Aplicacoes de funcoes(2)

Prévia do material em texto

Aplicações de funções
Prof.º André Luís Corte Brochi
Descrição
Cálculo das taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-
las. Interpretação de gráficos que representem a variação das funções
custo, receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa
utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas
quanto ao seu crescimento e decrescimento.
Propósito
Habituar o aluno ao uso de funções matemáticas, ilustrando com
exemplos que frequentemente surgem no dia a dia profissional.
Preparação
Ao longo deste estudo, você precisará de uma calculadora.
Objetivos
Módulo 1
Taxas de variação médias
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Módulo 2
Taxas de variação em grá�cos
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de
crescimento e decrescimento.
Módulo 3
Funções custo, receita e lucro
Analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seus gráficos.
Módulo 4
Demanda e a oferta de produtos
Analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de produtos a
partir do preço praticado.
Introdução
A Matemática é uma das áreas mais amplas do conhecimento.
Ela vai desde análises abstratas até as aplicações mais
corriqueiras do nosso cotidiano. Praticamente qualquer
fenômeno ao nosso redor pode ser representado
matematicamente, e muitas vezes essa representação nos ajuda
a aprender algo importante, ou a solucionar um problema
concreto.
Neste estudo, veremos algumas aplicações, com ilustrações
tanto teóricas quanto práticas. Desse modo, você vai se habituar
com uma linguagem que poderá encontrar e usar ao longo dos
seus estudos e da sua vida profissional.

1 - Taxas de variação médias
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular taxas de variação médias entre duas
grandezas.
Taxa de variação média de em
relação a 
Neste vídeo, vamos apresentar como quantificar a relação ente duas
variáveis por meio da taxa de variação média.
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-
las, utilizamos as funções matemáticas, como aquelas que você
estudou no ensino médio, em que, geralmente, expressamos o valor de
uma variável em relação à outra, que costumamos denotar por .
Variável dependente
A variável é comumente chamada de variável dependente.
Variável independente
A variável é comumente chamada de variável independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em
relação à variável independente, muitas vezes, utilizamos o cálculo da
taxa de variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que 
varia para cada unidade de .
Vamos considerar uma variável dada em função de , ou seja:
y
x
y x
y
x
y
x
y x
A taxa de variação média de em relação a , em um intervalo
 (para variando de até ), é dada por:
Essa expressão indica o quanto a variável dependente varia para cada
unidade aumentada na variável independente .
É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo
a letra grega ("delta" maiúscula) antes da sua indicação. Por exemplo,
a variação da variável será notada por . Sendo assim, a taxa de
variação de em relação a poderá ser expressa por:
Algumas vezes, para facilitar representação, os valores e das
fórmulas acima são indicados por e , respectivamente. De forma
semelhante, escrevemos:
Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
Exemplo 1
Neste vídeo, vamos apresentar um exemplo de função para calcular taxa
de variação média.
Dada a função , em que , vamos calcular,
inicialmente, a taxa de variação média de para variando de
2 a .
Nesse caso, consideramos:
 e 
Assim:
y = f(x)
y x
a ≤ x ≤ b x a b
f(b)−f(a)
b−a
y
x
Δ
x Δx
y x
Δy
Δx
=
f(b)−f(a)
b−a
a b
x2 x1
y2 = f(b) e y1 = f(a)
Δy
Δx
= y2−y1
x2−x1
y = f(x) f(x) = 3 + 2x
y = f(x) x
5(2 ≤ x ≤ 5)
x1 = 2 x2 = 5
 
Consequentemente:
 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável 
para cada aumento de uma unidade em .
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para , variando de 2
a 4.
Nesse caso, temos:
 e 
Já vimos que:
Já o valor de será dado por:
 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de em
relação a . É que o tipo de relação entre tais variáveis é linear, pois é
descrita por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de 
em relação a é uma constante. Experimente calcular as taxas médias
para outros intervalos de e note que o resultado será sempre o
mesmo.
