Determine a forma polar de z = 3 + 4i. a) 5 e^{π/4 i} b) 5 e^{3π/4 i} c) 5 e^{tan^{-1}(4/3) i} d) 5 e^{-tan^{-1}(4/3) i}

Para determinar a forma polar do número complexo \( z = 3 + 4i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \] Portanto, a forma polar de \( z \) é: \[ z = 5 \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) = 5 e^{i \theta} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( 5 e^{\pi/4 i} \) - Não é correto, pois \( \tan^{-1}(4/3) \) não é \( \pi/4 \). b) \( 5 e^{3\pi/4 i} \) - Também não é correto, pois o argumento não é \( 3\pi/4 \). c) \( 5 e^{\tan^{-1}(4/3) i} \) - Esta opção está correta, pois representa a forma polar com o argumento correto. d) \( 5 e^{-\tan^{-1}(4/3) i} \) - Não é correto, pois o argumento deve ser positivo. Portanto, a alternativa correta é: c) \( 5 e^{\tan^{-1}(4/3) i} \).