Transformada de Laplace em Circuitos

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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 5
Transformada de Laplace na Análise de Cir-
cuitos
Domínio s, função de transferência, polos, zeros e convolução
Pergunta-guia
Como substituir equações diferenciais por equações algébricas sem perder as condições iniciais e a dinâmica do
circuito?
Ao final, você deverá ser capaz de
Modelar R, L e C no domínio s, obter funções de transferência, interpretar polos/zeros e calcular respostas transitória
e estacionária.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
Mapa do tema
Circuito no tempo Transformada de Laplace Álgebra em s Resposta no tempo
Módulo
Pergunta central Resultado prático
1
Como incorporar derivadas, inte-
grais e energia inicial?
Converter o circuito para s, resolver e inverter a transformada.
2
O que polos e zeros revelam antes
da resposta temporal?
Inferir estabilidade, rapidez, oscilação e resposta em frequência.
3
Como prever a saída para en-
tradas arbitrárias?
Usar impulso, degrau, regime estacionário e convolução.
Leitura intuitiva
Laplace não elimina a dinâmica; ela a reorganiza. Derivadas viram multiplicações por s, integrais viram divisões por s
e as condições iniciais aparecem como termos adicionais. Depois de resolver a álgebra, a transformada inversa devolve
o comportamento no tempo.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
MÓDULO 1
Transformada de Laplace e modelos de elementos no domínio s
Questão central
Como resolver um circuito com chaveamento e energia previamente armazenada?
Resultado esperado
Aplicar a transformada unilateral, representar condições iniciais e recuperar a resposta causal
no tempo.
1. Visão geral
Circuitos com indutores e capacitores são descritos por equações diferenciais. A Transformada de Laplace unilateral converte
essas equações em relações algébricas e incorpora os valores imediatamente anteriores ao chaveamento, iL(0−) e vC(0
−).
Isso permite obter resposta natural e forçada em um único procedimento.
A Teoria de Circuitos é um modelo concentrado da Teoria de Campos: tensão e corrente são associadas ao elemento como
um todo, desprezando variações espaciais internas e atrasos de propagação. O circuito pode ser visto como um sistema que
recebe uma tensão ou corrente x(t) e fornece uma saída y(t).
Leitura intuitiva
No instante da chave, a energia armazenada não desaparece: a corrente do indutor e a tensão do capacitor são
contínuas quando não há impulsos ideais. Laplace carrega essa “memória” para o circuito equivalente em s.
2. Conceitos fundamentais
Transformada unilateral
Definição técnica: F (s) =
∫∞
0−
f(t)e−st dt, com s = σ + jω.
Em termos simples: Comprime o comportamento temporal em uma função complexa e inclui condições iniciais.
Região de convergência
Definição técnica: Conjunto de valores de s para os quais a integral converge.
Em termos simples: Ajuda a distinguir sinais e causalidade, embora em circuitos racionais causais seja comum inferi-la
a partir dos polos.
Resposta natural
Definição técnica: Parcela determinada pela energia inicial e pelos polos do circuito.
Em termos simples: É o transitório que existe mesmo sem excitação posterior.
Resposta forçada
Definição técnica: Parcela causada pela entrada aplicada.
Em termos simples: Inclui o regime permanente e eventuais termos transitórios ligados à forma da entrada.
Causalidade
Definição técnica: A saída em t não depende de valores futuros da entrada.
Em termos simples: A causa precede o efeito; é requisito de um circuito físico realizável.
Linearidade
Definição técnica: Valem homogeneidade e aditividade: T{ax1 + bx2} = aT{x1}+ bT{x2}.
Em termos simples: Permite superposição de fontes e decomposição da entrada.
Invariância no tempo
Definição técnica: Se x(t) → y(t), então x(t− t0) → y(t− t0).
Em termos simples: O comportamento não muda apenas porque o experimento começou depois.
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Elementos concentrados
Definição técnica: Dimensões físicas e atrasos são pequenos frente ao comprimento de onda e aos tempos relevantes.
Em termos simples: Permite representar R, L e C como componentes localizados; em alta frequência, efeitos dis-
tribuídos podem invalidar o modelo.
3. Funcionamento
Definir 0− e 0+ Transformar elementos Resolver em s Frações parciais e inversa
1. Determine vC(0
−) e iL(0
−) pelo circuito anterior ao chaveamento.