Exemplo 2
Neste vídeo, vamos calcular as taxas de variação média de uma função
quadrática.
y1 = f (x1) = f(2) = 3 + 2.2 = 3 + 4 = 7
y2 = f (x2) = f(5) = 3 + 2.5 = 3 + 10 = 13
Δy
Δx
=
y2−y1
x2−x1
= 13−7
5−2 = 6
2 = 2
y
x
x
x1 = 2 x2 = 4
y1 = f (x1) = f(2) = 7
y2
y2 = f (x2) = f(4) = 3 + 2.4 = 3 + 8 = 11
Δy
Δx
=
y2−y1
x2−x1
= 11−7
4−2 = 4
2 = 2
y
x
y
x
x
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a
função:
Taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Comecemos determinando a taxa média de variação de em relação a
 no intervalo .
Temos, portanto, e . Assim,
e
A taxa que queremos determinar, então, será dada por:
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos e . Já vimos que
 e, além disso, teremos:
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não
apresenta a taxa de variação constante como a do exemplo anterior.
y = f(x) = x2 + 2x
y x 0 ≤ x ≤ 3
y
x 0 ≤ x ≤ 3
x1 = 0 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(0) = 02 + 2 ⋅ 0 = 0
y2 = f (x2) = f(3) =
32 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
15 − 0
3 − 0
=
15
3
= 5
0 ≤ x ≤ 2
x1 = 0 x2 = 2
y1 = f (x1) = f(0) = 0
y2 = f (x2) = f(2) =
22 + 2 ⋅ 2 = 4 + 4 = 8
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
8 − 0
2 − 0
=
8
2
= 4
Exemplo 3
Neste vídeo, vamos ver um exemplo de função que apresenta
crescimento e decrescimento.
Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro,
crescimento. Considere a função:
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
Crescimento de em relação a no intervalo .
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo .
Temos que: е .
Daí:
e
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Aqui, observa-se um crescimento de em relação a .
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Nesse caso, teremos: , .
f(x) = x3 − 3x2 + x + 3
y x 1 ≤ x ≤ 3
1 ≤ x ≤ 3
x1 = 1 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(1) =
13 − 3 ⋅ 12 + 1 + 3 =
1 − 3 + 1 + 3 = 2
y3 = f (x2) = f(3) =
33 − 3 ⋅ 32 + 3 + 3 =
27 − 27 + 3 + 3 = 6
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
y x
1 ≤ x ≤ 2
x1 = 1, x2 = 2 y1 = f (x1) = f(1) = 2
E:
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Isso indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em 
quando aumentou uma unidade.
Exemplo 4
Neste vídeo, vamos calcular as taxas de variação média de uma função
com valores negativos para x.
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação
média, mas considerando também valores negativos para .
Considere a função:
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo
.
Temos e . Daí:
e
y2 = f (x2) = f(2) =
23 − 3 ⋅ 22 + 2 + 3 =
8 − 12 + 2 + 3 = 1
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
1 − 2
2 − 1
=
−1
1
= −1
y
x
x
f(x) = x2 − 3x − 4
−3 ≤ x ≤ −1
x1 = −3 x2 = −1
y1 = f(−3) =
(−3)2 − 3(−3) − 4 =
9 + 9 − 4 = 14
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
Como é possível constatar, não há alteração no processo, porém será
preciso atentar-se aos sinais.
Mão na massa
Questão 1
Dada a função , a sua taxa de variação no intervalo
 é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsiderando%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D2%5C)%20e%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D7%5C)%2C%3%20%5Ccdot%202%3D5-6%3D-
1%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%3Cbr%3E%
3%20%5Ccdot%207%3D5-21%3D-
16%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20
paragraph%20u-
centered'%3EDa%C3%AD%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
y2 = f(−1) =
(−1)2 − 3(−1) − 4 =
1 + 3 − 4 = 0
Δy
Δx
=
y2−y1
x2−x1
= 0−14
−1−(−3)
= −14
2 = −7

f(x) = 5 − 3x
2 ≤ x ≤ 7
A -3
B 5
C -0,6
D -5
E -7
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20f%7D%7B%5CDelta%20f%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x_%7B2%7
f%5Cleft(x_%7B1%7D%5Cright)%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
16-(-1)%7D%7B7-2%7D%3D%5Cfrac%7B-
16%2B1%7D%7B5%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
15%7D%7B5%7D%3D-
3%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Dada a função , sua taxa de variação no
intervalo é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsiderando%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
1%5C)%20e%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D2%5C)%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%
3%20%5Ccdot(-1)%5E%7B2%7D%2B(-1)-4%3D-3-1-4%3D-
8%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%3Cbr%3E%0A%20%
3%20%5Ccdot%202%5E%7B2%7D%2B2-4%3D-12%2B2-4%3D-
14%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%
paragraph%20u-
centered'%3EDa%C3%AD%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20f%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x_%7B2%7
f%5Cleft(x_%7B1%7D%5Cright)%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
14-(-8)%7D%7B2-(-1)%7D%3D%5Cfrac%7B-
14%2B8%7D%7B2%2B1%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
6%7D%7B3%7D%3D-
2%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada
em função de seu preço unitário , a taxa de
variação média de para o intervalo é:
f(x) = −3x2 + x − 4
−1 ≤ x ≤ 2
A -3
B -2
C -4
D 0
E 1
D
D = 8.500 − 5p
D 500 ≤ p ≤ 1.000
A -8 unidades/real.
