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GABARITO | Avaliação Final (Objetiva) - Individual
(Cod.:990758)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 92893085
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
A parametrização de figuras geométricas, como circunferências ou parte dela, é uma técnica utilizada 
para representar essas formas no plano cartesiano. A semicircunferência, que ocupa apenas parte de 
uma circunferência completa, pode ser descrita utilizando uma parametrização específica que limita o 
domínio do parâmetro t, correspondendo à porção desejada da circunferência.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
Considere uma semicircunferência, em que o raio mede 3 unidades, centrada no ponto (2,−1) no 
plano cartesiano XY, que se encontra nos dois primeiros quadrantes. Sobre o exposto, avalie as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. A semicircunferência nos dois primeiros quadrantes pode ser parametrizada como x(t) = 2 + 3cos(t) 
e y(t) = −1 + 3sin(t), em que t varia de 0 a π.
PORQUE
II. A parametrização apresentada é adequada, pois o valor de t entre 0 e π descreve apenas os pontos 
da semicircunferência que estão nos dois primeiros quadrantes.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
B As asserções I e II são falsas.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
O Teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva 
fechada e uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Esse teorema é amplamente 
utilizado para calcular fluxos, áreas e trabalho realizado por campos vetoriais em superfícies planas. 
Uma das condições fundamentais para sua aplicação é que a região envolvida seja simplesmente 
conexa, ou seja, não possua buracos.
STEWART, J. Cálculo. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para a análise de campos vetoriais. Com base no 
conceito desse teorema, analise as afirmativas a seguir:
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I. O Teorema de Green relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada 
com a integral de superfície sobre a região delimitada por essa curva.
II. Para aplicar o Teorema de Green, a curva fechada deve ser orientada positivamente, isto é, no 
sentido anti-horário.
III. A integral de linha que o Teorema de Green utiliza deve ser aplicada em curvas fechadas que 
envolvem regiões simplesmente conexas.
IV. O Teorema de Green aplica-se a funções vetoriais continuamente diferenciáveis em regiões 
simplesmente conexas, convertendo integrais de linha em integrais duplas.
É correto o que se afirma em:
A I, II e III, apenas.
B II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E II, III e IV, apenas.
O Teorema de Green é um dos principais teoremas envolvendo integrais de linha, que transforma o 
cálculo de uma integral de linha em uma integral dupla, geralmente mais simples de calcular. Ele se 
aplica a regiões fechadas e limitadas no plano, com fronteiras orientadas no sentido anti-horário e 
formadas por curvas simples e fechadas.
Com base nas informações apresentadas sobre as hipóteses do Teorema de Green, assinale a 
alternativa correta:
A A região considerada precisa ser fechada e limitada no plano.
B A fronteira da região considerada pode ser formada por curvas não simples e abertas.
C O Teorema de Green se aplica a regiões no espaço tridimensional, sem necessidade de serem
limitadas.
D A fronteira da região considerada deve ser orientada no sentido horário.
E O Teorema de Green pode ser aplicado a qualquer região no plano, mesmo que não seja
fechada.
Imagine um rio descrito por um campo vetorial F(x, y) = (y², 0), em que o vetor F representa a 
velocidade da correnteza do rio em diferentes pontos.
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Note pela ilustração que esse rio possui uma profundidade de 6 metros, e para y = 0, temos o leito do 
rio. Além disso, a correnteza do rio varia dependendo da profundidade. Assim, conforme você vai 
mais fundo no rio, a velocidade da correnteza horizontal diminui.
Dessa forma, baseado na função vetorial F e no rotacional deste campo vetorial, analise as afirmativas 
a seguir:
I. A velocidade na direção vertical é zero, indicando que não há movimento da água para cima ou para 
baixo.
II. O rotacional deste campo vetorial é conservativo.
III. Para 2 metros abaixo da superfície, a rotacional apresenta o vetor (0, 0 , -4).
IV. Caso algo fosse jogado neste rio, ele tenderia a rotacionar no sentido horário.
É correto o que se afirma em:
A I e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I, III e IV, apenas.
D I e III, apenas.
E II e IV, apenas.
Se uma função escalar determina a temperatura em diferentes pontos de um espaço, por exemplo, 
uma função T(x, y, z) que representa a temperatura em cada ponto (x, y, z), o gradiente dessa função 
em um determinado ponto nos dirá:
• Direção de Maior Aumento de Temperatura: o gradiente aponta na direção em que a temperatura 
aumenta mais rapidamente a partir do ponto considerado. Dessa forma, se você estiver nesse ponto e 
se mover na direção do gradiente, estará se movendo para uma região em que a temperatura aumenta 
o mais rápido possível.
