Minicurso de Matemática Básica - Conjuntos Numéricos

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MINICURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA 
Prof. Sinval Júnior 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os conjuntos numéricos compõem uma parte fundamental da Matemática, notadamente no 
contexto de aplicação a outros campos de estudo. Atualmente tais conjuntos englobam os 
números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por ℕ, 
ℤ, ℚ, ℝ, ℂ. 
 
1.1 NATURAIS (ℕ) 
É o conjunto formado por um menos elemento chamado de zero e todos os 
outros(sucessores) são obtidos adicionando a unidade ao antecessor. 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
1.2 INTEIROS (ℤ) 
É o conjunto formado por todos os números naturais unidos com o oposto deles. 
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
1.3 RACIONAIS (ℚ) 
São todos os números na forma de decimal exato, periódico ou fração, sendo o numerador 
e denominador inteiros. 
ℚ = {
𝑎
𝑏
, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ≠ 0} 
Ex.: 2/3; 0,25; 1,444..., -7/5 
 
1.4 IRRACIONAIS (𝕀) 
São todos os números decimais não-exatos e não-periódicos. 
𝕀 = {… ; √2; 𝜋; 1,234 … } 
 
1.5 REAIS (ℝ) 
É a união dos elementos dos conjuntos Racionais e Irracionais. 
 
1.6 REPRESENTAÇÃO 
 
 
 
2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
 
As operações com números são as usuais, denominadas de Adição e Multiplicação, ficando 
subentendidas as operações definidas a partir destas (subtração e divisão). 
 
2.1 ADIÇÃO 
Exemplos: 
4,32 + 2,3 + 5,269 = 11,889 
 
 4,32 
 2,3 
 5,269 
11,889 
 
Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula. 
1
2
+
2
3
+
5
6
= 
3
6
+
4
6
+
5
6
=
3 + 4 + 5
6
=
12
6
= 2 
 
Nesse caso, observe que as frações tem denominadores distintos e, portanto, precisamos 
buscar frações equivalentes, com o mesmo denominador para realizarmos a soma. 
 
2.2 MULTIPLICAÇÃO 
Exemplos: 
7,32 x 12,5 = 91,5 
 
 7,32 
 12,5 
 3660 
 1464 
 +732__ 
 91,500 
 
Na multiplicação começa-se operar da esquerda para a direita. Quando a multiplicação 
envolver números decimais (como no exemplo à cima), soma-se a quantidade de casas 
após a vírgula. 
3
4
 .
1
5
 .
3
2
= 
3 . 1 . 3
4 . 5 . 2
=
9
40
 
No caso de multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores e os denominadores. 
 
2.3 DIVISÃO 
É bastante conhecido o algoritmo da divisão: D = d * q + r 
843 = 5 * 168 + 3 
 
 843|_5__ 
-5 168 
 34 
-30 
 43 
 -40 
 (3) 
No caso de dividir duas frações é o mesmo que multiplicar a primeira fração pelo inverso 
da segunda fração. 
2
3
:
3
5
= 
2
3
.
5
3
= 
2 . 5
3 . 3
= 
10
9
 
 
2.4 CASOS PARTICULARES DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Multiplicação: 
A * 1 = A (Dizemos que 1 é elemento neutro da multiplicação) 
A * 0 = 0 
 
Divisão 
A / 1 = A 
A / A = 1 
0 / A = 0 (Se A ≠ 0) 
A / 0 = ∄ 
 
3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Calcule: 
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = b) 4,03 + 200 + 51,2 = 
c) 32,4 – 21,3 = d) 48 – 33,45 = 
e) 2,1 * 3,2 = f) 48,2 * 0,031 = 
g) 3,21 * 2,003 = h) 8,4708 / 3,62 = 
i) 682,29 / 0,513 = j) 2803,5 / 4450 = 
l) 0,041 * 21,32 * 401,05 ≅ m) 0,0281 / 0,432 ≅ 
 
4 VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO 
Representa a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo assim, o módulo, por 
representar distância, é sempre positivo e representado por | |. 
Exemplos: 
|−9| = 9 
|0| = 0 
|−7| = 7 
|2| = 2 
 
5 Expressões numéricas 
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e 
divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em 
expressões que aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, 
efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, 
dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado 
estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. 
Exemplos: 
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] 
 = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] 
 = 2 + [ 2 – 6 ] 
 = 2 + [-4] 
 = 2 – 4 
 = - 2 
 
