ljvf geometria

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\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} 
 \] 
 a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 b) Converge para um número finito. 
 c) Diverge. 
 d) \(1\) 
 **Resposta: b) Converge para um número finito.** 
 **Explicação:** Esta é uma série p com \(p = 3\), que é maior que 1, portanto converge, 
especificamente para valores relacionados à função zeta de Riemann \(\zeta(3)\). 
 
34. **O que representa o resultado:** 
 \[ 
 \int_0^\infty e^{-ax} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{a}\) 
 b) \(a\) 
 c) \(e^{-a}\) 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{a}\)** 
 **Explicação:** Esta integral é simples de resolver, tendo o resultado conhecido 
\(\int_0^\infty e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}\) para \(a > 0\). 
 
35. **Qual é o valor de:** 
 \[ 
 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \sin(x) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{4}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** Podemos reescrever a integral: 
 \[ 
 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin(2x)dx = \left[-\frac{1}{4}\cos(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} 
= \frac{1}{2}. 
 \] 
 
36. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} 
 \] 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{6}\)** 
 **Explicação:** Utilizando a série de Taylor, temos: 
 \[ 
 \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \cdots, 
 \] 
 levando a: 
 \[ 
 \frac{x - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}. 
 \] 
 
37. **Calcule a derivada da função:** 
 \[ 
 y = \ln(x^2 + 1) 
 \] 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x}\) 
 c) \(\frac{2}{x}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. 
 \] 
 
38. **Qual é o valor:** 
 \[ 
 \int_0^1 2x e^{x^2} \, dx 
 \] 
 a) \(e - 1\) 
 b) \(\frac{1}{e} - 1\) 
 c) \(1\) 
 d) \(\frac{e^2 - 1}{2}\) 
 **Resposta: a) \(e - 1\)** 
 **Explicação:** Realizando a substituição \(u = x^2\) e \(du = 2x \, dx\), a integral se 
transforma em: 
 \[ 
 \int_0^1 e^u \, du = [e^u]_0^1 = e - 1. 
 \] 
 
39. **Calcule o integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (x + x^2) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{5}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(1\) 
 **Resposta: b) \(\frac{5}{6}\)** 
 **Explicação:** A integral é: