Circuitos CA e Números Complexos

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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 2
Circuitos de Corrente Alternada
Números complexos, senoides e diagramas fasoriais
Pergunta-guia
Como transformar tensões e correntes senoidais em um modelo algébrico que preserve módulo e defasagem?
Ao final, você deverá ser capaz de
Representar senoides por fasores, operar números complexos sem perder o quadrante, interpretar R, L e C em CA e
reconstruir diagramas fasoriais coerentes.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
Mapa do tema
Este tema constrói a linguagem usada em toda a análise de regime senoidal permanente. A progressão correta é:
Senoide no tempo Número complexo Fasor RMS Circuito em jω
Módulo
Pergunta que resolve Competência prática
1
Como representar simultanea-
mente magnitude e ângulo?
Converter formas, somar impedâncias e dividir fasores sem erro de
quadrante.
2
Como ler uma senoide e com-
parar duas grandezas no tempo?
Obter pico, RMS, frequência, período e defasagem.
3
Como enxergar as relações de
fase do circuito?
Construir e interpretar diagramas de tensão e corrente em R, L, C,
RC, RL e RLC.
Leitura intuitiva
O fasor não é uma nova tensão física. Ele é uma forma compacta de guardar duas informações de uma senoide em
regime permanente: seu valor eficaz e sua fase. A frequência comum fica implícita. Por isso, fasores de frequências
diferentes não devem ser somados como se pertencessem ao mesmo circuito senoidal.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
MÓDULO 1
Álgebra dos números complexos
Questão central
Por que os números reais não bastam para analisar circuitos com defasagem?
Resultado esperado
Converter entre formas retangular e polar, operar impedâncias e interpretar o sinal da parte
imaginária.
1. Visão geral
Em corrente alternada senoidal, resistor, indutor e capacitor não produzem apenas relações entre magnitudes: eles também
impõem defasagens. O número complexo reúne essas duas dimensões. Na forma retangular, evidencia as parcelas resistiva
e reativa; na forma polar, evidencia módulo e ângulo.
Leitura intuitiva
Pense em a+ jb como uma seta no plano. A coordenada horizontal a é a parte real; a vertical b é a parte imaginária.
O comprimento da seta é o módulo e sua orientação é a fase. Somar números complexos equivale a somar setas;
multiplicar equivale a multiplicar comprimentos e somar ângulos.
2. Conceitos fundamentais
Unidade imaginária j
Definição técnica: j2 = −1. Em Engenharia Elétrica usa-se j para não confundir com a corrente i.
Em termos simples: Ela permite representar uma direção ortogonal ao eixo real; em CA, essa direção está associada
à quadratura de fase.
Forma retangular
Definição técnica: z = a+ jb, com a = ℜ{z} e b = ℑ{z}.
Em termos simples: É a forma mais prática para somar impedâncias em série ou admitâncias em paralelo.
Forma polar
Definição técnica: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ), com r ≥ 0.
Em termos simples: É a forma mais prática para multiplicar, dividir, elevar a potências e interpretar ganho e fase.
Conjugado complexo
Definição técnica: z∗ = a− jb. O produto zz∗ = |z|2.
Em termos simples: Espelha o número em relação ao eixo real. Aparece no cálculo de potência complexa: S = V I∗.
Operação
Forma recomendada Regra essencial
Igualdade
retangular a+ jb = c+ jd somente se a = c e b = d.
Adição/subtração
retangular operar separadamente as partes real e imaginária.
Multiplicação
polar ou retangular em polar, multiplicar módulos e somar argumentos.
Divisão
polar ou conjugado em polar, dividir módulos e subtrair argumentos; em retan-
gular, racionalizar com o conjugado.
Os números complexos preservam as propriedades comutativa e associativa da soma e do produto, além da distributiva:
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. Também vale o binômio de Newton,
(z1 + z2)
n =
n∑
k=0
(
n
k
)
zn−k
1 zk2 ,
para n inteiro não negativo. Essas propriedades permitem reorganizar equações de circuitos sem alterar o resultado.
ℜ
jℑ
z
θ
a
jb
r =
√
a2 + b2
3. Funcionamento
O uso em circuitos segue um ciclo curto:
Modelo elétrico Escrever Z ou Y Resolver em complexo Interpretar módulo/fase
1. Substitua os elementos por impedâncias na frequência ω: ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC) = −j/(ωC).
2. Associe elementos: impedâncias em série são somadas; admitâncias em paralelo são somadas.
3. Aplique Ohm e Kirchhoff com álgebra complexa.
4. Converta o resultado para polar para ler magnitude e defasagem; retorne ao tempo somente ao final.
4. Equações e relações matemáticas
Conversão de formas
r = |z| =
√
a2 + b2, θ = atan2(b, a)
a = r cos θ, b = r sin θ, z = rejθ = r∠θ
a e b possuem a mesma unidade de z; θ pode ser expresso em radianos ou graus. A função atan2 deve ser preferida
a tan−1(b/a) porque preserva o quadrante.
Operações
(a+ jb)± (c+ jd) = (a± c) + j(b± d)
(r1∠θ1)(r2∠θ2) = r1r2∠(θ1 + θ2)
r1∠θ1
r2∠θ2
=
r1
r2
∠(θ1 − θ2)
Use a forma retangular para soma/subtração e a polar para produto/divisão. Misturar diretamente módulos e ângulos
em uma soma é incorreto.
Divisão por conjugado e ciclo de potências de j
a+ jb
c+ jd
=
(a+ jb)(c− jd)
c2 + d2
, j0 = 1, j1 = j, j2 = −1, j3 = −j, j4 = 1.
O ciclo se repete a cada quatro potências. A forma trigonométrica r(cos θ + j sin θ) e a exponencial rejθ são
equivalentes pela identidade de Euler.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Impedância Parte imaginária Comportamento
Resistor ZR = R zero tensão e corrente em fase; dissipa potência ativa.
Indutor ideal ZL = jωL positiva corrente atrasa a tensão em 90◦; armazena energia mag-
nética.
Capacitor
ideal
ZC = −j/(ωC) negativa corrente adianta a tensão em 90◦; armazena energia elétrica.
Rede real Z = R+ jX X > 0 indutiva;
X 0. O atraso não é acrescentado “por regra”: ele surge do
ângulo positivo da impedância no denominador.
8. Pontos críticos e cuidados
• Confundir 1/j com j: na realidade, 1/j = −j.
• Usar tan−1(b/a) sem corrigir o quadrante.
• Somar números em forma polar diretamente.
• Misturar grandezas de pico com fasores RMS.
• Arredondar ângulos cedo demais, acumulando erro em redes maiores.
9. Relação com outros assuntos
Números complexos ligam a descrição temporal das senoides à análise fasorial, à potência complexa, aos diagramas de Bode
e à resposta em frequência H(jω). A mesma geometria reaparece nos polos e zeros no plano s.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Em softwares e calculadoras, confirme o modo angular (graus ou radianos). Em código, prefira funções que retornem
argumento complexo ou atan2. Para circuitos em paralelo, trabalhar com admitância Y = 1/Z = G + jB costuma
reduzir o número de divisões.
11. Para memorizar
Para memorizar
• j2 = −1 e 1/j = −j.
• |a+−).
Isolando VC(s) e invertendo:
vC(t) = Vf + [V0 − Vf ]e
−t/(RC) = 10− 5e−t/0,2 V, t ≥ 0.
Em uma constante de tempo:
vC(0,2) = 10− 5e−1 = 8,16V.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
Leitura física do resultado
A resposta começa exatamente em 5 V, não em zero, e tende a 10 V. A constante de tempo 0,2 s define a
rapidez; após aproximadamente 5τ = 1 s, o erro restante é inferior a 1%.
8. Pontos críticos e cuidados
• Usar apenas ZL = sL e ZC = 1/(sC) quando há energia inicial elimina parte da resposta.
• Confundir 0− com 0+ pode violar continuidade de estado.
• Cancelamentos algébricos de polos e zeros podem esconder modos internos em modelos não mínimos.
• O teorema do valor final exige condições de estabilidade específicas.
9. Relação com outros assuntos
O domínio s liga circuitos a controle, sinais e sistemas, eletrônica e máquinas. Avaliar s = jω recupera a resposta em
frequência usada nos diagramas de Bode.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
O modelo por impedância em s é uma ferramenta de circuito; a formulação por espaço de estados preserva diretamente
as variáveis de energia vC e iL. Para circuitos de ordem elevada ou com chaveamento repetitivo, simulação e espaço
de estados podem ser mais transparentes.
11. Para memorizar
Para memorizar
• L{f ′} = sF − f(0−).
• Condição nula: ZR = R, ZL = sL, ZC = 1/(sC).
• vC e iL são variáveis de estado contínuas sem impulsos ideais.
• Resposta completa = natural + forçada.
• Calcule 0− antes de desenhar o circuito para t > 0.
• Sistema-base do material: causal, linear, invariante no tempo e com elementos concentrados.
• Função racional própria: usar frações parciais; polo repetido gera termos de ordens sucessivas.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
Laplace converte derivadas em álgebra e torna explícita a memória de L e C. O procedimento correto começa pelo
estado inicial, passa pelo circuito em s e termina com inversão e verificação física dos limites.
Checagem rápida
1. Estado contínuo do capacitor: vC .
2. Quando ZC = 1/(sC) basta? Condição inicial nula ou tratada separadamente.
3. Antes da manobra, obtenha: vC(0
−) e iL(0
−).
