Circuitos CA e Números Complexos

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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 2
Circuitos de Corrente Alternada
Números complexos, senoides e diagramas fasoriais
Pergunta-guia
Como transformar tensões e correntes senoidais em um modelo algébrico que preserve módulo e defasagem?
Ao final, você deverá ser capaz de
Representar senoides por fasores, operar números complexos sem perder o quadrante, interpretar R, L e C em CA e
reconstruir diagramas fasoriais coerentes.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
Mapa do tema
Este tema constrói a linguagem usada em toda a análise de regime senoidal permanente. A progressão correta é:
Senoide no tempo Número complexo Fasor RMS Circuito em jω
Módulo
Pergunta que resolve Competência prática
1
Como representar simultanea-
mente magnitude e ângulo?
Converter formas, somar impedâncias e dividir fasores sem erro de
quadrante.
2
Como ler uma senoide e com-
parar duas grandezas no tempo?
Obter pico, RMS, frequência, período e defasagem.
3
Como enxergar as relações de
fase do circuito?
Construir e interpretar diagramas de tensão e corrente em R, L, C,
RC, RL e RLC.
Leitura intuitiva
O fasor não é uma nova tensão física. Ele é uma forma compacta de guardar duas informações de uma senoide em
regime permanente: seu valor eficaz e sua fase. A frequência comum fica implícita. Por isso, fasores de frequências
diferentes não devem ser somados como se pertencessem ao mesmo circuito senoidal.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
MÓDULO 1
Álgebra dos números complexos
Questão central
Por que os números reais não bastam para analisar circuitos com defasagem?
Resultado esperado
Converter entre formas retangular e polar, operar impedâncias e interpretar o sinal da parte
imaginária.
1. Visão geral
Em corrente alternada senoidal, resistor, indutor e capacitor não produzem apenas relações entre magnitudes: eles também
impõem defasagens. O número complexo reúne essas duas dimensões. Na forma retangular, evidencia as parcelas resistiva
e reativa; na forma polar, evidencia módulo e ângulo.
Leitura intuitiva
Pense em a+ jb como uma seta no plano. A coordenada horizontal a é a parte real; a vertical b é a parte imaginária.
O comprimento da seta é o módulo e sua orientação é a fase. Somar números complexos equivale a somar setas;
multiplicar equivale a multiplicar comprimentos e somar ângulos.
2. Conceitos fundamentais
Unidade imaginária j
Definição técnica: j2 = −1. Em Engenharia Elétrica usa-se j para não confundir com a corrente i.
Em termos simples: Ela permite representar uma direção ortogonal ao eixo real; em CA, essa direção está associada
à quadratura de fase.
Forma retangular
Definição técnica: z = a+ jb, com a = ℜ{z} e b = ℑ{z}.
Em termos simples: É a forma mais prática para somar impedâncias em série ou admitâncias em paralelo.
Forma polar
Definição técnica: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ), com r ≥ 0.
Em termos simples: É a forma mais prática para multiplicar, dividir, elevar a potências e interpretar ganho e fase.
Conjugado complexo
Definição técnica: z∗ = a− jb. O produto zz∗ = |z|2.
Em termos simples: Espelha o número em relação ao eixo real. Aparece no cálculo de potência complexa: S = V I∗.
Operação
Forma recomendada Regra essencial
Igualdade
retangular a+ jb = c+ jd somente se a = c e b = d.
Adição/subtração
retangular operar separadamente as partes real e imaginária.
Multiplicação
polar ou retangular em polar, multiplicar módulos e somar argumentos.
Divisão
polar ou conjugado em polar, dividir módulos e subtrair argumentos; em retan-
gular, racionalizar com o conjugado.
Os números complexos preservam as propriedades comutativa e associativa da soma e do produto, além da distributiva:
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z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. Também vale o binômio de Newton,
(z1 + z2)
n =
n∑
k=0
(
n
k
)
zn−k
1 zk2 ,
para n inteiro não negativo. Essas propriedades permitem reorganizar equações de circuitos sem alterar o resultado.
ℜ
jℑ
z
θ
a
jb
r =
√
a2 + b2
3. Funcionamento
O uso em circuitos segue um ciclo curto:
Modelo elétrico Escrever Z ou Y Resolver em complexo Interpretar módulo/fase
1. Substitua os elementos por impedâncias na frequência ω: ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC) = −j/(ωC).