2. Use continuidade: vC(0
+) = vC(0
−) e iL(0
+) = iL(0
−), salvo impulsos ideais.
3. Transforme fontes e elementos, mantendo os termos de condição inicial.
4. Aplique Kirchhoff em s, resolva a variável desejada e faça a transformada inversa.
5. Verifique valores inicial e final quando os teoremas forem aplicáveis.
No domínio do tempo, a solução completa de uma equação diferencial linear é
y(t) = yh(t) + yp(t),
em que yh é a solução homogênea, determinada pela equação característica e pela energia inicial, e yp é uma solução
particular associada à entrada. Pelo método dos coeficientes indeterminados, a hipótese de yp acompanha a forma da
entrada: exponencial gera exponencial, senoide gera combinação de seno e cosseno e polinômio gera polinômio de mesmo
grau, salvo coincidência com modos naturais.
4. Equações e relações matemáticas
Propriedades essenciais
L{f ′(t)} = sF (s)− f(0−)
L
{∫ t
0
f(τ)dτ
}
=
F (s)
s
L{u(t)} =
1
s
, L{e−atu(t)} =
1
s+ a
, L{δ(t)} = 1
s possui unidade s−1. As expressões pressupõem sinais causais e transformada unilateral quando se usam condições
iniciais.
Transformadas frequentes e frações parciais
f(t) F (s)
1 · u(t) 1/s
t u(t) 1/s2
e−atu(t) 1/(s+ a)
sinωt u(t) ω/(s2 + ω2)
cosωt u(t) s/(s2 + ω2)
δ(t) 1
Para uma função racional própria F (s) = P (s)/Q(s), fatorize Q(s) e decomponha em frações parciais. Polos repetidos
exigem todos os termos A1/(s− p) +A2/(s− p)2 + · · · até a multiplicidade correspondente.
Modelos dos elementos
VR(s) = RIR(s)
VL(s) = sLIL(s)− LiL(0
−)
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IC(s) = sCVC(s)− CvC(0
−)
Com condições iniciais nulas: ZR = R, ZL = sL e ZC = 1/(sC). Com energia inicial, os termos adicionais devem
ser representados ou mantidos diretamente nas equações.
Elemento Relação temporal Leitura em s com condição nula
Resistor v = Ri impedância R.
Indutor v = Ldi/dt impedância sL.
Capacitor i = C dv/dt impedância 1/(sC).
Circuito
Equação característica típica Forma da resposta natural
RC
s+ 1/(RC) = 0 exponencial com τ = RC.
RL
s+R/L = 0 exponencial com τ = L/R.
RLC
s2 + (R/L)s + 1/(LC) = 0
no série
dois modos reais ou par complexo, conforme o amortecimento.
Fonte ideal
elemento ativo capaz de
fornecer energia
aparece como entrada transformada, por exemplo V0u(t) ↔ V0/s.
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Estado que não salta Energia armazenada
Capacitor tensão vC WC = 1
2Cv2C .
Indutor corrente iL WL = 1
2Li
2
L.
Resistor não possui estado en-
ergético
dissipa p = Ri2 = v2/R.
Chave ideal muda a topologia in-
stantaneamente
pode criar modelos impulsivos se impuser descontinuidade incompatível.
6. Aplicação prática
Problema: prever tensão de partida, corrente de energização ou descarga após uma manobra.
Solução: calcular o estado em 0−, montar o circuito em s para t > 0 e inverter a solução.
Funcionamento: polos determinam o decaimento natural; a entrada determina a parcela forçada.
Resultado esperado: estimar pico, tempo de acomodação e energia sem integrar manualmente a equação diferencial.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — capacitor pré-carregado submetido a um degrau
Um capacitor C = 100µF possui vC(0−) = 5V. Em t = 0, conecta-se por R = 2 kΩ a uma fonte de 10V.
A equação em s pode ser escrita como
10/s− VC(s)
R
= sCVC(s)− CvC(0
−).
Isolando VC(s) e invertendo:
vC(t) = Vf + [V0 − Vf ]e
−t/(RC) = 10− 5e−t/0,2V, t ≥ 0.
Em uma constante de tempo:
vC(0,2) = 10− 5e−1 = 8,16V.