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
MÓDULO 2
Função de transferência, polos e zeros
Questão central
O que a posição de polos e zeros diz sobre a resposta antes de qualquer simulação?
Resultado esperado
Obter H(s), localizar polos/zeros e relacioná-los a estabilidade, velocidade, oscilação e Bode.
1. Visão geral
A função de transferência descreve a relação entrada–saída de um sistema linear e invariável no tempo sob condições iniciais
nulas. Os zeros são valores de s que anulam o numerador; os polos anulam o denominador e correspondem aos modos
naturais do sistema.
O material-base distingue três problemas de engenharia: análise, quando entrada e sistema são conhecidos e se busca a
saída; síntese, quando entrada e saída desejada são conhecidas e se projeta o sistema; e obtenção de entrada, quando
sistema e saída são conhecidos e se procura a excitação necessária. A função de transferência representa o “comportamento
do sistema” nessas três leituras.
Leitura intuitiva
Polos dizem “como o sistema sabe se mover sozinho”; zeros dizem “como a entrada deixa de aparecer na saída”. Polos
próximos do eixo imaginário decaem lentamente; mais à esquerda, rapidamente.
2. Conceitos fundamentais
Função de transferência
Definição técnica: H(s) = Y (s)/X(s) com estados iniciais nulos.
Em termos simples: É um mapa algébrico entre entrada e saída; depende de onde a saída é medida.
Polo
Definição técnica: Raiz do denominador após cancelamentos válidos.
Em termos simples: Define modos naturais, estabilidade e rapidez.
Zero
Definição técnica: Raiz do numerador.
Em termos simples: Atenua ou bloqueia componentes e molda magnitude, fase e transitório.
Estabilidade BIBO
Definição técnica: Entrada limitada produz saída limitada. Para sistema racional causal contínuo, requer polos no
semiplano esquerdo.
Em termos simples: Polos com parte real positiva fazem a resposta crescer; no eixo imaginário exigem análise de
multiplicidade.
Função própria
Definição técnica: O grau do numerador não excede o do denominador; estritamente própria quando é menor.
Em termos simples: Circuitos físicos usuais sem caminho instantâneo derivativo produzem funções próprias. Se a
função for imprópria, faça divisão polinomial e interprete termos impulsivos/derivativos.
3. Funcionamento
Definir entrada/saída Zerar condições iniciais Derivar H(s) Fatorar e interpretar
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
Depois, substitua s = jω para resposta senoidal de regime permanente ou faça a inversa para resposta temporal. A mesma
função pode ter interpretações diferentes conforme entrada e saída escolhidas.
A distância horizontal de um polo ao eixo imaginário determina a taxa exponencial σ e, portanto, uma constante de tempo
aproximada τ = 1/|σ|. A coordenada imaginária determina a frequência de oscilação. Polos simples no eixo imaginário
produzem oscilação natural sem decaimento no modelo ideal, mas não garantem estabilidade BIBO: uma entrada senoidal
na mesma frequência pode gerar crescimento ressonante.
4. Equações e relações matemáticas
Forma fatorada
H(s) = K
∏
k(s− zk)∏
m(s− pm)
zk são zeros, pm são polos e K é ganho. Para coeficientes reais, polos e zeros complexos aparecem em pares
conjugados.
Segunda ordem canônica
H(s) =
Kω2
n
s2 + 2ζωns+ ω2
n
p1,2 = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2
Para 0controle, filtros e ressonância. Em sistemas de potência, modos eletromecânicos e
controles também são interpretados por autovalores/polos.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Um polo dominante é o polo estável mais próximo do eixo imaginário quando os demais estão suficientemente afastados
e não há zero próximo que modifique sua contribuição. Reduzir um modelo sem verificar resíduos e separação modal
pode produzir conclusões erradas.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
11. Para memorizar
Para memorizar
• H(s) = Y (s)/X(s) com condições iniciais nulas.
• Polos: raízes do denominador; zeros: raízes do numerador.
• Sistema racional causal contínuo BIBO estável: polos no semiplano esquerdo.
• Parte real define crescimento/decaimento; parte imaginária define oscilação.
• H(jω) fornece resposta de frequência.
• Problemas: análise (x,H → y), síntese (x, y → H) e obtenção de entrada (H, y → x).
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A função de transferência separa a relação entrada–saída da amplitude aplicada. Polos governam os modos naturais;
zeros moldam como a entrada aparece na saída. A posição no plano s permite antecipar estabilidade e dinâmica,
mas hipóteses e cancelamentos devem ser verificados.
Checagem rápida
1. Polo em +2: instabilidade BIBO.
2. Polos −3± j10: oscilação com envelope e−3t.
3. H(jω) informa: ganho e fase de regime senoidal.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
MÓDULO 3
Resposta impulsiva, estacionária e integral de convolução
Questão central
Como calcular a saída de um circuito para uma entrada qualquer a partir de sua resposta ao
impulso?
Resultado esperado
Distinguir transitório/regime, relacionar H(s) e h(t) e aplicar convolução e teoremas de valor
inicial/final.
1. Visão geral
A resposta ao impulso h(t) caracteriza completamente um sistema LTI causal de condições iniciais nulas. Qualquer entrada
pode ser vista como soma contínua de impulsos deslocados; a saída é a soma das respostas correspondentes, expressa pela
convolução.
Leitura intuitiva
h(t) é a “impressão digital” dinâmica do circuito. A convolução desliza essa impressão sobre a entrada e acumula
quanto cada instante passado contribui para a saída atual.
2. Conceitos fundamentais
Resposta impulsiva
Definição técnica: h(t) = L−1{H(s)}.
Em termos simples: É a saída a um impulso unitário e o núcleo da convolução.
Resposta ao degrau
Definição técnica: Saída para u(t); no domínio s, Y (s) = H(s)/s.
Em termos simples: Mostra transição entre estados e permite medir tempo de subida e acomodação.
Regime estacionário
Definição técnica: Parcela que permanece após o desaparecimento dos modos transitórios estáveis.
Em termos simples: Para senoide, mantém a frequência e altera somente ganho e fase.
Convolução
Definição técnica: y(t) =
∫ t
0
x(τ)h(t− τ)dτ para sistema causal.
Em termos simples: Combina entrada e dinâmica para produzir a saída.
Degrau unitário u(t)
Definição técnica: u(t) = 0 para t 0; o valor exatamente em zero depende da convenção.
Em termos simples: Modela uma comutação ideal e permite construir sinais por mudanças de nível.
Impulso de Dirac δ(t)
Definição técnica: Distribuição nula fora de zero, de área unitária, obtida como limite de um pulso cada vez mais
estreito e alto.
Em termos simples: Modela uma ação concentrada e “amostra” um sinal dentro de uma integral.
3. Funcionamento
Obter H(s) Calcular h(t) Escolher entrada x(t) Convolver ou multiplicar em s
No domínio s, convolução vira multiplicação: Y (s) = H(s)X(s). Para análise de senoide em regime permanente de sistema
estável, pode-se usar diretamente H(jω).
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
O impulso é a derivada do degrau, δ(t) = du(t)/dt. Consequentemente, se r(t) é a resposta ao degrau e h(t) a resposta
ao impulso do mesmo sistema em repouso,
h(t) =
dr(t)
dt
, r(t) =
∫ t
0−
h(λ)dλ.
Um sinal arbitrário pode ser aproximado por soma de degraus ou impulsos deslocados. Fazendo o intervalo tender a zero,
a soma de respostas torna-se a integral de convolução.
4. Equações e relações matemáticas
Relações fundamentais
h(t) = L−1{H(s)}, y(t) = x(t) ∗ h(t)
y(t) =
∫ t
0
x(τ)h(t− τ)dτ, Y (s) = X(s)H(s)
Para uma entrada x(t) = A cos(ωt+ ϕ)u(t) e sistema estável, o regime senoidal é
yss(t) = A|H(jω)| cos[ωt+ ϕ+ ∠H(jω)].
Área e propriedade de amostragem do impulso∫ ∞
−∞
δ(t− a)dt = 1,
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t− a)dt = x(a).
L{δ(t)} = 1, y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t− τ)dτ.
Para sistemas causais inicialmente em repouso e sinais nulos antes de zero, os limites se reduzem a 0 e t.
Propriedades da convolução
x ∗ h = h ∗ x (comutativa),
x ∗ (h1 + h2) = x ∗ h1 + x ∗ h2 (distributiva),
(x ∗ h1) ∗ h2 = x ∗ (h1 ∗ h2) (associativa).
Sob condições regulares, derivar a convolução equivale a derivar um dos fatores: d(x∗h)/dt = (dx/dt)∗h = x∗(dh/dt),
incluindo os termos impulsivos necessários em descontinuidades.
Teoremas de valor inicial e final
y(0+) = lim
s→∞
sY (s)
y(∞) = lim
s→0
sY (s)
O valor final só é válido se todos os polos de sY (s) estiverem no semiplano esquerdo, exceto eventual polo simples
na origem conforme a formulação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
63,2% em τ
t/τ
y
(t
)/
A
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Resposta obser-
vada
Parâmetro dominante Interpretação
Exponencial
monotônica
polo real circuito de primeira ordem/amortecido.
Oscilação decres-
cente
polos complexos LHP troca de energia com perdas.
Oscilação susten-
tada ideal
polos simples no eixo
imaginário
estabilidade marginal no modelo ideal.
