Problemas de Geometria Plana

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CURSO PROGRESSÃO PIABETÁ. 
PROFESSOR: EMILSON MOREIRA 
DISCIPLINA: GEOMETRIA PLANA - SEGMENTOS PROPORCIONAIS E TRIGONOMETRIA EXTRA 
TURMA: EEAR . | DATA: 03/ 04/ 24 
ALUNO(A): 
 
 
 
CURSO PROGRESSÃO PIABETÁ 
1. Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame 
reto, de 30m de comprimento, entre os pontos M e P de um 
plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, 
como mostra a figura abaixo. 
 
A partir desses dados, calcule, em metros, 
 
a) o comprimento dos segmentos MS e SP; 
b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo 
tamanho do segmento MP. 
 
2. Uma pista retangular para caminhada mede 100 por 250 
metros. Deseja-se marcar um ponto P, conforme figura a 
seguir, de modo que o comprimento do percurso ABPA seja 
a metade do comprimento total da pista. Calcule a distância 
entre os pontos B e P. 
 
3. Na figura a seguir, åî é a bissetriz inteira de Â. Calcule as 
medidas de æî e îè, sabendo que mede (æè)=8cm. 
 
 
 
 
 
4. O triângulo ABC da figura, tem CM como bissetriz. 
Determine os lados do triângulo. 
 
 
 
 
 
5. Na figura a seguir, M é o ponto médio da corda PQ da 
circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a 
PQ e RM = (4Ë3)/3. Calcule: 
 
a) O raio da circunferência. 
b) A medida do ângulo PÔQ, onde O é o centro da 
circunferência. 
 
6. A figura abaixo representa duas polias circulares C� e C‚ 
de raios R� = 4 cm e R‚ = 1 cm, apoiadas em uma superfície 
plana em P� e P‚, respectivamente. Uma correia envolve as 
polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos 
P� e P‚ é 3Ë3 cm, determinar o comprimento da correia. 
 
 
 
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7. DETERMINE as áreas dos triângulos ABM e BCM. 
COMENTE estes resultados comparados com a área total. 
 
8. No triângulo ABC abaixo, os lados BC, AC e AB medem, 
respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos 
lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G. 
 
Conhecidos a e b, determine: 
a) o valor de c em função de a e b; 
b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG. 
9. A figura representa três círculos idênticos no interior do 
triângulo retângulo isósceles ABC. 
 
Tem-se que: 
- A soma das áreas dos três círculos é 6™ cm£; 
- P, Q, R, S e T são pontos de tangência; 
- BT é perpendicular a AC. 
Determine a medida do segmento BC. 
 
10. Seja MNPQ um quadrado de lado igual a 2 cm. Considere 
C o círculo que contém os vértices P e Q do quadrado e o 
ponto médio do lado MN (ponto T). Veja a figura a seguir. 
 
Determine o raio do círculo C. 
11. Dado o triângulo ABC, retângulo em A, toma-se um 
ponto D sobre o lado BC. Sabendo-se que AB mede 1cm, e o 
ângulo oposto a esse lado mede 30°, determine a medida do 
segmento BD, de modo que a área do triângulo ABC seja o 
triplo da área do triângulo ABD. 
12. Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um 
quadrado de lado 2cm. 
 
Calcule a distância BE. 
 
13. Na figura abaixo, o quadrado de lado x+y tem área Q e 
está decomposto em um quadrado de lado z e quatro 
triângulos retângulos congruentes de catetos x e y . Seja q a 
área do quadrado menor e seja t a área de cada triângulo. 
 
 
 
 
 
a) Simplificando a equação Q = q + 4t, demonstre que z£ = x£ 
+ y£. 
b) A demonstração que você fez no item anterior corresponde 
à do famoso Teorema de Pitágoras. Complete o enunciado 
deste teorema: "Em um triângulo retângulo, ... 
 
14. Na figura a seguir, determine o perímetro do triângulo 
ABC. 
 
 
15. Uma placa de aço quadrada vai ser transformada em um 
octógono regular, recortando-se os quatro cantos do quadrado 
de forma a obter o maior polígono possível, como mostra a 
figura. 
 