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Leitura física do resultado
A resposta começa exatamente em 5 V, não em zero, e tende a 10 V. A constante de tempo 0,2 s define a
rapidez; após aproximadamente 5τ = 1 s, o erro restante é inferior a 1%.
8. Pontos críticos e cuidados
• Usar apenas ZL = sL e ZC = 1/(sC) quando há energia inicial elimina parte da resposta.
• Confundir 0− com 0+ pode violar continuidade de estado.
• Cancelamentos algébricos de polos e zeros podem esconder modos internos em modelos não mínimos.
• O teorema do valor final exige condições de estabilidade específicas.
9. Relação com outros assuntos
O domínio s liga circuitos a controle, sinais e sistemas, eletrônica e máquinas. Avaliar s = jω recupera a resposta em
frequência usada nos diagramas de Bode.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
O modelo por impedância em s é uma ferramenta de circuito; a formulação por espaço de estados preserva diretamente
as variáveis de energia vC e iL. Para circuitos de ordem elevada ou com chaveamento repetitivo, simulação e espaço
de estados podem ser mais transparentes.
11. Para memorizar
Para memorizar
• L{f ′} = sF − f(0−).
• Condição nula: ZR = R, ZL = sL, ZC = 1/(sC).
• vC e iL são variáveis de estado contínuas sem impulsos ideais.
• Resposta completa = natural + forçada.
• Calcule 0− antes de desenhar o circuito para t > 0.
• Sistema-base do material: causal, linear, invariante no tempo e com elementos concentrados.
• Função racional própria: usar frações parciais; polo repetido gera termos de ordens sucessivas.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
Laplace converte derivadas em álgebra e torna explícita a memória de L e C. O procedimento correto começa pelo
estado inicial, passa pelo circuito em s e termina com inversão e verificação física dos limites.
Checagem rápida
1. Estado contínuo do capacitor: vC .
2. Quando ZC = 1/(sC) basta? Condição inicial nula ou tratada separadamente.
3. Antes da manobra, obtenha: vC(0
−) e iL(0
−).
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MÓDULO 2
Função de transferência, polos e zeros
Questão central
O que a posição de polos e zeros diz sobre a resposta antes de qualquer simulação?
Resultado esperado
Obter H(s), localizar polos/zeros e relacioná-los a estabilidade, velocidade, oscilação e Bode.
1. Visão geral
A função de transferência descreve a relação entrada–saída de um sistema linear e invariável no tempo sob condições iniciais
nulas. Os zeros são valores de s que anulam o numerador; os polos anulam o denominador e correspondem aos modos
naturais do sistema.
O material-base distingue três problemas de engenharia: análise, quando entrada e sistema são conhecidos e se busca a
saída; síntese, quando entrada e saída desejada são conhecidas e se projeta o sistema; e obtenção de entrada, quando
sistema e saída são conhecidos e se procura a excitação necessária. A função de transferência representa o “comportamento
do sistema” nessas três leituras.
Leitura intuitiva
Polos dizem “como o sistema sabe se mover sozinho”; zeros dizem “como a entrada deixa de aparecer na saída”. Polos
próximos do eixo imaginário decaem lentamente; mais à esquerda, rapidamente.
2. Conceitos fundamentais
Função de transferência
Definição técnica: H(s) = Y (s)/X(s) com estados iniciais nulos.
Em termos simples: É um mapa algébrico entre entrada e saída; depende de onde a saída é medida.
Polo
Definição técnica: Raiz do denominador após cancelamentos válidos.
Em termos simples: Define modos naturais, estabilidade e rapidez.
Zero
Definição técnica: Raiz do numerador.
Em termos simples: Atenua ou bloqueia componentes e molda magnitude, fase e transitório.
Estabilidade BIBO
Definição técnica: Entrada limitada produz saída limitada. Para sistema racional causal contínuo, requer polos no
semiplano esquerdo.
Em termos simples: Polos com parte real positiva fazem a resposta crescer; no eixo imaginário exigem análise de
multiplicidade.
Função própria
Definição técnica: O grau do numerador não excede o do denominador; estritamente própria quando é menor.
Em termos simples: Circuitos físicos usuais sem caminho instantâneo derivativo produzem funções próprias. Se a
função for imprópria, faça divisão polinomial e interprete termos impulsivos/derivativos.