Crescimento polo RHP ou múltiplo no
eixo
instabilidade no modelo linear.
Movimento inicial
contrário
zero de fase não mínima resposta inversa antes da tendência final.
6. Aplicação prática
Problema: prever se a saída de um sensor filtrado acompanha um degrau de processo a tempo.
Solução: usar H(s) para calcular resposta ao degrau e tempo de acomodação.
Funcionamento: o polo dominante define a velocidade; a convolução permite testar entradas medidas.
Resultado esperado: garantir resposta suficiente sem amplificar ruído ou causar atraso incompatível com o controle.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — resposta ao degrau de um sistema RC
Para H(s) = 1/(0,1s+ 1) e entrada x(t) = 5u(t):
Y (s) =
5
s(0,1s+ 1)
=
5
s
− 5
s+ 10
.
y(t) = 5(1− e−10t)u(t).
Em t = 0,3 s = 3τ :
y(0,3) = 5(1− e−3) = 4,75V.
A resposta impulsiva é
h(t) = 10e−10tu(t),
e a mesma saída resulta de y(t) = 5u(t) ∗ h(t).
Leitura física do resultado
Em três constantes de tempo, o circuito atingiu cerca de 95% do valor final; em cinco, ultrapassa 99%. A
resposta é rápida ou lenta somente em relação ao requisito da aplicação.
8. Pontos críticos e cuidados
• Resposta ao impulso de circuito ideal pode conter impulsos; trate distribuições com cuidado.
• Regime estacionário não significa saída constante: pode ser senoidal periódica.
• Convolução causal usa limites compatíveis com o suporte dos sinais.
• Valor final obtido sem teste de polos pode estar matematicamente errado.
• O impulso não é uma função de amplitude infinita comum; é definido por sua ação integral e área unitária.
• Ao representar pulsos deslocados, use linearidade e invariância no tempo para deslocar e escalar corretamente a resposta.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
9. Relação com outros assuntos
Convolução é central em sinais, filtros digitais, controle e comunicações. A resposta ao degrau é usada em identificação de
processos e sintonia de controladores.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para entradas registradas experimentalmente, a convolução pode ser calculada numericamente. Em sistemas dis-
cretizados, a integral torna-se soma. A taxa de amostragem e o tratamento do estado inicial devem ser compatíveiscom a dinâmica mais rápida do circuito.
A amostragem ideal pode ser modelada pelo produto do sinal com um trem de impulsos. No espectro, isso replica o
conteúdo em múltiplos da frequência de amostragem; se as réplicas se sobrepõem, ocorre aliasing. Por isso, a filtragem
anti-aliasing deve preceder a amostragem.
11. Para memorizar
Para memorizar
• h(t) = L−1{H(s)}.
• y = x ∗ h e Y = XH.
• Degrau unitário: X(s) = 1/s.
• δ(t) = du/dt, área unitária e propriedade
∫
x(t)δ(t− a)dt = x(a).
• Resposta ao degrau e impulso: h = dr/dt e r =
∫
h.
• Convolução é comutativa, distributiva e associativa.
• Para senoide estável: ganho |H(jω)| e fase ∠H(jω).
• Verifique polos antes de aplicar o teorema do valor final.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A resposta ao impulso contém toda a dinâmica LTI entrada–saída. A convolução calcula a resposta a qualquer entrada;
no domínio s, vira multiplicação. Transitório vem dos modos naturais; regime estacionário é o comportamento que
permanece após seu decaimento.
Checagem rápida
1. Transformada do degrau unitário: 1/s.
2. Como obter h(t)? L−1{H(s)}.
3. Usar valor final sem verificar polos? Não.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
Fechamento do Tema 5
Etapa
Pergunta de verificação
Estado inicial
Quais são vC(0
−) e iL(0
−)?
Modelo em s
Os termos de condição inicial foram preservados?
Função de transferência
Entrada e saída estão claramente definidas e os estados foram zerados?
Polos e zeros
O sistema é estável? Há modo dominante ou zero próximo?
Resposta temporal
O valor inicial, o final e as unidades fazem sentido físico?
Simulação
O modelo inclui saturação, tolerâncias e parasitas relevantes?
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
circuito como sistema; causalidade,
linearidade, invariância no tempo e el-
ementos concentrados
visão geral e conceitos fundamentais.
1
equação diferencial, solução ho-
mogênea/particular e exponencial
complexo
funcionamento e explicação da resposta natural/forçada.
1
definição e propriedades de Laplace,
tabela básica, frações parciais e polos
repetidos
equações e tabela de transformadas.
1
teoremas dos valores inicial/final; fre-
quência complexa; modelos de R, L e
C com energia inicial
fórmulas, procedimento e exemplo RC pré-carregado.
2
problemas de análise, síntese e
obtenção da entrada; cálculo de H(s)
visão geral e fluxo de obtenção.
2
polos, zeros, plano complexo, resposta
natural e estabilidade
conceitos, gráfico, equações e exemplo.
3
degrau, impulso, limite de pulso, área
e propriedade de amostragem
conceitos e equações do impulso.
3
respostas ao degrau/impulso e relação
derivada–integral
funcionamento e memorização.
3
decomposição de sinal, convolução e
propriedades comutativa, distributiva,
associativa e derivada
fórmulas e aplicação.
3
trem de impulsos e amostragem complemento técnico sobre aliasing.
Referências do material-base
BOYCE, W. E. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
CLOSE, C. M. Circuitos lineares. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
SVOBODA, J.; DORF, R. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
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	Tema 2 — Circuitos de Corrente Alternada
	Tema 3 — Análise de Circuitos Senoidais
	Tema 4 — Circuitos Seletivos em Frequência
	Tema 5 — Transformada de Laplacejb| =
√
a2 + b2; ângulo por atan2(b, a).
• Soma: retangular. Produto e divisão: polar.
• ZR = R, ZL = jωL, ZC = −j/(ωC).
• Parte imaginária positiva: indutiva; negativa: capacitiva.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
O número complexo não é apenas uma técnica matemática: ele codifica magnitude e fase. A forma retangular revela
as parcelas real e imaginária; a polar simplifica produtos e divisões. Em circuitos, o sinal de X antecipa a relação de
fase e orienta a interpretação física.
Checagem rápida
1. Forma polar de −3 + j4: 5∠126,87◦.
2. 8− j6Ω é: capacitiva, pois XPermanente Tema 2 — Corrente Alternada
MÓDULO 3
Conceito de diagramas fasoriais
Questão central
Como representar geometricamente as relações entre tensões e correntes de um circuito?
Resultado esperado
Construir diagramas coerentes, escolher uma referência e verificar a soma vetorial das grandezas.
1. Visão geral
O diagrama fasorial é a representação gráfica dos fasores no plano complexo. Ele torna visível o que a equação complexa já
contém: magnitudes, ângulos e somas vetoriais. É especialmente útil para diagnosticar relações em circuitos série/paralelo
e sistemas trifásicos.
Leitura intuitiva
Num circuito série, a corrente é comum a todos os elementos; portanto, é uma boa referência. Num circuito paralelo,
a tensão é comum; portanto, costuma ser a referência mais clara.
2. Conceitos fundamentais
Fasor de referência
Definição técnica: Grandeza cujo ângulo é fixado em 0◦ para comparar as demais.
Em termos simples: Escolher a referência não altera a física; apenas gira todo o diagrama.
Soma fasorial
Definição técnica: Adição vetorial de grandezas da mesma natureza e frequência.
Em termos simples: A tensão total de uma série não é, em geral, a soma aritmética dos módulos.
Quadratura
Definição técnica: Diferença de fase de 90◦.
Em termos simples: As tensões ideais do indutor e do capacitor ficam em sentidos opostos quando a corrente é a
referência.
Fasor girante e valor instantâneo
Definição técnica: O fasor completo pode ser visto como
√
2XRMSe
j(ωt+φ); sua projeção real produz a senoide.
Em termos simples: No cálculo de regime permanente omite-se o fator comum ejωt, mantendo apenas módulo RMS
e fase.
Adição e subtração podem ser construídas geometricamente pelo método do paralelogramo ou calculadas na forma retangular.
Multiplicação e divisão não são operações gráficas práticas: devem ser feitas com os números complexos, preferencialmente
na forma polar.
3. Funcionamento
Para um RLC série, escolha I em 0◦. Então VR fica no eixo real, VL aponta para +90◦ e VC para −90◦. A tensão da fonte
é a soma V = VR + j(VL − VC).
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
eixo de I
quadratura
VR
VL
VC
V
VL − VC
4. Equações e relações matemáticas
RLC série com corrente de referência
VR = IR, VL = jIωL, VC = −jI
1
ωC
V = I
[
R+ j
(
ωL− 1
ωC
)]
= IZ
|V | =
√
V 2
R + (VL − VC)2, φ = tan−1
(
VL − VC
VR
)
As magnitudes VR, VL e VC estão em volts RMS; a soma quadrática só assume eixos ortogonais como mostrado.
Associações cobertas pelo material-base
ZRL,s = R+ jXL, ZRC,s = R− jXC ,
ZRLC,s = R+ j(XL −XC), YRLC,p =
1
R
+ j
(
1
XC
− 1
XL
)
.
ZRL,p =
R(jXL)
R+ jXL
, ZRC,p =
R(−jXC)
R− jXC
, ZRLC,p =
1
YRLC,p
.
