Análise de Circuitos Senoidais

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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 3
Análise de Circuitos Senoidais
Kirchhoff, Thévenin, Norton, potência e sistemas trifásicos
Pergunta-guia
Como resolver uma rede CA no domínio fasorial e transformar o resultado em decisões sobre corrente, potência e
fator de potência?
Ao final, você deverá ser capaz de
Aplicar métodos nodal e de malhas com impedâncias, construir equivalentes, calcular potência complexa e analisar
sistemas trifásicos equilibrados.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
Mapa do tema
Circuito físico Modelo fasorial Solução complexa Potência e decisão
Módulo
Núcleo do raciocínio O que você deve conseguir fazer
1
Kirchhoff continua válido; re-
sistências tornam-se impedâncias.
Resolver nós/malhas e reduzir uma rede a Thévenin ou Norton.
2
Potência depende do produto en-
tre tensão e corrente e da de-
fasagem.
Calcular P , Q, S, fator de potência e grandezas trifásicas.
Ponto crítico
O símbolo
√
3 não é uma regra universal de CA. Ele aparece em relações específicas de sistemas trifásicos equilibrados
e depende de ligação estrela/triângulo e do uso correto de grandezas de linha ou fase.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
MÓDULO 1
Leis de Kirchhoff e teoremas de Thévenin e Norton
Questão central
Os métodos de circuitos resistivos ainda funcionam quando tensões e correntes possuem fase?
Resultado esperado
Montar equações fasoriais, escolher nodal ou malhas e obter equivalentes vistos por uma carga.
1. Visão geral
As leis de Kirchhoff expressam conservação de carga e energia e, portanto, continuam válidas em CA. A mudança está no
modelo: tensões, correntes e fontes tornam-se fasores; resistências são substituídas por impedâncias complexas. Thévenin
e Norton condensam toda uma rede linear em uma fonte e uma impedância equivalentes na frequência analisada.
Leitura intuitiva
Resolver um circuito CA não exige “novas leis”. Exige aplicar as mesmas leis com uma aritmética que carrega fase. O
método nodal soma correntes complexas; o método de malhas soma tensões complexas.
2. Conceitos fundamentais
Lei de Kirchhoff das correntes — LKC
Definição técnica:
∑
Ik = 0 em um nó, com sinais consistentes.
Em termos simples: A corrente não se acumula no nó: tudo que entra deve sair, incluindo os ângulos dos fasores.
Lei de Kirchhoff das tensões — LKT
Definição técnica:
∑
Vk = 0 em uma malha fechada.
Em termos simples: A soma das elevações e quedas de tensão é nula; as quedas são fasoriais.
Equivalente de Thévenin
Definição técnica: Rede linear vista por dois terminais substituída por VTh em série com ZTh.
Em termos simples: Mantém o comportamento terminal e facilita testar várias cargas.
Equivalente de Norton
Definição técnica: Rede linear vista por dois terminais substituída por IN em paralelo com ZN .
Em termos simples: É a forma dual de Thévenin; costuma ser conveniente em análise nodal.
Transformação fasorial
Definição técnica: A identidade de Euler permite escrever x(t) = Xm cos(ωt+ φ) = ℜ{Xmejφejωt}.
Em termos simples: Como todas as grandezas operam na mesma ω, o fator girante é omitido e resta o fasor de
amplitude e fase.
3. Funcionamento
Método nodal:
1. Escolha o nó de referência.
2. Defina as tensões nodais fasoriais.
3. Escreva cada corrente como (Va − Vb)/Z ou (Va − Vb)Y .
4. Aplique LKC e resolva o sistema complexo.
Com n nós incluindo a referência, existem n− 1 tensões nodais independentes. Antes de escrever o sistema, transforme as
fontes e os elementos passivos: ZR = R, ZL = jωL e ZC = 1/(jωC).