 
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Sendo a medida do lado do quadrado igual a L, calcule, em 
função de L, 
a) a medida de x. 
b) o perímetro do octógono obtido. 
 
16. Dois atletas partem simultaneamente do ponto A, com 
movimento uniforme, e chegam ao mesmo tempo ao ponto C. 
Um deles segue a trajetória AC, com velocidade v• km/h, e o 
outro segue a trajetória ABC, com velocidade v‚ km/h, 
conforme ilustra a figura abaixo. Sendo a e c, 
respectivamente, as medidas, em quilômetros, dos catetos BC 
e BA, podemos afirmar que v�/v‚ corresponde a: 
a) (a£ + c£) / Ë(a + c) 
b) (a£ + c£) / [(Ëa) + (Ëc)] 
c) Ë[(a + c) / (a£ + c£)] 
d) [Ë(a£ + c£)] / (a + c) 
 
17. Observe esta figura: 
 
 
Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; o 
triângulo BPQ é equilátero; e os pontos P e Q pertencem, 
respectivamente, aos lados AD e CD. 
Assim sendo, a área do triângulo BCQ é 
a) [(Ë3) - 1]/2. b) (2 + Ë3)/2. 
c) (2 - Ë3)/2. d) (3 - Ë3)/2. 
 
18. Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera 
projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de 
diâmetro, conforme figura a seguir. 
 
Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da 
esfera até a parede, em cm, é 
a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35 
19. Os catetos b e c de um triângulo retângulo ABC medem 
6 e 8, respectivamente. A menor altura desse triângulo mede: 
a) 4,0. b) 4,5. c) 4,6. d) 4,8. e) 5,0. 
 
20. Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15cm, então 
a altura relativa ao maior lado mede: 
a) 8,0 cm b) 7,2 cm c) 6,0 cm d) 5,6 cm e) 4,3 cm 
 
21. Na figura a seguir se R é o raio da circunferência maior, 
então o raio r das circunferências menores é: 
a) r = [(Ë2)/2] R 
b) r = [(Ë2)/3] R 
c) r = (Ë2) R 
d) r = [(Ë2) + 1] R 
e) r = [(Ë2) - 1] R 
 
22. Num triângulo retângulo ABC, seja D um ponto da 
hipotenusa åè tal que os ângulos DÂB e AïD tenham a 
mesma medida. Então o valor de AD/DC é: 
a) Ë2 b) 1/Ë2 c) 2 d) 1/2 e) 1 
 
23. Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num 
caminhão de largura 2,5m, conforme a figura abaixo. Cada 
tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, 
a altura h, em metros, é: 
a) (1+Ë7)/2 
b) (1+Ë7)/3 
c) (1+Ë7)/4 
d) 1+(Ë7/3) 
e) 1+(Ë7/4) 
 
 
 
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24. (Fuvest 88) Em um triângulo retângulo OAB, retângulo 
em O, com OA=a e OB=b são dados os pontos P em OA e Q 
em OB de tal maneira que AP=PQ=QB=x. Nestas condições, 
o valor de x é: 
a) Ë(ab) - a - b 
b) a + b - Ë(2ab) 
c) Ë(a£ + b £) 
d) a + b + Ë(2ab) 
e) Ë(ab) + a + b 
 
25. No triângulo a seguir, o valor de x é: 
a) 14 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
e) 22 
 
26. No triângulo da figura a seguir, o valor de x é: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
27. Num triângulo retângulo cujos catetos medem Ë3 e Ë4 a 
hipotenusa mede: 
a) Ë5 b) Ë7 c) Ë8 d) Ë12 e) Ë13 
 
28. No triângulo retângulo em A da figura a seguir, h pode 
ser: 
a) 2a/3. 
b) 3a/4. 
c) 4a/5. 
d) 3a/5. 
e) 2a/5. 
 
29. A folha de papel retangular na figura I é dobrada como 
mostra a figura II. Então, o segmento DP mede: 
a) 12 Ë5 
b) 10 Ë5 
c) 8 Ë5 
d) 21 
e) 25 
 