Em série somam-se impedâncias e a corrente é comum; em paralelo somam-se admitâncias e a tensão é comum.
XL = ωL e XC = 1/(ωC) são módulos positivos em ohms; os sinais aparecem em jXL e −jXC .
Potência no resistor em CA
pR(t) = vR(t)iR(t), PR = VRMSIRMS = I2RMSR =
V 2
RMS
R
.
No resistor ideal, tensão e corrente têm a mesma frequência e fase. A potência instantânea pulsa a 2f , mas sua média
é positiva.
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Relação de fase Dependência de f Leitura no diagrama
R VR em fase com I idealmente indepen-
dente
componente horizontal.
L VL adianta I em 90◦ cresce com f componente vertical positiva.
C VC atrasa I em 90◦ diminui com f componente vertical negativa.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
Topologia
Fasores de referência Classificação
RL série
I comum; VR em fase e VL
a +90◦
sempre indutiva para componentes ideais.
RL paralelo
V comum; IR em fase e IL
a −90◦
corrente total atrasada.
RC série
I comum; VR em fase e VC
a −90◦
sempre capacitiva para componentes ideais.
RC paralelo
V comum; IR em fase e IC
a +90◦
corrente total adiantada.
RLC série
comparar XL e XC indutiva se XL > XC ; capacitiva se XC > XL; resistiva se iguais.
RLC paralelo
comparar susceptâncias
1/XC e 1/XL
indutiva/capacitiva pelo sinal da susceptância total.
6. Aplicação prática
Problema: conferir se a queda de tensão calculada em uma carga RLC é coerente.
Solução: desenhar IR, IXL e IXC a partir da corrente de referência.
Funcionamento: parcelas indutiva e capacitiva se opõem; a resultante deve coincidir com IZ.
Resultado esperado: detectar sinais invertidos e interpretações incorretas de avanço/atraso antes do dimensionamento.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — diagrama de um RLC série
Uma fonte de 120V RMS alimenta R = 20Ω, XL = 35Ω e XC = 15Ω em série.
Z = 20 + j(35− 15) = 20 + j20 = 28,28∠45◦ Ω
I =
120∠0◦
28,28∠45◦ = 4,24∠− 45◦ A
Tomando I como referência para construir o diagrama:
VR = 84,85∠0◦ V, VL = 148,49∠90◦ V, VC = 63,64∠− 90◦ V.
Logo, V = 84,85 + j84,85 = 120∠45◦ V em relação a I. Ao retornar à referência original da fonte, I está em −45◦.
Leitura física do resultado
VL isoladamente é maior que a tensão da fonte. Isso não viola Kirchhoff: VL e VC se subtraem fasorialmente.
Em ressonância, tensões internas elevadas podem coexistir com uma tensão de alimentação moderada.
Exemplo resolvido — corrente total em um RLC paralelo
Uma fonte V = 120∠0◦ V RMS alimenta em paralelo R = 30Ω, XL = 40Ω e XC = 60Ω.
IR =
120
30
= 4∠0◦ A, IL =
120
j40
= 3∠− 90◦ A, IC =
120
−j60
= 2∠90◦ A.
I = 4− j3 + j2 = 4− j1 = 4,12∠− 14,04◦ A.
O circuito equivalente é indutivo porque a corrente reativa indutiva supera a capacitiva. A impedância equivalente é
Zeq = V /I = 29,10∠14,04◦ Ω.
8. Pontos críticos e cuidados
• Somar |VR|+ |VL|+ |VC | ignora os ângulos.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
• Comparar fasores desenhados com referências diferentes produz contradições aparentes.
• O desenho deve preservar aproximadamente escala e quadrante; o cálculo fornece a precisão.
• Diagramas fasoriais clássicos representam regime senoidal permanente, não o transitório de energização.
9. Relação com outros assuntos
O mesmo diagrama sustenta o triângulo de impedâncias, o triângulo de potência e os diagramas trifásicos. Em filtros, a
rotação do fasor de saída com a frequência é o diagrama de fase de Bode.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para várias fontes ou frequências, use superposição por frequência: resolva cada frequência separadamente, retorne
ao domínio do tempo e some os sinais temporais. Um único diagrama fasorial não reúne corretamente componentes
de frequências distintas.
11. Para memorizar
Para memorizar
• Série: corrente como referência; paralelo: tensão como referência.
• VR em fase, VL a +90◦, VC a −90◦ em relação a I.
• Fasores somam vetorialmente, não por seus módulos.
• O sinal de XL −XC define se o conjunto é indutivo ou capacitivo.
• RL/RC/RLC em série: somar Z; em paralelo: somar Y ou as correntes de ramo.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
O diagrama fasorial é uma verificação geométrica da álgebra complexa. Ele evidencia referência, quadratura, cancela-
mento reativo e ângulo da impedância. Se o diagrama contradiz a equação, normalmente há erro de sinal, referência
ou convenção.
Checagem rápida
1. Se VL > VC em série: conjunto indutivo.
2. Referência usual em paralelo: a tensão comum.
3. VL maior que a fonte viola LKT? Não; a soma é fasorial.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 2 — Corrente Alternada
Fechamento do Tema 2
Se você vê...
Pense imediatamente em...
a+ jb
parcelas real e imaginária; somar nessa forma.
r∠θ
magnitude e fase; multiplicar/dividir nessa forma.
Xm cos(ωt+ φ)
pico, frequência, período, fase e fasor RMS.
jωL
reatância crescente e tensão adiantada de 90◦ em relação à corrente.
−j/(ωC)
reatância decrescente e tensão atrasada de 90◦ em relação à corrente.
Diagrama RLC
V = VR + j(VL − VC) para corrente de referência.
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
formas cartesiana, trigonométrica,
polar e exponencial; módulo, argu-
mento e conjugado
conceitosfundamentais, conversões e fórmulas de divisão.
1
igualdade, soma, subtração, pro-
duto, divisão; propriedades comu-
tativa, associativa, distributiva e
binômio
tabela de operações e complemento algébrico.
2
definição e geração física da CA
senoidal; domínios temporal e angu-
lar
visão geral, funcionamento e equações.
2
pico, pico a pico, período, frequên-
cia, ω, RMS, potência resistiva, fase
e defasagem
conceitos, fórmulas, exemplo resolvido e cuidados de medição.
2
conversão entre seno e cosseno funcionamento, memorização e checagem rápida.
3
fasor girante, valor instantâneo, fase
inicial e representação complexa
conceitos e diagrama fasorial.
3
soma/subtração pelo paralelogramo
e produto/divisão complexos
conceitos fundamentais.
3
resistor, indutor, capacitor; RL, RC
e RLC em série e paralelo
fórmulas de associação, tabela de topologias e exemplos série/paralelo.
Referências do material-base
ALBUQUERQUE, R. O. Análise de circuitos em corrente alternada. São Paulo: Érica, 2012.
BROWN, J.; CHURCHILL, R. Variáveis complexas e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
CRUZ, E. C. A. Circuitos elétricos: análise em corrente contínua e alternada. São Paulo: Érica, 2014.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 3
Análise de Circuitos Senoidais
Kirchhoff, Thévenin, Norton, potência e sistemas trifásicos
Pergunta-guia
Como resolver uma rede CA no domínio fasorial e transformar o resultado em decisões sobre corrente, potência e
fator de potência?
Ao final, você deverá ser capaz de
Aplicar métodos nodal e de malhas com impedâncias, construir equivalentes, calcular potência complexa e analisar
sistemas trifásicos equilibrados.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
Mapa do tema
Circuito físico Modelo fasorial Solução complexa Potência e decisão
Módulo
Núcleo do raciocínio O que você deve conseguir fazer
1
Kirchhoff continua válido; re-
sistências tornam-se impedâncias.
Resolver nós/malhas e reduzir uma rede a Thévenin ou Norton.
2
Potência depende do produto en-
tre tensão e corrente e da de-
fasagem.
Calcular P , Q, S, fator de potência e grandezas trifásicas.
Ponto crítico
O símbolo
√
3 não é uma regra universal de CA. Ele aparece em relações específicas de sistemas trifásicos equilibrados
e depende de ligação estrela/triângulo e do uso correto de grandezas de linha ou fase.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
MÓDULO 1
Leis de Kirchhoff e teoremas de Thévenin e Norton
Questão central
Os métodos de circuitos resistivos ainda funcionam quando tensões e correntes possuem fase?
Resultado esperado
Montar equações fasoriais, escolher nodal ou malhas e obter equivalentes vistos por uma carga.
1. Visão geral
As leis de Kirchhoff expressam conservação de carga e energia e, portanto, continuam válidas em CA. A mudança está no
modelo: tensões, correntes e fontes tornam-se fasores; resistências são substituídas por impedâncias complexas. Thévenin
e Norton condensam toda uma rede linear em uma fonte e uma impedância equivalentes na frequência analisada.
Leitura intuitiva
Resolver um circuito CA não exige “novas leis”. Exige aplicar as mesmas leis com uma aritmética que carrega fase. O
método nodal soma correntes complexas; o método de malhas soma tensões complexas.
2. Conceitos fundamentais
Lei de Kirchhoff das correntes — LKC
Definição técnica:
∑
Ik = 0 em um nó, com sinais consistentes.
Em termos simples: A corrente não se acumula no nó: tudo que entra deve sair, incluindo os ângulos dos fasores.
Lei de Kirchhoff das tensões — LKT
Definição técnica:
∑
Vk = 0 em uma malha fechada.
