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ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
CAPÍTULO 1 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D.J. & WILLIAMS, T.A. Estatística Aplicada à Administração e 
Economia. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
2. BUSSAB, W. O. & MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 
2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A. & DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
5. MEDEIROS, E. S. e colaboradores. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e 
Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: Harbra Harper How do 
Brasil, 2001. 
7. TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
DEFINIÇÃO: O QUE É ESTATÍSTICA? 
 
É a ciência que fornece métodos e processos quantitativos para planejamento, coleta, 
organização, descrição, análise e interpretação de dados. 
Particularmente em administração, economia e ciências contábeis, uma grande razão para 
entender estatística é dar aos tomadores de decisão um melhor entendimento/controle do ambiente 
administrativo, possibilitando decisões objetivas, previsões precisas e transmissão da mensagem 
desejada de forma eficaz. 
 
 
PARTE DA NOMENCLATURA UTILIZADA EM ESTATÍSTICA: 
 
• Dados estatísticos são fatos ou números que são coletados, organizados em tabelas e/ou 
gráficos, analisados e interpretados. 
 
• Dados brutos são uma seqüência de fatos ou valores numéricos não organizados, obtidos 
diretamente da observação de um fenômeno. 
 
• Rol é uma seqüência ordenada (crescente ou decrescente) de dados brutos. 
 
• Elementos são as entidades sobre as quais os dados são coletados. 
 
• Variável é a característica de interesse para os elementos. 
 
• Dados qualitativos consistem em rótulos ou nomes para uma característica de um elemento, 
podendo ser não-numéricos ou numéricos. 
 
• Dados quantitativos consistem em números que representam contagens ou medidas. 
 
• População ou universo é o conjunto de todos os elementos de interesse em um determinado 
estudo. 
 
• Amostra é um subconjunto da população. 
 
 
2 
 
Exemplos: População: dados estatísticos da população brasileira levantados pelo IBGE no censo 
demográfico realizado a cada 10 anos. 
 
Amostra: dados obtidos em testes após a fabricação de um pequeno número de peças 
antes de se iniciar sua fabricação em grande escala. 
 
Quando a população é muito grande, a Estatística recorre a uma amostra. Entretanto, a 
AMOSTRA DEVE REPRESENTAR EFETIVAMENTE A POPULAÇÃO. 
 
 
ESTUDOS ESTATÍSTICOS 
 
Muitas vezes, os dados necessários para uma aplicação particular não estão disponíveis através 
de fontes existentes. Em tais casos, os dados freqüentemente podem ser obtidos realizando-se um 
estudo estatístico. Os estudos estatísticos podem ser experimentais ou observacionais. 
 Em um estudo experimental, identifica-se inicialmente o elemento de interesse. Então, variáveis 
relacionadas a esse elemento são identificadas e controladas de modo que os dados que influenciam a 
variável possam ser obtidos. Por exemplo, uma empresa farmacêutica quer entender como uma nova 
droga afeta a pressão sangüínea. A pressão sangüínea é a variável de interesse no estudo. O nível de 
dosagem da nova droga é outra variável que se sabe ter efeito causal sobre a pressão sangüínea. Para 
obter os dados sobre o efeito da nova droga, seleciona-se uma amostra de indivíduos. O nível de 
dosagem é controlado com diferentes grupos de indivíduos recebendo diferentes dosagens. Os dados 
sobre a pressão sangüínea são coletados para cada grupo. A análise estatística dos dados 
experimentais pode ajudar a determinar como a nova droga afeta a pressão sangüínea. 
 Nos estudos observacionais, não existe qualquer tentativa de controlar as variáveis de interesse. 
Por exemplo, em um levantamento de entrevista pessoal, primeiro identificam-se as questões de 
pesquisa. Então um questionário é concebido e ministrado à amostra de indivíduos. Alguns restaurantes 
usam estudos observacionais para obter dados sobre a opinião de seus clientes sobre a qualidade dos 
alimentos, do serviço, do ambiente, da higiene, etc. As categorias de respostas como excelente, bom, 
satisfatório e insatisfatório, fornecem os dados que torna possível aos analisadores avaliar a qualidade 
do restaurante. 
 
 
HÁ DUAS ÁREAS PRINCIPAIS NA ESTATÍSTICA 
 
Estatística Descritiva: é uma das etapas que tem por objetivos o planejamento, a coleta, a organização 
e descrição de dados. Utiliza números, tabelas ou gráficos para descrever fatos (análise exploratória de 
dados). 
Exemplo: pesquisa sobre a votação em cada candidato em época de eleição - planejamento, coleta, 
organização e descrição de somente 2% dos votos (amostra). 
 
Inferência Estatística: é a etapa em que os dados amostrais são analisados e interpretados para se 
fazer estimativas e testar hipóteses sobre as características da população. Portanto, através da análise 
de uma amostra da população procura-se medir, inferir ou estimaras leis de comportamento da 
população da qual a amostra foi retirada. 
Exemplo: a partir da organização de 2% das intenções de voto da população, infere-se a porcentagem 
de votos em cada candidato para toda a população. 
 
A coleta, organização e descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva. A análise 
e interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Inferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
1.1 A coleta, a organização e a descrição de dados 
 
 Após o planejamento e a devida determinação de características notáveis ou mensuráveis, ou 
seja, da variável de interesse do elemento que se quer pesquisar, dá-se início à coleta dos dados 
numéricos necessária à sua descrição. 
 Por mais diversa que seja a finalidade, os dados devem ser apresentados sob a forma adequada 
de tabelas chamadas de tabelas de distribuições de freqüências ou por gráficos, tornando mais fácil 
o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico. 
 
 
1.2 A análise e a interpretação de dados 
 
O objetivo da análise e a interpretação de dados é tirar conclusões sobre a população, a partir 
de informações fornecidas por parte representativa dessa população (amostra), ou seja, consiste em 
obter-se e generalizar-se conclusões, a partir de resultados particulares. 
 
 
VARIÁVEIS 
 
A análise estatística apropriada de uma determinada variável depende de sua natureza. É 
importante conhecer a natureza da variável, pois para cada tipo de variável, há uma técnica mais 
apropriada para se resumir as informações e otimizar a análise. As variáveis são classificadas como 
Variáveis Qualitativas e Variáveis Quantitativas. 
 
• Variáveis Qualitativas: apresentam uma qualidade ou atributo da variável. Ex.: sexo 
(masculino, feminino), estado civil (solteiro, casado, viúvo, divorciado), grau de escolaridade (1o 
grau, 2ograu, superior, etc). Dentre as variáveis qualitativas existe uma segunda classificação: 
nominais ⇒ variáveis sem ordenação (sexo: masculino, feminino) e ordinais ⇒ variáveis 
que devem respeitar ordem estabelecida (grau de escolaridade: 1o grau, 2o grau, superior, etc). 
 
• Variáveis Quantitativas: apresentam números resultantes de uma contagem ou de uma 
medida. Ex.: número de filhos, nível salarial, idade, etc. As variáveis quantitativas podem ser: 
discretas ⇒ quando os possíveis valores são provenientes de uma contagem, portanto, seus 
valores são expressos por números inteiros (número de filhos, número de empregados de uma 
empresa, etc) e contínuas ⇒ quando os possíveis valores são provenientes de uma medição, 
portanto, essa variável pode assumir qualquer valor em certo intervalo da reta real, ou seja, 
números inteiros e decimais (peso, altura, idade, nota de alunos, lucrode empresas, etc). 
 
 
 Referindo-se ao conjunto de dados na Tabela 1, abaixo, como mais um exemplo, cada empresa 
é um elemento. Como são 25 empresas, existem 25 elementos no conjunto de dados. Os dados 
relativos à variável Bolsa de Valores (NYSE, AMEX e OTC) são rótulos usados para identificar onde as 
ações são comercializadas. Assim, os dados são qualitativos e a Bolsa de Valores é uma variável 
qualitativa. O Símbolo no Painel Eletrônico é também uma variável qualitativa e os valores de dados 
AWRD, CHK, CRG, etc são os rótulos usados para identificar a empresa correspondente. A variável 
Número de Negócios Realizados Anualmente é uma variável quantitativa discreta, pois essa variável 
só pode assumir valores inteiros. As variáveis Vendas Anuais, Preço da Ação e Relação Preço/Ganhos 
são variáveis quantitativas contínuas já que podem assumir quaisquer valores do conjunto dos 
números reais ℜ . 
 Para propósitos de análise estatística, a diferença importante e relevante entre dados 
qualitativos e quantitativos é que as operações aritméticas comuns só tem significado com dados 
quantitativos. Por exemplo, com dados quantitativos, os valores de dados podem ser adicionados e 
divididos pelo número total de dados para calcular seu valor médio. Essa média tem significado e, em 
geral, é facilmente interpretada. No entanto, quando dados qualitativos são registrados como valores 
numéricos, tais operações aritméticas fornecem resultados sem nenhum significado. 
 
 
4 
 
 
Tabela 1 – Conjunto de dados contendo informações financeiras referentes a 25 empresas. 
Empresa 
Bolsa de 
Valores 
Símbolo 
do Painel 
Eletrônico 
No de 
Negócios 
Realizados 
Anualmente 
Vendas 
Anuais 
(US$ milhões) 
Preço 
da Ação 
(US$) 
Relação 
Preço/Ganhos 
Award Software OTC AWRD 63.334 15,7 11,500 22,5 
Chesapeak Energy NYSE CHK 1.123.401 255,3 7,880 12,7 
Craig Corporation NYSE CRG 121.237 29,4 17,000 7,5 
Edisto Resources AMEX EDT 1.115.678 254,6 9,688 6,0 
Franklin Elect. Pbls NYSE FEP 378.990 88,7 12,880 15,7 
Gentia Software OTC GNTIY 118.365 27,7 5,750 27,4 
Giant Group NYSE GPO 30.002 7,2 6,563 2,1 
Hot Topic OTC HOTT 200.458 48,3 15,750 27,2 
Hudson General AMEX HGC 123.877 30,2 39,750 11,2 
ICU Medical OTC ICUI 115.432 26,5 8,500 15,7 
Jackpot Enterprises NYSE J 499.456 90,6 10,875 17,0 
Kentek Information OTC KNTK 246.367 60,5 9,500 11,4 
Larscom, Inc. OTC LARS 310.998 71,1 10,313 24,6 
Lumisys, Inc. OTC LUMI 109.211 23,7 7,375 14,2 
Maynard Oil OTC MOIL 147.954 38,2 10,750 4,8 
Mechanical Dynamics OTC MDII 114.981 26,0 6,688 17,1 
Metrika Systems AMEX MKA 261.934 67,2 15,250 15,7 
National Home Health OTC NHHC 130.870 34,9 5,130 7,7 
National Tech Team OTC TEAM 345.698 78,1 10,875 32,0 
OrCad OTC OCAD 85.384 21,9 11,375 18,3 
OroAmerica OTC OROA 689.004 164,8 5,125 16,0 
Overland Data OTC OVRL 256.156 66,5 7,000 13,5 
PIA Merchandising OTC PIAM 545.890 123,1 7,500 28,8 
Plenum Publishing OTC PLEN 229.786 52,5 44,000 10,7 
Premier Research OTC PRWW 64.489 16,5 8,250 28,4 
Fonte: Stock Investor Pro, American Association of Individual Investors, 31 de agosto de 1997. 
 