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsidere%20%5C(p%20_%7B1%7D%3D500%5C)%20e%20%5C(p%20_%7B2%7D%3D1.000%5C)%
5.500%3D8.500-
2.500%3D6.000%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%20%0A%20%2
5%20%5Ccdot%201.000%3D8.500-
5.000%3D3.500%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20D%7D%7B%5CDelta%20p%7D%3D%5Cfrac%7BD_%7B2%7D-
D_%7B1%7D%7D%7Bp_%7B2%7D-
p_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
6.000%7D%7B1.000-500%7D%3D%5C)%5C(%5Cfrac%7B-
2.500%7D%7B500%7D%3D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-centered'%3E-
5%20unidades%2Freal.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Se a quantidade ofertada de certo bem, em toneladas, pode ser
expressa em função do seu preço unitário , em reais, na forma
, o quanto essa quantidade varia, em média, quando
o preço sobe de R$150,00 para R$180,00?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsidere%20%5C(p%20_%7B1%7D%3D150%5C)%20e%20%5C(p%20_%7B2%7D%3D180%5C)%2
B 2 unidades/real.
C 5 unidades/real.
D -5 unidades/real.
E -2 unidades/real.
S
p
S = 2p − 240
A 240 unidades/real.
B 20 unidades/real.
C 2 unidades/real.
D 12 unidades/real.
E 31 reais/unidade.
240%3D300-
240%3D60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%2
240%3D360-
240%3D120%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Portanto
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20S%7D%7B%5CDelta%20p%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B2%7D-
S_%7B1%7D%7D%7Bp_%7B2%7D-
p_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
60%7D%7B180-
150%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5
Questão 5
Quando uma função associa o custo de produção de certa
utilidade à sua quantidade produzida q, ela é denominada função
custo total dessa utilidade. A taxa de variação do custo total em
relação à quantidade produzida, isto é, considerando uma variação
de 0 a quantidades produzidas, é denominada custo variável médio
de produção e é dada por ,
em que é o custo total para a produção de unidades dessa
utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por
, qual será o custo variável médio
para a produção de 200 unidades? Considere em unidades e 
em reais.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EO%20custo%20vari%C3%A1vel%20m%C3%A9dio%20para%20%5C(q%3D200%5C)%20%C3%A9%2
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(C%20V%20M(200)%3D%5Cfrac%7BC_%7BT%7D(200)-
C(0)%7D%7B200%7D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class
paragraph%20u-
centered'%3Ecomo%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C(200)%3D2.000%2B200%2B0%2C1%2
medium%20u-
centered'%3Ee%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C(0)%3D2.000%2B0%2B0%2C1%20%5C
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%5C(C%20V%20M(200)%3D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B6.200-
CT
CV M(q) =
CT(q)−C(0)
q−0 =
CT(q)−C(0)
q
CT(q) q
CT(q) = 2.000 + q + 0, 1q2
q CT
A 20 reais/unidade.
B 21 reais/unidade.
C 18 reais/unidade.
D 16 reais/unidade.
E 56 reais/unidade.
2.000%7D%7B200%7D%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bequation%7D%2
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%24%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B4.200%7D%7B200%7D
medium%20u-
centered'%3E%3Cb%3E21%20unidades%2Freal%3C%2Fb%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%
Questão 6
A população de uma cidade cresce ao ano. Em 2010, eram 40
mil habitantes. O seu tamanho, anos após 2010, pode ser
calculado pela expressão .