2. Associe elementos: impedâncias em série são somadas; admitâncias em paralelo são somadas.
3. Aplique Ohm e Kirchhoff com álgebra complexa.
4. Converta o resultado para polar para ler magnitude e defasagem; retorne ao tempo somente ao final.
4. Equações e relações matemáticas
Conversão de formas
r = |z| =
√
a2 + b2, θ = atan2(b, a)
a = r cos θ, b = r sin θ, z = rejθ = r∠θ
a e b possuem a mesma unidade de z; θ pode ser expresso em radianos ou graus. A função atan2 deve ser preferida
a tan−1(b/a) porque preserva o quadrante.
Operações
(a+ jb)± (c+ jd) = (a± c) + j(b± d)
(r1∠θ1)(r2∠θ2) = r1r2∠(θ1 + θ2)
r1∠θ1
r2∠θ2
=
r1
r2
∠(θ1 − θ2)
Use a forma retangular para soma/subtração e a polar para produto/divisão. Misturar diretamente módulos e ângulos
em uma soma é incorreto.
Divisão por conjugado e ciclo de potências de j
a+ jb
c+ jd
=
(a+ jb)(c− jd)
c2 + d2
, j0 = 1, j1 = j, j2 = −1, j3 = −j, j4 = 1.
O ciclo se repete a cada quatro potências. A forma trigonométrica r(cos θ + j sin θ) e a exponencial rejθ são
equivalentes pela identidade de Euler.
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5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Impedância Parte imaginária Comportamento
Resistor ZR = R zero tensão e corrente em fase; dissipa potência ativa.
Indutor ideal ZL = jωL positiva corrente atrasa a tensão em 90◦; armazena energia mag-
nética.
Capacitor
ideal
ZC = −j/(ωC) negativa corrente adianta a tensão em 90◦; armazena energia elétrica.
Rede real Z = R+ jX X > 0 indutiva;
X 0. O atraso não é acrescentado “por regra”: ele surge do
ângulo positivo da impedância no denominador.
8. Pontos críticos e cuidados
• Confundir 1/j com j: na realidade, 1/j = −j.
• Usar tan−1(b/a) sem corrigir o quadrante.
• Somar números em forma polar diretamente.
• Misturar grandezas de pico com fasores RMS.
• Arredondar ângulos cedo demais, acumulando erro em redes maiores.
9. Relação com outros assuntos
Números complexos ligam a descrição temporal das senoides à análise fasorial, à potência complexa, aos diagramas de Bode
e à resposta em frequência H(jω). A mesma geometria reaparece nos polos e zeros no plano s.
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10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Em softwares e calculadoras, confirme o modo angular (graus ou radianos). Em código, prefira funções que retornem
argumento complexo ou atan2. Para circuitos em paralelo, trabalhar com admitância Y = 1/Z = G + jB costuma
reduzir o número de divisões.
11. Para memorizar
Para memorizar
• j2 = −1 e 1/j = −j.
• |a+jb| =
√
a2 + b2; ângulo por atan2(b, a).
• Soma: retangular. Produto e divisão: polar.
• ZR = R, ZL = jωL, ZC = −j/(ωC).
• Parte imaginária positiva: indutiva; negativa: capacitiva.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
O número complexo não é apenas uma técnica matemática: ele codifica magnitude e fase. A forma retangular revela
as parcelas real e imaginária; a polar simplifica produtos e divisões. Em circuitos, o sinal de X antecipa a relação de
fase e orienta a interpretação física.
Checagem rápida
1. Forma polar de −3 + j4: 5∠126,87◦.
2. 8− j6Ω é: capacitiva, pois XPermanente Tema 2 — Corrente Alternada
MÓDULO 3
Conceito de diagramas fasoriais
Questão central
Como representar geometricamente as relações entre tensões e correntes de um circuito?
Resultado esperado
Construir diagramas coerentes, escolher uma referência e verificar a soma vetorial das grandezas.
1. Visão geral
O diagrama fasorial é a representação gráfica dos fasores no plano complexo. Ele torna visível o que a equação complexa já
contém: magnitudes, ângulos e somas vetoriais. É especialmente útil para diagnosticar relações em circuitos série/paralelo
e sistemas trifásicos.
Leitura intuitiva
Num circuito série, a corrente é comum a todos os elementos; portanto, é uma boa referência. Num circuito paralelo,
a tensão é comum; portanto, costuma ser a referência mais clara.
2. Conceitos fundamentais
Fasor de referência
Definição técnica: Grandeza cujo ângulo é fixado em 0◦ para comparar as demais.
Em termos simples: Escolher a referência não altera a física; apenas gira todo o diagrama.
Soma fasorial
Definição técnica: Adição vetorial de grandezas da mesma natureza e frequência.
Em termos simples: A tensão total de uma série não é, em geral, a soma aritmética dos módulos.
Quadratura
Definição técnica: Diferença de fase de 90◦.
Em termos simples: As tensões ideais do indutor e do capacitor ficam em sentidos opostos quando a corrente é a
referência.