 
 
 
 
2. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
 Uma distribuição de freqüência é um sumário tabular de dados que mostra a freqüência (ou o 
número) de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas. O objetivo da distribuição 
de freqüências é reduzir a quantidade de dados. 
 
 
 
 
5 
2.1. A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
 
• Freqüência Absoluta (fi) ⇒ número de vezes em que cada resultado aparece no conjunto de dados. 
 
 
• Total de observações (n) ⇒ a soma das freqüências absolutas. 
 
∑=
i
ifn 
 
• Freqüência Relativa (ou proporção) (fri) ⇒ proporção de cada realização em relação ao total. 
 
n
ff iri = 
 
É mais usual exprimir a freqüência relativa em porcentagem (freqüência relativa percentual): 
 
 100
n
ff iri ×= 
 
� A freqüência absoluta não é comparativa, pois um mesmo valor pode apresentar diferentes 
significados dependendo do número total de observações. 
Exemplo para a variável qualitativa grau de escolaridade: Na empresa ALFA, metade dos 
funcionários, ou seja 20, possui o 1o grau. Na empresa BETA, a totalidade de seus 20 funcionários 
tem o 1o grau. Apesar de a freqüência absoluta ser a mesma nas duas empresas, o significado 
desse número é bem diferente. 
 
� Para tornar os dados comparativos utiliza-se a proporção (freqüência relativa) ou a freqüência 
relativa percentual. 
 
Exemplos: 
Tabela 2 – Freqüência absoluta e freqüência relativa percentual de 36 funcionários do departamento 
de recursos humanos da empresa GAMA, segundo o grau de escolaridade. 
Grau de 
escolaridade 
Freqüência 
Absoluta fi 
Freqüência relativa 
percentual fri (%) 
1o grau 
2o grau 
3o grau 
12 
18 
6 
33,33 
50,00 
16,67 
Total 36 100,00 
Fonte: Dados fictícios 
 
Tabela 3 – Freqüência absoluta e freqüência relativa percentual dos 2000 funcionários da empresa 
GAMA, segundo o grau de escolaridade. 
Grau de 
escolaridade 
Freqüência 
Absoluta fi 
Freqüência relativa 
percentual fri (%) 
1o grau 
2o grau 
3o grau 
650 
1020 
330 
32,50 
51,00 
16,50 
Total 2000 100,00 
Fonte: Dados fictícios 
 
 Não podemos comparar diretamente as colunas das freqüências absolutas das tabelas 2 e 
3, pois os totais de empregados são diferentes nos dois casos. Mas, as colunas de porcentagens 
são comparáveis, pois reduzimos as freqüências a um mesmo total (no caso 100). 
 
 
6 
Além das freqüências absoluta e relativa pode-se tabular a freqüência acumulada. 
 
• Freqüência acumulada (Fi ou Fac) ⇒ soma da freqüência absoluta de um elemento com as 
freqüências absolutas dos elementos que o antecedem. 
 
i21i f...ffF +++= 
 
• Freqüência acumulada relativa (FRi) ⇒ divisão da freqüência acumulada de um elemento pelo 
número total de elementos da série. 
 
n
FF ii = 
 
 Com esses dados a Tabela 2 se torna: 
 
Tabela 4 – Freqüência absoluta, freqüência relativa percentual, freqüência acumulada e freqüência 
acumulada percentual dos 36 funcionários do departamento de recursos humanos da empresa 
GAMA, segundo a variável qualitativa Grau de Escolaridade. 
Grau de 
escolaridade 
Freqüência 
Absoluta fi 
Freqüência relativa 
percentual fri (%) 
Freqüência 
Acumulada Fi = Fac 
Freqüência Acumulada 
Relativa - FRi (%) 
1o grau 
2o grau 
3o grau 
12 
18 
6 
33,33 
50,00 
16,67 
12 
30 
36 
33,33 
83,33 
100,00 
Total 36 100,00 ----- ----- 
Fonte: Dados fictícios 
 
 
Análise de alguns valores provenientes da distribuição de frequências, apresentados na Tabela 
4, como exemplo: 
12 funcionários não possuem 2o e 3o graus; 
50,00% dos funcionários possuem 2o grau; 
16,67% dos funcionários possuem 3o grau; 
30 funcionários possuem até 2o grau; 
33,33% dos funcionários possuem somente o 1o grau; 
83,33% dos funcionários não possuem 3o grau. 
 
 
 
2.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS – VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
 
 Um conjunto de dados, freqüentemente, é difícil de interpretar diretamente na forma em que é 
reunido. Para sintetizar dados, utiliza-se a distribuição de freqüências. No caso das variáveis 
quantitativas discretas, a representação em tabelas é muito útil, pois fornece meios de organizar e 
resumir os dados de modo que padrões sejam revelados e os dados sejam mais facilmente 
interpretados. 
 Observe na Tabela 5, abaixo, na qual além de outras informações, é apresentada a variável 
quantitativa discreta Número de Filhos de 36 funcionários do departamento de recursos humanos da 
empresa GAMA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Tabela 5 – Informações sobre estado civil, grau de escolaridade, no de filhos, salário, idade e 
procedência de 36 funcionários do departamento de recursos humanos da empresa GAMA, 
localizada na cidade de São Paulo. 
 
No Estado 
Civil 
Grau de 
escolaridade 
No de 
filhos 
Salário 
(x Sal. Min.) 
Idade 
(anos) 
Região de 
Procedência 
1 Solteiro 1º Grau 0 4,00 26 Interior 
2 Casado 1º Grau1 4,56 32 Capital 
3 Casado 1º Grau 2 5,25 36 Capital 
4 Solteiro 2º Grau 0 5,73 20 Outro Estado 
5 Solteiro 1º Grau 0 6,26 40 Outro Estado 
6 Casado 1º Grau 0 6,66 28 Interior 
7 Solteiro 1º Grau 0 6,86 41 Interior 
8 Solteiro 1º Grau 0 7,39 43 Capital 
9 Casado 2º Grau 1 7,59 34 Capital 
10 Solteiro 2º Grau 0 7,44 23 Outro Estado 
11 Casado 2º Grau 2 8,12 33 Interior 
12 Solteiro 1º Grau 0 8,46 27 Capital 
13 Solteiro 2º Grau 0 8,74 37 Outro Estado 
14 Casado 1º Grau 3 8,95 44 Outro Estado 
15 Casado 2º Grau 0 9,13 30 Interior 
16 Solteiro 2º Grau 0 9,35 38 Outro Estado 
17 Casado 2º Grau 1 9,77 31 Capital 
18 Casado 1º Grau 2 9,80 39 Outro Estado 
19 Solteiro Superior 0 10,53 25 Interior 
20 Solteiro 2º Grau 0 10,76 37 Interior 
21 Casado 2º Grau 0 11,06 30 Outro Estado 
22 Solteiro 2º Grau 2 11,59 34 Capital 
23 Solteiro 1º Grau 2 12,00 41 Outro Estado 
24 Casado Superior 0 12,79 26 Outro Estado 
25 Casado 2º Grau 2 13,23 32 Interior 
26 Casado 2º Grau 2 13,60 35 Outro Estado 
27 Solteiro 1º Grau 0 13,85 46 Outro Estado 
28 Casado 2º Grau 0 14,69 29 Interior 
29 Casado 2º Grau 5 14,71 40 Interior 
30 Casado 2º Grau 2 15,99 35 Capital 
31 Solteiro Superior 0 16,22 31 Outro Estado 
32 Casado 2º Grau 1 16,61 36 Interior 
33 Casado Superior 3 17,26 43 Capital 
34 Solteiro Superior 0 18,75 33 Capital 
35 Casado 2º Grau 2 19,40 48 Capital 
36 Casado Superior 3 21,90 42 Interior 
Fonte: Dados fictícios 
 
 
 Para agrupar os dados da variável quantitativa discreta Número de Filhos basta proceder à 
contagem para cada um dos valores diferentes da variável em estudo e construir a tabela de 
distribuição de freqüências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Tabela 6 – Freqüência absoluta, freqüência relativa percentual, freqüência acumulada e freqüência 
acumulada percentual dos 36 funcionários do departamento de recursos humanos da empresa 
GAMA, segundo a variável quantitativa discreta Número de Filhos. 
No de 
filhos 
Freqüência 
Absoluta fi 
Freqüência relativa 
percentual fri (%) 
Freqüência 
Acumulada Fi = Fac 
Freqüência Acumulada 
Relativa - FRi (%) 
0 
1 
2 
3 
5 
19 
4 
9 
3 
1 
52,78 
11,11 
25,00 
8,33 
2,78 
19 
23 
32 
35 
36 
52,78 
63,89 
88,89 
97,22 
100,00 
Total 36 100,00 ----- ----- 
 
 
 
2.3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS – VARIÁVEL CONTÍNUA (COM INTERVALOS DE CLASSE) 
 
Um dos objetivos de se construir a distribuição de freqüências é resumir o conjunto de dados. No 
caso de variáveis contínuas, não se pode construir a distribuição de freqüências listando os resultados 
um a um, pois não havendo observações iguais, não há redução dos dados em uma tabela. Desta 
forma, é interessante agrupar os resultados em classes não sobrepostas, calculadas de forma mais 
elaborada. 
Para agrupar os dados de uma variável contínua em classes, é necessário adotar classes de 
mesma amplitude, sempre que possível, e: 
1. Determinar a extensão (amplitude) total dos dados a tabelar; 
2. Determinar o número de classes não sobrepostas; 
3. Determinar a extensão (amplitude) de cada classe; 
4. Determinar os limites de classe. 
 
• Amplitude total de uma seqüência (At) ⇒ diferença entre o maior e o menor elemento de uma 
seqüência. Representa o comprimento total da seqüência. 
 
minmaxt xxA −= 
 
• Número de Classes (k) ⇒ existem vários critérios para se calcular o número de classes k. O 
mais utilizado é a fórmula empírica: 
 
nk = , onde n é o número de elementos observados. 
 
• Amplitude de classe (h) ⇒ é determinada por: 
k
Ah t= 
 
Neste ponto, é importante observar que o número de classes deve ser determinado 
adequadamente. Quando se adota um grande número de classes não há redução dos dados, enquanto 
que para um número pequeno de classes as informações podem ser perdidas. Sugere-se o uso de 5 a 
15 classes com a mesma amplitude. 
 
