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TEORIA DOS JOGOS
TEORIA DOS JOGOS
Copyright © UVA 2019
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico 
da Língua Portuguesa.
AUTORIA DO CONTEÚDO
Alfredo Nazareno Pereira Boente
REVISÃO
Francine F. Souza
Janaina Senna
PROJETO GRÁFICO
UVA
DIAGRAMAÇÃO
UVA
SUMÁRIO
Apresentação
Autor
6
7
Estratégias e tomada de decisão 27
• Dilema do prisioneiro
• Equilíbrio de estratégia dominante
• Equilíbrio de Nash
UNIDADE 2
8
• A origem dos jogos
• Tipos de jogos
• Representação dos jogos
Introdução à teoria dos jogos
UNIDADE 1
SUMÁRIO
Estratégias de contratos e leilões 66
• Jogos de contratos 
• Jogos de leilões
• Estratégias racionalizadas e estratégias puras
UNIDADE 4
46
• Modelo de Cournot
• Modelo de Bertrand
• Monopólio contestável
Política comercial estratégica e oligopólio
UNIDADE 3
6
A Teoria dos Jogos tem por objetivo permitir a você conhecer e aplicar os conceitos 
acerca da disciplina, visando ao aprimoramento do processo de tomada de decisão nas 
organizações, a partir de modelos matemáticos.
A disciplina está dividida logicamente em quatro unidades distribuídas da seguinte forma: 
• Na Unidade 1, você irá aprender a teoria dos jogos, partindo da origem dos jogos, 
tipos de jogos e formas de representação dos jogos.
• Na Unidade 2, você conhecerá as estratégias e a tomada de decisão, a partir da 
aplicação do dilema do prisioneiro, equilíbrio de estratégia dominante e equilíbrio 
de Nash.
• Na Unidade 3, você estudará a política comercial estratégica e oligopólio, por meio 
do modelo de Cournot, modelo de Bertrand e monopólio contestável.
• Na Unidade 4, você irá conhecer as aplicações das estratégias de contratos e lei-
lões, por meio do estudo dos jogos por contrato, jogos por leilão e estratégias racio-
nalizadas e estratégias puras. 
APRESENTAÇÃO
7
ALFREDO NAZARENO PEREIRA BOENTE
Pós-doutorado em Neurociência e Sistemas Lógicos aplicados à Gestão Empresarial, 
Educação e Pesquisa Experimental pelo Programa de Pós-Graduação em História das 
Ciências e das Técnicas e Epistemologia – HCTE/UFRJ (2014). Doutorado em Ciências 
da Engenharia de Produção pelo Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pes-
quisa de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ (2013). 
Doutorado em Processamento de Dados pela American World University – AWU-IOWA-
-USA (2006). Mestrado em Administração e Desenvolvimento Empresarial pela Universi-
dade Estácio de Sá – Unesa (2009). Mestrado em Ciências da Computação pela Univer-
sidad de Habana-CU (2003). Mestrado em Engenharia de Software pela AWU-IOWA-USA 
(2002). Especialização em Análise de Sistemas pela Unesa (2000). Especialização em 
Docência Superior pela Universidade Cândido Mendes – UCAM (2001). Especialização 
em Tecnologia em Banco de Dados pela Unesa (2001). Especialização em Ciências da 
Computação pela Universidad de la Habana-Cuba (2002). Especialização em Administra-
ção Escolar pela Unesa (2003). Especialização em Logística Empresarial pela Faculdade 
Internacional Signorelli (2016). Graduação em Processamento de Dados com ênfase em 
Projeto e Análise de Sistemas pelas Faculdades Reunidas Professor Nuno Lisboa – FRNL 
(1996). Graduação em Processos Gerenciais – Gestão Empresarial pela Universidade Vei-
ga de Almeida – UVA (2018).
AUTOR
Introdução à teoria dos jogos
UNIDADE 1
9
Esta unidade é importante pois irá permitir que você conheça o que vem a ser um jogo e 
seus diferentes tipos. Além disso, possibilitará que você aprenda a aplicação da mode-
lagem de jogos, buscando as mais diversas formas de representação de jogos.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Conceituar jogos e identificar os tipos de jogos.
• Aplicar a modelagem de jogos e as possíveis formas de representações de jogos.
OBJETIVO
10
A origem dos jogos 
De acordo com Bierman e Fernandez (2011), o jogo não é algo novo, moderno e tampouco 
do futuro. Muito pelo contrário, o jogo acompanha o homem desde os primórdios da 
história da humanidade. Quando o homem não sabia falar, fazia uso de jogos dos gestos 
e dos sons para poder se comunicar com outros de sua espécie. Logo que o homem 
“descobriu” a fala, iniciou-se o jogo de palavras, considerado por muitos como o primeiro 
jogo consciente da humanidade.
Segundo Gramigna (2007), toda a capacidade e habilidade humana provém do jogo. Des-
sa forma o ser humano, ao utilizar o “ jogo dos músculos e dos membros” consegue 
erguer-se, movimentar-se e caminhar.
No cotidiano das pessoas, físicas e jurídicas, diversas formas de jogos são utilizadas: os 
jogos dos sentidos, em que a curiosidade nos leva ao conhecimento; os jogos corporais, 
que são expressos na dança, nas cerimônias e nos rituais de certos povos; o jogo das 
cores, das formas e dos sons, presente na arte dos imortais; o jogo do olhar, cujo exem-
plo observável se encontra na cumplicidade do olhar dos enamorados. Enfim, o jogo faz 
parte integrante de nossas vidas (GRAMIGNA, 2007).
Na Antiguidade, pinturas já demonstravam a existência eminente de jogos de que gregos 
e romanos eram os maiores adeptos (BIERMAN e FERNANDEZ, 2011).
 
No século XIX, conforme afirma Gramigna (2007), os modelos de simulação com fins 
de treinamento começaram a ser usados na área militar. No livro A Arte da Guerra, Sun 
Tzu afirma que um general que conhece seus exércitos pode ganhar a batalha, mas o
Figura 1: Jogo das palavras.
11
general que conhece os exércitos de seus inimigos, certamente ganhará a guerra. Aqui 
têm-se a caracterização de um típico jogo de guerra decorrente de 300 a.C. Os jogos de 
tabuleiros, representando exércitos, serviam de modelos para os prussianos, como for-
ma de antecipar suas estratégias e táticas que poderiam ser aplicadas em batalhas reais.
A utilização dos jogos simulados como instrumentos de aprendizagem teve seu incre-
mento nos Estados Unidos da América, na década de 1950, com a finalidade de treinar 
executivos da área financeira (GRAMIGNA, 2007). Devido ao seu resultado positivo, sua 
utilização estendeu-se a outras áreas, chegando ao Brasil com força total em 1980. Os 
primeiros jogos que surgiram no Brasil eram traduzidos e os modelos, importados. Não 
se reportavam na íntegra à realidade brasileira. O clássico jogo da cerveja é tipicamente 
brasileiro. Inicialmente, foi desenvolvido pelo MIT, na década de 1960, com o objetivo de 
apresentar as vantagens de se utilizar uma abordagem integrada para gerenciar uma 
cadeia de abastecimento (GRAMIGNA, 2007).
O jogo e a sua importância na educação
Antes de atividade lúdica, o jogo é um instrumento dos mais importantes na 
educação em geral. Por meio dele, as pessoas exercitam habilidades necessá-
rias ao seu desenvolvimento integral, dentre elas, autodisciplina, sociabilidade, 
afetividade, valores morais, espírito de equipe e bom senso (GRAMIGNA, 2007).
Curiosidade
Figura 2: Sun Tzu (300 a.C.).
12
Jogo refere-se a uma atividade física ou mental fundada em sistema de regras que defi-
nem suas recompensas; pode ser uma série de coisas que forma um todo; uma conjuga-
ção harmoniosa de peças mecânicas com o fim de movimentar certo maquinismo; um 
passatempo; simplesmente, jogo de azar; um vício de jogar; um balanço; uma oscilação.
De acordo com Gramigna (2007), jogo é uma atividade espontânea, realizada por mais 
de uma pessoa, regido por regras que determinam quem será o vencedor. Essas regras 
incluem o tempo de duração, o que é permitido e proibido, valores das jogadas e indica-
dores sobre como termina a partida.
Veja alguns exemplos de jogo: 
Jogos de salão Jogo de guerraJogo de competição 
econômica
Cara ou coroa, jogo 
da velha, damas ou 
xadrez.
Jogos de conflitos 
militares ou de 
guerras.
Jogos de governo 
ou jogos políticos.
Cada jogador, a partir de um número finito ou infini-
to de escolhas, tecnicamente denominadas estra-
tégias, decide por sua táticacomo os atores econômicos cons-
troem arranjos contratuais, geralmente na presença de informações assimétricas. Men-
des (2014) afirma que devido a suas conexões com representação e incentivos, a teoria 
do contrato é, muitas vezes, categorizada dentro de um campo conhecido como Análise 
Econômica do Direito.
Uma aplicação importante disso é a concepção de esquemas ótimos de compensação 
gerencial. Uma prática padrão na microeconomia da teoria do contrato é a representa-
ção do comportamento de um agente, ora denominado tomador de decisão sob certas 
estruturas numéricas de utilidade, e então aplicação de um algoritmo de otimização para 
identificar decisões ótimas.
É comum modelar as pessoas como maximizadores de funções de utilidade, como esta-
belecido pela chamada Teoria da Utilidade Esperada (GRAMIGNA, 2007).
A utilidade é o valor subjetivamente atribuído a certo evento. Decerto, diferentes teorias 
utilitaristas dão diferentes significados à utilidade, podendo representar satisfação de in-
teresses, realização de desejos, satisfação de preferências ou uma medida mais abstrata 
da qualidade decisória.
Nesse viés, podemos afirmar que a utilidade agregada de um bem é a soma da utilidade 
de seus aspectos, bem como que os aspectos desejáveis de um bem tornam sua utilida-
de mais positiva, enquanto os aspectos indesejáveis tornam sua utilidade mais negativa.
A utilidade de um bem geralmente diminui com a quantidade já possuída ou já experi-
mentada por um agente. Gramigna (2007) afirma que a utilidade esperada de um evento 
é a utilidade de seus possíveis resultados ponderada por suas respectivas probabilida-
des, ou seja, o valor esperado da utilidade de seus resultados.
Embora existam diferentes tipos de contratos, vamos estudar o contrato de relaciona-
mento e o contrato de negociação. Acompanhe, a seguir, a explicação!
69
Contrato de relacionamento 
Contrato de relacionamento, também conhecido como contrato relacional, é aquele clas-
sificado tecnicamente como contrato jurídico e, neste viés, a palavra relacional é consi-
derada um termo técnico-jurídico (MENDES, 2014). Um contrato é relacional na medida 
em que as partes contratuais são incapazes de reduzir a termos obrigações que num 
primeiro momento são consideradas bem definidas.
Em um jogo, esse tipo de contrato tem que apresentar uma visão bilateral, permitindo 
beneficiar ambos os jogadores envolvidos no processo. Pode tanto existir estratégias 
estritamente dominantes, quanto equilíbrio de Nash, conforme exemplo que se segue.