Fasor girante e valor instantâneo
Definição técnica: O fasor completo pode ser visto como
√
2XRMSe
j(ωt+φ); sua projeção real produz a senoide.
Em termos simples: No cálculo de regime permanente omite-se o fator comum ejωt, mantendo apenas módulo RMS
e fase.
Adição e subtração podem ser construídas geometricamente pelo método do paralelogramo ou calculadas na forma retangular.
Multiplicação e divisão não são operações gráficas práticas: devem ser feitas com os números complexos, preferencialmente
na forma polar.
3. Funcionamento
Para um RLC série, escolha I em 0◦. Então VR fica no eixo real, VL aponta para +90◦ e VC para −90◦. A tensão da fonte
é a soma V = VR + j(VL − VC).
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eixo de I
quadratura
VR
VL
VC
V
VL − VC
4. Equações e relações matemáticas
RLC série com corrente de referência
VR = IR, VL = jIωL, VC = −jI
1
ωC
V = I
[
R+ j
(
ωL− 1
ωC
)]
= IZ
|V | =
√
V 2
R + (VL − VC)2, φ = tan−1
(
VL − VC
VR
)
As magnitudes VR, VL e VC estão em volts RMS; a soma quadrática só assume eixos ortogonais como mostrado.
Associações cobertas pelo material-base
ZRL,s = R+ jXL, ZRC,s = R− jXC ,
ZRLC,s = R+ j(XL −XC), YRLC,p =
1
R
+ j
(
1
XC
− 1
XL
)
.
ZRL,p =
R(jXL)
R+ jXL
, ZRC,p =
R(−jXC)
R− jXC
, ZRLC,p =
1
YRLC,p
.
Em série somam-se impedâncias e a corrente é comum; em paralelo somam-se admitâncias e a tensão é comum.
XL = ωL e XC = 1/(ωC) são módulos positivos em ohms; os sinais aparecem em jXL e −jXC .
Potência no resistor em CA
pR(t) = vR(t)iR(t), PR = VRMSIRMS = I2RMSR =
V 2
RMS
R
.
No resistor ideal, tensão e corrente têm a mesma frequência e fase. A potência instantânea pulsa a 2f , mas sua média
é positiva.
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Relação de fase Dependência de f Leitura no diagrama
R VR em fase com I idealmente indepen-
dente
componente horizontal.
L VL adianta I em 90◦ cresce com f componente vertical positiva.
C VC atrasa I em 90◦ diminui com f componente vertical negativa.
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Topologia
Fasores de referência Classificação
RL série
I comum; VR em fase e VL
a +90◦
sempre indutiva para componentes ideais.
RL paralelo
V comum; IR em fase e IL
a −90◦
corrente total atrasada.
RC série
I comum; VR em fase e VC
a −90◦
sempre capacitiva para componentes ideais.
RC paralelo
V comum; IR em fase e IC
a +90◦
corrente total adiantada.
RLC série
comparar XL e XC indutiva se XL > XC ; capacitiva se XC > XL; resistiva se iguais.
RLC paralelo
comparar susceptâncias
1/XC e 1/XL
indutiva/capacitiva pelo sinal da susceptância total.
6. Aplicação prática
Problema: conferir se a queda de tensão calculada em uma carga RLC é coerente.
Solução: desenhar IR, IXL e IXC a partir da corrente de referência.
Funcionamento: parcelas indutiva e capacitiva se opõem; a resultante deve coincidir com IZ.
Resultado esperado: detectar sinais invertidos e interpretações incorretas de avanço/atraso antes do dimensionamento.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — diagrama de um RLC série
Uma fonte de 120V RMS alimenta R = 20Ω, XL = 35Ω e XC = 15Ω em série.
Z = 20 + j(35− 15) = 20 + j20 = 28,28∠45◦ Ω
I =
120∠0◦
28,28∠45◦ = 4,24∠− 45◦ A
Tomando I como referência para construir o diagrama:
VR = 84,85∠0◦ V, VL = 148,49∠90◦ V, VC = 63,64∠− 90◦ V.
Logo, V = 84,85 + j84,85 = 120∠45◦ V em relação a I. Ao retornar à referência original da fonte, I está em −45◦.
Leitura física do resultado
VL isoladamente é maior que a tensão da fonte. Isso não viola Kirchhoff: VL e VC se subtraem fasorialmente.
Em ressonância, tensões internas elevadas podem coexistir com uma tensão de alimentação moderada.
Exemplo resolvido — corrente total em um RLC paralelo
Uma fonte V = 120∠0◦ V RMS alimenta em paralelo R = 30Ω, XL = 40Ω e XC = 60Ω.
