Transformada de Laplace na Análise de Circuitos 4

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DESCRIÇÃO
Conceitos de circuitos elétricos, e formulações da função de transferência e da resposta de um circuito linear invariante no tempo.
PROPÓSITO
Compreender os efeitos dos elementos básicos de circuito e da função de transferência na resposta de um sinal.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica, uma tabela de Transformada de Laplace e um simulador de
circuitos – por exemplo, LTspice.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar a Transformada de Laplace e os modelos básicos dos elementos de circuitos no domínio da frequência complexa (s)
MÓDULO 2
Calcular a função de transferência e identificar a localização dos polos e zeros
MÓDULO 3
Calcular a resposta impulsiva, a resposta estacionária e a resposta a um sinal qualquer (integral de convolução)
Assista, a seguir, um vídeo sobre a Transformada de Laplace na análise de circuitos.
MÓDULO 1
 Empregar a Transformada de Laplace e os modelos básicos dos elementos de circuitos no domínio da frequência complexa (s)
INTRODUÇÃO
Assista, a seguir, ao vídeo sobre a Transformada de Laplace e os modelos básicos dos elementos de circuitos no domínio da frequência complexa (s).
TEORIA DE CIRCUITOS
A Teoria de Circuitos pode ser vista como uma simplificação da Teoria de Campos, em que são estudados os comportamentos de tensão e corrente
sobre os elementos de circuito.
Um circuito pode ser interpretado como um sistema que recebe um sinal – tensão ou corrente – de entrada, e fornece um sinal de saída, ,
conforme ilustra a Figura 1.
 Figura 1 – Diagrama de um sistema
Para a análise desse sistema, devem ser feitas algumas considerações:
SISTEMA CAUSAL
A relação de entrada e saída consiste em causa e efeito. Isso significa que a saída não pode depender de um instante de tempo superior na entrada.
SISTEMA LINEAR
Se um sistema com entrada e saída conhecidas tiver a sua entrada multiplicada por uma constante, a saída será multiplicada pela mesma constante.
Além disso, para um mesmo sistema, se representar a resposta de e representar a resposta de , então a resposta às duas
entradas aplicadas simultaneamente, ou seja, a soma será .
SISTEMA INVARIANTE NO TEMPO
A relação de entrada e saída independe do tempo. Dessa forma, se uma entrada sofrer um retardo temporal, , então a saída sofrerá o
mesmo retardo temporal, .
ELEMENTOS DO CIRCUITO SÃO CONCENTRADOS
Os sinais são medidos no elemento como um todo, sem levar em consideração os efeitos e a variação ao longo do elemento de forma distribuída.
ELEMENTOS DO CIRCUITO
A relação de tensão e corrente entre os elementos passivos básicos de circuito – resistores, capacitores e indutores – está descrita na Tabela 1.
Tabela 1 – Elementos passivos básicos de um circuito
Elemento Unidade Relação de tensão e corrente Diagrama
Resistor (Resistência – R) ohms (Ω)
(Condutância – G) siemens (S)
x(t) y(t)
y1 (t) x1(t) y2(t) x2(t)
x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)
x(t − t0)
y(t − t0)
v(t) = Ri(t)
i(t)= Gv(t)
G = 1
R
Capacitor (Capacitância – C) farads (F)
Indutor (Indutância – L) henrys (H)
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Além dos elementos passivos, cuja energia é armazenada ou dissipada, há também os elementos ativos. Os elementos ativos são aqueles capazes de
fornecer energia ao circuito, ou seja, as fontes.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Podemos notar, conhecendo as Leis de Kirchoff, que as soluções de circuito, no domínio do tempo, são formadas por equações diferenciais. Vejamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução desse tipo de equação se divide em duas etapas:
Cálculo da solução homogênea, 
Cálculo da solução particular, 
Como resultado, a solução completa consiste na soma das duas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
A solução homogênea é aquela que independe da entrada, . Nesse sentido, solução homogênea é função apenas da topologia do circuito.
Matematicamente, consiste na solução da seguinte equação:
v(t) = ∫ idt1
C
i(t) = C dv
dt
v(t) = L
di
dt
i(t) = ∫ vdt1
L
an + an−1 + … + a1 + a0y = bm + bm−1 + … + b1 + b0x
dny
dtn
dn−1y
dtn−1
dy
dt
dmx
dtm
dm−1x
dtm−1
dx
dt
yH(t)
yP (t)
y(t)= yH(t)+yP(t)
x(t)
an + an−1 + … + a1 + a0y = 0
dny
dtn
dn−1y
dtn−1
dy
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal solução possui a forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A técnica para encontrar essa solução se baseia na resolução da equação característica. A equação característica, por sua vez, é a equação
polinomial formada ao substituir a exponencial na equação homogênea. Vejamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução homogênea, portanto, é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso a equação característica tenha soluções complexas, elas resultarão em um sinal senoidal:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO PARTICULAR
A solução particular, , é a parcela da solução que consiste na resposta forçada ao sinal de entrada, .