Exemplo prático: modelagem de um jogo visando à formalização ou não de um contrato 
de locação entre dois jogadores, em que o jogador 2 deve aceitar ou não aceitar. Caso o 
jogador 1 formalize o contrato e este seja aceito pelo jogador 2, ambos terão uma recom-
pensa de 10. No entanto, nesse contexto, caso o jogador 2 resolva não aceitar a forma-
lização do jogador 1, receberá 1, enquanto o jogador 1 receberá 50% do ganho anterior.
O jogador 1 ainda tem a opção de não formalizar o contrato, obtendo sempre 1 como 
recompensa por sua decisão. Nesse caso, se o jogador 2 resolver aceitar, receberá uma 
recompensa de 5, mas caso resolva não aceitar, sua recompensa será de 1.
A modelagem desse tipo de jogo é feita da seguinte forma:
Formaliza
(1,5) (1,1)
(10,10) (5,1)
Não formaliza
Aceita
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não aceita
70
Vamos analisar a estratégia estritamente dominante do jogador 1:
Agora vejamos a estratégia estritamente dominante do jogador 2:
Portanto, se existe uma estratégia estritamente dominante para o jogador 1 e também 
uma estratégia estritamente dominante para o jogador 2, vemos claramente um equilí-
brio de estratégias estritamente dominantes.
Vamos analisar onde se encontra o equilíbrio de Nash, pois, se existe um equilíbrio de 
estratégia estritamente dominante, certamente haverá um equilíbrio de Nash.
Formaliza
(1,5) (1,1)
(10,10) (5,1)
Não formaliza
Aceita
Jogador 2Estritamente 
dominante
Jo
ga
do
r 1
Não aceita
Formaliza
(1,5) (1,1)
(10,10) (5,1)
Não formaliza
Aceita
Jogador 2Estritamente 
dominante
Jo
ga
do
r 1
Não aceita
Formaliza
(1,5) (1,1)
(10,10) (5,1)
Não formaliza
Aceita
Jogador 2Estritamente 
dominante
Jo
ga
do
r 1
Não aceita
71
Formaliza
(1,5) (1,1)
(10,10) (5,1)
Não formaliza
Aceita
Jogador 2Equilíbrio de 
Nash
Jo
ga
do
r 1
Não aceita
Aceita
(2,2) (1,1)
(5,10) (2,2)
Não aceita
Tem acordo
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não tem acordo
Contrato de Negociação
A negociação pode ser praticada tanto para resolver questões pessoais, como para 
questões profissionais, em ambientes políticos, comerciais, diplomáticos, institucionais, 
gerenciais, jurídicos, trabalhistas, de libertação de reféns, entre outros (MENDES, 2014). 
Contrato de negociação é aquele que apresenta possibilidades de acordos (vantagens) 
para ambas as partes envolvidas. Essa premissa é verdadeira em virtude dos direitos e 
obrigações que devem ser “bons” para ambas as partes, ou seja, esse tipo de contrato 
também deve ser bilateral.
O equilíbrio de Nash, geralmente, expressa a melhor negociação em termos de tomada 
de decisão nesse tipo de contrato.
Exemplo prático: admita um processo de conciliação entre um cliente que teve sua car-
ga por Sedex extraviada (jogador 1) e o Advogado dos Correios (jogador 2), que tem 
por objetivo propor um acordo ao cliente prejudicado. O jogador 2 propõe um acordo ao 
jogador 1, que tem a opção de aceitar, maximizando seus ganhos para 5, ou não aceitar, 
com ganhos de 2. Neste caso, se o jogador 1 aceitar o acordo, o jogador 2 terá ganhos 
em torno de 10, caso contrário, sua recompensa será 2. No entanto, o jogador 2, também 
pode não propor nenhum acordo e, nesse caso, ambos os jogadores terão ganhos de 2, 
se o jogador 1 resolver aceitar, ou ambos os jogadores levarão 50% dessa recompensa, 
caso o jogador 1 resolva não aceitar.
A modelagem desse tipo de jogo é feita da seguinte forma:
72
Vamos analisar a estratégia estritamente dominante do jogador 1:
Agora analise a estratégia estritamente dominante do jogador 2:
Portanto, se existe uma estratégia estritamente dominante para o jogador 1 e também 
uma estratégia estritamente dominante para o jogador 2, vemos claramente um equilí-
brio de estratégias estritamente dominantes.
Vamos analisar onde se encontra o equilíbrio de Nash, pois, se existe um equilíbrio de 
estratégia estritamente dominante, certamente haverá um equilíbrio de Nash.
Aceita
(2,2) (1,1)
(5,10) (2,2)
Não aceita
Tem acordo
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não tem acordo
Estritamente 
dominante
Aceita
(2,2) (1,1)
(5,10) (2,2)
Não aceita
Tem acordo
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não tem acordo
Estritamente 
dominante
Aceita
(2,2) (1,1)
(5,10) (2,2)
Não aceita
Tem acordo
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não tem acordo
Estritamente 
dominante
73
Aceita
(2,2) (1,1)
(5,10) (2,2)
Não aceita
Tem acordo
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não tem acordo
Equilíbrio de 
Nash
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 4 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre teoria geral dos contratos.
74
Jogos de Leilões 
De acordo com Bierman e Fernandez (2011), o leilão é um sistema para alocar proprieda-
de com base na competição por preço entre compradores e/ou vendedores pelo direito 
de comprar e/ou vender um bem. É considerado a alternativa primária à precificação “é 
pegar ou largar”.
A teoria dos leilões é estudada na teoria dos jogos e trata do comportamento dos parti-
cipantes de leilões e das inúmeras possibilidades de seu uso como mecanismo econô-
mico de negociação.
A simetria de informações, em jogos de leilões, reporta uma característica marcante, in-
dependentemente do tipo de leilão a ser utilizado. Bierman e Fernandez (2011, p. 267) afir-
mam que leilões podem ser definidos quanto à sua natureza (oferta, demanda ou duplo), 
forma como os lances são oferecidos (aberto ou fechado) e método de determinação do 
preço de fechamento (primeiro ou segundo preço). Além disso,pode ou não possuir pre-
ço de reserva, que é o menor lance válido para participação no leilão. O preço de reserva 
é usado apenas em casos nos quais os compradores/vendedores especificam preços, 
acima/abaixo do qual não estão dispostos a negociar.
Os leilões apresentam como desvantagens o risco de colusão e a dificuldade de imple-
mentação.
Tipos de Leilões
Podemos destacar os seguintes tipos de leilões: 
• Leilão de venda.
• Leilão de compra.
• Leilão duplo com agente identificado.
• Leilão duplo com agente não identificado.
Veja, a seguir, a explicação e o exemplo dos dois primeiros tipos!
75
Leilão de Venda
Esse tipo de leilão caracteriza-se por apresentar um conjunto de vendedores (v1, v2, ..., vm) 
que tem por objetivo vender seus produtos a apenas um comprador (c). Esse tipo de jogo 
lembra uma das cinco forças de Porter (“poder de barganha do cliente”).
v1
cv2
vm
Exemplo prático: observe atentamente a estratégia dominante do comprador em virtude 
de cada vendedor. Depois disso, analisam as melhores posições do comprador. Verifi-
que que no contexto existe sempre um equilíbrio de Nash na relação comprador versus 
vendedor. A partir de então, a tomada de decisão por parte do comprador ocorrerá com 
base na análise mercadológica acerca daquilo que está sendo vendido, em termos de 
qualidade, preço, formas de pagamento, garantias etc.
Leilão de compra
Esse tipo de leilão caracteriza-se por apresentar um conjunto de compradores (c1, c2, ..., 
cn) que tem por objetivo comprar bens ofertados por um único vendedor (v). Esse tipo de 
jogo lembra uma das cinco forças de Porter (“poder de barganha do fornecedor”).
Comprar
(4,1) (5,1) (8,1)(1,2) (1,2) (1,2)
(10,6) (8,5) (12,8)(2,2) (2,2) (2,2)
Não 
comprar
Vende Vende Vende
Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3
Co
m
pr
ad
or
Não 
vende
Não 
vende
Não 
vende
Estritamente 
dominante
Equilíbrio de 
Nash
76
cn
v c2
c1
Exemplo prático: nesse jogo existe um único vendedor, caracterizando uma situação eco-
nômica de monopólio, que oferece seus produtos para um conjunto de compradores. De-
pois disso, analisam-se as melhores posições do vendedor. Verifique que no contexto exis-
te sempre um equilíbrio de Nash na relação vendedor versus comprador. A partir de então, 
a tomada de decisão por parte do vendedor está diretamente relacionada à disponibilidade 
do produto, seu preço em função da demanda, sua quantidade disponível em estoque etc.
Compra Compra Compra
(4,20) (5,20) (2,20)(1,15) (1,15) (1,15)
(10,5) (10,7) (10,3)(5,2) (5,2) (5,2)
Não 
compra
Não 
compra
Não 
compra
Vende
Ve
nd
ed
or
 
Comprador 1 Comprador 2 Comprador 2
Não 
vende
Estritamente 
dominante
Equilíbrio de 
Nash
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 4 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre leilão.
77
Estratégias racionalizadas e estratégias puras 
De acordo com Bierman e Fernandez (2011), para caracterizar um jogo com estratégias 
racionalizadas, podemos visualizar um jogo de leilão duplo com agente identificado, que 
tem por princípio a apresentação de um conjunto finito de vendedores (v1, v2, ..., vm), bus-
cando oferecer seus produtos para um conjunto de compradores (c1, c2, ..., cn). Esse tipo 
de jogo lembra uma das cinco forças de Porter (“alta rivalidade entre os concorrentes”).
v1
c2
c1
cn
v2
vm
Um jogo é dito jogo de estratégias racionalizadas quando resulta na eliminação suces-
siva de estratégias dominadas. Esse tipo de jogo elimina colunas e linhas sucessivas, 
independentemente da matriz apresentada, até que a matriz final resultante seja caracte-
rizada como uma matriz quadrada de ordem 2.
Exemplo prático: observe a modelagem do jogo de leilão com agente identificado na sua 
estrutura inicial.
Jogo 1: busca-se eliminar a linha com estratégia dominada (a comparação deve ser feira 
sempre em pares de linhas). Primeiramente, compara-se V1 com V2. Em seguida, V1 
com V3. E finalmente, V2 com V3. Note que o processo irá gerar uma matriz 2 x 3 em 
que fica explícito que a linha eliminada foi a linha referente ao V3 (vendedor 3), por ter 
apresentado estratégia dominada.
C1
2,0
3,4
1,3
V1
V2
V3
C2
1,1
1,2
0,2
C3
4,2
2,3
3,0
78
C1
2,0
3,4
V1
V2
C2
1,1
1,2
C1
2,0
3,4
V1
V2
C2
1,1
1,2
C3
4,2
2,3
Jogo 2: em seguida, busca-se eliminar a coluna que apresenta estratégia dominada 
(comparação deve ser feita sempre em pares de colunas). Primeiramente, compara-se o 
C1 com C2. Em seguida, C1 com C3. E finalmente, C2 com C3. Nota-se que o processo 
irá gerar uma matriz quadrada de ordem 2. Note que a coluna eliminada foi C2 (compra-
dor 2), por ter apresentado estratégia dominada.
Jogo 3: em seguida, busca-se identificar se existe equilíbrio de Nash, que vai correspon-
der exatamente aos comparativos nos quais existem os melhores lances, neste caso, 
(V1, C3) e (V2, C1).