Em termos simples: A soma das elevações e quedas de tensão é nula; as quedas são fasoriais.
Equivalente de Thévenin
Definição técnica: Rede linear vista por dois terminais substituída por VTh em série com ZTh.
Em termos simples: Mantém o comportamento terminal e facilita testar várias cargas.
Equivalente de Norton
Definição técnica: Rede linear vista por dois terminais substituída por IN em paralelo com ZN .
Em termos simples: É a forma dual de Thévenin; costuma ser conveniente em análise nodal.
Transformação fasorial
Definição técnica: A identidade de Euler permite escrever x(t) = Xm cos(ωt+ φ) = ℜ{Xmejφejωt}.
Em termos simples: Como todas as grandezas operam na mesma ω, o fator girante é omitido e resta o fasor de
amplitude e fase.
3. Funcionamento
Método nodal:
1. Escolha o nó de referência.
2. Defina as tensões nodais fasoriais.
3. Escreva cada corrente como (Va − Vb)/Z ou (Va − Vb)Y .
4. Aplique LKC e resolva o sistema complexo.
Com n nós incluindo a referência, existem n− 1 tensões nodais independentes. Antes de escrever o sistema, transforme as
fontes e os elementos passivos: ZR = R, ZL = jωL e ZC = 1/(jωC).
Thévenin/Norton:
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
Retirar a carga Calcular Voc ou Isc Obter Zeq Reconectar ZL
VTh
ZTh
ZL
IL
rede original reduzida aos terminais da carga
4. Equações e relações matemáticas
Equivalência terminal
VTh = Voc, IN = Isc, ZN = ZTh =
Voc
Isc
IL =
VTh
ZTh + ZL
, VL = ILZL
As relações são fasoriais e valem para uma frequência fixa em redes lineares. Com fontes dependentes, mantenha-as
ativas ao obter ZTh e aplique uma fonte-teste, ou use Voc/Isc quando possível.
Associações e divisores no domínio fasorial
Zs =
n∑
k=1
Zk, Zp =
(
n∑
k=1
1
Zk
)−1
.
Vk = VT
Zk∑
Z
, I1 = IT
Z2
Z1 + Z2
= IT
Y1
Y1 + Y2
.
As regras de divisor dos circuitos resistivos permanecem válidas, mas todas as grandezas são complexas. No divisor
de corrente de dois ramos, a corrente de um ramo usa a impedância do outro no numerador. No divisor de tensão, a
tensão do elemento é proporcional à sua própria impedância; no divisor de corrente, a corrente se divide inversamente
às impedâncias dos ramos.
Nodal e malhas em forma matricial
[Y ][V ] = [I], [Z][I] = [V ]
A matriz de admitâncias é natural para nós; a matriz de impedâncias, para malhas. Unidades: Y em siemens, Z em
ohms, V em volts RMS e I em ampères RMS.
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento do mod-
elo
Tratamento Cuidado
Fonte indepen-
dente
permanece ativa
para Voc/Isc; anu-
lada em ZTh
fonte de tensão ideal vira curto; de corrente ideal vira circuito aberto.
Fonte dependente nunca é simples-
mente anulada
use fonte-teste e razão Vt/It.
Indutor/capacitor jωL e 1/(jωC) o equivalente muda com a frequência.
Transformador
ideal
relação de espiras e
impedância refletida
conservar polaridade dos pontos e base de referência.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
6. Aplicação prática
Problema: avaliar várias alternativas de carga em um mesmo alimentador.
Solução: substituir a rede a montante pelo equivalente de Thévenin no ponto de conexão.
Funcionamento: cada nova carga exige apenas IL = VTh/(ZTh + ZL).
Resultado esperado: calcular tensão terminal, corrente e sensibilidade à carga sem resolver novamente toda a instalação.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — carga ligada a um equivalente CA
Uma rede apresenta VTh = 120∠10◦ V e ZTh = 3 + j4Ω. Conecta-se ZL = 6− j2Ω.
ZT = ZTh + ZL = 9 + j2 = 9,22∠12,53◦ Ω
IL =
120∠10◦
9,22∠12,53◦ = 13,02∠− 2,53◦ A
VL = ILZL = 13,02∠− 2,53◦ × 6,32∠− 18,43◦ = 82,3∠− 20,96◦ V
O Norton correspondente é IN = VTh/ZTh = 24∠− 43,13◦ A e ZN = 3 + j4Ω.
Leitura física do resultado
A tensão da carga é menor que VTh devido à queda em ZTh. Como a carga possui parte capacitiva, seu ângulo
altera tanto a magnitude quanto a fase da queda; não basta calcular I|Z| como escalar.
8. Pontos críticos e cuidados
• Definir correntes e polaridades antes de escrever as equações evita sinais “corrigidos” no fim.
• ZTh é dependente da frequência se houver elementos reativos.
• Emmáxima transferência de potência CA, a condição é ZL = Z∗
Th, não simplesmente ZL = ZTh.
• O equivalente reproduz o comportamento nos terminais, não correntes internas da rede original.
9. Relação com outros assuntos
Equivalentes são usados em estudos de curto-circuito, conexão de cargas, modelagem de fontes e estabilidade de tensão. A
forma matricial antecipa métodos computacionais de sistemas de potência.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para obter ZTh com fontes dependentes, aplique Vt nos terminais e calcule a corrente It: ZTh = Vt/It. Em redes
com fontes independentes e dependentes, primeiro anule apenas as independentes.
11. Para memorizar
Para memorizar
• Kirchhoff continua válido com fasores e impedâncias.
• VTh = Voc, IN = Isc e ZTh = ZN .
• Transformação: VTh = INZTh e IN = VTh/ZTh.
• Com fonte dependente: fonte-teste; não a anule.
• Para potência máxima: ZL = Z∗
Th.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
• Série: somar impedâncias; paralelo: somar admitâncias; divisores operam com grandezas complexas.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A análise CA usa as mesmas leis de conservação, porém em números complexos. Nodal e malhas resolvem a rede
completa; Thévenin e Norton preservam somente seu comportamento terminal. A escolha do método depende da
topologia e do que se pretende calcular.
Checagem rápida
1. Fonte de corrente independente ideal anulada: ramo aberto.
2. Fonte dependente ao calcular ZTh: mantê-la e usar fonte-teste.
3. Carga de potência máxima: ZL = Z∗
Th.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
MÓDULO 2
Potência média, valores eficazes e circuitos trifásicos
Questão central
Como a defasagem altera a potência útil e como as grandezas de fase se relacionam às de linha?
Resultado esperado
Calcular potência complexa, fator de potência, compensação reativa e sistemas trifásicos equi-
librados ou desequilibrados.
1. Visão geral
Potência em CA possui duas parcelas: uma associada à conversão líquida de energia e outra à troca periódica de energia com
campos elétricos e magnéticos. O valor eficaz transforma o efeito térmico de uma forma de onda em um valor comparável
a CC. Sistemas trifásicos distribuem potência com maior uniformidade e economia de material.
Leitura intuitiva
Potência ativa é a energia que “fica” no processo; potência reativa é a energia que vai e volta a cada ciclo. Embora
Q não realize trabalho líquido, ela aumenta corrente, perdas e queda de tensão.
2. Conceitos fundamentais
Potência ativa P
Definição técnica: Valor médio de p(t) = v(t)i(t); unidade watt.
Em termos simples: É a parcela convertida em calor, movimento, luz ou trabalho útil.
Potência reativa Q
Definição técnica: Parcela imaginária de S; unidade var. Positiva para carga indutiva na convenção passiva.
Em termos simples: Representa a troca de energia armazenada; eleva a corrente sem aumentar o trabalho líquido.
Potência aparente |S|
Definição técnica: Produto VRMSIRMS ; unidade VA.
Em termos simples: Define a solicitação elétrica total de transformadores, cabos e geradores.
Fator de potência
Definição técnica: Para senoide, fp = cosφ = P/|S|.
Em termos simples: Mostra quanto da capacidade aparente é convertida em potência ativa.
Sequência de fases
Definição técnica: Ordem temporal em que as tensões atingem seus máximos. A sequência positiva (direta) é ABC;
a sequência negativa (inversa) é ACB.
Em termos simples: Trocar duas fases inverte a sequência e, por exemplo, o sentido de rotação de um motor trifásico.
Carga equilibrada e carga desequilibrada
Definição técnica: Na carga equilibrada, as três impedâncias de fase são iguais e as correntes têm mesmo módulo e
separação de 120◦. Se as impedâncias diferem, a carga é desequilibrada.
Em termos simples: A simetria permite analisar apenas uma fase na carga equilibrada; a carga desequilibrada deve
ser calculada fase a fase.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
P [W]
Q [var]
|S| [VA]
φ
3. Funcionamento
Medir V e I RMS Obter φ Calcular S = V I∗ Dimensionar/compensar
Em três fases equilibradas, analise uma fase e multiplique a potência por três. As relações de linha/fase dependem da
ligação. Em cargas desequilibradas, calcule cada fase ou use método apropriado; as fórmulas compactas com
√
3 deixam de
ser diretamente válidas.
Condição
Fasores de fase Consequência
Sequência direta
ABC
Va = VF∠0◦, Vb = VF∠ − 120◦, Vc =
VF∠120◦
campo girante no sentido de referência.
Sequência inversa
ACB
Va = VF∠0◦, Vb = VF∠120◦, Vc =
VF∠− 120◦
campo girante invertido.