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre
os anos de 2012 e 2019 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%202012%2C%20temos%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D2%5C)%20e%2C%20em%202019%2C%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%
44.100%7D%7B9-
2%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B17.952%7
paragraph%20u-
centered'%3E%3Cb%3E2565%20hab%2Fano%3C%2Fb%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu
diversas vezes é a velocidade média. Ela corresponde à taxa média
de variação da posição de um objeto em relação ao tempo.
Considere, por exemplo, um objeto que se desloca de acordo com a
equação (função horária) em que s corresponde à sua posição, em
metros, no instante segundos.
y 5%
x
y = 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)x
A 1.875 hab/ano.
B 2.125 hab/ano.
C 2.565 hab/ano.
D 2.955 hab/ano.
E 3.150 hab/ano.
_black
t
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de
tempo , basta calcular a variação média de sua posição nesse
intervalo.
Veja como é o movimento desse objeto no vídeo a seguir, no qual
vamos calcular sua velocidade média entre os instantes 1 e 5
segundos.
Carro em movimentoFalta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A taxa de variação média de em relação a , em determinado
intervalo, representa:
s(t) = −t2 + 10t
(Δt)

Mostrar solução
y x
A
Quantas unidades varia, em média, para cada
aumento de uma unidade em nesse intervalo.
y
x
B Quantas unidades variou no intervalo considerado.x
C Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.y
D Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.x
E
Quantas unidades varia, em média, para cada
aumento de uma unidade em nesse intervalo.
x
x
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20de%20uma%20vari%C3%A1vel%20%5C(y%5C)%
Questão 2
Se a taxa de variação média de uma função com variando
de 1 a 6 é igual a 10, então é correto concluir que:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7Bf(6)-
f(1)%7D%7B6-
1%7D%3D10%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EEnt%C3%A3o%2C%20%5C(f%20(6)-
%20f%20(1)%3D10%20%5Ccdot(6-
1)%3D50%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
2 - Taxas de variação em grá�cos
f(x) x
A f(1) = 10
B f(6) = f(1) + 10
C f(6) − f(1) = 10
D f(6) − f(1) = 50
E f(6) = 10
Ao �nal deste módulo, você será capaz de relacionar as taxas de variação em grá�cos com
períodos de crescimento e decrescimento.
Análises grá�cas e representações
geométricas
Neste vídeo, vamos apresentar análises gráficas e representações
geométricas das funções.
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto
é, de crescimento ou decrescimento de uma variável em relação à outra
por meio dos valores calculados a partir das funções que as relacionam.
No entanto, toda função matemática pode ser representada
graficamente e, por conseguinte, a análise da taxa de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em
relação à outra com base em análises gráficas e como representá-la
geometricamente.
Considere uma função e um intervalo no qual ela
está definida.
A próxima imagem mostra a variação de e a variação de
 para o intervalo dado.
Os pontos A e B têm coordenadas e ,
respectivamente.
A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de
acordo com a taxa de variação média da função em relação
a no intervalo .
Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a
taxa de variação aumentar, por exemplo, a reta apresentará
inclinação mais acentuada.
Taxa de variação média: interpretação gráfica.
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou
decrescimento em um intervalo dado, basta calcular a taxa de variação
média nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos
correspondentes ao intervalo é crescente (coeficiente angular positivo)
ou decrescente (coeficiente angular negativo).
Exemplo 1
y = f(x) a ≤ x ≤ b
y(Δy)
x(Δx)
(a, f(a)) (b, f(b))
f(x)
x a ≤ x ≤ b
Neste vídeo, apresentaremos a representação gráfica de uma função
linear.
Considere o gráfico abaixo.
Vamos determinar a taxa de variação média de em relação a ,
inicialmente, para o intervalo Temos, nesse caso,
 e .
Logo, a taxa de variação média é:
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por
exemplo, , a taxa de variação média permanecerá igual, pois
se trata de um gráfico com comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos e 
.
Portanto, a taxa de variação média é:
Exemplo 2
Neste vídeo, apresentaremos a representação gráfica de uma função
não linear.
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico
a seguir para os intervalos e .
Considerando e , teremos e . Portanto, a
taxa média de variação de em relação a será dada por:
y x
2 ≤ x ≤ 6.