No estudo da teoria dos jogos, as estratégias puras são encontradas em leilão duplo 
com agentes não identificados. Nesse tipo de jogo, existe um conjunto de vendedores e 
um conjunto de compradores, ditando uma disputa com alta rivalidade entre os concor-
rentes, conforme ilustra uma das cinco forças de Porter, sendo que existe a interferência 
direta do Estado, ora representado neste jogo na figura do leiloeiro como um intermedia-
dor do processo.
C1
2,0
3,4
V1
V2
C2
1,1
1,2
Melhores 
lances
79
v1
c2
c1
cn
v2
vm
Leiloeiro
Nesse caso, busca-se o equilíbrio de Nash em estratégias puras, seguindo as seguintes 
regras:
1. Encontra-se o maior valor por linha sobre as colunas.
2. Encontra-se o maior valor por coluna sobre as linhas.
3. Finalmente, determina-se onde existe equilíbrio de Nash.
Exemplo prático: dada a seguinte modelagem de um jogo de leilão duplo com agentes 
não identificados.
Analise linha a linha, coluna a coluna, marcando o maior valor em cada uma delas, obten-
do, portanto, suas estratégias puras. Em seguida, identifique onde apresenta equilíbrio de 
Nash.
Neste caso, existe um equilíbrio de Nash em (V1, C3) e (V2, C1), caracterizando, portanto, 
os melhores lances, as maiores probabilidades de sucesso de negócio.
C1
2,0
3,4
1,3
V1
V2
V3
C2
1,1
1,2
0,2
C3
4,2
2,3
3,0
C1
2,0
3,4
1,3
V1
V2
V3
C2
1,1
1,2
0,2
C3
4,2
2,3
3,0
80
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 4 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre jogos de empresas.
NA PRÁTICA
Diversos vendedores desejam vender seus produtos a um grupo seleto de comprado-
res, por meio da prática de leilão. Neste caso, os vendedores acordaram a necessidade 
da presença de um leiloeiro para gerenciar os eventuais lances. No estudo da teoria 
dos jogos, esse contexto se reporta a um jogo de leilão duplo com um agente não iden-
tificado que, para obter a melhor resposta, o melhor lance, utiliza estratégias puras.
B1
2,3
3,2
3,3
A1
A2
A3
B2
3,1
2,2
0,1
B3
0,2
2,3
3,2
81
Resumo da Unidade 4 
Nesta unidade, você estudou o uso de jogos de contratos e jogos de leilões aplicados 
para jogos competitivos. Além disso, você conheceu as estratégias racionalizadas e as 
estratégias puras no contexto da teoria dos jogos.
CONCEITO
Nesta unidade, destacou-se o desenvolvimento da escrita e modelagem de jogos que 
figurem uma situação clássica de contratos de relacionamento entre dois jogadores.
82
Referências 
BIERMAN, H. S.; FERNANDEZ, L. Teoria dos Jogos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011. Biblioteca Virtual.
GRAMIGNA, M. R. Jogos de Empresa. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
Biblioteca Virtual.
SILVA, A. O. S.; MENDES, J. T. G. Economia e Gestão. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. Biblioteca Virtual.sem que haja nenhum 
conhecimento prévio das estratégias dos demais 
jogadores. A partir de suas escolhas, resultados di-
ferentes são produzidos pelo jogo, definindo quem 
ganhou ou perdeu, e qual foi o seu payoff. Então, as 
escolhas feitas pelos jogadores buscam um contí-
nuo aperfeiçoamento do seu processo de tomada 
de decisão, sempre visando maximizar seus resul-
tados.
A teoria dos jogos é uma teoria que trata dos aspectos gerais de situações competitivas. 
Ela, a teoria, dá ênfase especial ao processo de tomada de decisão dos competidores, 
tendo em vista que o objetivo final desses competidores é vencer, ou seja, conseguir al-
cançar vantagem competitiva.
13
A partir da definição de jogos de Gramigna (2007), temos:
Atividades livres
As pessoas jogam quando sentem vontade. Ninguém é obrigado a jogar 
nenhum tipo de jogo, caso não lhe dê prazer.
Participação de mais de uma pessoa
Alguns jogos dão a impressão de ter apenas um jogador. O xadrex jogado 
no computador, por exemplo. Podemos entender a situação dessa manei-
ra ou visualizar dois jogadores: o que está diante do monitor de vídeo e o 
idealizador do jogo, presente em sua capacidade inventiva.
Regras que determinam quem vencerá
Nesse item, encontram-se a diferença entre o jogo e outras técnicas. Ele 
explicita formas de vencer e declara aberta a competição entre os partici-
pantes. As regras devem ser claras no que se refere a destinar recompen-
sas, punições e limites aos jogadores.
Unindo o jogo à simulação, tem-se o que chamamos tecnicamente de jogo simulado. 
Essa é uma atividade planejada previamente pelo facilitador, na qual os jogadores são 
convidados a enfrentar desafios que produzem a realidade do seu dia a dia. Todas as 
decisões são de responsabilidade do grupo e as tentativas são estimuladas.
De acordo com Bierman e Fernandez (2011), a teoria dos jogos é uma teoria matemática 
criada para a modelagem de fenômenos que ocorre quando dois ou mais agentes de 
decisão encontram-se interagindo entre si a fim de obter vantagem competitiva.
A partir de um viés matemático, conforme afirma Sartini et al. (2004), um jogo deve apre-
sentar os seguintes elementos básicos:
14
Existe um conjunto finito de jogadores, representado por G = {g1, g2, ..., gn}, em que cada 
jogador gi G possui um conjunto finito Si = {si1, si2, ..., simi} de escolhas, ora denominadas 
tecnicamente de estratégias puras para o jogador gi (mi ≥ 2). Um vetor s = {s1j1, s2j2, ..., snjn}, 
em que sij é uma estratégia pura para o jogador gi G, é denominado um perfil de estra-
tégia pura. Ainda, o conjunto de todos os perfis de estratégia pura formam, portanto, um 
produto cartesiano
�
�
�
�
S = ∏ 𝑆𝑛
𝑖=1 i = S1 x S2 x ... x Sn,
denominado espaço de estratégia pura do jogo. Para cada jogador gi G, existe uma 
função utilidade
𝑢𝑖:𝑆 → 𝑅
𝑠 → 𝑢𝑖 𝑠 ,
que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador g1 a cada perfil de estratégia pura s S.
Classificação dos jogos
Os jogos podem ser classificados de diversas formas, conforme você pode ver a seguir:
Jogos de soma nula: são jogos em que a soma total dos benefícios colhidos por todos 
os jogadores é sempre igual a zero. Nesse tipo de jogo um jogador só pode ganhar se 
outro perder. Como exemplo pode-se citar o jogo de xadrez, jogo de poker etc. É consi-
derado perde-ganha.
Jogos de soma não nula: são jogos que não possuem a propriedade anterior, como o 
Dilema do Prisioneiro, em que o payoff total é dois anos de prisão se ambos ficam em 
silêncio e cinco anos se os dois prisioneiros confessam. Pode assumir a possibilidade de 
empate, dependendo exclusivamente do contexto no qual estiver inserido. É considerado 
ganha-ganha.
Jogos cooperativos: são jogos em que os jogadores podem comunicar e negociar entre 
si, cooperando com o grupo a fim de alcançar um objetivo comum. Como exemplo pode-
se citar o jogo de vôlei, jogo de futebol etc.
15
Jogos transparentes: também conhecidos como jogos de informação perfeita, são 
aqueles em que todos os jogadores têm acesso à mesma informação. Por exemplo, o 
xadrez é um jogo transparente, enquanto o jogo de pôquer não é.
Categorização dos jogos
Vamos ver a seguir como jogos podem ser categorizados? 
Quanto ao tipo de saída: 
a) Determinada: as saídas são precisamente definidas, 
dadas as estratégias tomadas. 
b) Probabilística: as probabilidades das diferentes saí-
das são conhecidas, dadas as estratégias tomadas. 
c) Indeterminada: as saídas possíveis são conhecidas 
dadas as estratégias tomadas, mas não suas probabi-
lidades.
Quanto ao número de jogadores:
a) Um jogador: apresenta apenas um jogador no cenário do jogo. Jogos com um jogador 
são ditos jogos contra a natureza, cujas estratégias podem ser triviais, probabilísticas ou 
indeterminadas.
b) Dois jogadores: apresenta apenas dois jogadores no cenário do jogo.
c) n jogadores (n > 2): apresenta mais que dois jogadores no cenário do jogo.
16
Quanto à natureza dos pagamentos:
a) Soma zero: a soma de todos os pagamentos é 
sempre igual a zero. 
b) Soma constante: a soma de todos os pagamen-
tos é constante e diferente de zero. 
c) Soma variável: não há nenhuma relação entre os 
pagamentos dos jogadores (alguns autores classifi-
cam como bonificação extra).
Quanto à natureza da informação: 
a) Informação perfeita: também conhecida como 
jogo transparente. É aquela em que há o conheci-
mento total de todos os movimentos anteriores. 
b) Informação imperfeita: nada, ou quase nada, é 
conhecido. 
Um jogo, portanto, pode ser caracterizado quanto ao tipo de saída, quanto ao número de 
jogadores, quanto à natureza do pagamento e quanto à natureza da informação.
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professor sobre teoria dos jogos e modelos matemáticos.
17
Tipos de jogos 
No estudo da teoria dos jogos, segundo Bierman e Fernandez (2011), existem alguns 
tipos bem específicos de jogos. Vamos conhecê-los?
Jogo de soma-zero e soma diferente de zero 
No jogo de soma-zero, o benefício total para todos os jogadores, para um conjunto com-
binado de estratégias, sempre será igual a zero. Por exemplo, o jogo de poker é um jogo 
de soma zero, visto que o vencedor recebe exatamente a soma das perdas de seus opo-
nentes, que ficam com zero. Outro exemplo clássico é o xadrez, pois o jogador vencedor 
ganha sua recompensa com base na perda do outro jogador.
Jogos de soma diferente de zero, como é o caso do famoso jogo do dilema do prisionei-
ro, apresentam algumas saídas com resultados combinados maior ou menor que zero. 
Isso quer dizer que o ganho atribuído a um jogador não necessariamente corresponde à 
perda do outro.
Caso novos jogadores possam ser acrescentados em um jogo, permitindo que 
as perdas venham compensar o total alcançado pelos vencedores, teremos um 
jogo de soma diferente de zero, ora transformado em um jogo típico de soma-
-zero.
Curiosidade
Jogos simultâneos e jogos sequenciais 
Os jogos simultâneos são aqueles cujos jogadores envolvidos movem-se simultanea-
mente, ou não, podendo descobrir as ações de seus oponentes. Aqui os jogadores pra-
ticam o mesmo jogo a partir da escolha de suas estratégias, das quais eles não se arre-
pendem. 
Os jogos simultâneos são representados por meio da modelagem na forma extensiva, ou 
seja, em forma de árvore. 
18
Os jogos sequenciais são aqueles em que o próximo jogador tem conhecimento da jo-
gada de seu antecessor. Aqui cada jogador está jogando o seu próprio jogo.
Os jogos sequenciais são representados por meio da modelagem na forma normal, ou 
seja, em forma de matriz. Aqui cada jogador joga seu próprio jogo dadas suas estraté-
gias, sem se arrepender de suas escolhas.