Thévenin/Norton:
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
Retirar a carga Calcular Voc ou Isc Obter Zeq Reconectar ZL
VTh
ZTh
ZL
IL
rede original reduzida aos terminais da carga
4. Equações e relações matemáticas
Equivalência terminal
VTh = Voc, IN = Isc, ZN = ZTh =
Voc
Isc
IL =
VTh
ZTh + ZL
, VL = ILZL
As relações são fasoriais e valem para uma frequência fixa em redes lineares. Com fontes dependentes, mantenha-as
ativas ao obter ZTh e aplique uma fonte-teste, ou use Voc/Isc quando possível.
Associações e divisores no domínio fasorial
Zs =
n∑
k=1
Zk, Zp =
(
n∑
k=1
1
Zk
)−1
.
Vk = VT
Zk∑
Z
, I1 = IT
Z2
Z1 + Z2
= IT
Y1
Y1 + Y2
.
As regras de divisor dos circuitos resistivos permanecem válidas, mas todas as grandezas são complexas. No divisor
de corrente de dois ramos, a corrente de um ramo usa a impedância do outro no numerador. No divisor de tensão, a
tensão do elemento é proporcional à sua própria impedância; no divisor de corrente, a corrente se divide inversamente
às impedâncias dos ramos.
Nodal e malhas em forma matricial
[Y ][V ] = [I], [Z][I] = [V ]
A matriz de admitâncias é natural para nós; a matriz de impedâncias, para malhas. Unidades: Y em siemens, Z em
ohms, V em volts RMS e I em ampères RMS.
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento do mod-
elo
Tratamento Cuidado
Fonte indepen-
dente
permanece ativa
para Voc/Isc; anu-
lada em ZTh
fonte de tensão ideal vira curto; de corrente ideal vira circuito aberto.
Fonte dependente nunca é simples-
mente anulada
use fonte-teste e razão Vt/It.
Indutor/capacitor jωL e 1/(jωC) o equivalente muda com a frequência.
Transformador
ideal
relação de espiras e
impedância refletida
conservar polaridade dos pontos e base de referência.
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6. Aplicação prática
Problema: avaliar várias alternativas de carga em um mesmo alimentador.
Solução: substituir a rede a montante pelo equivalente de Thévenin no ponto de conexão.
Funcionamento: cada nova carga exige apenas IL = VTh/(ZTh + ZL).
Resultado esperado: calcular tensão terminal, corrente e sensibilidade à carga sem resolver novamente toda a instalação.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — carga ligada a um equivalente CA
Uma rede apresenta VTh = 120∠10◦ V e ZTh = 3 + j4Ω. Conecta-se ZL = 6− j2Ω.
ZT = ZTh + ZL = 9 + j2 = 9,22∠12,53◦ Ω
IL =
120∠10◦
9,22∠12,53◦ = 13,02∠− 2,53◦ A
VL = ILZL = 13,02∠− 2,53◦ × 6,32∠− 18,43◦ = 82,3∠− 20,96◦ V
O Norton correspondente é IN = VTh/ZTh = 24∠− 43,13◦ A e ZN = 3 + j4Ω.
Leitura física do resultado
A tensão da carga é menor que VTh devido à queda em ZTh. Como a carga possui parte capacitiva, seu ângulo
altera tanto a magnitude quanto a fase da queda; não basta calcular I|Z| como escalar.
8. Pontos críticos e cuidados
• Definir correntes e polaridades antes de escrever as equações evita sinais “corrigidos” no fim.
• ZTh é dependente da frequência se houver elementos reativos.
• Em máxima transferência de potência CA, a condição é ZL = Z∗
Th, não simplesmente ZL = ZTh.
• O equivalente reproduz o comportamento nos terminais, não correntes internas da rede original.
9. Relação com outros assuntos
Equivalentes são usados em estudos de curto-circuito, conexão de cargas, modelagem de fontes e estabilidade de tensão. A
forma matricial antecipa métodos computacionais de sistemas de potência.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para obter ZTh com fontes dependentes, aplique Vt nos terminais e calcule a corrente It: ZTh = Vt/It. Em redes
com fontes independentes e dependentes, primeiro anule apenas as independentes.
