contas fumx

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**Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\), que é \(x^2\): 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}} = \frac{7}{2}\). 
 
45. **Problema 45:** Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{3}{8}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{3}{4}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{3}{8}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^3(x) = \cos(x)(1 - \sin^2(x))\). Assim, a 
integral se transforma em uma forma que pode ser resolvida. 
 
46. **Problema 46:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^4 + 1)\). 
 a) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^4 + 1}\) 
 c) \(\frac{4}{x^4 + 1}\) 
 d) \(\frac{4x^2}{x^4 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^4 + 1} \cdot 4x^3 = 
\frac{4x^3}{x^4 + 1}\). 
 
47. **Problema 47:** Calcule a integral \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C\). Avaliando de 0 
a 1, temos \((1 - 1 + 1) - 0 = 1\). 
 
48. **Problema 48:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\). 
 a) 4 
 b) 0 
 c) 1 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) 4 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 4\), então o limite é 4. 
 
49. **Problema 49:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 8} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 b) \(\frac{1}{4} \ln|x^3 + 8| + C\) 
 c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando a substituição \(u = x^3 + 8\), 
resultando em \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\). 
 
50. **Problema 50:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^3}\). 
 a) \(3x^2 e^{x^3}\) 
 b) \(e^{x^3}\) 
 c) \(3 e^{x^3}\) 
 d) \(3x^3 e^{x^3}\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 e^{x^3}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}\). 
 
51. **Problema 51:** Calcule a integral \(\int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 3) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{4}{5}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** c) \(\frac{4}{5}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (5x^4 - 4x^3 + 3) \, dx = x^5 - x^4 + 3x + C\). Avaliando 
de 0 a 1, temos \((1 - 1 + 3) - 0 = 3\). 
 
52. **Problema 52:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{8x^3 + 3}{2x^3 + 5}\). 
 a) 4 
 b) 1 
 c) 0 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) 4 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\), que é \(x^3\): 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{3}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^3}} = 4\). 
 
53. **Problema 53:** Calcule a integral \(\int_0^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral de um produto de funções ímpares em um intervalo simétrico 
resulta em zero. 
 
54. **Problema 54:** Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^5 + 1)\). 
 a) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^5 + 1}\) 
 c) \(\frac{5}{x^5 + 1}\) 
 d) \(\frac{5x^3}{x^5 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^5 + 1} \cdot 5x^4 = 
\frac{5x^4}{x^5 + 1}\). 
 
55. **Problema 55:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 - x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) 0 
 c) \(\frac{5}{12}\)