Para calcular a solução particular, utilizamos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em determinar os coeficientes de uma hipótese
inicial sobre a forma da solução.
A hipótese inicial é feita com base na forma do sinal de entrada, . Desse modo:
SE A ENTRADA FOR UMA EXPONENCIAL, SUPOMOS QUE SERÁ UM MÚLTIPLO
DESSA EXPONENCIAL;
SE A ENTRADA FOR UM SINAL SENOIDAL, SUPOMOS QUE SERÁ UMA
COMBINAÇÃO LINEAR DE SENO E COSSENO;
y(t)= ert
anr
n + an−1r
n−1 + … + a1r + a0 = 0
yH(t)= K1e
r1t + K2e
r2t + … + Kne
rnt
{
r1 = −α + jβ
r2 = −α − jβ
→ yH (t) = e−αt (K1e
jβt + K2e
−jβt) = Ke−αtcos (βt + ϕ)
yP (t) x(t)
x(t)
yP (t)
yP (t)
SE A ENTRADA FOR UM POLINÔMIO, SUPOMOS QUE SERÁ UM POLINÔMIO DE
MESMO GRAU.
Na análise de circuitos senoidais, a resposta à entrada consiste na solução particular, . Desse modo, fica claro que tratando-se de uma forma
de onda senoidal, também terá uma forma de onda senoidal semelhante à entrada, , divergindo apenas em amplitude e fase.
SOLUÇÃO PARTICULAR: EXPONENCIAL COMPLEXO
Ao trabalhar os sinais senoidais como fasores, estamos trabalhando com exponenciais complexos. Mais uma vez, a resposta terá a mesma
forma de um exponencial complexo semelhante à entrada, . A divergência se dará apenas por um fator multiplicativo constante complexo, que
define sua amplitude e fase.
Desse modo, para uma entrada na forma:
Em que , em que é o módulo e é a fase de .
Teremos a seguinte resposta forçada:
Em que, , em que é o módulo e é a fase de .
Ao definirmos a frequência complexa, s, como:
Em que σ e ω são números reais, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que representa a parte real dos fasores e .
DEMONSTRAÇÃO
Partindo dos conceitos que acabamos de ver, revisaremos os elementos básicos de circuito sob a ótica de um ferramental matemático de grande
importância para o equacionamento e a análise de circuitos – a Transformada de Laplace.
A Transformada de Laplace será capaz de nos fornecer não somente a resposta forçada – solução particular –, como também a resposta homogênea,
ou seja, a resposta completa.
As técnicas para solução de equações diferenciais apresentadas na introdução deste módulo podem ser bastante complexas na análise de alguns
circuitos. Desse modo, a Transformada de Laplace se apresenta como um método mais adequado.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
O que é a Transformada de Laplace?
A Transformada de Laplace consiste na transformada integral, no intervalo , da função com a função núcleo , ou seja:
yP (t)
yP (t)
yP (t) x(t)
yP (t)
x(t)
x(t)= Xest
X = Xme
jϕx Xm ϕx X
yP (t)= Y est
Y = Yme
jϕy Ym ϕy Y
s = σ + jω
{
x(t)= Xme
σt cos(ωt + ϕx)= Re(Xest)
yP (t)= Ymeσt cos(ωt + ϕy) = Re(Y est)
Re(∙)Xest Y est
t ≥ 0 f(t) e−st
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que s é um parâmetro que pertence aos números complexos.
A finalidade de uma transformada integral é transformar um problema de difícil solução, , em outro mais simples, . Em seguida, inverte-se a
resposta do domínio de s para t.
É possível, com base na definição da equação da transformada, demonstrar as propriedades listada na Tabela 2.
Tabela 2 – Propriedades da Transformada de Laplace
Linearidade
Dilatação temporal
Deslocamento temporal
Deslocamento em frequência
Derivada
Múltiplas derivadas
Integral 
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A Tabela 3 apresenta a Transformada de Laplace das principais funções utilizadas em circuitos elétricos.
