas nesse intervalo. Então essas são as condições que a gente tem que cumprir pra que dê certo o que a gente garanta contra a França. Mesmo assim tem alguns cuidados, mas a gente não não não viu aqui com tantos detados. Então assim, se utilizar uma estimativa inicial para x zero.
1:30:41
Então, quem fizeram? Pertence ao intervalo fechado, AB obteremos a convergência e, consequentemente, a raiz procurada. Assim, nesse método é muito importante realizar a etapa um da localização do intervalo, na qual sabemos da existência da raiz. Então a gente usa aquela etapa, né?
1:31:10
Considerações finais, observe Oo gráfico aí sim, que que esse gráfico tá fazendo? É um pedaço dele, né? No intervalo, AB, era uma curva que vinha positiva, né? Já No No ponto a, ela ainda crescia mais um pouco, depois mudava.
1:31:40
Um decrescimento tocava tangenciava o eixo x no ponto r, mudava sua contravidade e ainda seguia e era positiva no ponto b, ou seja, no ponto AE no ponto BO valor da função é positivo.
1:32:07
Então observe o gráfico e note que nesse caso o método da bicssecção não pode ser utilizado, pois f de á vezes f de b é maior que zero, né? Ela não trocou de sinal nesse enorme, muito embora a turma seja contínua nesse intervalo fechado.
1:32:36
E, na verdade, tem uma única raiz no interior desse intervalo. Até mais. Ela toca nisso, tá? Provavelmente essa cúbia é uma cúbica, e essa raiz ainda tem multiplicidade de 2. Mas pela cara dela, pelo esse pedacinho dela, vai poderia ser outra função, tá bom, por outro lado.
1:33:04
Eu vou pensar no outro método de Newton rafsson, ele será convergente. Na verdade é, dá pra dá pra convergir, né? Porém, a convergência da sequência interativa gerada por este método não é garantida pelo critério visto no método.
1:33:32
O que eu estou dizendo é que é ele, ele é ele terá convergência para uma raiz, mas pelo critério de convergência do Newton after, não, não vai ser garantida. Por que, Hein? Porque a derivada da função num ponto r é zero. Por que que é zero? Porque esse ponto é um ponto de mínimo local. Então, de.
1:33:59
Algumas vezes a gente tem que prestar atenção no que isso ocorre, né? Porque fica difícil. No método eu ele não atende os critérios pra usar o outro, eu não tenho garantia. Se ele ainda converso pelo próprio método, não sei como teria que usar, porque eu não posso usar derivado. Daí então eu também não posso usar, então teria que ser por um outro método.
1:34:28
Sim, existem outros métodos também, né? E existem casos e como é que você suplanta ou supera uma dificuldade dessa? Mas o que que eu achei importante? Eu achei importante mostrar que é cada método vai ter o seu critério é para usar a interação, é, e aí a gente precisa seguir esse critério e mesmo assim, em alguns casos.
1:34:57
Mais complexo, fica difícil. A quantidade de passos da interação, por exemplo, é então 11 despeito de tempo computacional, né? Enfim, então, portanto, a escolha da função do intervalo, bem como o comportamento da função nesse intervalo.
1:35:24
Inclusive, possíveis dificuldades na determinação de derivadas da função podem levar anão aplicação de um determinado método por não atender aos critérios do mês. É, achei que era importante. Gente, é chamar atenção pra isso, né?
1:35:50
É porque isso também fica fica parecendo assim. Basta usar o método e tudo vai ser umas 1000 Maravilhas. É claro que aqui é nessa, nessa disciplina, nós temos outras unidades pra ver, né? Eu até tinha pensado em iniciar AA unidade seguinte, mas eu resolvi.
1:36:20
Deixar pra juntar o lugares numa próxima porque eu achei que era melhor a gente separar. É essa ideia do que é trabalhar AA interação, do que que é um erro, como é que a gente é usa a precisão, como é que a gente é, faz o refinamento, é como é que a gente encontra um possível 11 possível raiz.
1:36:50
É EE, como que a gente pode usar aqui? Nesse caso, nós vimos 2 2 m. São métodos conhecidos e muito utilizados. Tá bom, bom. Por fim, tentei nessa apresentação cobrir o conteúdo da unidade um da disciplina de cálculo, não é apresentando alguns exemplos distintos dos contidos no material teórico.
1:37:21
Pra poder aumentar a possibilidade de vocês verem exemplos. Além disso, vocês podem buscar também fazer pesquisas, né? E vocês vão encontrar outras coisas. Mas não deixe reforço aí fortemente e vejam com atenção as aplicações que foram desenvolvidas no material teórico. É, eu tentei muito cobrir o conteúdo, mas dar exemplos distintos.
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Bom, espero que tenham aproveitado. Obrigada pela atenção e por hoje nós ficamos por aqui. Joaquim. Pois é, Joaquim, eu tinha pensado em começar o outro, mas achei que IA misturar muito, que é matriz e sistema de equações lineares, né? Resolvi deixar para próxima, tá?
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Tem 2 perguntas, posso? A Flávia perguntou se poderia dar um exemplo real com números. Ué, mas foram dados 300 BRL com números aí, então tá bom. Então eu não entendi a pergunta dela é, talvez depois ela dê uma revisada no vídeo. Não tem problema.
1:38:48
É, Antônio flores perguntou se tem algum exemplo de interpretação geométrica é bom, eu também dei interpretação geométrica dos é dos 2 métodos, né? Dos 2 métricos, pronto, então qualquer coisa ele já é uma revisada aí na aula, certo? Muito obrigado, professora, tenha sido feita no quando eu não tinha dado ainda, né? É, foi um uns 10 minutinhos atrás, ok, tem mais alguma?
1:39:17
Não, no momento só esse Joaquim, quantas pessoas assistiram? O totalfoi 61. Olha que bom é. Comentaram mais alguma coisa, será só bom dia mesmo e pediram pra se possível liberar o material pra eu poder. A gente pode avisar que o material não pode ser liberado, que é liberado é AAA gravação.
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Aí na gravação eles param a gravação no ponto que eles querem ver, estudar melhor e tal, né? Enfim, mas exatamente por isso que eu deixo aquela primeira tela, né? Aquela logo depois da abertura, ela está ela dizendo porque que a gente não pode disponibilizar o material, né? Pronto, vou encerrar. Obrigado, professora, tchau.
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Ok, então vamos fechar. Vou parar de compartilhar. Então muito obrigado pela atenção de todos. Até a próxima, então tá bom.