Δx = 6 − 2 = 4 Δy = 6 − 4 = 2
Δy
Δx
= 2
4 = 0, 5
2 ≤ x ≤ 4
Δx = 4 − 2 = 2 Δy = 5 − 4 = 1
Δy
Δx
= 1
2 = 0, 5
1 ≤ x ≤ 3 −1 ≤ x ≤ 2
x1 = 1 x2 = 3 y1 = 2 y2 = 6
y x
Agora, se considerarmos e , teremos e
. Portanto, a taxa média de variação de em relação a será
dada por:
Mão na massa
Questão 1
No gráfico apresentado, a taxa de variação de quando varia de
—2 a 4 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
2%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B1%7D%3D4%5C)%20e%20para%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D4%5C)%2
5%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20
paragraph%20u-
centered'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
x1 = −1 x2 = 2 y1 = −2
y2 = 1 y x
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
1 − (−2)
2 − (−1)
=
3
3
= 1

y x
A -3,5
B -2,3
C -1,5
D -1,2
E -0,7
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
5-4%7D%7B4-
(-2)%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
9%7D%7B6%7D%3D-
1%2C5%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para 
variando de 2 a 5 é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D2%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B1%7D%3D1%2C2%5C
paragraph%20u-
centered'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
1%2C2%7D%7B5-
2%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5
1%2C2%7D%7B3%7D%3D-
0%2C4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para
 variando de -4 a -3 é:
x
A 0,5
B -0,4
C -0,25
D -0,5
E 0
x
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
4%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B1%7D%3D-
1%5C)%20e%20para%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D-
3%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B2%7D%3D-
3%2C4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c
paragraph%20u-
centered'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
3%2C4%2B1%7D%7B-
3%2B4%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(
2%2C4%7D%7B1%7D%3D-
2%2C4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 3.
Suas taxas médias de crescimento são, respectivamente:
A -2,4
B 1,25
C -3,2
D -4,8
E 0
x x
A 2 e 2
B 3 e 2
C 2 e 3
D 3 e 3
E 8 e 7
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20analisarmos%20a%20maior%20taxa%20m%C3%A9dia%20de%20crescimento%2C%20u
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!-
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'row%20
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%2012%20col-md-10%20col-lg-
6'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
image%20src%3D%22img%2F09.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Andr%C3%A9%20Lu%C3%ADs%2
image%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
-%3Cdiv%20class%3D%22c-legenda%20mt-
3%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
paragraph%20u-
text%22%3EForte%20em%20Saint%20Tropez%20ao%20por%20do%20sol.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%
-
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%2
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20termos%20certeza%20de%20que%20h%C3%A1%20ou%20n%C3%A3o%20diferen%C3%
table%20u-centered'%3E%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
1%20%3B%20x%20_%7B2%7D%3D2%20%3B%20y%20_%7B1%7D%3D3%5C)%20e%20%5C(y%20_%7B2%7D%3D
paragraph%20u-
centered'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20m%C3%A9dia%20%C3%A9%2C%20portanto%3A
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7B9-
3%7D%7B2-
(-1)%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B
paragraph%20u-centered%20c-
table'%3EPara%20o%20intervalo%200%20%E2%89%A4%20%5C(x%5C)%20%E2%89%A4%203%2C%20temos%3
paragraph%20u-
centered'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20m%C3%A9dia%20%C3%A9%2C%20portanto%3A
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7B7-
1%7D%7B3-
0%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B6
Questão 5
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no
período de 2013 a 2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse
período é:
A 0,75 ton/ano.
B -0,025 ton/ano.
C 0,097 ton/ano.
D 0,083 ton/ano.
E 0,5 ton/ano.