Exemplo: A partir da Tabela 5, computando as freqüências absolutas de cada classe para a variável 
quantitativa contínua salários, é possível construir a tabela de freqüências. Pode-se observar que estão 
tabelados 36 salários que vão de 4,00 até 21,90 salários mínimos. Portanto, calcula-se: 
Número de classes: nk = = 36 = 6 
Amplitude total: minmaxt xxA −= = 21,90 – 4,00 = 17,90 
 
 
9 
Amplitude de cada classe: 
k
Ah t= = 
6
9017,
 = 2,98 ≅ 3 
 
 
Tabela 7 – Freqüência absoluta, freqüência relativa percentual, freqüência acumulada e freqüência 
acumulada percentual dos 36 funcionários do departamento de recursos humanos da empresa 
GAMA, segundo a variável quantitativa contínua Salário. 
Classes de salário 
(x salário mínimo) 
Freqüência 
Absoluta fi 
Freqüência relativa 
percentual fri (%) 
Freqüência 
Acumulada Fi = Fac 
Freqüência Acumulada 
Relativa - FRi (%) 
4,00 a 7,00 
7,00 a 10,00 
10,00 a 13,00 
13,00 a 16,00 
16,00 a 19,00 
19,00 a 22,00 
7 
11 
6 
6 
4 
2 
19,44 
30,56 
16,67 
16,67 
11,11 
5,55 
7 
18 
24 
30 
34 
36 
19,44 
50,00 
66,67 
83,34 
94,45 
100,00 
Total 36 100,00 
 
 
Análise de alguns valores oriundos da distribuição de freqüências, apresentados na Tabela 7, 
como exemplo: 
11 funcionários recebem salários entre 7,00 e 10,00 s.m. 
16,67% dos funcionários, o que equivale a 6 funcionários, recebem salários entre 10,00 e 13,00 s.m. 
5,55% dos funcionários, o que equivale a 2 funcionários apenas, recebem os maiores salários, que 
situam-se entre 19,00 e 22,00 s.m. 
11,11% dos funcionários recebem salários entre 16,00 e 19,00 s.m. 
30 funcionários recebem menos que 16,00 s.m. ou salários entre 4,00 e 16,00 s.m. 
6 funcionários recebem pelo menos 16,00 s.m. 
66,67% dos funcionários recebem menos que 13,00 s.m. 
33,33% dos funcionários recebem pelo menos 13,00 s.m.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
LISTA 1 - Exercícios para fixação 
 
1. Declare se cada uma das seguintes variáveis é qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa 
(discreta ou contínua): 
a) Idade 
b) Gênero 
c) Marca de Automóveis 
d) Número de pessoas favoráveis à pena de morte 
e) Vendas anuais (em milhões de reais) de uma empresa brasileira 
f) Tamanho de camisetas (PP, P, M, G, GG) 
g) Lucro por ação de uma empresa 
h) Método de pagamento (à vista, com cheque, com cartão de crédito, etc) 
i) Vida útil de lâmpadas 
j) Sexo dos filhos de um casal 
k) Produção anual de automóveis marca FORD em uma capital 
l) Número de ações negociadas na BOVESPA 
m) Salário dos funcionários de uma empresa pública 
n) Índice de liquidez das indústrias da cidade de Bauru 
o) Classe social dos habitantes de um município 
p) Produção anual de café do Estado de São Paulo 
q) Grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa privada 
r) Peso de lutadores de boxe na categoria “Peso Pena” 
s) Número de livros existentes na biblioteca de uma universidade 
t) Altura de jovens selecionados para se tornarem jogadores de vôlei 
u) Consumo mensal de energia elétrica (em kWh) em um condomínio 
v) Patente militar 
w) Ocupação profissional 
x) Cargos hierárquicos em uma empresa 
y) Espessura de folhas de papel 
z) Número de acidentes de trânsito 
 
2. Na tabela abaixo, é mostrada a remuneração dos altos executivos CEOS (Chief Executive Officer), a 
classificação por setor, as vendas anuais e os dados de avaliação da remuneração dos CEOS versus o 
retorno dos acionistas para 10 empresas. Uma avaliação 1 da remuneração dos CEOS versus o retorno 
dos acionistas indica que a empresa está no grupo de empresas que tem a melhor relação. Uma 
avaliação 2 indica que a empresa é similar às empresas que tem uma relação muito boa, mas não a 
melhor. Empresas com a pior relação têm uma avaliação 5. 
Empresa 
Remuneração dos 
Altos Executivos 
(US$ 1000) 
Setor Vendas (US$ milhões) 
Remuneração dos 
Altos Executivos vs. 
Retorno dos Acionistas 
Bankers Trust 8.925 Bancário 9.565 3 
Coca Cola 2.437 Bebidas 18.546 5 
General Mills 1.410 Alimentação 5.567 1 
LSI Logic 696 Eletrônico 1.239 2 
Motorola 1.847 Eletrônico 27.973 4 
Readers Digest 1.490 Gráfico 2.9683 
Sears 3.414 Varejo 38.236 4 
Sprint 3.344 Telecomunicações 14.045 4 
Walgreen 1.490 Varejo 12.140 2 
Wells Fargo 2.861 Bancário 8.723 3 
Fonte: Business Week, 21 de abril de 1997. 
 
 
11 
a) Quantos elementos existem nesse conjunto de dados? 
b) Quantas variáveis existem nesse conjunto de dados? 
c) Quais variáveis são qualitativas e quais variáveis são quantitativas? 
d) Que porcentagem das empresas pertence ao setor bancário? 
e) Que porcentagem das empresas recebeu um valor 3 na avaliação da remuneração dos CEOS 
versus o retorno dos acionistas? 
 
4. A revista Fortune fornece dados sobre a classificação das 500 maiores corporações industriais dos 
Estados Unidos em termos de vendas e de lucros. Os dados para uma amostra de empresas da 
Fortune 500 estão na tabela abaixo. 
 
Empresa Vendas 
(US$ milhões) 
Lucros 
(US$ milhões) 
Código do Setor 
Banc One 10.272 1.427,0 8 
CPC Intl. 9.844 580,0 19 
Tyson Foods 6.454 87,0 19 
Hewlett-Packard 38.420 2.586,0 12 
Intel 20.847 5.157,0 15 
Northrup 8.071 234,0 2 
Seagate Tech. 8.588 213,3 11 
Unisys 6.371 49,7 10 
Westvaco 3.075 212,2 22 
Woolworth 8.092 168,7 48 
Fonte: Fortune, 28 de abril de 1997. 
 
a) Quantos elementos existem nesse conjunto de dados? 
b) Qual é a população? 
c) Quantas variáveis existem no conjunto de dados? 
d) Quais variáveis são qualitativas e quais são quantitativas? 
e) Que porcentagem de empresas teve um lucro acima de US$ 100 milhões? 
f) Que porcentagem de empresas tem código de setor 8? 
 
5. Suponha que um psicólogo queira fazer uma pesquisa sobre o comportamento do jovem de 11 a 14 
anos em quatro escolas: A, B, C e D. A escola A tem 1500 alunos; a escola B, 4000 alunos; a escola C, 
2000 alunos e a escola D, 2500 alunos; todos nessa faixa etária. A pesquisa foi aplicada a 200 jovens, 
escolhidos ao acaso. 
a) Construa uma distribuição de freqüência adotando essa amostra de 200 alunos de todas as 
escolas aleatoriamente. 
b) Qual é a escola com menor freqüência absoluta? Quantos alunos foram pesquisados nessa 
escola? 
c) Qual é a escola com maior freqüência relativa? Qual a porcentagem de alunos pesquisados 
nessa escola? 
d) Qual o número de alunos pesquisados na escola D? 
 
6. Complete as tabelas: 
 a) b) 
xi fi fri (%) xi fi fri (%) 
 0 1 20 5 
 1 15 25 45 
2 4 30 
3 25 35 30 
4 3 15 40 60 
5 2 45 30 
6 50 10 
7 1 Total 300 
Total 
 
 
 
 
 
12 
 
7. Contou-se o número de erros de impressão de um jornal durante 40 dias, obtendo-se os seguintes 
resultados: 
8 10 10 5 12 11 14 12 12 10 12 6 8 7 7 5 14 12 16 15 
7 10 12 18 15 6 12 8 9 11 16 15 5 12 6 7 14 10 12 8 
 
a) Classifique o tipo de variável que se quer analisar estatisticamente. 
b) Elabore o rol. 
c) Resuma os dados em uma tabela de freqüências. 
d) Qual a porcentagem de dias em que ocorreram menos que 10 erros? 
e) Qual a porcentagem de dias em que ocorreram pelo menos 15 erros? 
f) Qual a porcentagem de dias em que ocorreram mais que 12 erros? 
g) Qual o número de dias em que ocorreram 11 erros? 
h) Qual o número de dias em que ocorreram menos que 7 erros? 
i) Qual o número de dias em que ocorreram pelo menos 7 erros? 
 
8. Uma pesquisa sobre a idade completa (cheia) dos alunos de uma classe de calouros de uma 
faculdade, revelou os seguintes valores: 
18 17 18 20 21 19 20 18 17 19 
20 18 19 18 19 21 18 19 18 18 
19 19 21 20 17 19 19 18 18 19 
18 21 18 19 19 20 19 18 19 20 
18 19 19 18 20 20 18 19 18 18 
 
a) Agrupe por freqüência estes dados para variável quantitativa discreta idade completa dos 
calouros. 
b) Qual a porcentagem de calouros com pelo menos 20 anos? 
c) Quantos calouros têm menos que 20 anos? 
d) Quantos calouros têm mais que 18 anos? 
 
9. Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade selecionou 50 
caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas. Obteve os 
seguintes dados: 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 
1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 
0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 
1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 4 1 2 
Agrupe estes dados por freqüência, construa a distribuição de freqüências para variável discreta e 
responda: 
a) Qual a porcentagem de caixas com 2 peças defeituosas? 
b) Qual a porcentagem de caixas com menos que 2 peças defeituosas? 
c) Qual a porcentagem de caixas com pelo menos 2 peças defeituosas? 
d) Qual a porcentagem de caixas com mais que 2 peças defeituosas? 
e) Qual o número de caixas com 3 peças defeituosas? 
f) Qual o número de caixas com pelo menos 3 peças defeituosas? 
g) Qual o número de caixas com menos que 3 peças defeituosas? 
h) Qual o número de caixas em que não há peças defeituosas? 
 
10. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 
 
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 
1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 
5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 
2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 
5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 
 
 
13 
 
a) Construa uma distribuição de freqüências para a variável discreta. 
b) Qual a porcentagem de vezes que ocorreu face par? 
c) Qual a porcentagem de vezes que ocorreu a face 5? 
d) Qual o número de vezes que ocorreu face ímpar? 
e) Qual o número de vezes em que ocorreram números primos*? 
* Definição de número primo = números que possuem apenas dois divisores: o próprio número e o 
número 1. (Exceção: número 1). 
 
