Regras de Derivacao

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Regras de Derivação
1. Potência:
(
xα
)′
= αxα−1
Ao derivar um potência, o expoente original passa a multiplicar
e o expoente perde uma unidade.
Exemplos importantes:
•
(
x3
)′
= 3x2;
•
(
x2
)′
= 2x;
• (x)′ = 1 (a derivada de uma função afim é o declive da
recta);
• (1)′ = (2)′ =
(
π2
)′
= 0 (a derivada de uma constante é
sempre zero - constantes não variam);
•
(
1
x
)′
=
(
x−1
)′
= −x−2 = − 1
x2
;
•
(√
x
)′
=
(
x
1
2
)′
= 1
2
x−
1
2 = 1
2
√
x
.
2. Produto de uma Constante por uma Função: (cf ′) = cf ′
A derivada do produto de uma constante por uma função é a
constante vezes a derivada da função.
Exemplo:(
−3x3
)′
= −3
(
x3
)′
= −3× 3x2 = −9x2
3. Soma e Diferença: (f ± g)′ = f ′ ± g′
A derivada da soma é a soma das derivadas.
A derivada da diferença é a diferença das derivadas.
Exemplo:(
3x3 − 4x2 + 8x− 1
)′
=
(
3x3
)′
−
(
4x2
)′
+ (8x)′ − (1)′ = 9x2 − 8x+ 8
4. Produto: (fg)′ = f ′g + fg′
Exemplo:
(
x
√
x
)′
= (x)′
√
x+ x
(√
x
)′
=
√
x+ x× 1
2
√
x
= 3
√
x
2
5. Quociente:
(
f
g
)′
=
f ′g − fg′
g2
Exemplo:(
2x
1−x
)′
= (2x)′(1−x)−(2x)(1−x)′
(1−x)2 = 2(1−x)+2x
(1−x)2 = 2
(1−x)2
Não é recomendado desenvolver o quadrado do denominador
uma vez que será frequentemente necessário encontrar zeros do
mesmo.
6. Exponencial:
(
ex
)′
= ex
(
ax
)′
= ax ln a
A derivada de uma exponencial (de base e) é a própria exponen-
cial.
A derivada de uma exponencial (de base a > 0) é a própria
exponencial vezes o logaritmo neperiano da base.
7. Logaritmo: (lnx)′ =
1
x
(loga x)′ =
1
x ln a
A derivada do logaritmo neperiano é o inverso do seu argumento.
A derivada de um logaritmo (de base a > 0) é o inverso do
produto do seu argumento pelo logaritmo neperiano da base.
8. Funções Trigonométricas:
(senx)′ = cosx (cosx)′ = − senx (tg x)′ =
1
cos2 x
A derivada de seno é o co-seno. A derivada do co-seno é o
simétrico do seno. A derivada da tangente é o inverso do qua-
drado do co-seno.
9. Derivada da Função Composta: f [g(x)]′ = f ′[g(x)]× g′(x)
Em todas as regras anteriores, caso as funções não estejam apli-
cadas apenas x mas sim a uma qualquer função, temos de mul-
tiplicar pela derivada dessa função.
• Potência:
[
f(x)α
]′
= αf(x)α−1f ′(x)
Temos de multiplicar pela derivada da base.
• Exponencial:
[
ef(x)
]′
= ef(x)f ′(x)
[
af(x)
]′
= af(x)f ′(x) ln a
Temos de multiplicar pela derivada do expoente.
• Logaritmos e funções trigonométricas:
Temos de multiplicar pela derivada do argumento da
função.
[ln f(x)]′ =
f ′(x)
f(x)
[loga f(x)]′ =
f ′(x)
f(x) ln a
[sen f(x)]′ = cos[f(x)]f ′(x) [cos f(x)]′ = − sen[f(x)]f ′(x)
[tg f(x)]′ =
f ′(x)
cos2[f(x)]
Exemplos:[(
x2 + 1
)3]′
= 3
(
x2 + 1
)2 (
x2 + 1
)′
=
= 3
(
x2 + 1
)2
× 2x = 6x
(
x2 + 1
)2
(
ex
2
)′
= ex
2
(
x2
)′
= 2xex
2
(
x3e2x
)′
=
(
x3
)′
e2x + x3
(
e2x
)′
=
= 3x2e2x + 2x3e2x =
(
3x2 + 2x3
)
e2x
Recomenda-se colocar a exponencial em evidência para fa-
cilitar o cálculo dos zeros.[
ln
(
x2 − 1
)]′
=
1
x2 − 1
×
(
x2 − 1
)′
=
2x
x2 − 1(
3× 2x−1
)′
= 3
(
2x−1
)′
= 3× 2x−1 × (x− 1)′ =
= 3× 2x−1(
sen2 x
)′
=
[
(senx)2
]′
= 2 senx cosx = sen(2x)[
cos
(
x2
)]′
= − sen
(
x2
)
×
(
x2
)′
=
= −2x sen
(
x2
)
[
sen2(3x)
]′
= 2 sen(3x)[sen(3x)]′ =
= 2 sen(3x) cos(3x)× (3x)′ =
= 2 sen(3x) cos(3x)︸ ︷︷ ︸
sen(2×3x)
×3 = 3 sen(6x)
[tg(2x)]′ =
1
cos2(2x)
× (2x)′ =
2
cos2(2x)(
xx
)′
=
(
eln x
x
)′
=
(
ex ln x
)′
= ex ln x(x lnx)′ =
= eln x
x
(
1× lnx+ x× 1
x
)
=
= xx[ln(x) + 1]