Informação perfeita
São jogos em que todos os jogadores têm as mesmas informações acerca do jogo, ou 
seja, todos os jogadores têm conhecimento prévio dos demais jogadores naquele cená-
rio do jogo.
Informação imperfeita
São jogos em que os jogadores não são munidos de todas as informaçõesnecessárias 
acerca do jogo naquele cenário.
Jogos finitos
São jogos que duram por um número finito de rodadas naquele mesmo cenário de jogo.
Jogos infinitamente longos
São jogos que duram por um número infinito de rodadas naquele mesmo cenário de 
jogo.
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professor sobre teoria dos jogos e mercado.
19
Representação dos jogos 
A representação do jogo está na situação de competição ou conflito entre dois ou mais 
oponentes ou jogadores que terão direito a certa recompensa ou premiação (BIERMAN; 
FERNANDEZ, 2011).
Em uma interpretação puramente matemática, tem-se que um jogo consiste de partici-
pantes, ora nomeados jogadores, com um conjunto de táticas próprias e uma definição 
singela de recompensa, tecnicamente denominado payoff, para cada combinação de es-
tratégias.
Existem duas formas de representação de jogos que são comuns na literatura: a forma 
extensiva e a forma normal (GRAMIGNA, 2007). A primeira utilizada para modelagem de 
jogos simultâneos, enquanto a segunda é utilizada para jogos sequenciais. Vamos enten-
der melhor a diferença entre elas? Acompanhe a explicação a seguir!
Forma extensiva 
A forma extensiva de um jogo tenta capturar jogos em que a ordem é importante. Os jo-
gos aqui são apresentados como árvores, em forma de grafos, conforme você pode ver 
ilustrado na figura abaixo:
Figura 3: Representação de modelo em forma de árvore.
J#1
8 0
A A
5 01 9
A
B B
B
1 6
J#2J#2
20
A figura acima apresenta a modelagem de um jogo sequencial, modelo em forma de 
árvore. Note que os nós / folha da árvore representam os pagamentos de ambos os joga-
dores, baseado em suas estratégias, tomadas de decisão de cada jogador, em que todos 
os valores em azul referem-se aos pagamentos do jogador 1. Da mesma forma, todos os 
valores em vermelho referem-se aos pagamentos do jogador 2.
Na literatura, também encontramos jogos simultâneos representados em forma de gra-
fos, conforme ilustra a figura a seguir.
Figura 4: Representação de modelo em forma de grafos.
J1
3 6
X X
3 28 4
X
Y Y
Y
4 3
J2J2
Forma normal 
O jogo (ou modo estratégia) normal é a representação de um modelo em forma de matriz 
que mostra os jogadores, as estratégias e os pagamentos que serão assumidos a partir 
de dado contexto, conforme ilustrado na figura abaixo:
A figura acima apresenta a modelagem de um jogo simultâneo, modelo em forma 
de matriz. Note que os quadrantes da matriz representam os pagamentos de ambos 
os jogadores, baseados em suas estratégias, tomadas de decisão de cada jogador,
Jogador 2
Jogador 1
C D
A 4,3 1,1
B 0,0 3,4
21
em que todos os valores em azul referem-se aos pagamentos do jogador 1. Da mesma 
forma, todos os valores em vermelho referem-se aos pagamentos do jogador 2.
Na modelagem do jogo sequencial abaixo, apresentam-se as alternativas X e Y para o 
jogador 1, enquanto as alternativas W e Z são apresentadas para o jogador 2.
Um jogo também é apresentado na forma narrativa, ou seja, na forma escrita ou escrita 
do jogo. Trata-se de uma narração ou estória que é contada (escrita) acerca de certo 
contexto de jogo que, após sua interpretação e entendimento, é necessário que seja feita 
a modelagem desse jogo, independentemente se esse jogo é simultâneo (modelagem na 
forma extensiva) ou sequencial (modelagem na forma normal). Vejamos dois exemplos 
a seguir.
Exemplo 1: 
Jogo simultâneo com modelagem na forma estendida
Em uma pequena cidade do interior de Minas Gerais, existem dois dentistas disputando 
um mercado, uma mesma demanda. Todas as recompensas citadas nesse jogo terão 
seus números multiplicados por R$1.000,00 e referem-se aos lucros no final de cada mês.
Inicialmente, somente existia o dentista 1 na cidade, e seus preços eram altos devido à 
falta de concorrência. Então, chega à cidade o dentista 2 e decide abrir seu consultório 
dentário em frente ao consultório dentário do dentista 1.
O dentista 2 precisa definir quanto irá cobrar por seus serviços. Se ele decidir por nivelar 
seus preços àqueles praticados pelo dentista 1, receberá um retorno de 10; o primeiro, por 
já estar estabelecido, fica com um retorno mais alto (DOBRO). O novo dentista também 
tem a opção de cobrar um preço mais barato que o primeiro. Isso fará com que grande 
parte dos clientes do dentista 1 passe a frequentar o consultório dentário do dentista 2, e
Jogador 2
Jogador 1
W Z
X 4,4 1,0
Y 0,1 3,3
22
agora o lucro dele é bastante alto (DOBRO), enquanto o dentista 1 passa a viver com 
R$2.000,00 mensais. Toda ação tem uma reação como retorno, e o primeiro dentista 
pode também baixar seus preços.
Dessa vez, mesmo estando nivelados, ambos estão ganhando menos, mas para o den-
tista 1, seis é melhor do que dois. É fácil ver nesse exemplo a dinâmica de uma guerra de 
preços. O dentista 2 abaixa um pouco seus preços, aumentando seu lucro até receber a 
resposta de seu concorrente, logo, passando a ter a metade do ganho.
Poder-se-ia questionar por que o segundo dentista mantém seus preços altos logo de 
início, ou por que os dois dentistas não entram em acordo e elevam seus preços juntos. 
Mas os dois são concorrentes diretos e a motivação para qualquer um deles reduzir o 
preço é muito alta.
O primeiro dentista pode resolver baixar seus preços, atraído pela perspectiva de ter seus 
lucros dobrados, enquanto seu concorrente fica com R$1.000,00 por mês, por se tratar 
de uma empresa entrante.
Veja como ficou a modelagem desse jogo:
Dentista 1
Dentista 2
20 40
10 120 10
Aumenta
Aumenta Aumenta
Diminui
DiminuiDiminui
2 6
Exemplo 2: 
Jogo sequencial com modelagem na forma estratégica 
A empresa 1 tem que decidir se lança, ou não, um produto substituto no mercado para 
competir com os produtos de seu concorrente, empresa 2. Esta última, por sua vez, tem de
23
decidir se investe ou não em gastos com publicidade e propaganda. Os lucros de cada 
empresa são acertados na forma estratégica, tomando como base a correspondência em 
milhões de reais. Caso a empresa 1 decida lançar um produto substituto, proporcionará 
lucros no valor de 5 milhões de reais, enquanto a decisão de não lançar um produto subs-
tituto produzirá lucros menores, no valor de 2 milhões de reais, se a empresa 2 aumentar 
seus gastos com publicidade e propaganda. Da mesma forma, caso a empresa 2 decida 
não aumentar seus gastos com publicidade e propaganda, lançar um produto substituto 
produzirá lucros maiores (7 milhões) do que não lançar um produto substituto (2 milhões).
Percebe-se que não importa o que a empresa 2 decida, pois é sempre melhor para a 
empresa 1 lançar um produto substituto no mercado.
Para concluir o jogo, quando a empresa 1 decide por lançar um produto substituto, a em-
presa 2 ganhará 5 milhões de reais se decidir aumentar os gastos com publicidade, caso 
contrário, ganhará apenas 3 milhões de reais.
A empresa 2 ganhará, com o aumento de gastos com publicidade, 4 milhões de reais, ou 
caso faça a opção de não aumentar seus gastos com publicidade e propaganda, ganhará 
7 milhões de reais, apenas se a empresa 1 resolver não lançar um produto substituto.
Vejamos como ficou a modelagem desse jogo:
Lança produto 
substituto
2,4 2,7
5,5 7,3
Não lança produto 
substituto
Investe em 
publicidade
Empresa 2
Em
pr
es
a 
1
Não investe em 
publicidade
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professor sobre teoria dos jogos e sua aplicação à economia.
24
NA PRÁTICA
Em certo mercado encarado como oligopólio, considera-se que as duas empresas, 
Empresa 1 e Empresa 2, já que trabalham com o mesmo tipo de produto, sob uma 
mesma demanda, conhecida por ambas as empresas, devem decidir se irão produzir 
uma quantidade de cadeiras para atender TODA a demanda, ou simplesmente para 
atender a METADE dela. A modelagem desse jogo é apresentada da seguinte forma:
Empresa 1
Empresa 2
1 1/2
1 11/2 1/2
Produz tudo
Produz 
tudo
Produztudo
Produz metade
Produz 
metade
Produz 
metade
1 1/2
25
Resumo da Unidade 1
Nesta unidade, você estudou a origem dos jogos, conceitos, princípios e fundamentos, 
classificação e categorização dos jogos, tipos de jogos, representação dos jogos na for-
ma extensiva para jogos simultâneos e na forma estratégica, utilizada para jogos se-
quenciais. Também foram apresentadas as formas de escrita e modelagem de jogos 
simultâneos e sequenciais.
Nesta unidade, destacaram-se:
• A origem dos jogos, sua classificação e categorização.
• A distinção entre os tipos de jogos existentes e suas formas de representação.
• A escrita e modelagem de jogos simultâneos e de jogos sequenciais, utilizando, 
para tanto, as formas extensiva e estratégica, respectivamente.
CONCEITO
26
Referências 
BIERMAN, H. S.; FERNANDEZ, L. Teoria dos jogos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011. Biblioteca Virtual.
GRAMIGNA, M. R. Jogos de empresa. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. Bi-
blioteca Virtual.
SARTINI, A. B. et al. Uma introdução à teoria dos jogos. In: BIENAL DA SOCIEDADE BRA-
SILEIRA DE MATEMÁTICA, 2., 2004, Salvador. Anais […]. Salvador: SBM, 2004.
SILVA, A. O. S.; MENDES, J. T. G. Economia e gestão. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. Biblioteca Virtual.
SUN TZU. A arte da guerra. 4. ed. Petrópolis: Vozes, 2014. Biblioteca Virtual.
Estratégias e tomada de decisão
UNIDADE 2
28
Esta unidade é importante para você, estudante, por permitir conhecer os aspectos de es-
tratégias baseadas em modelos da teoria dos jogos para tomada de decisão. O processo 
decisório que será estudado por meio do clássico dilema do prisioneiro, do equilíbrio de 
estratégias dominantes e também do equilíbrio de Nash, possibilitará o desenvolvimento 
de jogos simultâneos e sequenciais como também suas respetivas modelagens.
INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Aplicar o dilema do prisioneiro em processo de tomada de decisão.
• Desenvolver jogos com equilíbrio de estratégia dominante.
• Desenvolver jogos com equilíbrio de Nash.
29
Dilema do prisioneiro 
O dilema do prisioneiro foi originalmente formulado por Merrill Flood e Melvin Dresher 
enquanto trabalhavam na RAND — grupo estratégico militar —, em 1950. Mais tarde, Al-
bert W. Tucker fez a sua formalização com o tema da pena de prisão e deu ao problema 
geral o nome do jogo: dilema do prisioneiro (GRAMIGNA, 2007).