11. A tabela abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, 
por uma empresa comercial: 
14 12 11 13 14 13 
12 14 13 14 11 12 
12 14 10 13 15 11 
15 13 16 17 14 14 
a) Construa a distribuição de freqüências para a variável discreta. 
b) Em quantos dias as vendas foram superiores a 13 unidades? 
c) Qual a porcentagem de dias com vendas inferiores a 12 unidades? 
d) Em quantos dias as vendas foram inferiores a 15 unidades? 
e) Qual a porcentagem de dias com vendas de no mínimo 10 unidades? 
 
12. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de 
ônibus: 
No de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 
No de motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1 
Determine: 
a) O número de motoristas que não sofreram acidentes; 
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes; 
c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes; 
d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes; 
e) A porcentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes. 
 
13. Complete os dados que faltam na distribuição de freqüências: 
 a) b) 
Classes
 
fi fri (%) Classes fi fri (%) 
0a 8 10 0 a 2 2 4 
8a 16 10 2 a 4 8 
16a 24 14 4 a 6 9 
24a 32 9 13 
32a 40 8 a 10 16 
Total 40 10 a 12 12 
 
 14 a 16 3 
 
 
Total 
 
 
14. A SP Transportes Aéreos aceita reservas de vôo por telefone. Os seguintes dados mostram a 
duração das chamadas (em minutos) para uma amostra de 30 reservas feitas por telefone. 
 
2,1 4,8 5,5 10,4 7,5 8,9 3,3 3,5 5,8 4,8 
9,5 4,6 5,3 5,5 2,8 3,6 2,4 10,9 5,9 6,6 
7,8 10,5 11,0 4,7 7,5 6,0 4,5 4,8 11,2 4,3 
 
Determinar: 
a) A amplitude total At, o número de classes k e a amplitude de cada classe h; 
b) A distribuição de freqüências para a variável contínua; 
c) A porcentagem de ligações com duração menor que 8,0 minutos. 
 
 
14 
d) O número de ligações com pelo menos 4,0 minutos de duração. 
e) A porcentagem de ligações com duração entre 4,0 (inclusive) e 8,0 (exclusive) minutos. 
f) O número de ligações com duração maior ou igual a 8,0 minutos. 
 
15. As notas de 32 estudantes de uma classe são dadas abaixo: 
 
6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 
8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 
2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 
4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5 
 
Determinar: 
a) A amplitude total At, o número de classes k e a amplitude de cada classe h; 
b) A distribuição de freqüências para a variável contínua;c) A porcentagem de alunos que tiraram nota menor que 4,5; 
d) O número de alunos que tiraram nota menor que 7,5; 
e) O número de alunos que tiraram nota maior ou igual a 6,0; 
f) A porcentagem de alunos que tiraram nota entre 4,5 (inclusive) e 7,5 (exclusive); 
g) O limite superior da 2a classe; 
h) O limite inferior da 4a classe; 
i) O ponto médio da 3a classe. 
 
16. O departamento de pessoal de certa empresa fez um levantamento dos salários dos 80 funcionários 
do setor administrativo, obtendo os resultados da tabela de distribuição de freqüências dada abaixo: 
 
Faixa salarial (em no de salários mínimos) Freqüência absoluta - fi 
0 a 2 25 
2 a 4 30 
4 a 6 13 
6 a 8 12 
TOTAL 80 
Determinar: 
a) A porcentagem de funcionários que ganham menos que 4 salários mínimos. 
b) A porcentagem de funcionários que ganham pelo menos 4 salários mínimos. 
c) A porcentagem de funcionários que ganham 2 ou mais salários mínimos. 
d) A porcentagem de funcionários que ganham entre 2 (inclusive) e 6 (exclusive) salários mínimos. 
e) A amplitude da 4ª classe. 
f) O limite superior da 2ª classe. 
g) O limite inferior da 4ª classe. 
 
17. Os dados abaixo referem-se ao consumo mensal de energia elétrica (kWh) em um condomínio 
residencial: 
9520 8720 7760 8720 7840 8560 8480 9360 12480 
7440 7920 7200 8880 8880 7920 10320 9360 11200 
6880 7520 7200 7760 8480 8320 8560 9600 11360 
7680 7680 7440 7760 8480 9440 8560 12960 12960 
8880 8240 8240 7840 8880 8480 8800 13280 14560 
6640 6960 8480 8880 8880 8320 8560 13200 13200 
6720 7760 6880 7760 8320 8560 8560 12800 12480 
7120 7120 7360 9360 8240 8480 13840 8960 14000 
 
Construa a distribuição de freqüências para esses dados, adotando 9 classes com amplitudes idênticas 
e responda: 
a) Qual a porcentagem de meses em que o consumo foi pelo menos 10.000 kWh? 
b) Qual a porcentagem de meses em que o consumo ficou entre 9.000 e 11.000 kWh (exclusive)? 
c) Qual a porcentagem de meses em que o consumo foi inferior a 13.000 kWh? 
 
 
15 
d) Qual o número de meses em que o consumo foi igual ou superior a 8.000 kWh? 
e) Qual o número de meses em que o consumo foi inferior a 10.000 kWh? 
 
18. Construa a distribuição de freqüências para a série abaixo, que representa uma amostra dos 
salários (em R$) de 25 funcionários selecionados em uma empresa. 
 
Classe 
 
Salários R$ (xi) 
 
No de funcionários (fi) 
fr i (%) Fac FR i (%) 
 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
1.000,00 a 1.200,00 
1.200,00 a 1.400,00 
1.400,00 a 1.600,00 
1.600,00 a 1.800,00 
1.800,00 a 2.000,00 
 
2 
6 
10 
5 
2 
 
 
 
a) Determine o salário médio de cada uma das 5 classes. 
b) Calcule a porcentagem de funcionários que ganham salários pelo menos de R$1.600,00. 
c) Determine o número de funcionários que recebem salários inferiores a R$ 1.400,00. 
d) Determine o número de funcionários que recebem salários iguais ou superiores a R$ 1.800,00. 
e) Calcule a porcentagem de funcionários que recebem salário no mínimo de R$ 1.200,00. 
 
 19. Os pesos (em kg) dos 40 alunos de uma classe são dados abaixo: 
 
69 57 72 54 92 68 72 58 64 62 
65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 
60 81 71 67 63 64 53 73 81 50 
95 49 53 65 62 60 55 74 96 75 
 
Coloque os dados numa tabela de freqüências que contenha as freqüências absolutas, freqüências 
relativas, porcentagens acumuladas crescentes e pontos médios das classes. 
 
20. A tabela abaixo representa a distribuição das espessuras (em mm) de 100 folhas de tabaco: 
 
2,01 2,08 1,96 3,04 2,01 3,18 1,94 2,19 2,24 2,18 
2,59 1,96 2,29 3,18 2,09 1,96 2,06 2,18 2,05 2,04 
2,43 1,56 1,94 3,15 2,35 2,08 2,56 2,17 1,96 1,59 
2,22 2,34 2,24 1,95 2,01 3,12 3,03 3,12 2,04 1,66 
1,87 2,49 3,12 2,24 1,76 3,20 2,38 1,58 1,89 1,98 
1,89 1,71 2,42 1,62 1,97 2,18 1,69 3,14 2,18 3,06 
2,40 1,96 3,01 2,19 2,25 1,45 1,93 2,06 1,83 1,84 
1,91 2,11 1,78 2,36 2,33 3,17 2,03 1,87 3,11 2,17 
1,72 1,62 1,99 1,64 1,54 2,26 1,86 2,09 1,74 1,92 
2,36 1,82 2,02 2,25 1,75 3,15 3,18 1,99 1,76 2,51 
 
Pede-se: A amplitude total, o número recomendado de classes, a amplitude das classes, a freqüência 
absoluta das classes, a freqüência relativa das classes e a freqüência acumulada das classes. Depois, 
calcule: 
 a) Qual a porcentagem de folhas com espessuras iguais ou superiores a 2,00 mm? 
 b) Qual o número de folhas com espessuras inferiores a 2,00 mm? 
 c) Qual o número de folhas com espessuras entre 1,80 mm (inclusive) e 2,20 mm (exclusive)? 
 d) Qual a porcentagem de folhas com espessuras inferiores a 2,60 mm? 
 
21. O Aedes aegypti é vetor transmissor da dengue. Uma pesquisa feita em São Luís – MA, de 2000 a 
2002, mapeou os tipos de reservatório onde esse mosquito era encontrado. A tabela abaixo mostra 
parte dos dados coletados nessa pesquisa. 
 
 
16 
 
Se mantido o percentual de redução da população total de Aedes aegypti observada de 2001 para 
2002, teria sido encontrado, em 2003, um número total de mosquitos: 
a) menor que 5.000. 
b) maior que 5.000 e menor que 10.000. 
c) maior que 10.000 e menor que 15.000. 
d) maior que 15.000 e menor que 20.000. 
e) maior que 20.000. 
 
22. Os principais motivos alegados por 30.000 devedores, pesquisados em uma região metropolitana, 
ao justificarem atrasos no pagamento do crediário, estão listados na tabela abaixo: 
JUSTIFICATIVAS PARA ATRASO NO PAGAMENTO DO CREDIÁRIO 
A compra era para outra pessoa 18% 
Salário atrasado 17% 
Estar sem dinheiro 12% 
Perda do emprego 12% 
Gastou o dinheiro com outras coisas 8% 
Esquecimento ou falta de tempo 5% 
 
a) Qual a frequência relativa das pessoas que apresentaram outras justificativas? 
b) Quais as frequências absolutas para cada tipo de devedor? 
 
23. Os brasileiros tiveram, em junho, o maior tempo de navegação residencial na internet entre onze 
países monitorados pelo Ibope/NetRatings: média mensal de 16 horas e 54 minutos por pessoa. O país 
ficou à frente de nações como a França, Japão, Estados Unidos e Espanha. (Adaptado. Folha de S.Paulo, 2005) 
2005 -
 
Com base na tabela e no texto acima, analise os possíveis motivos para a liderança do Brasil no tempo 
de uso da internet. 
I - O país tem uma estrutura populacional com maior percentual de jovens do que os países da Europa 
e os EUA. 
II - O uso de internet em casa se distribui igualmente entre as classes A, B e C, o que demonstra 
iniciativas de inclusão digital. 
III - A adesão ao sistema de internet por banda larga ocorre, porque essa tecnologia promove a 
mudança de comportamento dos usuários. 
 