Tabela 3 – Transformada de Laplace
Função – Transformada – Região de convergência
1
L [f(t)]= F(s)= ∫ ∞
0 f(t)e−stdt
f(t) F(s)
L [a1f1(t)+a2f2(t)]= a1F1(s)+a2F2(s)
L [f(at)]= F( )1
a
s
a
L [f(t − t0)u(t − t0)]= e−t0sF(s)
L [eatf(t)]= F(s − a)
L [ f(t)]= sF(s)−f(0)d
dt
L [ f(t)]= snF(s)−∑n
k=1 s
n−k f(0)dn
dtn
dk−1
dtk−1
t ≥ 0 L [∫ t
0
f(τ)dτ]= F(s)1
s
f(t) F(s)
δ(t) ∀σ ∈ R
u(t)
1
s
σ > 0
t
n n!
sn+1
σ > 0
e
−at 1
s+a
σ > −a
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
As funções e consistem no impulso unitário e no degrau unitário, respectivamente, definidas como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando a função F(s) for composta por uma razão de polinômios P(s) e Q(s), em que o grau do polinômio P(s) é menor do que o grau do polinômio
Q(s), realiza-se o método das frações parciais para reescrever a função. Vejamos como isso acontece:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso existam fatores repetidos em Q(s), o número de frações é ampliado, conforme o exemplo a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
cos(ω0t)
s
s2+ω2
0
σ > 0
sen(ω0t)
ω0
s2+ω2
0
σ > 0
δ(t) u(t)
δ(t)={
∞,   t = 0
0,   t ≠ 0
,   onde  ∫ ∞
−∞ δ(t). dt = 1
u(t)={
1,   t ≥ 0
0,   t  0 s
t  =  0 s
V e− t V
R
C
2. CONSIDERE O CIRCUITO CL PARALELO INICIALMENTE DESCARREGADO DA FIGURA E.2. QUAL O
COMPORTAMENTO DA TENSÃO SOBRE A RESISTÊNCIA PARA T > 0 S, CONSIDERANDO QUE A FONTE DE
CORRENTE CONTÍNUA É LIGADA EM ?
 FIGURA E2
3. DETERMINE A IMPEDÂNCIA DO CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN PARA O INDUTOR DO CIRCUITO DA
FIGURA E.3, CONSIDERANDO QUE NÃO HÁ ENERGIA INICIALMENTE ARMAZENADA E QUE A BATERIA É LIGADA
EM .
 FIGURA E.3
V (1 − e
− ) V
t
RC
V e−  V
t
RC
V (1 − e− t) V
R
C
V (1 + e
− ) V
t
RC
t  =  0 s
I√ e
−
 VL
C
t
√LC
I√ (1 − e
− ) VL
C
t
√LC
I√ cos( ) VL
C
t
√LC
I√ sen( ) VL
C
t
√LC
I√ tg( ) VL
C
t
√LC
t  =  0 s
ZTh(s)=   Ω
(R1+R2)
1+s (R1+R2 ) (C1+C2 )
4. DETERMINE A TENSÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN PARA O INDUTOR DO CIRCUITO DA FIGURA
E.3 (EXERCÍCIO 3), CONSIDERANDO QUE NÃO HÁ ENERGIA INICIALMENTE ARMAZENADA E QUE A BATERIA É
LIGADA EM .
5. UM CIRCUITO POSSUI TENSÃO DE SAÍDA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA
DETERMINE A EXPRESSÃO QUE DEFINE A TENSÃO DE SAÍDA NO DOMÍNIO DO TEMPO:
6. UM CIRCUITO POSSUI TENSÃO DE SAÍDA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA
DETERMINE O VALOR INICIAL (T = 0 S) DA PRIMEIRA DERIVADA DESSA TENSÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO.