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEm%202013%2C%20podemos%20considerar%20uma%20produ%C3%A7%C3%A3o%20de%204%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B5%2C0%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D-
4%2C5%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D%7D%7B(2019-
2013)%20%5Ctext%20%7B%20anos%20%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%
4%2C5%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D%7D%7B6%20%5Ctext%20%7B%20anos%20%7D%7D%20%5Ccong
Questão 6
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os
anos de 2010 e 2015 em uma grande região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa
média de consumo, se comparada ao período 2010-2015. Sendo
assim, qual foi a quantidade consumida desse cereal em 2019?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVemos%20que%2C%20de%202010%20a%202015%2C%20houve%20um%20aumento%20de%20
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B0%2C75%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D%7D%7B5%20%5Ctext%20%7B%20
paragraph'%3EComo%2C%20no%20per%C3%ADodo%20entre%202015%20e%202019%2C%20houve%20diminu
table%20u-centered'%3E%5C((1-
0%2C20)%20%5Ccdot%200%2C15%3D0%2C80%20%5Ccdot%200%2C15%3D0%2C12%5C)%20ton%5C(%2F%5C
Teoria na prática
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas
situações das mais diversas áreas. Inclusive, já vimos algumas
dessas aplicações.
A 1,87 ton.
B 2,98 ton.
C 3,15 ton.
D 3,75 ton.
E 2,00 ton.
_black
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante
utilizado é o de custo marginal, que consiste na mudança no custo
total de produção resultante da variação em uma unidade da
quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação
de análise de custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de
produção e a receita gerada pela sua comercialização. Dessa forma,
torna-se possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo.
Dois dos principais conceitos que devem ser considerados nessa
análise são: custo variável médio e custo marginal.
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de
produção, utilizamos um conceito que foge ao escopo desse texto,
que é o de derivada de uma função para definir e obter o custo
marginal. Porém, quando os custos são analisados com base em
tabelas que os relacionam com a quantidade produzida, esse
conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
0 5.000,00
1.000 11.000,00
1.500 12.000,00
1.800 14.000,00
2.000 17.000,00
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Como seria o cálculo do custo fixo, custo variável médio e custo
marginal médio?
Quantidade de
garrafas
Custo total (R$) Custo marginal
0 5.000 -
1.000 11.000 6.000
1.500 12.000 1.000
1.800 14.000 2.000
2.000 17.000 3.000
Mostrar solução
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para
1.500 unidades, o custo total varia R$1.000,00, ou seja, cada unidade
produzida a mais, nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo
total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores
apresentados. Entretanto, quando a produção passa de 1.800 para 2.000
unidades, o custo marginal é demasiadamente grande.
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a
quantidade produzida gira em torno de 1.500 unidades, e menos
favorável quando ela se aproxima de 2.000 unidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considerando dois pontos e em um
gráfico, a taxa de variação média de para o intervalo 
é dada por:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20de%20uma%20vari%C3%A1vel%20%5C(y%5C)%
large%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
y x1 ≤ x ≤ x2
A
y2
y1
B
y2
x2
C
y2−y1
x2−x1
D
x2−x1
y2−y1
E
y2−x2
y1−x1
Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de
produção de certa utilidade para determinadas quantidades
produzidas.
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade
é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20custo%20vari%C3%A1vel%20m%C3%A9dio%20para%20certa%20quantidade%20%C3%A9%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cf
800%7D%7B40-
0%7D%3D%5Cfrac%7B6.400%7D%7B40%7D%3D160%20%5Cmathrm%7BR%24%7D%20%2F%20%5Cmathrm%7
3 - Funções custo, receita e lucro
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as funções custo, receita e lucro, bem
como seu grá�cos.
Funções custo, receita e lucro totais
A 180 R$/kg.
B 160 R$/kg.
C 72,00 R$/kg.
D 32,50 R$/kg.
E 175 R$/kg.
Neste vídeo, vamos definir as funções de custo total, receita total e lucro
total de uma firma.
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas,
são utilizadas nas análises de variação de duas grandezas, uma em
relação à outra, em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações
práticas. Neste módulo, serão abordadas as funções custo, receita e
lucro totais.
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas
Ciências Contábeis e em áreas afins.
A função custo total de uma utilidade relaciona o seu custo total
de produção com a quantidade produzida que é dada pela
soma dos custos fixos e dos custos variáveis , como a
seguir:
Os custos variáveis, geralmente, são obtidos pela multiplicação
do custo unitário pela quantidade produzida q. Dessa forma, a
função custo total pode ser expressa por:
Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau.
Apesar de poder assumir outras formas, a função custo total
geralmente apresenta esse tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamenterelacionados à produção. Eles são compostos, por exemplo, pelo
aluguel que a empresa paga pela instalação, pelos salários de
seus colaboradores etc. Mesmo que, em determinado período,
não seja produzida nenhuma unidade do produto, o custo fixo
ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a variar de forma
direta à quantidade produzida: quanto mais se produz, maior é o
custo variável (total). Se nenhuma unidade for produzida, o custo
variável será nulo.