Está correto, apenas, o que se afirma em: 
a) I b) II c) III d) I e II e) II e III 
 
 
17 
CAPÍTULO 2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS SÉRIES 
ESTATÍSTICAS 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D.J. & WILLIAMS, T.A. Estatística Aplicada à Administração e 
Economia. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
2. LAPPONI, J.C. Estatística usando o Excel. 4.ed. São Paulo: Campus, 2005. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A. & DONAIRE D. Princípios de Estatística. 4a ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
5. MEDEIROS, E. Silva e colaboradores. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e 
Ciências Contábeis. vol.1. 3.ed. São Paulo: Atlas,1999. 
6. TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
No item anterior mostrou-se a utilidade das tabelas como instrumento de apresentação e análise 
de dados estatísticos. 
A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação tabular. Uma das 
maneiras mais concisas de se apresentar os dados estatísticos de uma tabela é através de gráficos. A 
principal vantagem de um gráfico sobre uma tabela é que ele permite conseguir uma visualização 
imediata da distribuição dos valores observados. Os gráficos propiciam uma idéia preliminar mais 
satisfatória da concentração e dispersão de valores, uma vez que através deles, os dados estatísticos 
se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis.Além disso, os fatos essenciais e 
as relações que poderiam ser difíceis de reconhecer em massas de dados estatísticos podem ser 
observados mais claramente através dos gráficos. 
 
DIFERENTES TIPOS DE REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
A distribuição de freqüências, tanto de variáveis discretas como de variáveis contínuas, pode ser 
interpretada mais facilmente quando os valores dessas variáveis são apresentados em forma de 
gráficos. 
 A estatística utiliza vários tipos de gráficos: de barras, de colunas, de linhas, de setores, 
histogramas e polígonos de freqüência. 
 
 
A) GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS SIMPLES 
 
Um gráfico de colunas é um dispositivo gráfico para retratar os dados qualitativos ou 
quantitativos discretos que foram sintetizados em uma distribuição de freqüências absolutas, 
freqüências relativas ou freqüências relativas percentuais. No eixo horizontal do gráfico são 
especificados os rótulos usados para cada classe. A escala de freqüências é colocada no eixo vertical. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, são apresentados dados de uma distribuição ocupacional na região 
amazônica de uma amostra de 180 trabalhadores. 
 
Ocupação Freqüência Absoluta 
Trabalho não qualificado 65 
Artesanato 52 
Serviços burocráticos 34 
Gerencial 29 
Fonte: Hanan, H.S. & Batalha, B.H.L. Amazônia: contradições 
no paraíso ecológico. São Paulo: Cultura, 1999. 
 
 
18 
Representando-se, graficamente, com colunas simples, a variável qualitativa Ocupação na região 
amazônica, têm-se: 
Serviços 
Burocráticos
Gerencial
Trabalho Não 
Qualificado
Artesanato
0
10
20
30
40
50
60
70
80
FR
EQ
ÜÊ
N
CI
A
 
A
B
SO
LU
TA
OCUPAÇÃO
 
 
Um gráfico de barras simples serve para retratar o mesmo tipo de variável que o gráfico de 
colunas simples, ou seja, variáveis qualitativas ou quantitativas discretas. A diferença entre o gráfico de 
colunas e de barras é que no eixo vertical do gráfico de barras são especificados os rótulos usados para 
cada classe e a escala de freqüências é colocada no eixo horizontal. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, são apresentados dados da produção nacional de madeira por região 
brasileira em porcentagem. 
Região Freqüência Relativa (%) 
Sudeste 4 
Centro-Oeste 7 
Norte 20 
Sul 69 
Fonte: Revista de Silvicultura, dez 1999. 
 
Representando-se, graficamente, com barras simples, a variável quantitativa Produção de Madeira por 
região brasileira, têm-se: 
0 10 20 30 40 50 60 70 80
SUDESTE
CENTRO-OESTE
NORTE
SUL
PRODUÇÃO DE MADEIRA
Freqüência Relativa (%)
RE
G
IÃ
O
 
BR
AS
IL
EI
RA
 
 
 
19 
B) GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS 
 
É a representação gráfica em que os retângulos referentes a determinado dado são dispostos 
um ao lado do outro, evidenciando suas diferenças, para facilitar a comparação entre eles. Serve para 
retratar os dados qualitativos ou quantitativos discretos. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo está indicada a quantidade de lixo gerado em dois bairros da periferia da 
cidade de São Paulo. 
 Quantidade de Lixo (freqüência absoluta) 
Anos Bairro A (1000 ton) Bairro B (1000 ton) 
2001 8.000 6.000 
2002 12.000 11.000 
2003 13.000 11.000 
2004 15.000 12.000 
2005 15.000 14.000 
Fonte: Envolverde - Revista Digital de Ambiente, Educação e Cidadania, abr 2006. 
 
Representando-se, graficamente, com colunas duplas, a variável quantitativa Quantidade de Lixo em 
dois bairros da cidade de São Paulo, têm-se: 
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
2001 2002 2003 2004 2005
QU
A
N
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D
A
D
E 
D
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(10
00
 
to
n
)
ANOS
 
 
C) GRÁFICO DE SETORES 
 
O gráfico de setores ou pizza é um dispositivo gráfico comumente usado para apresentar as 
distribuições de freqüência relativa. Sua construção é feita com base em um círculo que é dividido em 
setores com áreas proporcionais às freqüências das diversas categorias. Este gráfico serve para 
retratar, principalmente, dados qualitativos. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, é apresentada a distribuição dos cinco refrigerantes mais vendidos no país. 
Refrigerante Mais Vendido Freqüência Relativa fri (%) Ângulo (graus) 
Coca-cola 38 136,80 
Guaraná Antarctica 26 93,60 
Pepsi-cola 16 57,60 
Coca-cola light 11 39,60 
Sprite 9 32,40 
Total 100 360,00 
Fonte: Revista Bares e Restaurantes, edição 51, Brasil, set 2006. 
 
 
20 
Para que o ângulo correspondente a cada setor seja determinado, utiliza-se regra de três simples: 
 
 100 � 3600 
 38 � x ⇒ °== 80,136
100
360.38
x 
Determina-se, analogamente, os ângulos dos outros setores. 
 
Representando-se, graficamente, com um gráfico de setores, a variável qualitativa Refrigerante 
Mais Vendido no país, têm-se: 
COCA-COLA
38%
GUARANÁ ANTARCTICA
26%
COCA-COLA LIGHT
11%
PEPSI-COLA
16%
SPRITE
9%
 
 
 
 
D) GRÁFICO DE LINHA 
 
É uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas 
cartesianas. Neste tipo de gráfico se utiliza uma linha poligonal para representar a série estatística. É 
útil para se visualizar a variação de uma grandeza em relação à outra. Este gráfico serve para retratar 
dados quantitativos. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, está indicada a variável quantitativa discreta Produção Brasileira de 
Petróleo de 2000 a 2004. 
 
Anos Produção Brasileira de Petróleo (milhões de litros) 
(freqüência absoluta) 
1997 65920 
1998 66845 
1999 69738 
2000 71844 
2001 75014 
2002 84434 
2003 87024 
2004 86197 
2005 89587 
Fonte: Ministério de Minas e Energia, 2007. 
 
 
 
21 
 Determinados, graficamente, todos os pontos da série usando os pares ordenados, o ano no 
eixo horizontal e as quantidades no eixo vertical, ligam-se esses pontos, dois a dois, por segmentos de 
reta, o que gera uma linha poligonal, que é o gráfico em linha correspondente à série em estudo. 
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
64
68
72
76
80
84
88
92
 
 
PR
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ÃO
 
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BR
AS
IL
(bi
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s)
ANO
 
 
E) GRÁFICO DE LINHAS MÚLTIPLAS 
 
É uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas 
cartesianas. Neste tipo de gráfico se utiliza linhas poligonais para representar as séries estatísticas. É 
útil para comparar a variação de uma grandeza em relação à outra. Este gráfico serve para retratar 
dados quantitativos. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, estão indicadas as variáveis quantitativas Oferta e Demanda de Etanol no 
Brasil de 1997 a 2005. 
 
Oferta e Demanda de Etanol no Brasil (bilhões de litros) 
(freqüência absoluta) 
Anos 
Oferta Demanda 
1997 15,49 7,51 
1998 14,12 3,38 
1999 12,98 3,02 
2000 10,61 2,81 
2001 11,50 5,56 
2002 12,62 8,75 
2003 14,73 12,23 
2004 15,10 13,53 
2005 16,05 15,02 
Fonte: Embrapa - Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento, 2007. 
 
Determinados, graficamente, todos os pontos das séries usando os pares ordenados, o ano no eixo 
horizontal e as quantidades no eixo vertical, ligam-se esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, 
para cada uma das variáveis, gerando, nesse caso, duas linhas poligonais (podem ser múltiplas), que é 
o gráfico em linhas correspondente às séries em estudo. 
 
 
22 
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
0
2
4
6
8
10
12
14
16
 
 
OFERTA
 DEMANDA
OF
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NO
 
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de
 
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ANO
 
 
F) HISTOGRAMAS 
 
Representação gráfica da distribuição de freqüências somente de variável contínua. 
 
Os dados agrupados em intervalos de classe podem ser representados graficamente por meio 
de um histograma. O histograma é uma representação gráfica formada por retângulos justapostos, 
cujas bases se apóiam no eixo horizontal. A altura de cada retângulo deve ser proporcional à freqüência 
correspondente a cada classe e o ponto médio da base de cada retângulo deve coincidir com o ponto 
médio do respectivo intervalo de classe. 
 
Exemplo: Na tabelaabaixo está indicado o número de famílias brasileiras de acordo com o número de 
salários mínimos que cada uma delas tem como renda familiar mensal. 
 
Renda Familiar Mensal 
Número de Salários Mínimos 
Número de Famílias (milhões) 
(freqüência absoluta) 
10 a 13200 
21a 15000 
32 a 6900 
43 a 3800 
54 a 4000 
65a 3250 
76 a 1560 
87 a 1300 
98a 900 
109 a 500 
Fonte: IBGE, 2005. 
 