 
30. Num triângulo retângulo e isósceles, a razão entre a 
medida da hipotenusa e o perímetro, nessa ordem, é 
a) Ë2 b) 2Ë2 c) Ë2 +1 d) Ë2 –1 e) 2 - Ë2 
 
31. Na figura a seguir, MNPQ é um retângulo e S é um ponto 
de base MQ tal que SP=NP. Se NS=2Ë7cm, NP=(12-k•)cm, 
SQ=k�cm e MN=K‚cm, então k�£+k‚£ é igual a: 
a) 34 
b) 45 
c) 49 
d) 60 
 
32. Na figura a seguir, RST é um triângulo retângulo em S, 
SH é a altura relativa à hipotenusa, o segmento RH = 2cm e 
o segmento HT = 4cm. Se o segmento RS = x•cm e o 
segmento ST = x‚cm, então x� . x‚ é igual a: 
a) 6Ë2 
b) 12Ë2 
c) 14Ë2 
d) 16Ë2 
 
33. Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado 
igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme 
a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique 
sobre o "lado" AB (Figura 2). Seja D' esta nova posição do 
vértice D e x a distânciade A a D'. 
 
 
 
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A função que expressa a área do triângulo retângulo 
sombreado em função de x é: 
a) A = (- x¤ + 441x) / 42 b) A = (x¤ - 441x) / 84 
c) A = (- x¤ + 441x) / 84 d) A = (441 - x£) / 84 
e) A = (441 - x£) / 42 
 
34. Observe a figura: 
 
Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu 
fazer uma brincadeira: 
 
1°) esticou uma linha åæ, cujo comprimento é metade da 
altura dela; 
2°) ligou B ao seu pé no ponto C; 
3°) fez uma rotação de æå com centro B, obtendo o ponto D 
sobre æè; 
4°) fez uma rotação èî com centro C, determinando E sobre 
åè. 
 
Para surpresa da modelo, èE é a altura do seu umbigo. 
Tomando åæ como unidade de comprimento e considerando 
Ë5 = 2,2, a medida èE da altura do umbigo da modelo é: 
a) 1,3 b) 1,2 c) 1,1 d) 1,0 
 
35. Unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo ABC, 
obtém-se um novo triângulo A'B'C', como mostra a figura. 
Se S e S' são, respectivamente, as áreas de ABC e A'B'C', a 
razão S/S' equivale a: 
a) 4 
b) 2 
c) Ë3 
d) 3/2 
 
36. No triângulo ABC a seguir, 'a' é a base, 'h' a altura relativa 
a esta base, e 'b' o lado oposto ao ângulo de 45°. 
Se a+h=4, então o valor mínimo de b£ é: 
a) 16. 
b) 16/5. 
c) 4/5. 
d) 4Ë5. 
e) 16Ë5. 
 
37. Na figura a seguir está representada uma circunferência 
com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de 
comprimento. A medida do segmento de reta åæ nesta 
unidade de comprimento é igual a 
a) 1/2 
b) Ë(3)/2 
c) 3/2 
d) 1+Ë(3)/2 
e) Ë3 
 
 
38. Três pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de 
raio igual a 1. O segmento AB é um diâmetro e o ângulo, AïC 
mede 15°. A medida da corda BC é 
a) Ë(1 + Ë3) b) Ë(2 + Ë3) c) 1 + [(Ë3)/2] 
d) 2[Ë(3 - Ë3)] e) 2 
 
39. Os lados de um triângulo medem 1m, 2m e 3m. A medida 
em metros que adicionada aos três lados transforma o 
triângulo em um triângulo retângulo é 
a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 5m 
 
40. Observe a figura. Se a medida de CE é 80, o comprimento 
de BC é: 
a) 20 
b) 10 
c) 8 
d) 5 
 
41. Observe a figura. Nessa figura, o trapézio ABCD tem 
altura 2Ë3 e bases AB=4 e DC=1. A medida do lado BC é 
a) Ë(15) 
b) Ë(14) 
c) 4 
d) Ë(13) 
 
 
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42. Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os 
segmentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z: 
 
Nessa situação, a altura do triângulo ADE em relação ao lado 
AE é dada por 
a) [xË(z£ - y£)]/y. b) [xË(z£ - y£)]/z. 
c) [yË(z£ - y£)]/z. d) [zË(z£ - y£)]/y. 
 