O jogo dilema do prisioneiro apresenta as seguintes regras:
1. Não se trata de um jogo de soma zero.
2. Sabe-se que o prisioneiro 1 encontra-se em uma cadeia “A”, enquanto o prisioneiro 2 
encontra-se em uma outra cadeia, “B”.
3. Ambos os prisioneiros não confiam um no outro.
4. Se o prisioneiro 1 confessar o crime e o prisioneiro 2 não confessar, o primeiro será 
libertado (payoff será igual a 0 anos de prisão), enquanto o segundo receberá um payoff 
de 10 anos de prisão.
5. Se o prisioneiro 1 e o prisioneiro 2 resolverem confessar o crime, ambos receberão um 
payoff de 5 anos de cadeia.
6. Se o prisioneiro 1 não confessar o crime e o prisioneiro 2 confessar o crime, o primeiro 
receberá um payoff de 10 anos de prisão, enquanto o segundo será libertado (payoff será 
igual a 0 anos de prisão.
7. Se os prisioneiros 1 e 2 resolverem não confessar o crime, ambos receberão um payoff 
de 2 anos de prisão.
Veja, na sequência, a modelagem na forma extensiva para o jogo do dilema do prisionei-
ro, caracterizado como um jogo simultâneo.
Prisioneiro 1
Prisioneiro 2
5 10
5 010 2
Confessa
Confessa
Confessa
Não confessa
Não confessa
Não confessa
0 2
30
O jogo do dilema do prisioneiro é considerado um jogo simétrico, pois ambos os 
jogadores recebem os mesmos ganhos a partir da escolha de suas estratégias.
O dilema do prisioneiro nos faz refletir sobre a tomada de decisão nas empre-
sas que, segundo Gramigna (2007), ora são classificadas como perspectiva do 
processo ou perspectiva do problema. A perspectiva do processo é uma pers-
pectiva universal e se concentra na tomada de decisão — processo decisório 
como uma consequência de atividades composta por três fases:
(i) Identificação do problema.
(ii) Definição da alternativa de solução.
(iii) Escolha da melhor alternativa.
Já a perspectiva do problema é uma perspectiva voltada para a resolução de 
problemas, em que o tomador de decisão pode aplicar métodos quantitativos 
para tornar o processo decisório mais racional possível. A resolução por meio 
da teoria dos jogos se encaixa perfeitamente nessa perspectiva.
Curiosidade
Exemplo prático: 
Considera-se o jogador 1 uma empresa já estabelecida no mercado há mais de 10 
anos, denominada tecnicamente de empresa dominante, e o jogador 2 uma empre-
sa recentemente criada, menos de 1 ano, considerada tecnicamente como empresa 
entrante, que concorre no mesmo mercado do jogador 1. Ambos são fortemente mo-
vidos pela vontade de competir em um mercado fortemente concorrido em busca de 
vantagem competitiva.
Tanto o jogador 1 quanto o jogador 2 podem escolher as mesmas estratégias, ou seja, 
podem decidir subir ou descer os preços de seus produtos para tornar-se cada vez 
mais competitivos. 
Caso o jogador 1 decida subir seus preços, receberá uma recompensa de 15, somente se 
o jogador 2 também resolver subir seus preços para se manter competitivo, recebendo, 
portanto, um payoff de 5. Mas se o jogador 1 resolver subir seus preços e o jogador 2 
optar pela estratégia de descer seus preços, ambos receberão 10 de recompensa.
31
O jogador 1 pode escolher como estratégia descer seus preços recebendo uma recom-
pensa de 25 e 12, respectivamente, quando o jogador 2 resolver subir seus preços, resul-
tando em um payoff de 2, ou resolver descer seus preços, resultando em um payoff de 8.
Vejamos a modelagem desse jogo na forma estendida, por se tratar de um jogo simul-
tâneo:
Jogador 1
Jogador 2
15 25
5 210 8
Sobe
SobeSobe
Desce
DesceDesce
10 12
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professor sobre o dilema do prisioneiro.
32
Equilíbrio de estratégia dominante 
Encontrar o ponto de equilíbrio é algo desejável por todas as pessoas. Mas nem sempre 
conseguimos encontrar em um jogo esse ponto de equilíbrio. Segundo Bierman e Fer-
nandez (2011), estamos interessados em responder a seguinte pergunta: 
Dado um conjunto de restrições exógenas e um conjunto de jogadores racionais em um 
jogo e todas as informações sobre os objetivos desses tomadores de decisões, qual a 
melhor estratégia que cada um deles deve adotar?
Para responder a essa pergunta, devemos considerar alguns aspectos importantes em 
que o próprio comportamento do indivíduo no jogo influencia o resultado desse jogo. 
Dentre todas as ciências que avaliam comportamentos, a microeconomia é aquela que 
mais se aproxima do estudo da competição e do comportamento competitivo entre duas 
ou mais empresas (SILVA; MENDES, 2014). Na literatura, existem três grandes escolas de 
pesquisa em microeconomia que influenciam diretamente as pesquisas de estratégias: 
Economia da 
organização industrial
Economia 
chamberliniana
Economia 
schumpeteriana
Para nossas aplicações no estudo da teoria dos jogos, iremos considerar os vieses da 
economia da organização industrial. Nesse viés, surge o estudo voltado à chamada Nova 
Organização Industrial (New Industrial Organization – NIO), que apresenta cinco pontos 
importantes para o estudo da teoria dos jogos, conforme você pode ver a seguir:
1. Bem-estar públicos versus lucros privados: estratégias de maximização de lucros 
são desenvolvidas para jogos de soma não zero, o que fez aproximar a organização in-
dustrial da análise de lucratividade privada, o que antigamente era focado no bem-estar 
público.
2. Lucros médios versus lucros diferenciados: a velha organização industrial tinha a 
lucratividade como parâmetro de mensuração da rentabilidade média do setor industrial, 
enquanto a nova organização industrial se detém na análise dos aspectosestruturais e 
estratégicos que permitem que as empresas do setor industrial tenham lucros diferencia-
dos de suas competidoras.
33
3. Similaridade versus diferenças entre indústrias: a velha organização industrial, que 
valorizava as semelhanças estruturais de cada setor, enquanto a nova organização in-
dustrial é sensitiva ao comportamento de cada indústria.
4. Determinismo estrutural versus endogenidade: a nova organização industrial se 
opõe ao determinismo estrutural aceito pela velha organização industrial, pois reconhece 
que diversos elementos componentes da estrutura da indústria não podem ser tratados 
como exógenos, e sim como endógenos. 
5. Análise estática versus análise dinâmica: a teoria dos jogos conseguiu introduzir 
algum dinamismo na nova organização industrial, reduzindo o caráter estático da velha 
organização industrial. 
Na visão da nova organização industrial, as empresas passaram a considerar suas es-
tratégias cada vez mais dominantes, caracterizando, portanto, os chamados jogos com 
estratégia dominante.
Um jogo com estratégia dominante é aquele que é caracterizado por ser a melhor estra-
tégia adotada para um jogador em todos os casos, independentemente das estratégias 
utilizadas pelos demais jogadores.
O termo “idiossincrasia” refere-se a uma característica de comportamento pe-
culiar de um indivíduo ou de determinado grupo. Em nosso caso, está direta-
mente relacionado ao comportamento das indústrias diante de um mercado 
altamente competitivo, mutável, globalizado e fortemente desleal, uma verda-
deira “selva de pedra”.
O termo “exógeno” indica que algo provém do exterior, ou que é devido a causas 
externas. Já o termo “endógeno” indica que algo provém do interior, ou que é 
devido a causas internas. 
Curiosidade
Curiosidade
34
Segundo Bierman e Fernandez (2011), a estratégia S1 domina estritamente a estratégia 
S2 de um jogo se, dada qualquer coleção de estratégias que poderiam serem adotadas 
pelos demais jogadores, adotar S1 resultar em uma recompensa estritamente mais alta 
para este jogador do que adotar S2. Diz-se também que a estratégia S2 é estritamente 
dominada por S1. Um jogador racional nunca adotará uma estratégia estritamente domi-
nada nem esperará que um oponente racional a adote.
Uma estratégia estritamente dominante é aquela que domina estritamente to-
das as demais estratégias de um jogador, dadas as opções apresentadas pelos 
demais jogadores. Um jogador considerado racional, irá sempre adotar esta 
opção de ação.
Saiba mais
No estudo da teoria dos jogos, alguns autores simplificam o termo estratégia estrita-
mente dominante usando apenas estratégia dominante. 
Vejamos um exemplo do jogo. Em certo mercado, existem dois jogadores que precisam 
decidir em fazer ou não fazer uma parceria entre eles, a fim de criar uma barreira de 
entrada para um terceiro jogador que tem como objetivo participar do mesmo mercado 
desses dois jogadores. Caso o jogador 1 resolva fazer a parceria, ganhará um payoff de 
10 se o jogador 2 também resolver fazer a parceria, ou ganhará um payoff de 15 caso o 
jogador 2 resolva não fazer a parceria. Decerto as recompensas para o jogador 2 serão 
de 5 ou 0, caso ele também decida fazer a parceria ou caso não decida pela parceria, 
respectivamente.
No entanto, o jogador 1 pode decidir não querer fazer a parceria com o jogador 2, embora 
este esteja decidido por fazê-la, o que resultaria em um payoff de 6 para o jogador 1 e 8 
para o jogador 2. 
Para que a parceria se concretize, é necessário que ambos os jogadores desejem que ela 
seja realizada. Não obstante, ambos os jogadores podem decidir em não fazer a parce-
ria, o que resultaria em um payoff de 20 para o jogador 1, restando para o jogador 2 um 
payoff de 2.
35
A modelagem desse jogo é feita na forma estendida, forma de árvore, por se tratar de um 
jogo simultâneo.
Ao analisar o jogo, percebe-se claramente que para o jogador 2, fazer a parceria é uma 
estratégia estritamente dominante pois, independentemente da escolha do jogador 1, 
sempre ocasionará vantagem competitiva.
Portanto, a estratégia dominante para o jogador 2 é fazer parceria, independentemente 
da escolha do jogador 1.
Existem jogos em que ambos os jogadores podem apresentar estratégia dominante, o 
que, nesse caso, configuraria um equilíbrio de estratégia dominante. Então, para que 
haja um equilíbrio de estratégia dominante, é necessário que tanto o jogador 1 quanto o 
jogador 2 tenham estratégia dominante, no mesmo jogo.
Jogador 1
Jogador 2
10 6
5 80 2
Faz
FazFaz
Não faz
Não fazNão faz
15 20
Jogador 1
Jogador 2
10 6
5 80 2
Faz
FazFaz
Não faz
Não fazNão faz
15 20
36
Vejamos outro exemplo do jogo. Em uma dinâmica de mercados, existem dois jogadores 
que estão à procura de maximizar suas vendas, considera-se que ambos os jogadores 
estão inseridos no mesmo setor de serviço cujo jogo é considerado de informação 
perfeita. Assim, os jogadores precisam decidir em elevar ou reduzir os preços de seus 
produtos, visando maximizar suas vendas, em busca de alcançar mais vantagem 
competitiva. Nesse caso, se o jogador 1 resolve elevar seus preços, ele ganhará 12 
enquanto o jogador 2 ganhará 5 se também decidir por elevar seus preços. No entanto, 
nesse cenário, se o jogador 2 resolver deixar apenas o jogador 1 elevar seus preços, 
decidindo, portanto, pela redução dos preços de seus produtos, terá 2 como payoff, 
enquanto o jogador 1 ganhará 25.