3. Funcionamento
Definir entrada/saída Zerar condições iniciais Derivar H(s) Fatorar e interpretar
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Depois, substitua s = jω para resposta senoidal de regime permanente ou faça a inversa para resposta temporal. A mesma
função pode ter interpretações diferentes conforme entrada e saída escolhidas.
A distância horizontal de um polo ao eixo imaginário determina a taxa exponencial σ e, portanto, uma constante de tempo
aproximada τ = 1/|σ|. A coordenada imaginária determina a frequência de oscilação. Polos simples no eixo imaginário
produzem oscilação natural sem decaimento no modelo ideal, mas não garantem estabilidade BIBO: uma entrada senoidal
na mesma frequência pode gerar crescimento ressonante.
4. Equações e relações matemáticas
Forma fatorada
H(s) = K
∏
k(s− zk)∏
m(s− pm)
zk são zeros, pm são polos e K é ganho. Para coeficientes reais, polos e zeros complexos aparecem em pares
conjugados.
Segunda ordem canônica
H(s) =
Kω2
n
s2 + 2ζωns+ ω2
n
p1,2 = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2
Para 0controles também são interpretados por autovalores/polos.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Um polo dominante é o polo estável mais próximo do eixo imaginário quando os demais estão suficientemente afastados
e não há zero próximo que modifique sua contribuição. Reduzir um modelo sem verificar resíduos e separação modal
pode produzir conclusões erradas.
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11. Para memorizar
Para memorizar
• H(s) = Y (s)/X(s) com condições iniciais nulas.
• Polos: raízes do denominador; zeros: raízes do numerador.
• Sistema racional causal contínuo BIBO estável: polos no semiplano esquerdo.
• Parte real define crescimento/decaimento; parte imaginária define oscilação.
• H(jω) fornece resposta de frequência.
• Problemas: análise (x,H → y), síntese (x, y → H) e obtenção de entrada (H, y → x).
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A função de transferência separa a relação entrada–saída da amplitude aplicada. Polos governam os modos naturais;
zeros moldam como a entrada aparece na saída. A posição no plano s permite antecipar estabilidade e dinâmica,
mas hipóteses e cancelamentos devem ser verificados.
Checagem rápida
1. Polo em +2: instabilidade BIBO.
2. Polos −3± j10: oscilação com envelope e−3t.
3. H(jω) informa: ganho e fase de regime senoidal.
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MÓDULO 3
Resposta impulsiva, estacionária e integral de convolução
Questão central
Como calcular a saída de um circuito para uma entrada qualquer a partir de sua resposta ao
impulso?
Resultado esperado
Distinguir transitório/regime, relacionar H(s) e h(t) e aplicar convolução e teoremas de valor
inicial/final.
1. Visão geral
A resposta ao impulso h(t) caracteriza completamente um sistema LTI causal de condições iniciais nulas. Qualquer entrada
pode ser vista como soma contínua de impulsos deslocados; a saída é a soma das respostas correspondentes, expressa pela
convolução.
Leitura intuitiva
h(t) é a “impressão digital” dinâmica do circuito. A convolução desliza essa impressão sobre a entrada e acumula
quanto cada instante passado contribui para a saída atual.
2. Conceitos fundamentais
Resposta impulsiva
Definição técnica: h(t) = L−1{H(s)}.
Em termos simples: É a saída a um impulso unitário e o núcleo da convolução.
Resposta ao degrau
Definição técnica: Saída para u(t); no domínio s, Y (s) = H(s)/s.
Em termos simples: Mostra transição entre estados e permite medir tempo de subida e acomodação.
Regime estacionário
Definição técnica: Parcela que permanece após o desaparecimento dos modos transitórios estáveis.
Em termos simples: Para senoide, mantém a frequência e altera somente ganho e fase.
Convolução
Definição técnica: y(t) =
∫ t
0
x(τ)h(t− τ)dτ para sistema causal.
Em termos simples: Combina entrada e dinâmica para produzir a saída.
Degrau unitário u(t)
Definição técnica: u(t) = 0 para t 0; o valor exatamente em zero depende da convenção.
Em termos simples: Modela uma comutação ideal e permite construir sinais por mudanças de nível.
Impulso de Dirac δ(t)
Definição técnica: Distribuição nula fora de zero, de área unitária, obtida como limite de um pulso cada vez mais
estreito e alto.