• Magnitude da Variação da Temperatura: a magnitude do gradiente indica a taxa de variação da 
temperatura na direção do crescimento máximo. Em outras palavras, ela nos diz o quanto a 
temperatura muda por unidade de distância percorrida na direção do gradiente. Se a magnitude é alta, 
isso significa que a temperatura muda rapidamente; se é baixa, a variação da temperatura é mais 
gradual. Essa magnitude pode ser calculada usando a fórmula da norma, ou seja, a raiz quadrada da 
soma dos quadrados das coordenadas do vetor.
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Considere um ambiente térmico altamente controlado por diversos resfriadores, em que a 
temperatura, em graus Celsius, é descrita pela função T(x, y, z) = 2x - y² + yz, com x, y e z 
representando distâncias medidas em metros. Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas:
I. Para o ponto P(5, 1, 4), o vetor gradiente apresenta magnitude de 3 °C/m.
PORQUE
II. Sendo o gradiente da função T o campo vetorial ∇T(x, y, z) = (2, z – 2y, y), para determinar a 
magnitude do vetor gradiente em um ponto específico, devemos determinar a sua norma.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são falsas.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Desde que as condições necessárias sejam atendidas, podemos aplicar o Teorema de Gauss para 
calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada. Esse teorema estabelece 
uma relação fundamental entre o fluxo do campo que sai da superfície e a integral da divergência 
desse campo sobre a região delimitada. É importante ressaltar que, para a aplicação do teorema, a 
superfície deve ser orientada corretamente para fora e o campo vetorial deve ser contínuo e 
diferenciável em toda a região, garantindo que a divergência do campo também seja bem definida.
Determine o fluxo exterior da superfície delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 3, y 
= 1 e z = 2 e pelo campo de vetores F(x, y, z) = (x²yz, xy²z, xy²). Nesse sentido, assinale a alternativa 
correta:
A 30.
B 6.
C 27.
D 18.
E 36.O Teorema de Fubini é um resultado fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma 
integral dupla em uma região R³ seja calculada como uma integral iterada. Em um domínio 
retangular, a função deve ser contínua para que a troca da ordem de integração seja válida. O teorema 
é especialmente útil em aplicações práticas, como o cálculo de volumes, áreas e outros problemas em 
engenharia e física, em que a troca da ordem de integração pode simplificar significativamente a 
solução do problema.
Fonte: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte. 11. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2019.
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Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo 
o domínio.
II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode 
ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.
III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de 
ordem superior.
IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser 
contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.
É correto o que se afirma em:
A I e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C II e III, apenas.
D II e IV, apenas.
E III e IV, apenas.
O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona o fluxo de um 
campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência do campo. 
Já o Teorema de Green, uma versão bidimensional do Teorema de Stokes, permite calcular a integral 
de linha ao longo de uma curva fechada no plano através de uma integral dupla sobre a região interna 
delimitada por essa curva. Por fim, o Teorema de Stokes generaliza essa relação para superfícies no 
espaço tridimensional, transformando uma integral de linha ao longo de uma curva fechada em uma 
integral de superfície sobre o rotacional do campo vetorial.
Fonte: BOLFARINE, H.; BUSSAB, W. O. Elementos de Cálculo Vetorial. São Paulo: Editora 
Blucher, 2005.
Sobre o Teorema de Gauss, Teorema de Green e Teorema de Stokes, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Gauss relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de 
volume da divergência desse campo.
II. O Teorema de Green é uma versão bidimensional do Teorema de Stokes. Ele relaciona uma 
integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região 
delimitada por essa curva.
III. O Teorema de Stokes substitui uma integral de linha por uma integral de superfície dupla.
IV. O Teorema de Gauss pode ser utilizado para calcular a área de superfícies fechadas em 
coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas, considerando que o campo vetorial é contínuo e 
diferenciável.
É correto o que se afirma em:
A III e IV, apenas.
B I e IV, apenas.
C I e III, apenas.
D II e III, apenas.
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E I, II e III, apenas.
A resolução de problemas envolvendo integrais duplas frequentemente exige uma compreensão não 
apenas da técnica algébrica, mas também da interpretação geométrica do problema. Suponha que 
você esteja resolvendo uma integral dupla para calcular o volume de um sólido delimitado por 
superfícies no espaço tridimensional. Para tal, considere uma região D no plano xy e uma função 
f(x,y) que define a altura do sólido sobre essa região. Em muitos casos, a função f(x, y) pode 
representar formas geométricas familiares assim como a região D, e reconhecer imediatamente essas 
formas é essencial para agilizar a resolução do problema.
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3.
II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um 
semicilindro.
III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos 
concêntricos de raios 1 e 3.
IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone.
É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B III e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.
Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de 
coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração 
possui simetria axial, como cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar 
significativamente a resolução das integrais triplas.
Fonte: BORGES, E. M.; RUGGIERO, M. A. Cálculo Volume 2. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem 
novos parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:
A As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e
comprimento radial.
B As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a
altura.
D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada
vertical.
E As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
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