ZTh(s)=  Ω
R1R2
R1+R2
1+s (C1+C2)
R1R2
R1+R2
ZTh(s)=  Ω
(R1+R2)
1+s (R1+R2 )
C1C2
C1+C2
ZTh(s)=  Ω
R1R2
R1+R2
1+s( ) ( )R1R2
R1+R2
C1C2
C1+C2
ZTh(s)=  ΩR1+R2
1+s( ) (C1+C2 )
R1R2
R1+R2
t  =  0 s
vTh(t)= V
⎡
⎣
1 + e
− ⎤
⎦
V
R2
R1+R2
R1C1−R2C2
R2(C1+C2)
t
(C1+C2 )
R1R2
R1+R2
vTh(t)= V
⎡
⎣
1 + e
− ⎤
⎦
V
R2
R1+R2
R1C1+R2C2
R2(C1+C2)
t
(C1+C2 )
R1R2
R1+R2
vTh(t)= V
⎡
⎣
1 + e
− ⎤
⎦
V
R2
R1+R2
R2C2−R1C1
R2(C1+C2)
t
(C1+C2 )
R1R2
R1+R2
vTh(t)= V
⎡
⎣
1 − e
− ⎤
⎦
V
R2
R1+R2
R1C1+R2C2
R2(C1+C2)
t
(C1+C2 )
R1R2
R1+R2
vTh(t)= V
⎡
⎣
1 − e
− ⎤
⎦
V
R2
R1+R2
R2C2−R1C1
R2(C1+C2)
t
(C1+C2 )
R1R2
R1+R2
Vo(s)= V
5s+1
( s+1 ) 2(s+2)
vo(t)= 5e−t − 9e−2t V
vo(t)=(9 − 4t)e−t − 9e−2t V
vo(t)= 9e−t − 4t − 9e−2t V
vo(t)= −4te−t − 9e−2t V
vo(t)=(9 + 4t)e−t − 9e−2t V
Vo(s)= s
s2+2s+2
TEORIA NA PRÁTICA
A Figura E4 apresenta um circuito simplificado de um disparador de airbag. Ao ser acionado, a chave é alterada da posição A para B. O airbag é
disparado após o disparador, representado por uma resistência, dissipar uma energia de pelo menos 1 J.
Determine o menor valor da diferença de tempo entre o disparo do airbag e o acionamento da chave que garante o correto funcionamento do
dispositivo. Considere que o circuito com a chave na posição A está operando no estado permanente.
 Figura E4
RESOLUÇÃO
No estado permanente, o capacitor já se encontra carregado. Portanto, a corrente é nula e a tensão no capacitor é igual à tensão da fonte, 12 V.
Ao mudar para a posição B e aplicar a Transformada de Laplace no circuito, temos:
 Figura E4
A tensão sobre o resistor vale:
A corrente que passa pela resistência é:
vo(0)= −2 V /sd
dt
vo(0)= 1  V /sd
dt
vo(0)= 0  V /sd
dt
vo(0) é indefinido (tende ao infinito)d
dt
vo(0)= 2  V /sd
dt
Vo(s)= = −12s
s2+10s+5012 ( s+5 )
( s+5 ) 2+25
12(5)
( s+5 ) 2+25
vo(t)= 12e−5tcos(5t)−12e−5tsen(5t)= 12√2e−5t cos(5t + )π
4
A potência vale:
A energia vale:
Para determinar o tempo, basta igualar a energia a 1 J:
Use uma calculadora gráfica para ver a resposta.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Calcular a Função de Transferência e identificar a localização dos polos e zeros
ASSISTA, A SEGUIR, AO VÍDEO SOBRE A FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA E IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DOS POLOS E
ZEROS.
io(t)= = 4√2e−5t cos(5t + )vo ( t )
3
π
4
P(t)= vo(t). io(t)= 96e−10t cos2  (5t + )π
4
W(t)= ∫ t
0 96e−10τ cos2  (5τ + )dτ = [ ]
t
0
π
4
12e−10τ ( cos   ( 10τ ) +sen ( 10τ ) −2 )
5
= +
12e−10t ( cos   ( 10t ) +sen ( 10t ) −2 )
5
12
5
+ > 1 → t > 27,4 ms → t = 27,4 ms
12e−10t ( cos ( 10t ) +sen ( 10t ) −2 )
5
12
5
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Existem três tipos de problemas de engenharia:
Problema de análise – dispõe-se do valor da entrada e do comportamento do sistema, e o objetivo é a obtenção da saída;
Problema de síntese – tem-se os valores de entrada e saída, e se deseja obter o comportamento do sistema;
Problema de obtenção de entrada – o valor da saída e o comportamento do sistema são conhecidos, desejando-se saber qual é a entrada.
NESSE CONTEXTO, O QUE SERIA O COMPORTAMENTO DO SISTEMA?
RESPOSTA
RESPOSTA
Em circuitos elétricos, o comportamento do sistema é conhecido como Função de Transferência ou Função de Circuito.
CÁLCULO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Já sabemos que as soluções de circuito, no domínio do tempo, são formadas por equações diferenciais, como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que não haja energia inicialmente armazenada e aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:
an + an−1 + … + a1 + a0y
dny
dtn
dn−1y
dtn−1
dy
dt
= bm + bm−1 + … + b1 + b0x
dmx
dtm
dm−1x
dtm−1
dx
dt
ans
nY (s)+an−1s
n−1Y (s)+ … + a1sY (s)+a0Y (s)= bms
mX(s)+bm−1s
m−1X(s)+ … + b1sX(s)+
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função H(s) corresponde à Função de Transferência do circuito e representa o comportamento do circuito. Essa função fornece, de forma simples, a
resposta do circuito por meio de um produto com o sinal de entrada.