Em termos simples: Modela uma ação concentrada e “amostra” um sinal dentro de uma integral.
3. Funcionamento
Obter H(s) Calcular h(t) Escolher entrada x(t) Convolver ou multiplicar em s
No domínio s, convolução vira multiplicação: Y (s) = H(s)X(s). Para análise de senoide em regime permanente de sistema
estável, pode-se usar diretamente H(jω).
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O impulso é a derivada do degrau, δ(t) = du(t)/dt. Consequentemente, se r(t) é a resposta ao degrau e h(t) a resposta
ao impulso do mesmo sistema em repouso,
h(t) =
dr(t)
dt
, r(t) =
∫ t
0−
h(λ)dλ.
Um sinal arbitrário pode ser aproximado por soma de degraus ou impulsos deslocados. Fazendo o intervalo tender a zero,
a soma de respostas torna-se a integral de convolução.
4. Equações e relações matemáticas
Relações fundamentais
h(t) = L−1{H(s)}, y(t) = x(t) ∗ h(t)
y(t) =
∫ t
0
x(τ)h(t− τ)dτ, Y (s) = X(s)H(s)
Para uma entrada x(t) = A cos(ωt+ ϕ)u(t) e sistema estável, o regime senoidal é
yss(t) = A|H(jω)| cos[ωt+ ϕ+ ∠H(jω)].
Área e propriedade de amostragem do impulso∫ ∞
−∞
δ(t− a)dt = 1,
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t− a)dt = x(a).
L{δ(t)} = 1, y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t− τ)dτ.
Para sistemas causais inicialmente em repouso e sinais nulos antes de zero, os limites se reduzem a 0 e t.
Propriedades da convolução
x ∗ h = h ∗ x (comutativa),
x ∗ (h1 + h2) = x ∗ h1 + x ∗ h2 (distributiva),
(x ∗ h1) ∗ h2 = x ∗ (h1 ∗ h2) (associativa).
Sob condições regulares, derivar a convolução equivale a derivar um dos fatores: d(x∗h)/dt = (dx/dt)∗h = x∗(dh/dt),
incluindo os termos impulsivos necessários em descontinuidades.
Teoremas de valor inicial e final
y(0+) = lim
s→∞
sY (s)
y(∞) = lim
s→0
sY (s)
O valor final só é válido se todos os polos de sY (s) estiverem no semiplano esquerdo, exceto eventual polo simples
na origem conforme a formulação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
63,2% em τ
t/τ
y
(t
)/
A
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5. Componentes, elementos ou equipamentos
Resposta obser-
vada
Parâmetro dominante Interpretação
Exponencial
monotônica
polo real circuito de primeira ordem/amortecido.
Oscilação decres-
cente
polos complexos LHP troca de energia com perdas.
Oscilação susten-
tada ideal
polos simples no eixo
imaginário
estabilidade marginal no modelo ideal.
Crescimento polo RHP ou múltiplo no
eixo
instabilidade no modelo linear.
Movimento inicial
contrário
zero de fase não mínima resposta inversa antes da tendência final.
6. Aplicação prática
Problema: prever se a saída de um sensor filtrado acompanha um degrau de processo a tempo.
Solução: usar H(s) para calcular resposta ao degrau e tempo de acomodação.
Funcionamento: o polo dominante define a velocidade; a convolução permite testar entradas medidas.
Resultado esperado: garantir resposta suficiente sem amplificar ruído ou causar atraso incompatível com o controle.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — resposta ao degrau de um sistema RC
Para H(s) = 1/(0,1s+ 1) e entrada x(t) = 5u(t):
Y (s) =
5
s(0,1s+ 1)
=
5
s
− 5
s+ 10
.
y(t) = 5(1− e−10t)u(t).
Em t = 0,3 s = 3τ :
y(0,3) = 5(1− e−3) = 4,75V.
A resposta impulsiva é
h(t) = 10e−10tu(t),
e a mesma saída resulta de y(t) = 5u(t) ∗ h(t).
Leitura física do resultado
Em três constantes de tempo, o circuito atingiu cerca de 95% do valor final; em cinco, ultrapassa 99%. A
resposta é rápida ou lenta somente em relação ao requisito da aplicação.