IR =
120
30
= 4∠0◦ A, IL =
120
j40
= 3∠− 90◦ A, IC =
120
−j60
= 2∠90◦ A.
I = 4− j3 + j2 = 4− j1 = 4,12∠− 14,04◦ A.
O circuito equivalente é indutivo porque a corrente reativa indutiva supera a capacitiva. A impedância equivalente é
Zeq = V /I = 29,10∠14,04◦ Ω.
8. Pontos críticos e cuidados
• Somar |VR|+ |VL|+ |VC | ignora os ângulos.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
• Comparar fasores desenhados com referências diferentes produz contradições aparentes.
• O desenho deve preservar aproximadamente escala e quadrante; o cálculo fornece a precisão.
• Diagramas fasoriais clássicos representam regime senoidal permanente, não o transitório de energização.
9. Relação com outros assuntos
O mesmo diagrama sustenta o triângulo de impedâncias, o triângulo de potência e os diagramas trifásicos. Em filtros, a
rotação do fasor de saída com a frequência é o diagrama de fase de Bode.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para várias fontes ou frequências, use superposição por frequência: resolva cada frequência separadamente, retorne
ao domínio do tempo e some os sinais temporais. Um único diagrama fasorial não reúne corretamente componentes
de frequências distintas.
11. Para memorizar
Para memorizar
• Série: corrente como referência; paralelo: tensão como referência.
• VR em fase, VL a +90◦, VC a −90◦ em relação a I.
• Fasores somam vetorialmente, não por seus módulos.
• O sinal de XL −XC define se o conjunto é indutivo ou capacitivo.
• RL/RC/RLC em série: somar Z; em paralelo: somar Y ou as correntes de ramo.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
O diagrama fasorial é uma verificação geométrica da álgebra complexa. Ele evidencia referência, quadratura, cancela-
mento reativo e ângulo da impedância. Se o diagrama contradiz a equação, normalmente há erro de sinal, referência
ou convenção.
Checagem rápida
1. Se VL > VC em série: conjunto indutivo.
2. Referência usual em paralelo: a tensão comum.
3. VL maior que a fonte viola LKT? Não; a soma é fasorial.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
Fechamento do Tema 2
Se você vê...
Pense imediatamente em...
a+ jb
parcelas real e imaginária; somar nessa forma.
r∠θ
magnitude e fase; multiplicar/dividir nessa forma.
Xm cos(ωt+ φ)
pico, frequência, período, fase e fasor RMS.
jωL
reatância crescente e tensão adiantada de 90◦ em relação à corrente.
−j/(ωC)
reatância decrescente e tensão atrasada de 90◦ em relação à corrente.
Diagrama RLC
V = VR + j(VL − VC) para corrente de referência.
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
formas cartesiana, trigonométrica,
polar e exponencial; módulo, argu-
mento e conjugado
conceitosfundamentais, conversões e fórmulas de divisão.
1
igualdade, soma, subtração, pro-
duto, divisão; propriedades comu-
tativa, associativa, distributiva e
binômio
tabela de operações e complemento algébrico.
2
definição e geração física da CA
senoidal; domínios temporal e angu-
lar
visão geral, funcionamento e equações.
2
pico, pico a pico, período, frequên-
cia, ω, RMS, potência resistiva, fase
e defasagem
conceitos, fórmulas, exemplo resolvido e cuidados de medição.
2
conversão entre seno e cosseno funcionamento, memorização e checagem rápida.
3
fasor girante, valor instantâneo, fase
inicial e representação complexa
conceitos e diagrama fasorial.
3
soma/subtração pelo paralelogramo
e produto/divisão complexos
conceitos fundamentais.
3
resistor, indutor, capacitor; RL, RC
e RLC em série e paralelo
fórmulas de associação, tabela de topologias e exemplos série/paralelo.
Referências do material-base
ALBUQUERQUE, R. O. Análise de circuitos em corrente alternada. São Paulo: Érica, 2012.
BROWN, J.; CHURCHILL, R. Variáveis complexas e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
CRUZ, E. C. A. Circuitos elétricos: análise em corrente contínua e alternada. São Paulo: Érica, 2014.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
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	Mapa do tema
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	1. Visão geral
	2. Conceitos fundamentais
	3. Funcionamento
	4. Equações e relações matemáticas
	5. Componentes, elementos ou equipamentos
	6. Aplicação prática
	7. Exemplo de engenharia
	8. Pontos críticos e cuidados
	9. Relação com outros assuntos
	10. Complementos técnicos
	11. Para memorizar
	12. Resumo final do módulo
	Fechamento do Tema 2
	Matriz de cobertura do material-base
	Referências do material-base