Y equilibrado com
neutro
Ia + Ib + Ic = 0 corrente de neutro nula no modelo fundamental equi-
librado.
Desequilíbrio
módulos/ângulos distintos calcular cada fase; o neutro pode conduzir.
4. Equações e relações matemáticas
Potência monofásica senoidal
S = V I∗ = P + jQ, |S| = V I
P = V I cosφ, Q = V I sinφ, |S| =
√
P 2 +Q2
V e I são valores RMS; φ = ∠V − ∠I. Na convenção passiva, Q > 0 para carga indutiva e Q+
2302
10
= 13,225 kW.
O neutro não é nulo porque as correntes não têm o mesmo módulo. Sem condutor neutro, o ponto estrela da carga
pode se deslocar e as tensões de fase da carga deixam de ser iguais às da fonte.
8. Pontos críticos e cuidados
• P = V I cosφ é expressão senoidal; sob distorção, fator de potência total inclui fator de distorção.
• Não confundir kW, kvar e kVA.
•
√
3 só aparece nas condições trifásicas corretas.
• Correção excessiva pode produzir fator de potência adiantado e sobretensão.
• Banco sem estudo harmônico pode amplificar correntes em frequências de ressonância.
• Verifique a sequência de fases antes de energizar motores e equipamentos sensíveis à rotação.
• Em desequilíbrio, não use automaticamente a fórmula compacta com
√
3; some as potências de fase.
9. Relação com outros assuntos
Potência complexa conecta circuitos a máquinas, instalações, tarifas, fluxo de potência e qualidade de energia. Sistemas
trifásicos sustentam geração, transmissão, distribuição e acionamentos industriais.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para forma de onda não senoidal, S = VRMSIRMS continua útil, mas Q e fator de potência exigem cuidado conceitual.
Separe deslocamento da fundamental e distorção harmônica. Em projetos reais, consulte os critérios de qualidade de
energia e a edição vigente das normas aplicáveis, como a família IEC 61000.
11. Para memorizar
Para memorizar
• S = V I∗ = P + jQ e |S| =
√
P 2 +Q2.
• P = V I cosφ e Q = V I sinφ para senoides.
• Estrela: VL =
√
3VF , IL = IF .
• Triângulo: VL = VF , IL =
√
3IF .
• Equilibrado: P3ϕ =
√
3VLIL cosφ.
• QC = P (tanφ1 − tanφ2).
• Desequilibrado: Stotal =
∑
VkI
∗
k e IN = −(Ia + Ib + Ic).
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
Valores RMS determinam solicitação elétrica; a defasagem separa potência ativa e reativa. Em três fases equilibradas,
as relações linha/fase dependem da ligação. Corrigir fator de potência reduz corrente, mas exige avaliação de degraus,
harmônicas e ressonância.
Checagem rápida
1. Carga indutiva: Q > 0 na convenção passiva.
2. Em estrela equilibrada: IL = IF .
3.
√
3VLIL cosφ vale em qualquer desequilíbrio? Não.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 3 — Análise Senoidal
Fechamento do Tema 3
Pergunta
Resposta operacional
Nós ou malhas?
Nós quando há poucos nós e fontes de corrente; malhas quando há poucas malhas e fontes
de tensão.
Thévenin ou Norton?
A forma que simplifica a conexão da carga; ambas são equivalentes nos terminais.
Por que usar I∗ em S =
V I∗?
Para que o ângulo de S seja ∠V − ∠I e o sinal de Q preserve a convenção passiva.
Quando usar
√
3?
Em relações específicas de sistemas trifásicos equilibrados, com linha/fase identificadas.
Capacitor reduz con-
sumo em kWh?
Em geral reduz corrente e perdas a montante; não reduz automaticamente a energia ativa
exigida pelo processo.
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
transformação fasorial por Euler e el-
ementos R, L, C no domínio da fre-
quência
conceitos e procedimento de modelagem.
1
associações série/paralelo, divisores
de tensão e corrente
bloco de equações e memorização.
1
LKC, LKT, análise nodal e de malhas funcionamento e forma matricial.
1
teoremas e procedimentos de
Thévenin e Norton
conceitos, equações, circuito e exemplo.
2
potência média, potência instan-
tânea, valores eficazes e potência
complexa
conceitos, derivação e triângulo de potência.
2
sequência direta/inversa; tensões e
correntes de fase e linha; ligações Y
e triângulo
tabela de sequência e relações trifásicas.
2
cargas equilibradas e desequilibradas,
corrente de neutro e potência por
fase
equações gerais e exemplo de carga Y desequilibrada.
2
correção de fator de potência aplicação industrial e exemplo do motor.
Referências do material-base
CLOSE, C. M. Circuitos lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1966.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 4
Circuitos Seletivos em Frequência
Filtros de primeira ordem, ressonância e filtros de segunda ordem
Pergunta-guia
Como um circuito com R, L e C seleciona frequências e como prever ganho e fase sem calcular ponto a ponto?
Ao final, você deverá ser capaz de
Interpretar função de transferência e Bode, dimensionar filtros RC e analisar ressonância, fator de qualidade e largura
de banda.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
Mapa do tema
Definir banda útil Obter H(s) Avaliar H(jω) Dimensionar e validar
Módulo
Ideia central Resultado prático
1
Um polo ou zero altera inclinação
e fase a partir de uma frequência
característica.
Projetar passa-baixa/passa-alta de primeira ordem e ler Bode.
2
L e C trocam energia; na ressonân-
cia suas reatâncias se compen-
sam.
Calcular f0, Q, banda e comportamento dos filtros de segunda
ordem.
Leitura intuitiva
Um filtro não “sabe” a frequência. A seletividade surge porque ZL cresce e |ZC | diminui com ω. O divisor de tensão
passa a entregar diferentes frações do sinal em cada frequência.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
MÓDULO 1
Filtros passa-baixa e passa-alta de primeira ordem
Questão central
Como prever ganho e fase de um filtro RC em qualquer frequência?
Resultado esperado
Deduzir H(s), localizar o corte, construir a aproximação de Bode e considerar o carregamento.
1. Visão geral
Filtros de primeira ordem possuem um elemento armazenador independente e, portanto, um polo dominante. O passa-baixa
preserva variações lentas e atenua as rápidas; o passa-alta bloqueia a componente contínua e preserva variações rápidas
dentro dos limites do circuito real.
O conceito ideal separa o espectro em bandas sem transição: passa-baixa, passa-alta, banda de passagem e banda de rejeição.
Esse filtro “parede de tijolos” é irrealizável por exigir resposta incompatível com causalidade. Filtros reais possuem banda
de transição e fase dependente da frequência; fase linear é desejável quando se pretende atraso temporal aproximadamente
constante e baixa distorção de forma.
Leitura intuitiva
No RC passa-baixa, a saída é medida no capacitor. Em baixa frequência o capacitor “parece aberto” e recebe quase
toda a tensão; em alta frequência sua impedância cai e a saída é desviada para o terra. No passa-alta, a saída no
resistor inverte essa seleção.
2. Conceitos fundamentais
Função de transferência
Definição técnica: H(s) = Y (s)/X(s) com condições iniciais nulas.
Em termos simples: É a razão entre saída e entrada; informa ganho e fase sem depender da amplitude aplicada.
Frequência de corte
Definição técnica: Para o primeiro-ordem normalizado, |H| = 1/
√
2 do ganho de passagem, isto é, −3,01 dB.
Em termos simples: Marca a transição, não um bloqueio abrupto.
Decibel
Definição técnica: GdB = 20 log10 |H| para razão de tensão/corrente.
Em termos simples: Transforma produtos em somas e evidencia décadas de frequência.
Constante de tempo
Definição técnica: τ = RC no filtro RC.
Em termos simples: Liga tempo e frequência: ωc = 1/τ .
Classe ideal
Banda preservada Aplicação típica
Passa-baixa
0 ≤ ω ωc acoplamento CA, remoção de offset e deriva lenta.
Passa-faixa
ω1impedâncias no domínio s.
2. Organize H(s) na forma normalizada em termos de τ ou ωc.
3. Substitua s = jω para obter magnitude e fase.
4. Verifique os limites ω → 0 e ω → ∞.
5. Considere resistência da fonte, carga e tolerâncias antes de escolher componentes.
Construção de Bode por composição: fatorize H(s) em ganho constante, polos e zeros na origem e polos/zeros reais.
Converta cada contribuição para decibéis e graus, trace suas assíntotas e some verticalmente. Um polo real inicia a mudança
de inclinação próximo de ωp; a aproximação de fase distribui a transição aproximadamente de 0,1ωp a 10ωp.
4. Equações e relações matemáticas
RC passa-baixa
HPB(s) =
1
1 + sRC
=
1
1 + s/ωc
, ωc =
1
RC
|H(jω)| = 1√
1 + (ω/ωc)2
, ∠H = − tan−1(ω/ωc)
Em alta frequência, a assíntota cai 20 dB/década e a fase tende a −90◦.
Blocos elementares do diagrama de Bode
H(s) = K snz−np
∏
i(1 + s/ωzi)∏
k(1 + s/ωpk
)
.
• K: desloca a magnitude em 20 log10 |K| dB e acrescenta fase 0◦ ou 180◦ conforme o sinal.
• zero/polo na origem: +20/− 20 dB por década desde o início e fase +90/− 90◦.
• zero/polo real: muda a inclinação em +20/− 20 dB por década após sua frequência de quebra.