 
 
23 
Representando-se, graficamente, por meio de um histograma, a variável quantitativa contínua 
Renda Familiar Mensal no país, têm-se: 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RENDA FAMILIAR MENSAL (SALÁRIOS MÍNIMOS)
N
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ER
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D
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FA
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A
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ÕE
S)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
LISTA 2 - Exercícios para fixação 
 
1. Estes quatro gráficos, na ordem em que são apresentados (1, 2, 3, 4), denominam-se: 
 
 GRÁFICO 1 GRÁFICO 2 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RENDA FAMILIAR MENSAL (SALÁRIOS MÍNIMOS)
N
ÚM
ER
O
 
D
E 
FA
M
ÍLI
A
S 
(M
IL
H
ÕE
S)
 
Serviços 
Burocráticos
Gerencial
Trabalho Não 
Qualificado
Artesanato
0
10
20
30
40
50
60
70
80
FR
EQ
ÜÊ
N
CI
A
 
A
B
SO
LU
TA
OCUPAÇÃO
 
 
 GRÁFICO 3 GRÁFICO 4 
0
20000
40000
60000
80000
100000
 2000 2001 2002 2003 2004
 ANO
PR
O
D
U
ÇÃ
O
 
D
E 
PE
TR
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EO
 
(m
il 
m
3 )
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80
SUDESTE
CENTRO-OESTE
NORTE
SUL
PRODUÇÃO DE MADEIRA
Freqüência Relativa (%)
RE
G
IÃ
O
 
BR
AS
IL
EI
RA
 
 
a) Colunas simples, colunas simples, polígono de freqüência, barras simples. 
b) Colunas múltiplas, histograma, linha, barras múltiplas. 
c) Histograma, colunas simples, linha, barras simples. 
d) Histograma, colunas simples, polígono de freqüência, barras simples. 
e) Colunas múltiplas, colunas simples, diagrama de dispersão, barras simples. 
 
2. Representar graficamente a distribuição de freqüências da empresa Delta, segundo o número de 
faltas mensais, como um gráfico de colunas simples para variável discreta. 
 
No de faltas do mês 0 1 2 3 4 5 6 
No de operários 
(freqüência absoluta) 
 
160 
 
120 
 
90 
 
70 
 
40 
 
20 
 
10 
Fonte: Dados hipotéticos. 
 
 
3. Construir um gráfico de colunas simples segundo os dados abaixo: 
 
Número de alunos matriculados de 5a a 8a séries em 2002 por região brasileira 
Região No de Alunos 
Norte 1.187.917 
Nordeste 5.147.767 
Centro-Oeste 1.271.778 
Sudeste 6.045.132 
Sul 2.117.381 
Fonte: www.inep.gov.br 
 
 
 
25 
4. Construir um gráfico de barras simples segundo os dados abaixo: 
 
Turistas estrangeiros no Brasil - Cidades mais visitadas em 2003 
Cidade Porcentagem 
(freqüência relativa) 
Rio de Janeiro 22,60 
São Paulo 3,00 
Salvador 17,20 
Fortaleza 48,60 
Recife 8,10 
Outras 0,60 
Fonte: Embratur, 2005. 
 
 
5. Construir um gráfico de setores para os dados tabelados em cada um dos itens abaixo. 
 
a) 
Estimativa da safra de grãos em 2004 por região brasileira 
Região Porcentagem 
(freqüência relativa) 
Norte 3 
Nordeste 8 
Sudeste 15 
Centro-Oeste 33 
Sul 41 
Fonte: IBGE, 2004. 
 
b) 
Profissão preferida no vestibular 2003 em universidades particulares 
Profissão Porcentagem 
(freqüência relativa) 
Administração 21,1 
Direito 18,4 
Odontologia 14,8 
Engenharia 13,8 
Medicina 10,5 
Pedagogia 3,0 
Outros 18,4 
Fonte: Centro de Pesquisas Confiança, 2005. 
 
c) 
Número de veículos motorizados registrados em Santa Vitória/MG 
Tipo de Veículo Quantidade 
(freqüência absoluta) 
Carro de passageiro 585 
Minivan 75 
Caminhão de 2 eixos 60 
Caminhão de Multieixo 30 
Moto 315 
Barco a motor 15 
Fonte: Dados hipotéticos. 
 
 
 
 
 
 
 
26 
6. Construir um gráfico de barras múltiplas para representar a evolução ao longo das décadas da 
população urbana e rural brasileira. 
 
 População (%) 
Anos Urbana Rural 
1950 36,16 63,84 
1960 45,08 54,92 
1970 55,94 44,06 
1980 67,59 32,41 
1990 75,59 24,41 
2000 81,25 18,75 
2005 83,01 16,99 
Fonte: www.ibge.gov.br 
 
7. Em todas as Olimpíadas que participou até 2004, o Brasil conquistou medalhas em apenas 11 
modalidades. Construir um gráfico de colunas múltiplas para representar essas modalidades e o 
número de medalhas conquistadas em cada uma delas. 
 
 MEDALHAS 
Modalidades Ouro Prata Bronze 
Vela 6 2 6 
Atletismo 3 3 7 
Judô 2 3 7 
Vôlei 2 1 2 
Tiro Esportivo 1 1 1 
Vôlei de Praia 2 4 1 
Natação 0 3 6 
Futebol 0 3 1 
Basquete 0 1 4 
Boxe 0 0 1 
Hipismo 1 0 2 
Fonte: COB, 2005. 
 
8. Construir um gráfico de linha segundo os dados abaixo: 
 
Anos Produção de Feijão 
(milhões de toneladas) 
2000 4,3 
2001 3,9 
2002 4,3 
2003 4,4 
2004 4,3 
2005 3,9 
Fonte: www.conab.gov.br 
 
9. Construir um gráfico de linhas duplas segundo os dados abaixo: 
 
 Participação de homens e mulheres no mercado de trabalho (%) 
Anos Homens Mulheres 
1975 71,2 28,8 
1985 66,5 33,5 
1995 59,6 40,4 
2005 57,6 42,4 
Fonte: www.fcc.org.br 
 
 
 
27 
10. Os dados abaixo representam a massa, em quilogramas, de uma amostra de 50 bebês nascidos na 
Maternidade São Bento no período de 30 dias. Construa o histograma que represente os valores da 
freqüência relativa. 
Massa (kg) No de bebês % de bebês 
1,0 a 1,5 2 4 
1,5 a 2,0 2 4 
2,0 a 2,5 4 8 
2,5 a 3,0 14 28 
3,0 a 3,5 23 46 
3,5 a 4,0 5 10 
Total 50 100 
Fonte: Registro da Maternidade São Bento, 2003. 
11. Os dados abaixo representam a vida útil, em horas, de 260 lâmpadas de certa indústria na cidade 
de Jacareí. Construir o histograma correspondente a essa distribuição. 
 
Duração (horas) No de lâmpadas 
300 a 400 12 
400 a 500 28 
500 a 600 36 
600 a 700 48 
700 a 800 60 
800 a 900 50 
900 a 1000 26 
Total 260 
Fonte: Dados hipotéticos. 
 
12. O histograma abaixo representa a distribuição das notas de português dos 600 alunos de uma 
escola num determinado mês. 
 
 fri (%) 
 38% 
 
 
 
 
 
 
 20% 20% 
 
 
 12% 
 10% 
 
 
 0 2 4 6 8 10 notas 
 
a) Construa a tabela de distribuição de freqüências para as notas representadas no histograma acima 
(com fi, fri (%), Fac, FRi (%) e pontos médios das classes). 
b) Qual é o número de alunos com notas menores que 4,0? 
c) Qual é o número de alunos com notas entre 8,0 e 10,0? 
 
 
 
 
 
 
28 
13. Do lixo produzido no Brasil, diariamente, 60.000 toneladas são de papel, 7.200 toneladas de 
plástico, 19.200 toneladas de metais, 4.800 toneladas de vidro e 148.800 toneladas são provenientes de 
outros materiais, totalizando 240.000 toneladas de lixo por dia (www.cempre.org.br). Observe os gráficos 
de setores abaixo e indique qual é o mais adequado para representar essas informações. 
 A B C D 
 
14. Um grupo de estudantes de enfermagem fez uma pesquisa sobre o tipo de sangue contido nos 540 
frascos de um banco de sangue de certo hospital. Para resumirem os dados encontrados, os 
estudantes construíram um gráfico de setores e, no lugar das porcentagens, indicaram os ângulos de 
alguns desses setores circulares, como é mostrado na figura abaixo (Hospital São Bento). Calcule o 
número de frascos que contém sangue tipo B. 
Tipo O
 162o
Tipo AB
 36o
Tipo B
 Xo
Tipo A
 108o
 
15. O gráfico abaixo representa, em milhares de toneladas, a produção de soja do estado de São Paulo 
entre os anos de 1997 e 2005 (Brasil Pesquisas, 2006). Calcule o decréscimopercentual entre os anos de 
2000 e 2001 e o acréscimo percentual entre os anos de 2001 e 2002. 
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
20
30
40
50
60
70
 
 
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29 
16. Um estudo caracterizou cinco ambientes aquáticos, nomeados de A a E, em uma região, medindo 
parâmetros físico-químicos de cada um deles, incluindo o pH nos ambientes. O Gráfico I representa os 
valores de pH dos cinco ambientes. 
 
 Gráfico I Gráfico II 
 
Utilizando o Gráfico II, que representa a distribuição estatística de espécies em diferentes faixas de pH, 
pode-se esperar um maior número de espécies no ambiente: 
a) A b) B c) C d) D e) E 
 
17. A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como 
mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de 
futebol do Rio de Janeiro. 
 
 
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino 
Médio é de aproximadamente: 
a) 14% b) 48% c) 54% d) 60% e) 68% 
 
18. No gráfico abaixo pode-se observar como são divididos os 188 bilhões de reais do orçamento da 
União entre os setores de saúde, educação, previdência e outros. 
 
 
 
 
30 
Se os 46 bilhões gastos com a previdência fossem totalmente repassados aos demais setores de modo 
que 50% fossem destinados à saúde, 40% à educação e 10% aos outros setores, o aumento percentual 
para o setor de saúde seria igual, aproximadamente, a: 
a) 121% b) 69% c) 65% d) 61% e) 50% 
 
19. Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos de 
poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos de setores abaixo estão representadas 
as porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental. 
 
 
 X Y Z 
 
 
 
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate à 
poluição em cada uma delas seria, respectivamente: 
 
 
 X Y Z 
a) Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle de emissão de gases 
b) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Controle de emissão de gases 
c) Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle de despejo industrial 
d) Controle de emissão de gases Controle de despejo industrial Esgotamento sanitário 
e) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Esgotamento sanitário 
 
 
20. O gráfico abaixo mostra uma triste realidade brasileira: a desigualdade racial associada à renda do 
trabalhador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico, julgue as sentenças abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F): 
a) Além da desigualdade racial, há uma desigualdade salarial entre os sexos. ( ) 
b) A desigualdade salarial entre os sexos é maior entre os negros. ( ) 
 
 
31 
c) Em média, o salário dos negros é metade do salário dos não-negros, independentemente do 
sexo. ( ) 
d) Para que um homem negro recebesse, por hora, o mesmo valor que uma mulher não-negra, seu 
rendimento por hora deveria aumentar 50%. ( ) 
e) Para que uma mulher negra recebesse, por hora, o mesmo valor que uma mulher não-negra, seu 
rendimento por hora deveria aumentar aproximadamente 100%. ( ) 
 
21. Com base no gráfico abaixo, é correto afirmar que: 
 
No total de pousos e decolagens em alguns aeroportos 
 do país entre 2003 e setembro de 2006 
 
 
 Dados: Infraero 
a) Até setembro de 2006, houve mais de 300 mil pousos e decolagens em aeroportos de São Paulo. 
b) O aeroporto do Galeão registrou acréscimo de mais de 40% nos pousos e decolagens de 2004 a 
setembro de 2006. 
c) Houve, no aeroporto de Brasília, redução de mais de 6 mil pousos e decolagens de 2004 a 2005. 
d) Se a média mensal de pousos e decolagens registrada em Congonhas até setembro de 2006 se 
mantivesse até o final do ano, o total anual de 2006 ultrapassaria 220 mil vôos. 
e) O aeroporto de Congonhas registrou uma taxa de variação percentual menor que 2% nos pousos e 
decolagens no período de 2003 a 2005. 
 