11. Para memorizar
Para memorizar
• Kirchhoff continua válido com fasores e impedâncias.
• VTh = Voc, IN = Isc e ZTh = ZN .
• Transformação: VTh = INZTh e IN = VTh/ZTh.
• Com fonte dependente: fonte-teste; não a anule.
• Para potência máxima: ZL = Z∗
Th.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
• Série: somar impedâncias; paralelo: somar admitâncias; divisores operam com grandezas complexas.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A análise CA usa as mesmas leis de conservação, porém em números complexos. Nodal e malhas resolvem a rede
completa; Thévenin e Norton preservam somente seu comportamentoterminal. A escolha do método depende da
topologia e do que se pretende calcular.
Checagem rápida
1. Fonte de corrente independente ideal anulada: ramo aberto.
2. Fonte dependente ao calcular ZTh: mantê-la e usar fonte-teste.
3. Carga de potência máxima: ZL = Z∗
Th.
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MÓDULO 2
Potência média, valores eficazes e circuitos trifásicos
Questão central
Como a defasagem altera a potência útil e como as grandezas de fase se relacionam às de linha?
Resultado esperado
Calcular potência complexa, fator de potência, compensação reativa e sistemas trifásicos equi-
librados ou desequilibrados.
1. Visão geral
Potência em CA possui duas parcelas: uma associada à conversão líquida de energia e outra à troca periódica de energia com
campos elétricos e magnéticos. O valor eficaz transforma o efeito térmico de uma forma de onda em um valor comparável
a CC. Sistemas trifásicos distribuem potência com maior uniformidade e economia de material.
Leitura intuitiva
Potência ativa é a energia que “fica” no processo; potência reativa é a energia que vai e volta a cada ciclo. Embora
Q não realize trabalho líquido, ela aumenta corrente, perdas e queda de tensão.
2. Conceitos fundamentais
Potência ativa P
Definição técnica: Valor médio de p(t) = v(t)i(t); unidade watt.
Em termos simples: É a parcela convertida em calor, movimento, luz ou trabalho útil.
Potência reativa Q
Definição técnica: Parcela imaginária de S; unidade var. Positiva para carga indutiva na convenção passiva.
Em termos simples: Representa a troca de energia armazenada; eleva a corrente sem aumentar o trabalho líquido.
Potência aparente |S|
Definição técnica: Produto VRMSIRMS ; unidade VA.
Em termos simples: Define a solicitação elétrica total de transformadores, cabos e geradores.
Fator de potência
Definição técnica: Para senoide, fp = cosφ = P/|S|.
Em termos simples: Mostra quanto da capacidade aparente é convertida em potência ativa.
Sequência de fases
Definição técnica: Ordem temporal em que as tensões atingem seus máximos. A sequência positiva (direta) é ABC;
a sequência negativa (inversa) é ACB.
Em termos simples: Trocar duas fases inverte a sequência e, por exemplo, o sentido de rotação de um motor trifásico.
Carga equilibrada e carga desequilibrada
Definição técnica: Na carga equilibrada, as três impedâncias de fase são iguais e as correntes têm mesmo módulo e
separação de 120◦. Se as impedâncias diferem, a carga é desequilibrada.
Em termos simples: A simetria permite analisar apenas uma fase na carga equilibrada; a carga desequilibrada deve
ser calculada fase a fase.
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P [W]
Q [var]
|S| [VA]
φ
3. Funcionamento
Medir V e I RMS Obter φ Calcular S = V I∗ Dimensionar/compensar
Em três fases equilibradas, analise uma fase e multiplique a potência por três. As relações de linha/fase dependem da
ligação. Em cargas desequilibradas, calcule cada fase ou use método apropriado; as fórmulas compactas com
√
3 deixam de
ser diretamente válidas.