A curva exata de um polo/zero de primeira ordem difere em 3,01 dB da assíntota na frequência de quebra.
RC passa-alta
HPA(s) =
sRC
1 + sRC
=
s/ωc
1 + s/ωc
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
|H(jω)| = ω/ωc√
1 + (ω/ωc)2
, ∠H = 90◦ − tan−1(ω/ωc)
Em baixa frequência, o zero na origem cria subida de 20 dB/década; em alta frequência, o ganho tende a 1.
10−1 100 101
−30
−20
−10
0
ω/ωc
m
ag
ni
tu
de
(d
B)
passa-baixa
passa-alta
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Parâmetros rele-
vantes
Efeito não ideal
Resistor valor, tolerância,
potência, ruído
altera fc e adiciona ruído térmico.
Capacitor capacitância, tol-
erância, ESR,
tensão
vazamento e ESR modificam ganho e fase.
Fonte resistência de saída soma-se efetivamente ao resistor do filtro.
Carga impedância de en-
trada
pode deslocar fc e reduzir o ganho de passagem.
Amplificador
buffer
banda e slew rate isola estágios, mas introduz limites próprios.
Topologias RL também realizam primeira ordem: no RL série, a saída em R é passa-baixa e a saída em L é passa-alta, com
ωc = R/L. No RC série, a saída em C é passa-baixa e em R é passa-alta, com ωc = 1/(RC).
6. Aplicação prática
Problema: ruído de alta frequência contaminando a entrada analógica de um microcontrolador.
Solução: filtro RC passa-baixa antes do ADC, com fc acima da banda útil e abaixo da interferência.
Funcionamento: o capacitor apresenta baixa impedância ao ruído e o desvia para o referencial.
Resultado esperado: menor variação amostra a amostra e menor risco de aliasing, respeitando o tempo de aquisição do
ADC.
Pelo critério de Nyquist, a frequência de amostragem deve satisfazer fs > 2fmax para um sinal limitado em banda. Como
nenhum filtro real elimina instantaneamente tudo acima de fs/2, o filtro anti-aliasing precisa deixar margem de transição
entre a banda útil e a frequência de Nyquist.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — projeto de um passa-baixa de 1 kHz
Escolha C = 100 nF e deseje fc = 1,00 kHz.
R =
1
2πfcC
=
1
2π(1000)(100× 10−9)
= 1,592 kΩ
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
Escolhendo R = 1,58 kΩ:
fc =
1
2π(1580)(100 nF) = 1007Hz
Em fc, |H| = 0,707, ganho = −3,01 dB e fase = −45◦. Em 10fc, |H| ≈ 0,0995 ou −20,04 dB.
Leitura física do resultado
O filtro não elimina tudo acima de 1 kHz; ele inicia uma atenuação gradual. Se for necessário rejeitar fortemente
uma frequência próxima do corte, uma ordem maior é necessária.
8. Pontos críticos e cuidados
• Projetar R e C ignorando fonte e carga desloca o corte real.
• −3 dB significa amplitude 0,707, não redução de 3%.
• Um polo fornece apenas 20 dB/década de inclinação assintótica.
• Componentes muito altos aumentam ruído, vazamento e sensibilidade; muito baixos carregam a fonte.
9. Relação com outros assuntos
H(jω) é a função de transferência avaliada no eixo imaginário. A constante de tempo reaparece na resposta ao degrau;
polos e zeros serão aprofundados com Laplace.
10. Complementos técnicos
Complemento técnico
Para cascata de filtros passivos, não multiplique funções de transferência supondo independência se um estágio carrega
o anterior. Use buffer ou derive o circuito completo. Tolerâncias devem ser propagadas: como fc ∝ 1/(RC), erros
relativos de R e C aproximadamente se somam no pior caso.
11. Para memorizar
Para memorizar
• HPB = 1/(1 + sRC) e HPA = sRC/(1 + sRC).
• ωc = 1/RC e fc = 1/(2πRC).
• No corte: |H| = 1/
√
2, −3,01 dB.
• Cada polo: −20 dB/década e até −90◦.
• Cada zero: +20 dB/década e até +90◦.
• Filtros ideais básicos: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa; filtros reais possuem transição.
• Anti-aliasing: limitar a banda antes da amostragem e garantir margem em relação a fs/2.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
Filtros de primeira ordem são divisores de impedância dependentes da frequência. A função de transferência organiza
o cálculo; Bode mostra ganho e fase em muitas décadas. O projeto real precisa incluir carregamento, tolerância e
banda da fonte/carga.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
Checagem rápida
1. −3,01 dB no corte: amplitude 0,707 da passagem.
2. Inclinação de um polo: −20 dB/década.
3. A carga pode alterar fc? Sim.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
MÓDULO 2
Circuitos ressonantes e filtros de segunda ordem
Questão central
Por que um circuito pode amplificar internamente uma faixa estreita mesmo sem ganho ativo?
Resultado esperado
Calcular ressonância, fator de qualidade e largura de banda e interpretar filtros de segunda
ordem.
1. Visão geral
Ressonância ocorre quando a energia alterna entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor. Em um
RLC série ideal, XL = XC e a impedância fica puramente resistiva. Em um circuito paralelo, a admitância reativa pode se
anular, produzindo impedância máxima na topologia ideal.
Leitura intuitiva
O resistor controla quanto dessa energia é perdida por ciclo. Pouca perda significa oscilação mais “seletiva”: maior
fator de qualidade, pico mais estreito e tensões/correntes internas potencialmente maiores.
2. Conceitos fundamentais
Frequência natural ω0
Definição técnica: Para RLC ideal, ω0 = 1/
√
LC.
Em termos simples: É a frequência em que as reatâncias de L e C se igualam em módulo.
Fator de qualidade Q
Definição técnica: Razão entre energia armazenada e energia dissipada por ciclo, conforme a topologia.
Em termos simples: Mede seletividade e amplificação interna; Q alto significa banda estreita.
Largura de banda
Definição técnica: Diferença ∆ω = ω2 − ω1 entre frequências de meia potência.
Em termos simples: Indica o intervalo efetivamente selecionado.
Amortecimento ζ
Definição técnica: Parâmetro adimensional da forma padrão de segunda ordem.
Em termos simples: Define pico, sobre-elevação e velocidade de decaimento; para a forma canônica, Q = 1/(2ζ).
Resposta natural
Condição Forma temporal
Superamortecida
ζ > 1 dois polos reais negativos distintos; sem oscilação e mais lenta que a
crítica.
Criticamente
amortecida
ζ = 1 polo real duplo; retorno não oscilatório mais rápido no modelo padrão.
Subamortecida
0se anula idealmente em ω0, formando um rejeita-faixa. Um
passa-tudo mantém módulo unitário e altera apenas a fase; em geral requer uma rede específica, frequentemente ativa, e
não corresponde simplesmente a uma única saída passiva do RLC série.
4. Equações e relações matemáticas
RLC série
Z = R+ j
(
ωL− 1
ωC
)
, ω0 =
1√
LC
, f0 =
ω0
2π
Q =
ω0L
R
=
1
ω0CR
, ∆ω =
R
L
=
ω0
Q
Para o RLC série ideal. As frequências de meia potência satisfazem |XL −XC | = R.
Forma padrão de segunda ordem
D(s) = s2 + 2ζωns+ ω2
n, Q =
1
2ζ
O numerador define se a resposta será passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa ou passa-tudo; o denominador
define os polos e a dinâmica comum.
Ressonância do passa-baixa de segunda ordem
Há pico de ressonância somente quando
Q >
1√
2
⇐⇒ ζ 1/
√
2 é a condição de pico de ressonância do passa-baixa normalizado.
• Formas canônicas: PB, PA, passa-faixa, rejeita-faixa e passa-tudo.
12. Resumo final do módulo
Revisão de 60 segundos
A ressonância é cancelamento reativo acompanhado por troca de energia entre L e C. O resistor determina perdas
e seletividade. f0, Q e banda descrevem onde o circuito responde, quão estreita é a resposta e quais solicitações
internas podem surgir.
Checagem rápida
1. Em ressonância série ideal: Z = R.
2. Aumentar Q: estreita a banda.
3. Por que L e C podem exigir maior isolação? As tensões internas podem ser amplificadas por Q.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 4 — Circuitos Seletivos
Fechamento do Tema 4
Objetivo
Caminho de análise
Preservar CC/baixas
frequências
passa-baixa; saída no capacitor do RC.
Bloquear CC/acopla-
mento
passa-alta; saída no resistor do RC.
Selecionar banda estre-
ita
segunda ordem com Q compatível com a banda.
Rejeitar uma frequência
filtro rejeita-faixa/notch; controlar tolerâncias.
Ler rapidamente muitas
décadas
diagrama de Bode de magnitude e fase.
Validar projeto real
incluir fonte, carga, tolerâncias, ESR/ESL e limites de tensão/corrente.
Matriz de cobertura do material-base
Módulo
Conteúdo original Onde foi incorporado
1
conceito de filtro ideal e classes passa-
baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-
faixa
visão geral e tabela das quatro classes.
1
causalidade, banda de transição e
fase/atraso
visão geral e pontos críticos.
1
filtros RC/RL de primeira ordem, fre-
quência de corte, magnitude e fase
circuitos, equações e exemplo de projeto.
1
construção de Bode pela soma de
ganho, polos e zeros
procedimento e bloco de fatores elementares.