43. Considere uma circunferência de raio R=1m e uma 
secante interceptando-a nos pontos P e Q. Admitindo que a 
distância da secante ao centro da circunferência meça 0,6m, 
indique o comprimento da corda PQ. 
a) 1,6m b) 1,2m c) 0,8m d) 0,16m 
 
44. Uma escada de 13,0m de comprimento encontra-se com a 
extremidade superior apoiada na parede vertical de um 
edifício e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse 
mesmo edifício, a uma distância de 5,0m da parede. 
Se o topo da escada deslizar 1,0m para baixo, o valor que mais 
se aproxima de quanto a parte inferior escorregará é: 
a) 1,0m b) 1,5m c) 2,0m d) 2,6m 
 
45. Dada a figura. Qual o valor de x? 
a) 2,15 
b) 2,35 
c) 2,75 
d) 3,15 
e) 3,35 
46. A figura mostra um triângulo retângulo ABC. O segmento 
de reta AM é a bissetriz do ângulo Â. Se BM mede 1m e AB 
mede 3m, então a medida, em m, de MC é 
a) 1,32 
b) 1,25 
c) 1,18 
d) 1,15 
e) 1,00 
 
47. Na figura a seguir, o valor da secante do ângulo interno C 
é igual a: 
a) 5/3 
b) 4/3 
c) 5/4 
d) 7/6 
e) 4/5 
 
48. Na figura abaixo, OP=2, AB=8, O é o centro dos círculos 
e åæ é tangente em P ao círculo menor. 
 
A área do disco maior é 
a) Ë20™. b) 10™. c) 20™. d) 64™. e) 68™. 
 
49. Quatro triângulos congruentes são recortados de um 
retângulo de 11x13. O octógono resultante tem oito lados 
iguais. O comprimento do lado deste octógono é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
50. Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A 
e B, respectivamente, e as medidas dadas no esquema a 
seguir. 
As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem 
ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para 
outra. O comprimento dessa correia, em centímetros, é 
a) (54™/3) + 10Ë3 
b) (52™/3) + 16Ë3 
c) (52™/3) + 20Ë3 
d) (58™/3) + 20Ë3 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. a) MS = 5 (Ë3 + 2) 
 SP = 5 (2 Ë3 + 1) 
b) MP = 10 Ë(5 + 2 Ë3) 
2. 105 m 
3. x = 11/2; y = 5/2 
4. 11, 11, 12 
5. a) (8Ë3)/3 b) 120° 
6. 6(™ + Ë3) cm 
7. Observe a figura a seguir: 
 
. a) c = Ë [ (a£ + b£)/5 ] 
b) S�/S‚ =1, onde S� e S‚ são, respectivamente, as áreas dos 
triângulos ADG e BEG. 
9. æè = 10 + 2Ë2 cm 
10. 5/4 cm 
11. 2/3 cm 
12. x = Ë6 - Ë2 
13. a) Temos: 
 Q = (x+y)£ 
 q = z£ 
 t = xy/2 
Logo, se Q = q + 4t, vem: 
 (x+y)£ = z£ + 4xy/2 Ì 
 x£ + 2xy + y£ = z£ + 2xy. 
Donde se obtém 
 z£ = x£ + y£. 
b) o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos catetos". 
14. 100/7 
15. a) [(2 - Ë2) . L]/2 
b) 8 . (Ë2 - 1) . L 
16. [D] 
17. [C] 
18. [A] 
19. [D] 
20. [B] 
21. [E] 
22. [E] 
23. [E] 
24. [B] 
25. x = 14 
26. x = 7 
27. [B] 
28. [E] 
29. [B] 
30. [D] 
31. [C] 
32. [B] 
33. [C] 
34. [B] 
35. [A] 
36. [B] 
37. [C] 
38. [B] 
39. [B] 
40. [B] 
41. [D] 
42. [B] 
43. [A] 
44. [C] 
45. [C] 
46. [B] 
47. [A] 
48. [C] 
49. [C] 
50. [D]