Nessa dinâmica de concorrência de mercado, o jogador 1 pode decidir pela redução de 
seus preços. Isso ocasionaria um payoff de 8 se o jogador 2 resolvesse elevar seus pre-
ços para ganhar 10, ou um payoff de 15, caso o jogador 2 também resolvesse por reduzir 
os preços de seus produtos, ficando, portanto, com uma recompensa de 6. 
Por se tratar de um jogo simultâneo, a modelagem desse jogo é feita na forma estendida, 
ou seja, em forma de árvore.
Jogador 1
Jogador 2
12 8
5 102 6
Elevar
ElevarElevar
Reduzir
ReduzirReduzir
25 15
Ao analisar o jogo, percebe-se claramente que, para o jogador 1, elevar seus preços é 
uma estratégia estritamente dominante, pois, independentemente da escolha do joga-
dor 2, sempre ocasionará vantagem competitiva.
37
Jogador 1
Jogador 2
12 8
5 102 6
Elevar
ElevarElevar
Reduzir
ReduzirReduzir
25 15
Jogador 1
Jogador 2
12 8
5 102 6
Elevar
ElevarElevar
Reduzir
ReduzirReduzir
25 15
No entanto, ao analisar o jogo com vistas ao outro jogador, percebe-se claramente que, 
para o jogador 2, também elevar seus preços é uma estratégia estritamente domi-
nante, pois, independentemente da escolha do jogador 1, sempre ocasionará vantagem 
competitiva.
Então, a modelagem desse jogo ilustra um exemplo claro de equilíbrio de estratégia 
dominante – EED, pois no mesmo jogo, para ambos os jogadores, existe uma estratégia 
que, ao ser adotada, configura claramente vantagem competitiva.
38
Jogador 1
Jogador 2
EED
12 8
5 102 6
Elevar
ElevarElevar
Reduzir
ReduzirReduzir
25 15
O perfil de estratégias {S1, S2, ..., Sn} é um equilíbrio de estratégia dominante ou equilí-
brio de estratégia estritamente dominante se, para qualquer jogador i, Si for uma estra-
tégia estritamente dominante (BIERMAN; FERNANDEZ, 2011).
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre o equilíbrio de estratégia dominante.
39
Equilíbrio de Nash 
No equilíbrio de Nash, nenhum jogador se arrepende de sua estratégia, em função das 
posições de todos os outros jogadores (GRAMIGNA, 2007). Em outras palavras, um jo-
gador não está necessariamente feliz com as táticas e estratégias dos demais jogadores, 
ele apenas está feliz, satisfeito com a estratégia que escolheu em face das escolhas dos 
outros jogadores.
Em seu trabalho de doutorado, 1950, John Forbes Nash elaborou um modelo matemá-
tico que expressava o até então equilíbrio, hoje reconhecido como equilíbrio de Nash.
Def. equilíbrio de Nash (EN) a = é um Equilíbrio deNash se ∀ i, ai ∈ BR ( 
a – i ). Onde BR = Best Response, ou seja, a melhor resposta. 
John Forbes Nash, em sua tese de doutoramento intitulada Jogos não cooperativos, 
determina o equilíbrio numa competição, em queum jogador busca fazer o melhor para 
ele e também para os demais jogadores que se encontram naquela competição. Quando 
isso ocorre, existirá um Equilíbrio de Nash.
Suponha que existam N jogadores em um jogo, Xi seja o conjunto de estratégias possí-
veis para o jogador i e vi (Si, ..., Sn) seja a recompensa do jogador i quando os jogadores 
escolherem o perfil de estratégias {Si, ..., Sn}. Um equilíbrio de Nash constitui um perfil 
de estratégias {S*i, ..., S*n} tal que cada estratégia S*i é um elemento de Xi e maximiza a 
função fi(x) = vi (S*i, ..., S*i-1, x, S*i+1, ..., S*n) entre todos os elementos de Xi, isto é, em um 
equilíbrio de Nash, a estratégia de equilíbrio de cada jogador é a melhor resposta à cresça 
de que os outros jogadores adotarão suas estratégias de equilíbrio de Nash (BIERMAN; 
FERNANDEZ, 2011).
Na verdade, John Nash enxergou uma lacuna na teoria da dinâmica dos governos de 
Adam Smith, considerado o pai da economia moderna, que afirma que, em uma compe-
tição, a ambição individual serve para o bem comum. Nash analisou a assertiva de Adam 
Smith e notou que ela estava incompleta, pois, em uma competição, o melhor resultado 
é obtido quando todos no grupo fazem o melhor para si e também para o grupo.
40
Exemplo prático: 
Duas empresas concorrem ao mercado de eletrodomésticos, em que o jogador 1 tem 
como opção subir ou descer seus preços como estratégia para maximizar seus lucros. 
Enquanto isso, o jogador 2 tem como opção fazer ou não publicidade como estratégia 
para maximização de suas vendas, tendo em vista as possíveis estratégias do jogador 
1. Nesse caso, se o jogador 1 decide pela estratégia de subir seus preços, o jogador 2 
pode optar em fazer ou não publicidade visando maximizar suas vendas. Se isso ocorrer, 
o jogador 1 terá como payoff 10, caso o jogador 2 decida por fazer publicidade, tendo, 
portanto, um payoff de 5. Ou terá um payoff de 15, caso o jogador 2 decida por não fazer 
publicidade, ficando assim com 0 de payoff.
No entanto, o jogador 1 pode decidir pela estratégia de descer seus preços ganhando 6 e 
20, respectivamente, caso o jogador 2 resolva fazer publicidade, tendo uma recompensa 
de 8. Pode também não fazer publicidade e assim ganhar uma recompensa de 2.
Modele na forma estratégica esse jogo que é caracterizado como um jogo sequencial.
Subir
(6,8) (20,2)
(10,5) (15,0)
Descer
Publicidade
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não publicidade
Em seguida, vamos analisar a modelagem do jogo. Pega-se, portanto, as possíveis estra-
tégias do jogador 1 (subir ou descer seus preços) e compara-se com cada estratégia do 
jogador 2 (fazer ou não publicidade), analisando onde haverá maior vantagem competiti-
va. Iremos obter então, o seguinte resultado:
Subir
(6,8) (20,2)
(10,5) (15,0)
Descer
Publicidade
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não publicidade
41
Note que, quando o jogador 2 escolhe fazer publicidade, o jogador 1 pode escolher a 
estratégia de subir ou descer seus preços. Se escolher subir os preços, terá 10 como 
recompensa, mas se escolher descer, sua recompensa passará a ser 6. Logo, entre 10 e 
6, marca-se a maior recompensa para o jogador 1, que nesse caso é 10. 
Da mesma forma, quando o jogador 2 escolhe não fazer publicidade, o jogador 1 pode 
escolher a estratégia de subir ou descer seus preços. Se escolher subir terá 15 como re-
compensa, mas se escolher descer, sua recompensa passará a ser 20. Logo, entre 15 e 
20, marca-se a maior recompensa para o jogador 1, que nesse caso é 20.
Agora, devemos fazer a mesma análise para as possíveis escolhas do jogador 2. Pe-
ga-se, portanto, as estratégias do jogador 2 (fazer ou não publicidade) e compara-se 
com cada estratégia do jogador 1 (subir ou descer seus preços), verificando onde haverá 
maior vantagem competitiva. Iremos obter então, o seguinte resultado:
Note que, quando o jogador 1 escolhe subir seus preços, o jogador 2 pode escolher a 
estratégia de fazer ou não publicidade. Se escolher fazer publicidade, terá 5 como recom-
pensa, mas se escolher não fazer publicidade, sua recompensa passará a ser 0. Logo, 
entre 5 e 0, marca-se a maior recompensa para o jogador 2, que nesse caso é 5. 
Da mesma forma, quando o jogador 1 escolhe descer seus preços, o jogador 2 pode 
escolher a estratégia de fazer ou não publicidade. Se escolher fazer publicidade, terá 8 
como recompensa, mas se escolher não fazê-la, sua recompensa passará a ser 2. Logo, 
entre 8 e 2, marca-se a maior recompensa para o jogador 2, que nesse caso é 8.
Para se determinar o equilíbrio de Nash, deve-se considerar a ocasião em que ambos 
os jogadores apresentaram maior vantagem competitiva. Essa análise não reporta uma 
verificação individual de cada jogador, pois a maior recompensa individual do jogador 
1 foi o payoff de 20 e, a maior recompensa individual do jogador 2 foi o payoff de 8. No 
entanto, ao nos lembrarmos da definição e das propriedades do Equilíbrio de Nash, en-
xergamos que a análise estaria sendo feita de forma errada caso fosse considerada a
Subir
(6,8) (20,2)
(10,5) (15,0)
Descer
Publicidade
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não publicidade
42
maior recompensa do jogador 1 ou a maior recompensa do Jogador 2. Lembre-se de 
que não estamos falando de Adam Smith (Dinâmica dos governos).
Dessa forma, Nash afirma que o equilíbrio está onde o competidor faz o melhor para ele 
e também para os demais competidores. Nesse caso, o jogador 1 assume a estratégia 
de subir seus preços, enquanto isso, o jogador 2 resolve fazer publicidade. Vejamos a 
modelagem do jogo e observemos onde existe equilíbrio de Nash. 
Portanto, na modelagem, onde aparecer tanto uma vantagem competitiva para o jogador 
1, quanto para o jogador 2, haverá um equilíbrio de Nash.
Ao observar a modelagem, destaca-se nesse exemplo o quadrante onde existe tanto 
marcação para o jogador 1, quanto para o jogador 2, (10, 5).
Subir
(6,8) (20,2)
(10,5) (15,0)
Descer
Publicidade
Jogador 2
Jo
ga
do
r 1
Não publicidade
MIDIATECA
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professor sobre o equilíbrio de Nash.
43
NA PRÁTICA
As empresas modernas buscam aplicar modelos matemáticos da teoria dos jogos, 
a fim de obter vantagem competitiva sobre a escolha de suas melhores estratégias 
diante um mercado totalmente mutável, globalizado e fortemente competitivo. Fazer 
a modelagem de um jogo, independentemente se for na forma estendida ou estraté-
gica, representa apenas o primeiro passo para o processo de análise para tomada de 
decisão, pois depois de modelar o jogo, é necessário identificar se o jogo apresenta 
equilíbrio efetivamente. No processo de análise, busca-se identificar o equilíbrio de 
estratégias estritamente dominantes e também, se for o caso, o equilíbrio de Nash.
Então, a partir do processo de análise, é permitido à empresa aprimorar seu proces-
so de tomada de decisão em busca de vantagem competitiva.
44
Resumo da Unidade 2 
Nesta unidade, você estudou o clássico dilema do prisioneiro, utilizado para o aprimora-
mento do processo de tomada de decisão nas organizações. Além disso, compreendeu 
o equilíbrio de estratégia dominante e o equilíbrio de Nash, o que permite que você escre-
va e modele jogos simultâneos e sequenciais.
CONCEITO
Nesta unidade, destacaram-se o desenvolvimento da escrita e da modelagem de 
jogos simultâneos e sequenciais baseados no clássico dilema do prisioneiro, a partir 
do qual analisou-se a existência de equilíbrio de estratégia dominante e também o 
equilíbrio de Nash.