1
amostragem, Nyquist, aliasing e filtro
anti-aliasing
aplicação prática e memorização.
2
polos complexos, respostas super-
amortecida, crítica e subamortecida
tabela de amortecimento e forma canônica.
2
ressonância, ωn, ωr, Q, pico e largura
de banda
equações, gráfico e exemplo RLC.
2
filtros PB, PA, passa-faixa, rejeita-
faixa e passa-tudo de segunda ordem
cinco funções canônicas e tabela de saídas do RLC.
2
seleção de tons DTMF por passa-faixa exemplo de engenharia dedicado.
Referências do material-base
CLOSE, C. M. Circuitos lineares. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
SVOBODA, J.; DORF, R. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
CARLIN, N. et al. Estudo de filtros RC para baixas e altas frequências por meio de um circuito para superposiçãode sinais. Revista
Brasileira de Ensino de Física, v. 32, n. 1, 2010.
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APOSTILA DE REVISÃO TÉCNICA
Circuitos Elétricos
Regime Permanente
Tema 5
Transformada de Laplace na Análise de Cir-
cuitos
Domínio s, função de transferência, polos, zeros e convolução
Pergunta-guia
Como substituir equações diferenciais por equações algébricas sem perder as condições iniciais e a dinâmica do
circuito?
Ao final, você deverá ser capaz de
Modelar R, L e C no domínio s, obter funções de transferência, interpretar polos/zeros e calcular respostas transitória
e estacionária.
Engenharia Elétrica — material construído a partir do conteúdo da disciplina e complementado para estudo.
Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
Mapa do tema
Circuito no tempo Transformada de Laplace Álgebra em s Resposta no tempo
Módulo
Pergunta central Resultado prático
1
Como incorporar derivadas, inte-
grais e energia inicial?
Converter o circuito para s, resolver e inverter a transformada.
2
O que polos e zeros revelam antes
da resposta temporal?
Inferir estabilidade, rapidez, oscilação e resposta em frequência.
3
Como prever a saída para en-
tradas arbitrárias?
Usar impulso, degrau, regime estacionário e convolução.
Leitura intuitiva
Laplace não elimina a dinâmica; ela a reorganiza. Derivadas viram multiplicações por s, integrais viram divisões por s
e as condições iniciais aparecem como termos adicionais. Depois de resolver a álgebra, a transformada inversa devolve
o comportamento no tempo.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
MÓDULO 1
Transformada de Laplace e modelos de elementos no domínio s
Questão central
Como resolver um circuito com chaveamento e energia previamente armazenada?
Resultado esperado
Aplicar a transformada unilateral, representar condições iniciais e recuperar a resposta causal
no tempo.
1. Visão geral
Circuitos com indutores e capacitores são descritos por equações diferenciais. A Transformada de Laplace unilateral converte
essas equações em relações algébricas e incorpora os valores imediatamente anteriores ao chaveamento, iL(0−) e vC(0
−).
Isso permite obter resposta natural e forçada em um único procedimento.
A Teoria de Circuitos é um modelo concentrado da Teoria de Campos: tensão e corrente são associadas ao elemento como
um todo, desprezando variações espaciais internas e atrasos de propagação. O circuito pode ser visto como um sistema que
recebe uma tensão ou corrente x(t) e fornece uma saída y(t).
Leitura intuitiva
No instante da chave, a energia armazenada não desaparece: a corrente do indutor e a tensão do capacitor são
contínuas quando não há impulsos ideais. Laplace carrega essa “memória” para o circuito equivalente em s.
2. Conceitos fundamentais
Transformada unilateral
Definição técnica: F (s) =
∫∞
0−
f(t)e−st dt, com s = σ + jω.
Em termos simples: Comprime o comportamento temporal em uma função complexa e inclui condições iniciais.
Região de convergência
Definição técnica: Conjunto de valores de s para os quais a integral converge.
Em termos simples: Ajuda a distinguir sinais e causalidade, embora em circuitos racionais causais seja comum inferi-la
a partir dos polos.
Resposta natural
Definição técnica: Parcela determinada pela energia inicial e pelos polos do circuito.
Em termos simples: É o transitório que existe mesmo sem excitação posterior.
Resposta forçada
Definição técnica: Parcela causada pela entrada aplicada.
Em termos simples: Inclui o regime permanente e eventuais termos transitórios ligados à forma da entrada.
Causalidade
Definição técnica: A saída em t não depende de valores futuros da entrada.
Em termos simples: A causa precede o efeito; é requisito de um circuito físico realizável.
Linearidade
Definição técnica: Valem homogeneidade e aditividade: T{ax1 + bx2} = aT{x1}+ bT{x2}.
Em termos simples: Permite superposição de fontes e decomposição da entrada.
Invariância no tempo
Definição técnica: Se x(t) → y(t), então x(t− t0) → y(t− t0).
Em termos simples: O comportamento não muda apenas porque o experimento começou depois.
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
Elementos concentrados
Definição técnica: Dimensões físicas e atrasos são pequenos frente ao comprimento de onda e aos tempos relevantes.
Em termos simples: Permite representar R, L e C como componentes localizados; em alta frequência, efeitos dis-
tribuídos podem invalidar o modelo.
3. Funcionamento
Definir 0− e 0+ Transformar elementos Resolver em s Frações parciais e inversa
1. Determine vC(0
−) e iL(0
−) pelo circuito anterior ao chaveamento.
2. Use continuidade: vC(0
+) = vC(0
−) e iL(0
+) = iL(0
−), salvo impulsos ideais.
3. Transforme fontes e elementos, mantendo os termos de condição inicial.
4. Aplique Kirchhoff em s, resolva a variável desejada e faça a transformada inversa.
5. Verifique valores inicial e final quando os teoremas forem aplicáveis.
No domínio do tempo, a solução completa de uma equação diferencial linear é
y(t) = yh(t) + yp(t),
em que yh é a solução homogênea, determinada pela equação característica e pela energia inicial, e yp é uma solução
particular associada à entrada. Pelo método dos coeficientes indeterminados, a hipótese de yp acompanha a forma da
entrada: exponencial gera exponencial, senoide gera combinação de seno e cosseno e polinômio gera polinômio de mesmo
grau, salvo coincidência com modos naturais.
4. Equações e relações matemáticas
Propriedades essenciais
L{f ′(t)} = sF (s)− f(0−)
L
{∫ t
0
f(τ)dτ
}
=
F (s)
s
L{u(t)} =
1
s
, L{e−atu(t)} =
1
s+ a
, L{δ(t)} = 1
s possui unidade s−1. As expressões pressupõem sinais causais e transformada unilateral quando se usam condições
iniciais.
Transformadas frequentes e frações parciais
f(t) F (s)
1 · u(t) 1/s
t u(t) 1/s2
e−atu(t) 1/(s+ a)
sinωt u(t) ω/(s2 + ω2)
cosωt u(t) s/(s2 + ω2)
δ(t) 1
Para uma função racional própria F (s) = P (s)/Q(s), fatorize Q(s) e decomponha em frações parciais. Polos repetidos
exigem todos os termos A1/(s− p) +A2/(s− p)2 + · · · até a multiplicidade correspondente.
Modelos dos elementos
VR(s) = RIR(s)
VL(s) = sLIL(s)− LiL(0
−)
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Circuitos Elétricos — Regime Permanente Tema 5 — Transformada de Laplace
IC(s) = sCVC(s)− CvC(0
−)
Com condições iniciais nulas: ZR = R, ZL = sL e ZC = 1/(sC). Com energia inicial, os termos adicionais devem
ser representados ou mantidos diretamente nas equações.
Elemento Relação temporal Leitura em s com condição nula
Resistor v = Ri impedância R.
Indutor v = Ldi/dt impedância sL.
Capacitor i = C dv/dt impedância 1/(sC).
Circuito
Equação característica típica Forma da resposta natural
RC
s+ 1/(RC) = 0 exponencial com τ = RC.
RL
s+R/L = 0 exponencial com τ = L/R.
RLC
s2 + (R/L)s + 1/(LC) = 0
no série
dois modos reais ou par complexo, conforme o amortecimento.
Fonte ideal
elemento ativo capaz de
fornecer energia
aparece como entrada transformada, por exemplo V0u(t) ↔ V0/s.
5. Componentes, elementos ou equipamentos
Elemento Estado que não salta Energia armazenada
Capacitor tensão vC WC = 1
2Cv2C .
Indutor corrente iL WL = 1
2Li
2
L.
Resistor não possui estado en-
ergético
dissipa p = Ri2 = v2/R.
Chave ideal muda a topologia in-
stantaneamente
pode criar modelos impulsivos se impuser descontinuidade incompatível.
6. Aplicação prática
Problema: prever tensão de partida, corrente de energização ou descarga após uma manobra.
Solução: calcular o estado em 0−, montar o circuito em s para t > 0 e inverter a solução.
Funcionamento: polos determinam o decaimento natural; a entrada determina a parcela forçada.
Resultado esperado: estimar pico, tempo de acomodação e energia sem integrar manualmente a equação diferencial.
7. Exemplo de engenharia
Exemplo resolvido — capacitor pré-carregado submetido a um degrau
Um capacitor C = 100µF possui vC(0−) = 5V. Em t = 0, conecta-se por R = 2 kΩ a uma fonte de 10V.
A equação em s pode ser escrita como
10/s− VC(s)
R
= sCVC(s)− CvC(0