Condição
Fasores de fase Consequência
Sequência direta
ABC
Va = VF∠0◦, Vb = VF∠ − 120◦, Vc =
VF∠120◦
campo girante no sentido de referência.
Sequência inversa
ACB
Va = VF∠0◦, Vb = VF∠120◦, Vc =
VF∠− 120◦
campo girante invertido.
Y equilibrado com
neutro
Ia + Ib + Ic = 0 corrente de neutro nula no modelo fundamental equi-
librado.
Desequilíbrio
módulos/ângulos distintos calcular cada fase; o neutro pode conduzir.
4. Equações e relações matemáticas
Potência monofásica senoidal
S = V I∗ = P + jQ, |S| = V I
P = V I cosφ, Q = V I sinφ, |S| =
√
P 2 +Q2
V e I são valores RMS; φ = ∠V − ∠I. Na convenção passiva, Q > 0 para carga indutiva e Qenergia e a edição vigente das normas aplicáveis, como a família IEC 61000.
11. Para memorizar
Para memorizar
• S = V I∗ = P + jQ e |S| =
√
P 2 +Q2.
• P = V I cosφ e Q = V I sinφ para senoides.
• Estrela: VL =
√
3VF , IL = IF .
• Triângulo: VL = VF , IL =
√
3IF .
• Equilibrado: P3ϕ =
√
3VLIL cosφ.
• QC = P (tanφ1 − tanφ2).
• Desequilibrado: Stotal =
∑
VkI
∗
k e IN = −(Ia + Ib + Ic).
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12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
Valores RMS determinam solicitação elétrica; a defasagem separa potência ativa e reativa. Em três fases equilibradas,
as relações linha/fase dependem da ligação. Corrigir fator de potência reduz corrente, mas exige avaliação de degraus,
harmônicas e ressonância.
Checagem rápida
1. Carga indutiva: Q > 0 na convenção passiva.
2. Em estrela equilibrada: IL = IF .
3.
√
3VLIL cosφ vale em qualquer desequilíbrio? Não.
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Fechamento do Tema 3
Pergunta
Resposta operacional
Nós ou malhas?
Nós quando há poucos nós e fontes de corrente; malhas quando há poucas malhas e fontes
de tensão.
Thévenin ou Norton?
A forma que simplifica a conexão da carga; ambas são equivalentes nos terminais.
Por que usar I∗ em S =
V I∗?
Para que o ângulo de S seja ∠V − ∠I e o sinal de Q preserve a convenção passiva.
Quando usar
√
3?
Em relações específicas de sistemas trifásicos equilibrados, com linha/fase identificadas.
Capacitor reduz con-
sumo em kWh?
Em geral reduz corrente e perdas a montante; não reduz automaticamente a energia ativa
exigida pelo processo.
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
transformação fasorial por Euler e el-
ementos R, L, C no domínio da fre-
quência
conceitos e procedimento de modelagem.
1
associações série/paralelo, divisores
de tensão e corrente
bloco de equações e memorização.
1
LKC, LKT, análise nodal e de malhas funcionamento e forma matricial.
1
teoremas e procedimentos de
Thévenin e Norton
conceitos, equações, circuito e exemplo.
2
potência média, potência instan-
tânea, valores eficazes e potência
complexa
conceitos, derivação e triângulo de potência.
2
sequência direta/inversa; tensões e
correntes de fase e linha; ligações Y
e triângulo
tabela de sequência e relações trifásicas.
2
cargas equilibradas e desequilibradas,
corrente de neutro e potência por
fase
equações gerais e exemplo de carga Y desequilibrada.
2
correção de fator de potência aplicação industrial e exemplo do motor.
Referências do material-base
CLOSE, C. M. Circuitos lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1966.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
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	Mapa do tema
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	Fechamento do Tema 3
	Matriz de cobertura do material-base
	Referências do material-base