 
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } 
 = 2 + { 3 – [ 1 + 1] + 8 } 
 = 2 + { 3 - 2 + 8 } 
 = 2 + 9 
 = 11 
 
6 Números Primos 
São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1. 
Obs.: O número 1, por definição, não é primo. 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...} 
 
7 Decomposição de um número em um produto de fatores primos 
Todo número natural pode ser escrito como produto de potência de primos. 
Exemplos: 
30 = 2 * 3 * 5 
80 = 24 * 5 
52 = 22 * 13 
 
8 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) 
Definimos o MMC de a e b, como sendo o produto dos primos comuns e não-comuns de 
maior expoente obtidos da decomposição de a e b em produtos de potências de primos. 
Exemplos: 
MMC(4, 6) = 22 * 3 = 12 
 
4 = 22 
6 = 2 * 3 
 
MMC(20, 28) = 22 * 5 * 7 = 140 
 
20 = 22 * 5 
28 = 22 * 7 
 
9 Máximo Divisor Comum (M.D.C.) 
Definimos MDC de a e b, como sendo o produto dos primos comuns de menos expoente 
obtidos pela decomposição de a e b em produtos de potências de primos. 
Exemplos: 
MDC(12, 18, 36) = 2 * 3 = 6 
 
12 = 22 * 3 
18 = 2 * 32 
36 = 22 * 32 
 
MDC(15, 24) = 3 
 
15 = 3 * 5 
24 = 23 * 3 
 
 
 
10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Calcule 
a) 2 + 3 – 1 = b) – 2 – 5 + 8 = 
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 = d) 2 * (-3) = 
e) (-2) * (-5) = f) (-10) * (-1) = 
g) (-1) * (-1) * (-2) = h) 2{ 2 - 2[ 2 - 4 ( 3* 2:3 ) + 2 ]} + 1 = 
o) 8 -{ - 20[ ( - 3 + 3 ):( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } = 
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 = q) 0,6 : 0,03 * 0,05 = 
r) 5 : 10 = 
s) 3 : 81 * 0,5 = 
 
Determine o MMC. e o MDC. entre: 
a) 36 e 60 b) 18, 20 e 30 c) 12, 18 e 32 
 
Problemas envolvendo MMC e MDC 
1. O João tem uma folha de cartolina, retangular, com 36 cm de comprimento e 24 cm de 
largura. Pretende dividir a folha em quadrados com o maior lado possível, sem desperdiçar 
cartolina. Qual deve ser a medida, em centímetros, do lado do quadrado? 
 
2. O gerente de um supermercado pretende embalar 24 maçãs e 18 pêssegos do seguinte 
modo: 
• cada embalagem com maçãs e pêssegos; 
• todas as embalagens com o mesmo número de maçãs e o mesmo número de pêssegos. 
a) Qual é o número máximo de embalagens que é possível organizar? 
b) Quantos pêssegos e maçãs leva cada uma das embalagens? 
 
3. A Joana foi ao médico e agora tem de tomar um antibiótico de 12 em 12 horas e um 
analgésico de 8 em 8 horas. Tomou os dois comprimidos às 16 horas. A que horas voltará a 
tomar os dois comprimidos ao mesmo tempo? 
 
4. Os alunos de uma turma vão organizar um sorteio para angariar fundos para uma viagem 
de estudo. Os prémios são todos iguais e constituídos por livros e CDs. Ao todo têm 54 
livros e 18 CDs para oferecer. 
a) Será que é possível formar três prémios? 
b) E quatro prémios? É possível formar? 
c) Qual é o número máximo de prémios que é possível organizar? E qual é a sua 
composição? 
 
5. Três barcos saem da Póvoa de Varzim no dia 1 de janeiro de 2009: o Vaiofundo, o 
Meteágua e o Botaabaixo. O primeiro sai a cada 10 dias, o segundo sai a cada 12 dias e o 
terceiro a cada 15 dias. Quando voltarão a encontrar-se novamente na Póvoa de Varzim os 
três barcos? 
 
6. Uma academia vai formar uma banda com elementos selecionados a partir de um 
conjunto de 27 pianistas, 18 guitarristas e 36 bateristas. Para avaliar os elementos, vão 
forma-se várias bandas com o mesmo número de músicos de cada um dos instrumentos 
musicais. 
a) Quantas bandas se poderão formar? 
b) Qual a sua constituição?