45
Referências 
BIERMAN, H. S.; FERNANDEZ, L. Teoria dos jogos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011. Biblioteca Virtual.
GRAMIGNA, M. R. Jogos de empresa. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. Bi-
blioteca Virtual.
SILVA, A. O. S.; MENDES, J. T.G. Economia e gestão. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. Biblioteca Virtual.
Política comercial estratégica 
e oligopólio
UNIDADE 3
47
Esta unidade é importante por permitir conhecer os aspectos de estratégias baseadas 
em modelos da teoria dos jogos aplicados a problemas de política comercial e oligopólio. 
Serão estudados os modelos de Cournot e Bertrand, os quais permitem ao estudante 
escrever e modelar jogos dessa natureza.
INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Aplicar o modelo de Cournot para jogos políticos comerciais estratégicos.
• Aplicar o modelo de Bertrand para jogos políticos comerciais estratégicos.
• Desenvolver jogos para aplicações de monopólio contestável.
48
Modelo de Cournot 
Conforme afirmam Bierman e Fernandez (2011), a economia se distingue entre as ciên-
cias sociais por ter um núcleo unificador de hipóteses: ganância, racionalidade e equi-
líbrio. Os economistas entendem que todos os tomadores de decisões se empenham 
para maximizar algo. É nesse sentido que são “gananciosos”. Consideram também que 
tomadores de decisões são “racionais” no sentido de que agem de modo a fazer o me-
lhor que podem, dadas algumas restrições. Essa tendência à maximização é limitada 
por recursos. Tomadores de decisões interagem por meio de instituições que se supõe 
estarem constantemente os levando a algum tipo de estabilidade ou equilíbrio.
Mendes (2014) afirma que não importa o tamanho de uma empresa: todas devem tomar 
decisões sobre a produção. E produção envolve custos que podem resultar em lucro ou 
prejuízo. Nada é 100% certo e exato, pois riscos devem ser considerados em qualquer as-
pecto de tomada de decisão. Vale ressaltar que metade das novas pequenas empresas 
não chega a completar um ano de existência, ou seja, vai à falência por falta de planeja-
mento no processo de tomada de decisões, principalmente no que tange à questão da 
escolha dos modelos de tomada de decisão assumidos por essas empresas.
Muitos mercados importantes não são nem perfeitamente competitivos nem perfeita-
mente monopolizados. Como exemplo temos o mercado de automóveis, as redes de 
transmissão televisivas, os serviços telefônicos de longas distâncias, as aeronaves mili-
tares de alto desempenho e os equipamentos de geração de eletricidade. Esses merca-
dos geralmente são denominados oligopolistas ou imperfeitamente competitivos. 
Na verdade, existem três tipos de mercados básicos no estudo da economia: concorrên-
cia, monopólio e oligopólio (MENDES, 2014). 
Concorrência
A concorrência é de certo modo o tipo ideal de 
comportamento de mercado em que duas ou 
mais empresas buscam alcançar vantagem com-
petitiva por meio de produtos ou serviços 
de qualidade por um custo menor. 
49
Monopólio
Em linhas gerais, o monopólio é a ausência de 
concorrentes em determinado setor da economia, 
resultando na existência de apenas um fornecedor, 
caracterizando o que chamamos de concorrência 
imperfeita. 
Oligopólio
O oligopólio é carcterizado por poucos fornece-
dores, cada um detendo uma grande parcela do 
mercado. É sensível a mudança de preço e repre-
senta uma estrutura de mercado de concorrência 
imperfeita. 
Muitas vezes, o oligopólio e o monopólio são restringidos por leis, especialmente quando 
o produto em questão é considerado fundamental à economia. 
Em mercados oligopolistas, as decisões de precificação e produção de cada empresa no 
setor têm um efeito significativo sobre a lucratividade de seus competidores. Essas em-
presas nem são competitivas tomadoras de preços, nem são monopolistas definidoras 
de preços. Seus preços e níveis de produção são escolhas estratégicas em um jogo de 
oligopólio.
O jogo de Cournot
Em 1838, Augustin Cournot, um dos primeiros economistas matemáticos, descreveu um 
modelo destinado a explicar como empresas em setores com estruturas industriais que 
variavam de duopólios a competição perfeita escolheriam sua produção na tentativa de 
maximizar lucros. Dois aspectos destacam o modelo de Cournot em relação a grande 
parte dos trabalhos de economia daquela época (MENDES, 2014). O primeiro é que ele 
apresentava suas ideias em forma de um modelo rigoroso no qual premissas eram cla-
ramente estipuladas e relações funcionais ficavam explícitas. O segundo é que os lucros
50
de cada empresa dependiam do que as outras empresas decidiam fazer. Ao mesmo 
tempo que o modelo de Cournot precedeu a invenção da teoria dos jogos, foi também 
um importante predecessor do trabalho realizado mais tarde por von Newmann, Mor-
genstern, Nash, dentre outros.
No modelo de Cournot, o preço de mercado é determinado pela produção total de todas 
as empresas de um setor de negócio. Nenhuma empresa individual controla de forma 
direta o preço de mercado, e todas elas recebem por seus produtos exatamente o mes-
mo preço de mercado. Podemos deduzir que no modelo de Cournot o preço não é uma 
variável estratégica. Ele também considerou que os produtos fabricados por todas as 
empresas são idênticos e que os totais produzidos apareceriam no mercado de modo 
simultâneo. Segundo Bierman e Fernandez (2011), o preço do produto é sempre igual ao 
equilíbrio do mercado.
O modelo de Cournot considera que o preço do mercado por unidade de produção, P, 
recebido por todas as empresas, é função crescente do total produzido por todas as em-
presas, QT, de modo que , onde Q é a produção da empresa i. Isto é:QT = ∑ 𝑄𝑖𝑛
𝑖=1
P= P( QT) e 𝑑𝑃(𝑄𝑇)
𝑑𝑄𝑇
ou mais equilíbrios de Nash.
Existe equilíbrio de Nash?
53
Empresa 1
Equilíbrio 
de Nash
Empresa 2
1 1/2
1 11/2 1/2
Produz tudo
Produz 
tudo
Produz 
tudo
Produz metade
Produz 
metade
Produz 
metade
1 1/2
A resposta a essa pergunta é sim, há equilíbrio de Nash, conforme foi sinalizado anterior-
mente.
Ainda, considerando o aspecto da conceituação, Mendes (2014) afirma que dois pro-
dutos fabricados por empresas diferentes são considerados homogêneos quando os 
consumidores não percebem diferenças na qualidade dos dois produtos e, portanto, ba-
seiam suas decisões sobre qual produto adquirir considerando apenas o preço, indepen-
dentemente do fabricante. Como hipótese de conduta, adotaremos o pressuposto de 
que cada empresa busca maximizar seu lucro, segundo Cournot, ora classificado como 
recompensa.
O lucro de cada empresa é determinado pela diferença entre sua receita e seus cus-
tos. Desse modo, temos de definir a receita e os custos de cada empresa, de forma a 
construir uma função de recompensa para cada uma delas. Vamos iniciar a função de 
recompensa pela receita de cada empresa, onde a receita refere-se ao produto do preço 
de mercado pela quantidade vendida por cada empresa.
Para simplificar, vamos supor que o preço de mercado é dado por uma função de de-
manda linear do tipo:
p( q) = A - b( q1+ q2)
54
Em que p(q) é o preço de mercado como função da quantidade, q é a quantidade total 
produzida e vendida no mercado, A e b são constantes, q1 é a quantidade produzida e 
vendida pela empresa 1, e q2 é a quantidade produzida e vendida pela empresa 2. Obvia-
mente, q = q1 + q2.
A receita total de uma empresa é o produto do preço de mercado pela quantidade produ-
zida e vendida (MENDES, 2014). A consistência entre o equilíbrio no modelo de Cournot e 
a noção de equilíbrio do conceito de Nash levou alguns autores a chamarem esse equi-
líbrio de Cournot-Nash para enfatizar a coerência entre as duas análises, embora sejam 
diferentes. 
O modelo de Cournot é conhecido como o modelo de determinação simultânea 
de quantidades.
Curiosidade
Vamos analisar o seguinte jogo: 
A empresa 1 tem que decidir se lança, ou não, um produto substituto no mercado para 
competir com os produtos de seu concorrente, empresa 2. Esta última, por sua vez, tem 
de decidir se investe ou não em gastos com publicidade e propaganda. Os lucros de cada 
empresa são assentados na forma estratégica, tomando como base a correspondência 
em milhões de reais em que, caso a empresa 1 decida lançar um produto substituto, 
proporcionará lucros no valor de 5 milhões de reais, enquanto a decisão de não lançar 
um produto substituto produzirá lucros menores, no valor de 2 milhões de reais, se a em-
presa 2 aumentar seus gastos com publicidade e propaganda. Da mesma forma, caso a 
empresa 2 decida não aumentar seus gastos com publicidade e propaganda, lançar um 
produto substituto produzirá lucros maiores (7 milhões) do que não lançar um produto 
substituto (2 milhões).
Percebe-se que não importa o que a empresa 2 decida, pois é sempre melhor para a 
empresa 1 lançar um produto substituto no mercado.
Para concluir o jogo, quando a empresa 1 decide por lançar um produto substituto, a em-
presa 2 ganhará 5 milhões de reais se decidir aumentar os gastos com publicidade, caso 
contrário, ganhará apenas 3 milhões de reais.
55
Com o aumento de gastos com publicidade, a empresa 2 ganhará 4 milhões de reais, ou, 
caso faça a opção de não aumentar seus gastos com publicidade e propaganda, ganhará 
7 milhões de reais apenas se a empresa 1 resolver não lançar um produto substituto.
Vejamos como ficou a modelagem desse jogo:
Para a modelagem do jogo, utilizamos a forma normal por se tratar de um jogo sequen-
cial. Note que a estratégia estritamente dominante ocorre para o jogador 1, pois em am-
bas as decisões do jogador 2, a melhor estratégia é lançar produto substituto.
Na modelagem desse jogo, também é possível identificar a existência do equilíbrio de 
Nash no primeiro quadrante, (5, 5), que, se associado ao parâmetro de quantidade, pode-
ria ser chamado de equilíbrio de Cournot-Nash.
Lança produto 
substituto
2,4 2,7
5,5 7,3
Não lança produto 
substituto
Investe em 
publicidade
Empresa 2
Em
pr
es
a 
1
Não investe em 
publicidade
Lança produto 
substituto
2,4 2,7
5,5 7,3
Não lança produto 
substituto
Investe em 
publicidade
Empresa 2
Em
pr
es
a 
1
Não investe em 
publicidade
Lança produto 
substituto
2,4 2,7
5,5 7,3
Não lança produto 
substituto
Investe em 
publicidade
Empresa 2
Em
pr
es
a 
1
Não investe em 
publicidade
56
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professor sobre a teoria dos jogos.
57
Modelo de Bertrand 
Como seria de suspeitar, o modelo de Cournot gerou muitas críticas. Uma das mais 
sérias é que a empresa do mundo real normalmente escolhe seus próprios preços e os 
consumidores determinam as vendas das empresas. Essa premissa forma a base do 
modelo de oligopólio desenvolvida por Joseph Bertrand. Visto que o modelo de Cournot 
considera que a quantidade produzida por cada empresa afeta o preço de mercado, seria 
de imaginar que a competição em preços já está embutida nesse modelo. Portanto, tam-
bém poderíamos imaginar que acrescentar competição explícita em preços não altera 
muito o resultado (BIERMAN; FERNANDEZ, 2011).
