revoluçao dos numeros BNZ

Prévia do material em texto

d) 0 
**Resposta:** b) 8. 
**Explicação:** As raízes são \( z = 2 \), e a soma dos quadrados é \( 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 
\). 
 
14. Determine a raiz cúbica de \( z = -8 \). 
a) \( -2 \) 
b) \( 2 \) 
c) \( 2 + 2i \) 
d) \( 2 - 2i \) 
**Resposta:** a) \( -2 \). 
**Explicação:** A raiz cúbica de \( -8 \) é \( -2 \), pois \( (-2)^3 = -8 \). 
 
15. Resolva a equação \( z^3 + 2z^2 + z = 0 \). 
a) 0, -1, -2 
b) 0, -1, 1 
c) 0, -2, 1 
d) 0, -1, 2 
**Resposta:** a) 0, -1, -2. 
**Explicação:** Fatorando, temos \( z(z^2 + 2z + 1) = 0 \), resultando em \( z = 0 \) e \( (z + 
1)^2 = 0 \), ou seja, \( z = -1 \) com multiplicidade 2. 
 
16. Qual é o valor de \( z \) na equação \( z^2 + 5 = 0 \)? 
a) \( \pm i\sqrt{5} \) 
b) \( \pm 5i \) 
c) \( \pm 2i \) 
d) \( \pm 3i \) 
**Resposta:** a) \( \pm i\sqrt{5} \). 
**Explicação:** A equação pode ser reescrita como \( z^2 = -5 \), resultando em \( z = \pm 
i\sqrt{5} \). 
 
17. Determine a forma polar de \( z = 3 + 4i \). 
a) \( 5 e^{\frac{\pi}{4} i} \) 
b) \( 5 e^{\frac{3\pi}{4} i} \) 
c) \( 5 e^{\tan^{-1}(\frac{4}{3}) i} \) 
d) \( 5 e^{-\tan^{-1}(\frac{4}{3}) i} \) 
**Resposta:** c) \( 5 e^{\tan^{-1}(\frac{4}{3}) i} \). 
**Explicação:** A magnitude é \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) e o argumento é \( \tan^{-
1}(\frac{4}{3}) \). 
 
18. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^4 - 1 = 0 \)? 
a) \( 1, -1, i, -i \) 
b) \( 1, -1, 2, -2 \) 
c) \( 0, 1, -1 \) 
d) \( 1, 0, -1 \) 
**Resposta:** a) \( 1, -1, i, -i \). 
**Explicação:** As raízes são \( z = e^{i\frac{n\pi}{2}} \) para \( n = 0, 1, 2, 3 \), resultando 
em \( 1, -1, i, -i \). 
 
19. Qual é o valor de \( z \) na equação \( z^2 + z + 1 = 0 \)? 
a) \( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \) 
b) \( \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \) 
c) \( \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \) 
d) \( \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} \) 
**Resposta:** a) \( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \) e b) \( \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \). 
**Explicação:** Usando a fórmula quadrática, temos \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = 
\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \). 
 
20. Determine o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 + 6z + 9 = 0 \). 
a) -3 
b) -6 
c) -9 
d) 3 
**Resposta:** a) -3. 
**Explicação:** A equação é um quadrado perfeito: \( (z + 3)^2 = 0 \), resultando em \( z = -
3 \) com multiplicidade 2. 
 
21. Qual é a forma canônica de \( z^2 - 6z + 10 = 0 \)? 
a) \( (z - 3)^2 + 1 = 0 \) 
b) \( (z - 3)^2 - 1 = 0 \) 
c) \( (z - 3)^2 + 4 = 0 \) 
d) \( (z - 3)^2 + 5 = 0 \) 
**Resposta:** a) \( (z - 3)^2 + 1 = 0 \). 
**Explicação:** Completando o quadrado, temos \( z^2 - 6z + 9 + 1 = 0 \), que se reescreve 
como \( (z - 3)^2 + 1 = 0 \). 
 
22. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \)? 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
**Resposta:** a) -2. 
**Explicação:** A soma das raízes é dada por \( -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2 \). 
 
23. Resolva a equação \( z^2 - 4 = 0 \). 
a) 2, -2 
b) 4, -4 
c) 0, 0 
d) 1, -1 
**Resposta:** a) 2, -2. 
**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z - 2)(z + 2) = 0 \), resultando em \( z 
= 2 \) e \( z = -2 \). 
 
24. Qual é a raiz quadrada de \( z = -9 \)? 
a) 3i 
b) -3i