8. Pontos críticos e cuidados
• Resposta ao impulso de circuito ideal pode conter impulsos; trate distribuições com cuidado.
• Regime estacionário não significa saída constante: pode ser senoidal periódica.
• Convolução causal usa limites compatíveis com o suporte dos sinais.
• Valor final obtido sem teste de polos pode estar matematicamente errado.
• O impulso não é uma função de amplitude infinita comum; é definido por sua ação integral e área unitária.
• Ao representar pulsos deslocados, use linearidade e invariância no tempo para deslocar e escalar corretamente a resposta.
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9. Relação com outros assuntos
Convolução é central em sinais, filtros digitais, controle e comunicações. A resposta ao degrau é usada em identificação de
processos e sintonia de controladores.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para entradas registradas experimentalmente, a convolução pode ser calculada numericamente. Em sistemas dis-
cretizados, a integral torna-se soma. A taxa de amostragem e o tratamento do estado inicial devem ser compatíveis
com a dinâmica mais rápida do circuito.
A amostragem ideal pode ser modeladapelo produto do sinal com um trem de impulsos. No espectro, isso replica o
conteúdo em múltiplos da frequência de amostragem; se as réplicas se sobrepõem, ocorre aliasing. Por isso, a filtragem
anti-aliasing deve preceder a amostragem.
11. Para memorizar
Para memorizar
• h(t) = L−1{H(s)}.
• y = x ∗ h e Y = XH.
• Degrau unitário: X(s) = 1/s.
• δ(t) = du/dt, área unitária e propriedade
∫
x(t)δ(t− a)dt = x(a).
• Resposta ao degrau e impulso: h = dr/dt e r =
∫
h.
• Convolução é comutativa, distributiva e associativa.
• Para senoide estável: ganho |H(jω)| e fase ∠H(jω).
• Verifique polos antes de aplicar o teorema do valor final.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A resposta ao impulso contém toda a dinâmica LTI entrada–saída. A convolução calcula a resposta a qualquer entrada;
no domínio s, vira multiplicação. Transitório vem dos modos naturais; regime estacionário é o comportamento que
permanece após seu decaimento.
Checagem rápida
1. Transformada do degrau unitário: 1/s.
2. Como obter h(t)? L−1{H(s)}.
3. Usar valor final sem verificar polos? Não.
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Fechamento do Tema 5
Etapa
Pergunta de verificação
Estado inicial
Quais são vC(0
−) e iL(0
−)?
Modelo em s
Os termos de condição inicial foram preservados?
Função de transferência
Entrada e saída estão claramente definidas e os estados foram zerados?
Polos e zeros
O sistema é estável? Há modo dominante ou zero próximo?
Resposta temporal
O valor inicial, o final e as unidades fazem sentido físico?
Simulação
O modelo inclui saturação, tolerâncias e parasitas relevantes?
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
circuito como sistema; causalidade,
linearidade, invariância no tempo e el-
ementos concentrados
visão geral e conceitos fundamentais.
1
equação diferencial, solução ho-
mogênea/particular e exponencial
complexo
funcionamento e explicação da resposta natural/forçada.
1
definição e propriedades de Laplace,
tabela básica, frações parciais e polos
repetidos
equações e tabela de transformadas.
1
teoremas dos valores inicial/final; fre-
quência complexa; modelos de R, L e
C com energia inicial
fórmulas, procedimento e exemplo RC pré-carregado.
2
problemas de análise, síntese e
obtenção da entrada; cálculo de H(s)
visão geral e fluxo de obtenção.
2
polos, zeros, plano complexo, resposta
natural e estabilidade
conceitos, gráfico, equações e exemplo.
3
degrau, impulso, limite de pulso, área
e propriedade de amostragem
conceitos e equações do impulso.
3
respostas ao degrau/impulso e relação
derivada–integral
funcionamento e memorização.
3
decomposição de sinal, convolução e
propriedades comutativa, distributiva,
associativa e derivada
fórmulas e aplicação.
3
trem de impulsos e amostragem complemento técnico sobre aliasing.
Referências do material-base
BOYCE, W. E. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
CLOSE, C. M. Circuitos lineares. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
SVOBODA, J.; DORF, R. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
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	Mapa do tema
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	Fechamento do Tema 5
	Matriz de cobertura do material-base
	Referências do material-base