A Função de Transferência pode ser reescrita da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes do polinômio do numerador, , correspondem aos zeros da Função de Transferência. Já as raízes do polinômio
denominador, , correspondem aos polos da Função de Transferência.
Desse modo, os zeros correspondem aos valores de s para os quais H(s) = 0, e os polos correspondem aos valores de s para os quais H(s) tende ao
infinito.
Uma vez que s é um número complexo tal que s = σ + jω, pode-se representar os polos e zeros no plano complexo. Os polos são representados por x
e os zeros por o, como ilustra o exemplo da Figura 1.
Figura 1: Representação de polos e zeros no plano complexo da Função de Transferência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Figura 1
Além disso, nota-se que o polinômio correspondente ao denominador de H(s) é o mesmo da equação característica, responsável pela resposta
homogênea. Portanto, os polos são responsáveis pela forma da resposta livre do circuito.
→(ansn + an−1s
n−1 + … + a1s + a0)Y (s)=(bmsm + bm−1s
m−1 + … + b1s + b0)X(s)→
→ H(s)= = →
Y ( s )
X ( s )
bms
m+bm−1s
m−1+…+b1s+b0
ansn+an−1sn−1+…+a1s+a0
→ Y (s)= H (s) .X(s)
H(s)= K ,   onde K =
( s−z1 ) ( s−z2 ) …(s−zm)
( s−p1 ) ( s−p2 ) …(s−pn)
bm
an
z1,  z2,  …  zm
p1,  p2,  …  pn
H(s)= s+1
( s+2 ) ( s+j ) ( s−j )
RELAÇÃO ENTRE POLOS E RESPOSTA DE UM CIRCUITO
É importante, nesse momento, conhecer os polos e sua relação com a resposta de um circuito. A Tabela 6 apresenta a resposta das principais
distribuições de polos.
Tabela 6 – Resposta às principais distribuições de polos
Polos de H(s) no plano complexo Resposta no domínio do tempo, h(t) Ilustração de h(t)
(constante)
(exponencial crescente)
(exponencial decrescente)
(oscilação de amplitude constante)
K
K. eσ.t,   σ > 0
K. eσ.t,   σ 0
K. eσ.t. cos(ω. t + ϕ),   σtemporal, ϵ, muito pequena, chega-se à função impulso, , ilustrada na Figura 2d, também conhecida como Delta de
Dirac:
Em que,
 Figura 2 D
Figura 2 – Dedução da função impulso por meio da função degrau
u(t)={ 0,   t 0
u(t) uϵ(t)
u(t)= lim
ϵ→0
 uϵ(t)
uϵ(t)=
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
0,              t ϵ     
1
ϵ
uϵ(t) δϵ(t)
δϵ(t)=
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
0,              t ϵ     
1
ϵ
δ(t)
δ(t)={
0,                              t ≠ 0
indefinida,   t = 0
δ(t)= lim
ϵ→0
 δϵ(t)
Repare que, quando ϵ tende a 0, a amplitude da função tende ao infinito. Dessa forma, a função impulso, , não é definida no instante 0.
Além disso, a área do pulso retangular, , é constante e igual a 1. Portanto, o número 1, na Figura 2d, representa a área, e a seta vertical para
cima indica que sua amplitude tende ao infinito.
Existem outras formas de se chegar à função impulso. No entanto, esta é suficiente para o entendimento e traz consigo uma importante relação com a
função degrau:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma propriedade importante da função impulso é a chamada propriedade da amostragem:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o impulso possui valor nulo para qualquer instante de tempo diferente de a. Desse modo, o produto dela com uma função qualquer, x(t),
será nulo em todo o instante diferente de a.
Pode-se substituir, portanto, x(t) por x(a), que será uma constante, podendo sair da integral. Como a área do impulso, ou seja, a integral do impulso,
vale 1, a resposta final da integral será x(a), ou seja, a amostra de x(t) no instante a.
Com base nessa propriedade, calcula-se a Transformada de Laplace da função impulso:
Sabendo que , se então:
Portanto a resposta ao impulso é dada pela Transformada Inversa de Laplace da própria Função de transferência.
PARA X(T) = U(T), TEM-SE:
Pela propriedade da Transformada de Laplace da integral de uma função, temos:
δϵ(t) δ(t)
δϵ(t)
δ(t)= u(t)d
dt
∫ c
b
x(t). δ(t − a). dt = x(a),   bno assunto, resolva os exercícios dos livros listados na bibliografia referentes aos assuntos abordados neste Tema.
CONTEUDISTA
Rafael Rocha Heymann
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);