1106 somando a vida

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b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O integrando é \((x - 1)^2\), que é igual a zero em \(x = 0\) e \(x = 1\). 
 
46. **Problema 46:** Calcule a integral \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \,dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é \(\int (3x^2 - 2x + 1) \,dx = x^3 - x^2 + x\). Avaliando de 1 a 2, 
temos \(2\). 
 
47. **Problema 47:** Calcule \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 0 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\). 
 
48. **Problema 48:** Determine a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \,dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{8}\) 
 d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), temos 
\(\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4}\). 
 
49. **Problema 49:** Calcule a integral \(\int (2x^2 - 3x + 1) \,dx\). 
 a) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\) 
 c) \(\frac{2}{2}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + x + C\) 
 d) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{3}x^2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C\). 
 
50. **Problema 50:** Calcule a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\). 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(x \ln(x) + 2x\) 
 c) \(2x \ln(x) - x\) 
 d) \(x \ln(x) - 2x\) 
 **Resposta:** a) \(2x \ln(x) + x\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, obtemos \(f'(x) = 2x \ln(x) + x\). 
 
51. **Problema 51:** Calcule a integral \(\int (x^3 + 4x^2 + 6x + 2) \,dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 3x + 2 + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 2x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 + 2x + C\) 
 **Explicação:** A integral é \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 + 2x + C\). 
 
52. **Problema 52:** Calcule a integral \(\int (3x^2 - 4x + 1) \,dx\). 
 a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(x^3 - 2x^2 + 3x + C\) 
 c) \(x^3 - 3x^2 + x + C\) 
 d) \(x^3 - x^2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral é \(x^3 - 2x^2 + x + C\). 
 
53. **Problema 53:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) \(-\frac{1}{2}\) 
 c) 1 
 d) \(-1\) 
 **Resposta:** b) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a expansão de Taylor, temos \(\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}\), 
então o limite é \(-\frac{1}{2}\). 
 
54. **Problema 54:** Calcule \(\int (5\sin(x) + 2\cos(x)) \,dx\). 
 a) \(-5\cos(x) + 2\sin(x) + C\) 
 b) \(5\cos(x) + 2\sin(x) + C\) 
 c) \(-5\sin(x) + 2\cos(x) + C\) 
 d) \(5\sin(x) - 2\cos(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-5\cos(x) + 2\sin(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é \(-5\cos(x) + 2\sin(x) + C\). 
 
55. **Problema 55:** Calcule a derivada de \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1\). 
 a) \(4x^3 - 12x^2 + 12x - 4\) 
 b) \(4x^3 - 12x^2 + 6x - 4\) 
 c) \(4x^3 - 12x^2 + 6x + 4\) 
 d) \(4x^3 - 12x^2 + 4x - 4\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 - 12x^2 + 12x - 4\) 
 **Explicação:** A derivada é \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4\). 
 
56. **Problema 56:** Calcule a integral \(\int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \,dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 2x + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 4x + C\)