De acordo com Mendes (2014), o modelo de Bertrand recebeu esse nome em homena-
gem ao nome do matemático francês Joseph Louis François Bertrand (1822-1900), seu 
inventor, ora usado para a determinação simultânea de preços.
O modelo de Bertrand é conhecido como o modelo de determinação simultâ-
nea de preços.
Curiosidade
O modelo de Bertrand sem restrição de capacidade 
Considere duas empresas concorrentes ofertando ao mercado bens da mesma natu-
reza, cujos preços são estabelecidos ao mesmo tempo. Pelo fato de os consumidores 
não perceberem diferença entre os produtos das duas empresas, caso uma delas resol-
va aumentar seu preço em relação ao preço da outra, aquela que resolveu ter o preço 
mais alto, certamente terá suas vendas reduzidas a zero. No entanto, se os preços de 
ambas as empresas forem os mesmos, elas irão dividir o mercado igualmente. Vamos 
admitir que apenas uma das empresas conseguiria atender todo o mercado sozinha, 
caso houvesse necessidade, desde que seu preço seja igual ou superior ao custo mar-
ginal de produção. 
58
Nesse contexto, qual será o preço de equilíbrio dado pelas duas empresas?
Note que uma função de recompensa é necessária diante das inúmeras opções de es-
tratégias existentes. Então, a curva de demanda do mercado existente entre as duas em-
presas é dada pela expressão: q(p) = 100 – p, em que q é a quantidade total produzida e 
ofertada, e p é o preço do produto. Não obstante, como q será distribuído pelas duas em-
presas, então qual das duas empresas, na verdade, irá determinar p, o preço de mercado?
Desse modo, só existe um par de preços que é a melhor resposta um ao outro e vice-ver-
sa: é o par (pi*, pj*), tal que pi* = p2* = c. Qualquer preço acima desse valor c deixaria a 
empresa que o adotou vulnerável a um preço que fosse ligeiramente inferior ao seu, ainda 
que maior do que c, e que capturaria todo o mercado.
Conclusão: quem tiver o maior preço, venderá menos, já que ambas, por conhecer a de-
manda, podem produzir a mesma quantidade. Simples assim.
Qualquer preço inferior a c também não seria adequado, pois o valor recebido pela última 
unidade produzida seria inferior a seu custo, e a empresa que tivesse adotado esse preço 
inferior a c teria prejuízo.
O chamado paradoxo de Bertrand afirma que, melhor do que ter prejuízo é ter 
lucro zero. Assim, a melhor resposta a um preço igual ao custo de produzir 
mais uma unidade; portanto, é outro preço igual ao custo de produzir mais uma 
unidade.
Curiosidade
O resultado que acabamos de obter é consequência da aplicação da lógica do equilíbrio 
de Nash ao modelo de determinaçãosimultânea de preços, dadas as hipóteses inicial-
mente assumidas: a única combinação de estratégias que é recíproca e, simultaneamen-
te, a melhor resposta possível, uma à outra, é pi*= pj* = c, com ambas as empresas tendo 
lucro zero.
59
Esse resultado é conhecido como o paradoxo de Bertrand, pois temos um mercado ca-
racterizado como um duopólio, produzindo o mesmo resultado de um mercado compe-
titivo: preços idênticos, ao nível do custo de produzir mais uma unidade, e lucros nulos, 
algo que em princípio só deveria ocorrer em mercados nos quais as empresas fossem 
suficientemente pequenas para que suas decisões individuais não afetassem o preço 
de mercado.
Jogo do apadrinhamento
O Paradoxo de Bertrand nos reporta ao clássico jogo do apadrinhamento que se refere 
a uma aplicação interessante de jogos competitivos à análise política em que, segundo 
a teoria, perde-se no momento inicial para se poder ganhar em um momento futuro. Por 
isso a assertiva de Bertrand de que melhor do que ter prejuízo é ter lucro zero.
Analise o seguinte jogo: 
Dois políticos de partidos opostos concorrem ao cargo de prefeito da cidade do Rio de 
Janeiro. O candidato 1 está tentando a reeleição, enquanto o candidato 2 está tentando 
ser eleito pela primeira vez. O partido do candidato 1 tem que decidir se irá apadrinhar o 
candidato 2, em caso de vitória, com a condicionante de o candidato 2 retirar sua candi-
datura em “troca” de cargos políticos, uma Secretaria, talvez. Por outro lado, o partido do 
candidato 2 tem a opção de manter sua candidatura na disputa pelas eleições a prefeito 
da cidade do Rio de Janeiro, ou simplesmente, retirar sua candidatura, em troca de car-
gos políticos, favorecendo assim a vitória do candidato 1.
Sabe-se que, em termos de apurações de votos em eleições, segundo o TER, o candidato 
vencedor deve apresentar matematicamente, o percentual de 50% + 1, para ser conside-
rado efetivamente eleito.
60
Modelagem do jogo:
Faz
apadrinhamento
50%, 50% 51%, 49%
50%, 50% 51%, 49%
Não faz apadrinha-
mento
Mantém 
candidatura
Candidato 2
Ca
nd
id
at
o 
1
Retira 
candidatura
Ao analisar a modelagem do jogo do apadrinhamento, nota-se que existe mais 
de um equilíbrio de Nash, identificados no primeiro quadrante (50%, 50%) e no 
terceiro quadrante (50%, 50%).
Saiba mais
Faz
apadrinhamento
50%, 50% 51%, 49%
50%, 50% 51%, 49%
Não faz apadrinha-
mento
Mantém 
candidatura
Candidato 2
Ca
nd
id
at
o 
1
Retira 
candidatura
MIDIATECA
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professor sobre teoria dos jogos e cooperação.
61
Monopólio contestável 
De acordo com Bierman e Fernandez (2011), até há pouco tempo, havia uma unanimidade 
em relação à ineficiência dos mercados monopolizados. Um monopolista maximizador 
de lucros, de preço único, estabelecia o preço acima do custo marginal. Como resultado, 
o preço seria maior do que o mínimo requerido para induzir o monopólio a fornecer volun-
tariamente a mercadoria. Em jargão econômico, o monopolista obtém renda econômica. 
Ao nível de produção escolhido pelo monopolista, o benefício social marginal de produzir 
tal unidade à altura da curva de demanda excederá o custo social marginal de produzir tal 
unidade à altura da curva de custo marginal. A divergência entre benefício social marginal 
e custo marginal social resulta na ineficiência.
Durante a década de 1990, um grupo de economistas liderados por William Baumol, John 
Panzar e Robert Wilig argumentou que empresas pertencentes ao que eles denominam 
mercados contestáveis são incapazes de obter rendas econômicas por causa da amea-
ça da entrada de competidores potenciais (reportando aqui uma das cinco forças de 
Porter – ameaça de novos entrantes). Além disso, caso o Governo institua políticas que 
aumentem artificialmente o número de empresas no setor, os resultados seriam custos 
e preços mais altos e menos bem-estar para o consumidor.
Um mercado contestável é aquele no qual:
1. Há um número limitado de empresas potenciais que podem fabricar o produto homo-
gêneo com uma tecnologia comum. 
2. A entrada no mercado não envolve um custo fixo, isto é, um gasto que não pode ser 
completamente recuperável caso a empresa decida sair do mercado e
3. As empresas são competidoras via preço do tipo Bertrand.
Um monopólio contestável é um mercado contestável com um equilíbrio de Nash no 
qual exatamente uma empresa abastece todo o mercado (MENDES, 2014). Em um mo-
nopólio contestável, visto que a ameaça de entrada leva a renda econômica a zero, a 
empresa terá maior produção a partir da qual ela se mantém financeiramente viável. 
Tecnicamente isso é denominado segunda-melhor produção. Significa que embora o 
benefício marginal não seja igual ao custo marginal, se está o mais próximo possível 
dessa situação sem subsídios do Governo ao monopólio.
62
A modelagem a seguir representa muito bem esse tipo de jogo:
Precifica
1, 1 1, 0
0, 1 1, 0
Propõe preço
Penetra
Entrante
Do
m
in
an
te
Não penetra
Ao observar a modelagem, nota-se que existe claramente um equilíbrio de Nash 
conforme afirmado por Mendes (2014).
Saiba mais
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professor sobre a teoria do oligopólio.
NA PRÁTICA
As empresas Alfa e Beta disputam um mercado no setor de bebidas, sendo que a 
empresa Alfa já está estabelecida há mais de 20 anos nesse mercado, e é conside-
rada, portanto, uma empresa dominante. Enquanto isso, a empresa Beta participa 
desse mesmo mercado há menos de um ano, sendo considerada uma empresa 
entrante. Existe uma demanda latente por bebidas com 50% de teor alcóolico e uma 
pequena demanda sazonal para este mesmo tipo de produto, para distribuição numa 
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feira de exposição de produtos com 50% menos teor alcoólico. A empresa Alfa pode 
utilizar a estratégia baseada no paradoxo de Bertrand que determina: “Melhor do que 
ter prejuízo é ter lucro zero”. Então, nesse contexto, o presidente da empresa Alfa 
resolve investir nesse tipo de mercadoria apenas com o objetivo de fazer conhecer 
sua marca, seu novo produto, diante dessa feira de exposição, a partir de degustação 
de seu produto e distribuição de uma unidade (garrafa) da bebida com 50% menos 
teor alcóolico. Já a empresa Beta, ficou de fora dessa feira, por não ter produto que 
atendesse aos critérios estabelecidos. No entanto, a empresa Beta poderia propor o 
jogo do apadrinhamento para a empresa Alfa, buscando custear parte da produção 
em troca de uma fatia desse novo mercado.
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Resumo da Unidade 3 
Nesta unidade, você estudou os modelos de Cournot e Bertrand voltados para proble-
mas de política comercial estratégica e oligopólio, o que lhe possibilita escrever e mode-
lar jogos dessa natureza. 
CONCEITO
Nesta unidade, destacaram-se a escrita e modelagem de jogos simultâneos e se-
quenciais baseados nos clássicos modelos de Cournot e modelo de Bertrand, assim 
como a identificação e manipulação de jogos de monopólio contestáveis.
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Referências 
BIERMAN, H. S.; FERNANDEZ, L. Teoria dos jogos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011. Biblioteca Virtual.
GRAMIGNA, M. R. Jogos de empresa. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
Biblioteca Virtual.
SILVA, A. O. S.; MENDES, J. T. G. Economia e gestão. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014. Biblioteca Virtual.
Estratégias de contratos e leilões
UNIDADE 4
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Esta unidade é importante para o estudante pois permite conhecer as técnicas para to-
mada de decisão aplicadas em contratos e leilões no estudo da teoria dos jogos, envol-
vendo estratégias racionalizadas e estratégias puras.
INTRODUÇÃO
OBJETIVO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Aplicar a modelagem de jogos de contratos.
• Aplicar a modelagem de jogos de leilões.
• Desenvolver jogos para aplicações de mercado com estratégias racionalizadas 
e com estratégias puras.
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Jogos de contratos 
No estudo da economia, a teoria do contrato observa