22. No gráfico de colunas abaixo, está representado o número de rádio emissoras por região brasileira 
no ano 2000. Analisando-o, classifique em V ou F cada sentença seguinte: 
 
 
 
 
32 
a) Se esse conjunto de dados fosse representado em um gráfico de setores, o ângulo correspondente à 
região Sul seria menor que 90º. ( ) 
b) Na região Centro-Oeste há 2,27% das rádios emissoras brasileiras. ( ) 
c) O número de rádio emissoras na região Sudeste é 60% maior que na região Nordeste. ( ) 
d) Na região Norte há, apenas, 5,73% das rádio emissoras de todo o país. ( ) 
e) Nas regiões Sul e Sudeste estão mais de 60% das rádio emissoras de todo o país. ( ) 
 
23. Para o cálculo da inflação, utiliza-se, entre outros, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor 
Amplo (IPCA), que toma como base os gastos das famílias residentes nas áreas urbanas, com 
rendimentos mensais compreendidos entre um e quarenta salários mínimos. O gráfico a seguir mostra 
as variações do IPCA de quatro capitais brasileiras no mês de maio de 2008. 
 
 
Com base no gráfico qual foi o item 
determinante para a inflação de maio de 
2008? 
 
a) Alimentação e bebidas. 
 
b) Artigos de residência. 
 
c) Transportes. 
 
d) Vestuário. 
 
e) Habitação. 
 
 
 
 
 
24. “A Contagem da População, iniciada no dia 16 de abril, cobriu 5.435 municípios com até 170 mil 
habitantes, o correspondente a 97% dos municípios brasileiros, recenseando 108,7 milhões de pessoas. 
Esse número equivale a 60% da população estimada, residente em 30 milhões de domicílios (57% do 
existente no país). A grande inovação tecnológica dos Censos 2007 foi a utilização de 82 mil 
computadores de mão (PDA`s), em substituição aos tradicionais questionários de papel. Essa operação 
envolveu mais de 90 mil pessoas em todo o país. Dotados de equipamentos de GPS (Sistema de 
Posicionamento Global, em português), eles possibilitaram a exata localização dos recenseadores nas 
áreas de coleta (setores censitários). As vantagens foram inúmeras, principalmente no que diz respeito 
à rapidez e agilidade nas entrevistas, processamento das informações recolhidas e comunicação dos 
resultados à sociedade. “ Fonte: IBGE. 
Os resultados da pesquisa estão representados no gráfico de setores a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
Observando o gráfico de setores podemos afirmar que: 
a) a maior população se concentra na região sul. 
b) a menor população se concentra na região centro-oeste. 
c) a menor população se concentra na região sudeste. 
d) a menor população se concentra na região nordeste. 
e) a maior população se concentra na região norte. 
 
25. Em um estudo feito pelo Instituto Florestal, foi possível acompanhar a evolução de ecossistemas 
paulistas desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário Florestal de São Paulo, que mostrou 
resultados de décadas de transformações da Mata Atlântica. 
 
 
 
Examinando o gráfico da área de vegetação natural remanescente (em mil km2) pode-se inferir que: 
a) a Mata Atlântica teve sua área devastada em 50% entre 1963 e 1973. 
b) a vegetação natural da Mata Atlântica aumentou antes da década de 60, mas reduziu nas décadas 
posteriores. 
c) a devastação da Mata Atlântica remanescente vem sendo contida desde a década de 60. 
d) nos anos 2000-2001, a área de Mata Atlântica preservada em relação ao período de 1990-1992 foi 
de 34,6%. 
e) nos anos 2000-2001, a área preservada da Mata Atlântica é maior do que a registrada no período de 
1990-1992. 
 
26. O analfabetismo é um problema social que atinge parte da população brasileira. Observe o gráfico 
decolunas abaixo, obtido pelo IBGE em 2003, que mostra o número de pessoas com 5 anos ou mais 
de idade não-alfabetizadas nas cinco regiões do Brasil. 
 
Considerando que, segundo o último censo, a população brasileira era de, aproximadamente, 
180.762.400 habitantes, a porcentagem de pessoas não-alfabetizadas no Brasil é igual a: 
a) 88% b) 78 % c) 68% d) 12% e) 10% 
 
 
34 
CAPÍTULO 3 - MEDIDAS QUANTITATIVAS 
 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D.J. & WILLIAMS, T.A. Estatística Aplicada à Administração e 
Economia. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
2. BUSSAB, W. O. & MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 
2002. 
3. DOWNING, D. & CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2002. 
4. LAPPONI, J.C. Estatística usando o Excel. 4.ed. São Paulo: Campus, 2005. 
5. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
6. MARTINS, G. A. & DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
7. MEDEIROS, E. S. e colaboradores. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e 
Ciências Contábeis. Vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
8. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: Harbra Harper How do 
Brasil, 2001. 
9. TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de dados numéricos. Para 
interpretar os dados corretamente é necessário, primeiramente, organizar e sumarizar os números. Um 
conjunto de números pode reduzir-se a uma ou a algumas medidas numéricas que resumem todo o 
conjunto. Usualmente, empregam-se as seguintes medidas: 
 
1.1 Medidas de posição (tendência central) = média aritmética simples e ponderada, mediana e moda. 
1.2 Medidas Separatrizes = quartis, decis, percentis, etc. 
1.3 Medidas de dispersão (dispersão de números) = amplitude total, variância, desvio padrão e 
coeficiente de variação. 
 
 
1.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO (TENDÊNCIA CENTRAL) 
 
A) DADOS BRUTOS OU ROL 
 
A.1 Média Aritmética ⇒ Notação: x 
 
Calcula-se a média aritmética efetuando-se a soma das observações dividida pelo número total 
de observações. 
n
x
x
n
1i
i∑
=
=
 
 
Exemplo 1: Durante um determinado mês de verão, os quinze vendedores de uma empresa de 
calefação central e ar condicionado venderam os seguintes números de ar condicionado central: 8, 11, 
12, 5, 14, 12, 8, 11, 16, 12, 12, 17, 7, 9, 11. Considerando este mês como uma população estatística de 
interesse, o número médio de unidades vendidas é: 
 
11
15
1197171212161181214512118
x =
++++++++++++++
= 
 
 
 
 
35 
A.2 Média Aritmética Ponderada ⇒ Notação: x 
 
Exemplo 2: Considere a situação em que um professor informe que os pesos das notas bimestrais, 
são: 1o bimestre - peso 2; 2o bimestre - peso 2; 3o bimestre - peso 3; 4o bimestre - peso 3. O aluno 
obteve as seguintes notas em Estatística: 6,0; 8,0; 9,0 e 5,0, em cada bimestre, respectivamente. 
O cálculo da média ponderada deve levar em conta os pesos desiguais dos bimestres. A fórmula 
para o cálculo é: 
∑
∑
=
=
=
n
1i
i
n
1i
ii
f
f.x
x 
onde xi é a observação de ordem i e fi é o peso da observação de ordem i. 
 
Portanto, para o exemplo 2: 
0,7
10
70
3322
0,530,930,820,62
x ==
+++
×+×+×+×
= 
 
A.3 Mediana ⇒ Notação: x~ 
 
Colocados os dados brutos em ordem crescente ou decrescente (ROL), a mediana é o elemento 
que ocupa a posição central. Sua característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em 
dois grupos iguais; a metade terá valores inferiores à mediana e a outra metade terá valores superiores 
à mediana. 
Para se calcular a mediana, determina-se o número n de elementos do rol, utilizando o seguinte 
critério: 
Se n é ímpar – O rol admite um termo central que ocupa a posição 
2
1n +
. 
 
Exemplo 3: Os quinze vendedores citados no Exemplo 1 venderam as seguintes quantidades de 
aparelhos de ar condicionado, colocadas em ordem crescente (rol): 5, 7, 8, 8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 
12, 14, 16, 17. O elemento central desse conjunto de dados ocupa a posição 8
2
115
2
1n
=
+
=
+
, ou 
seja, a 8a posição. Portanto, a mediana desse conjunto de dados é igual a 11. 
11x~ = 
 
Se n é par – Utiliza-se como mediana, a média aritmética das duas observações centrais, ou seja, a 
média dos elementos que ocupam no rol as posições 
2
n
 e 1
2
n
+ . 
 
Exemplo 4: O gerente de uma pizzaria mantém o controle das vendas dos diversos tipos de pizza. 
Suponha que ele tenha observado os seguintes valores de vendas diárias em ordem crescente (rol) do 
tipo calabresa durante o período de quatorze dias: 37, 38, 38, 39, 40, 43, 44, 46, 48, 51, 56, 59, 61, 64. 
As posições centrais desse conjunto de dados são: 7
2
14
2
n
== (7a posição) ⇒ 44 e 
81
2
141
2
n
=+=+ (8a posição) ⇒ 46. A mediana é, portanto, a média aritmética desses dois 
elementos: 
45
2
4644
x~ =
+
= 
 
 
36 
 Portanto, o procedimento para se determinar a mediana é o seguinte: 
1. Ordenar os valores (Rol); 
2. Verificar se há um número ímpar ou par de observações; 
3. a) Para um número ímpar n de observações, a mediana é o valor central. 
 b) Para um número par n de observações, a mediana é a média aritmética das duas 
 observações centrais. 
 
 
A.4 Moda ⇒ Notação: x*. 
 
É o valor (observação) que ocorre com maior freqüência num conjunto de dados. 
 
Exemplo 5: Os quinze vendedores citados no Exemplo 1 venderam as seguintes quantidades de 
aparelhos de ar condicionado: 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 11, 16, 12, 12, 17, 7, 9, 11. A moda para esse 
conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência, ou seja, x* = 12. 
 
OBSERVAÇÕES: 
• Se mais de um valor ocorre com maior, mas igual, freqüência, todos eles são chamados de moda. 
• Muitas distribuições que surgem na prática são razoavelmente simétricas com a maioria dos valores 
concentrada próximo ao centro. Em tal caso, média, moda e mediana estão muito próximas umas 
das outras ou são até coincidentes. 
• Uma distribuição com duas modas é chamada de distribuição bimodal. 
 
 
 
B) VARIÁVEIS DISCRETAS 
 
 
B.1 Média x de uma distribuição de freqüências 
 
Se os dados são provenientes de uma variável discreta, deve-se utilizar a média aritmética 
ponderada, considerando as freqüências absolutas fi como sendo as ponderações dos elementos xi 
correspondentes. 
 Deve-se, portanto, utilizar a fórmula da média ponderada para determinar a média de uma 
distribuição de freqüências: 
n
f.x
f
f.x
x
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii ∑
=
∑
∑
=
=
=
=
 
 
com fi sendo a freqüência da i-ésima classe e nf
n
1i
i =∑
=
, onde n é o número total de observações. 
 
 
Exemplo 6: Sem perda de informação. O departamento de trânsito da cidade de São Paulo coletou o 
número de acidentes ocorridos em certo cruzamento de ruas na zona oeste, por 25 dias úteis do mês 
de março, com o objetivo de estudar a possibilidade de colocação de um semáforo no citado 
cruzamento. A seguir, foi determinado o número médio de acidentes, com os dados apresentados na 
tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
No de acidentes 
xi 
No de dias 
fi 
xi. fi 
0 2 0 
5 4 20 
10 5 50 
15 10 150 
20 2 40 
25 1 25 
30 1 30 
Total n = 25 315 
 
Solução: 
136,12
25
315
n
f.x
x
n
1i
ii
≅==
∑
=
= acidentes/dia 
 
 
 
B.2 Mediana x~ de uma distribuição de freqüências 
 
 Se os dados, provenientes de uma variável discreta, estão apresentados em tabelas, eles já 
estão naturalmente ordenados. Como a mediana é o elemento que ocupa a posição central do conjunto 
ordenado de dados, basta verificar se o número de elementos da série é ímpar ou par. 
 
• n = ímpar ⇒ a mediana será o elemento central, ordem = 
2
1n +
 
• n = par ⇒ a mediana será a média aritmética entre os elementos centrais, ordem = 
2
n
 e 1
2
n
+ 
 
 
Exemplo 7: Determinandoa mediana do conjunto de dados do Exemplo 6. 
 
No de acidentes 
xi 
No de dias 
fi 
Freqüência Acumulada 
Fac=Fi 
0 2 2 
5 4 6 
10 5 11 
15 10 21 (13o elemento) 
20 2 23 
25 1 24 
30 1 25 
Total n = 25 -------------------------------- 
 
Solução: 
Como n = 25 (ímpar), o elemento central é 13
2
125
2
1n
=
+
=
+
 (13o elemento). 
Após calcular a posição da mediana, abre-se a coluna de Fac e, pelas freqüências acumuladas, 
encontra-se a posição da mediana. O valor xi que é o elemento central corresponde à mediana. 
Neste exemplo, portanto: 
15x~ = acidentes/dia 
 
 
 
38 
 
Exemplo 8: Uma indústria metalúrgica embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de 
qualidade selecionou 50 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças 
defeituosas. A seguir, obteve a seguinte distribuição de freqüências: 
 
No de peças defeituosas 
xi 
No de caixas 
fi 
Freqüência Acumulada 
Fac=Fi 
0 15 15 
1 10 25 (25o elemento) 
2 12 37 (26o elemento) 
3 8 45 
4 5 50 
Total n = 50 -------------------------------- 
 
 
Solução: 
 
Observando a coluna das freqüências acumuladas, sendo n = 50 (par), os elementos centrais são: 
25
2
50
2
n
== (25o elemento) ⇒ 1 peça defeituosa/caixa 
261
2
501
2
n
=+=+ (26o elemento) ⇒ 2 peças defeituosas/caixa 
 
A mediana é, nesse caso, a média aritmética desses dois elementos: 
5,1
2
21
x~ =
+
= peças defeituosas/caixa 
 
 
 
B.3 Moda x* de uma distribuição de freqüências 
 
 É o valor que ocorre com maior freqüência na distribuição. Para distribuições sem agrupamento 
de classes, a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que se apresenta 
com maior freqüência. 
 
Exemplo 9: Determinando a moda do conjunto de dados do Exemplo 6. 
 
No de acidentes 
xi 
No de dias 
fi 
0 2 
5 4 
10 5 
15 10 
20 2 
25 1 
30 1 
Total n = 25 
 
Solução: 
 
Por observação, a moda é 15, ou seja, x* = 15, pois esse valor aparece com maior freqüência nesta 
distribuição (10 vezes). 
 
 
 
 
39 
C) VARIÁVEL CONTÍNUA 
 
C.1 Média x de uma distribuição de freqüências 
 
Se os dados apresentados são classificados como variável contínua, deve-se utilizar para o 
cálculo da média, a média aritmética ponderada. Nesse caso, consideram-se as freqüências absolutas 
das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas classes. 
 
Exemplo 10: Com perda de informação. Os salários (em R$) de 25 funcionários selecionados em uma 
empresa estão representados na tabela abaixo. Determinando o salário médio dessa distribuição, 
obtem-se: 
 
Classe Salários (em R$) 
 
Ponto médio da classe 
xi 
No de funcionários 
f i 
xi.fi 
1 1.000,00 a 1.200,00 1.100,00 2 2.200,00 
2 1.200,00 a 1.400,00 1.300,00 6 7.800,00 
3 1.400,00 a 1.600,00 1.500,00 10 15.000,00 
4 1.600,00 a 1.800,00 1.700,00 5 8.500,00 
5 1.800,00 a 2.000,00 1.900,00 2 3.800,00 
Total n = 25 37.300,00 
 
Obs.: Os pontos médios das classes (xi) são determinados tomando-se a média aritmética entre o 
extremo inferior e superior de cada classe. 
 
Solução: 
 
00,492.1
25
300.37
n
f.x
x
n
1i
ii
==
∑
=
= reais/funcionário 
 
 
C.2 Mediana x~ de uma distribuição de freqüências 
 
Se os dados apresentados são classificados como variável contínua, deve-se utilizar para o 
cálculo da mediana, o procedimento a seguir. 
1. Calcula-se a ordem 
2
n
 (como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar); 
2. Pela freqüência acumulada Fac, identifica-se a classe que contém a mediana (classe da x~ ); 
 
3. Então, utiliza-se a fórmula: 
 
 
x~
Md
ant,ac
Md f
h.F
2
n
I






∑−
+= 
 
onde: IMd = limite inferior da classe da mediana; 
 n = número total de elementos; 
 ∑ ant,acF = soma das freqüências anteriores à classe da mediana; 
 h = amplitude da classe da mediana; 
 fMd = freqüência absoluta da classe da mediana. 
 
 
 
40 
Exemplo 11: Determinando a mediana da situação apresentada no Exemplo 10. 
 
Classe Salários (em R$) 
 
No de funcionários 
f i 
Fac 
1 1.000,00 a 1.200,00 2 2 
2 1.200,00 a 1.400,00 6 8 
3 1.400,00 a 1.600,00 10 18 (classe da x~ ) 
4 1.600,00 a 1.800,00 5 23 
5 1.800,00 a 2.000,00 2 25 
Total 25 -------------------------- 
 
 
Solução: 
 
1o passo: Calcula-se 
2
n
. Como n = 25, têm-se 135,12
2
25
≅= (13a posição); 
 
2o passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3a classe, ou 
seja, 1.400,00 a 1.600,00; 
 
3o passo: Aplica-se a fórmula: 
 x~
Md
ant,ac
Md f
h.F
2
n
I






∑−
+= 
 
Neste caso: IMd = limite inferior da classe da mediana = 1.400,00 
 n = número total de elementos = 25 
 ∑ ant,acF = soma das freqüências anteriores à classe da mediana = 8 
 h = amplitude da classe da mediana = 200,00 
 fMd = freqüência absoluta da classe da mediana = 10 
 
Ou seja: x~ 00,490.1
10
00,200.8
2
25
00,1400 =






−
+= reais/funcionário 
 
 
C.3 Moda x* de uma distribuição de freqüências 
 
Se os dados apresentados são classificados como variável contínua, pode-se optar por vários 
procedimentos, como moda de Pearson, moda de King, moda de Czuber, entre outros, para se 
determinar a moda. Será dado destaque à moda de Czuber. 
 
MODA DE CZUBER 
 
CZUBER levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência absoluta da classe anterior, a 
freqüência absoluta da classe posterior, além da freqüência absoluta da classe modal, o que leva a um 
valor mais preciso para a moda de uma variável contínua. A fórmula de Czuber é a seguinte: 
 
x*
( )
)ff(f2
h.ffI
postantMo
antMo
Mo +−
−
+= 
 
 
41 
 
onde: IMo = limite inferior da classe modal; 
 fMo = freqüência absoluta da classe modal; 
 fant = freqüência absoluta da classe anterior à classe modal; 
 fpost = freqüência absoluta da classe posterior à classe modal; 
 h = amplitude do intervalo de classe. 
 
Exemplo 12: Determinando a moda de Czuber para a situação apresentada no Exemplo 10. 
 
Classe Salários (em R$) 
 
No de funcionários 
f i 
1 1.000,00 a 1.200,00 2 
2 1.200,00 a 1.400,00 6 
3 1.400,00 a 1.600,00 10 
4 1.600,00 a 1.800,00 5 
5 1.800,00 a 2.000,00 2 
Total 25 
 
 
Solução: 
 
Por observação, a classe modal é a terceira classe, já que esta é a classe de maior freqüência. Neste 
caso, 
 
IMo = limite inferior da classe modal = 1.400,00 
 fMo = freqüência absoluta da classe modal = 10 
 fant = freqüência absoluta da classe anterior à classe modal = 6 
 fpost = freqüência absoluta da classe posterior à classe modal = 5 
 h = amplitude do intervalo de classe = 200,00 
 
Ou seja: x* ( ) 89,488.1)56(10.2
00,200.61000,400.1 =
+−
−
+= reais/funcionário 
 
 
Observação Importante: Ocorrem, algumas vezes, dois ou mais picos distintos de igual freqüência nos 
dados. Nesses casos, a distribuição é bimodal (duas modas) ou de modas múltiplas, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
1.2 MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
São números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a 
mesma quantidade de elementos da série. 
A mediana, por exemplo, que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles 
contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz. 
Além da mediana, neste capítulo, serão destacadas outras medidas separatrizes, ou seja, 
quartis, decis e percentis. 
 
 
 
D.1 Quartis 
 
 Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, como pode ser visto 
esquematicamente: 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
 
 
 Q1 Q2 = x~ Q3 
 
 Q1 = 1o quartil, composto por 25% dos elementos. 
 Q2 = 2o quartil, coincide com a mediana, composto por 50% dos elementos. 
 Q3 = 3o quartil, composto por 75% dos elementos. 
 
Os quartis serão utilizados, apenas, para