A função receita total de uma utilidade relaciona o valor total
recebido pela comercialização de unidades dessa utilidade
Função custo total 
CT
CF CV
CT = CF + CV
c
CT = CF + c ⋅ q
Função receita total 
RT q
e é expressa pelo produto entre o seu preço unitário e a
quantidade comercializada, como a seguir:
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e
quantidade), conseguimos representá-la com função apenas da
variável . Isso porque o preço pode ser fixado ou expresso em
relação à quantidade. Quando o preço é fixo, a função receita
tem comportamento linear. Porém, quando o preço se relaciona
com a quantidade (por meio de uma função de demanda, como
veremos no próximo módulo), assume outras formas, como, por
exemplo, a de uma função quadrática, cujo gráfico é uma
parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto
de nivelamento. Ele é importante na determinação da meta de
produção e venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a
ocorrência de lucro.
A função denominada função lucro total associa, a cada
quantidade q produzida e comercializada, a diferença entre as
respectivas funções receita total e o custo total. Sua forma é:
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de
q unidades de uma utilidade, podendo assumir valores negativos
(prejuízo), positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último
caso, consideramos que custo e receita se igualam.
Exemplo
Neste vídeo, vamos apresentar exemplos das funções de custo, receita
e lucro.
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade,
além de uma despesa fixa (que independe da quantidade produzida) de
R$800,00. Cada unidade produzida é vendida por R$14,00.Temos:
Custo fixo: = R$800,00.
p
RT = p ⋅ q
q
p
Função lucro total 
(LT)
LT = RT − CT
CF
Custo unitário: = R$10,00.
Preço unitário de venda: = R$14,00.
Para expressar o custo total em relação à quantidade produzida ,
colocamos esses valores na expressão:
Assim, temos:
A função receita total tem a forma:
Nesse caso, ela é expressa por:
O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam.
Para determiná-lo, começamos resolvendo a equação:
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas
200 unidades, não há lucro nem prejuízo, pois receita e custo assumem
o mesmo valor.
Para determinar esse valor, basta substituir q por 200 na função custo
ou receita.
Veja:
ou
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de
nivelamento.
c
p
CT q
CT = CF + c ⋅ q
CT = 800 + 10 ⋅ q
RT = p ⋅ q
RT = 14 ⋅ q
RT = CT
14q = 800 + 10q
14q − 10q = 800
4q = 800
q =
800
4
q = 200
CT(200) = 800 + 10 ⋅ 200 = 800 + 2.000 = 2.800 reais 
RT(200) = 14 ⋅ 200 = 2.800 reais 
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as
funções custo e receita ocorre quando . À esquerda desse
ponto, o custo supera a receita, indicando, portanto, que, para 
(quantidades inferiores a 200 unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a
receita que supera o custo, indicando que, para , ocorre lucro.
A função lucro total pode ser obtida considerando:
Daí, temos:
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que
estão representadas as funções custo total e receita total, podemos
comparar as variações dessas três funções. Veja a seguir:
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o
eixo horizontal no valor = 200 (isso significa que o lucro é igual a zero
quando a quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do
ponto de nivelamento, pois, quando receita e custo se igualam, o lucro é
nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a
venda de certa quantidade q dessa utilidade e para determinar qual
quantidade deve ser produzida e vendida para que determinada meta de
lucro seja alcançada. Por exemplo, se queremos determinar o lucro
quando são produzidas e comercializadas 500 unidades, fazemos:
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida
para que o lucro seja de, por exemplo, R$3.000,00, devemos resolver a
equação:
Isto é:
q = 200
q 200
LT
LT = RT − CT
LT = 14q − (800 + 10q)
LT = 14q − 800 − 10q
LT = 4q − 800
q
LT(500) = 4.500 − 800 = 2.000 − 800 = 1.200 reais 
LT(q) = 3.000
4q − 800 = 3.000
4q = 3.000 + 800
4q = 3.800
Mão na massa
Questão 1
Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma
quantidade produzida q, em quilogramas, é dada por C(q) = 3.000 +
50q.
Analise os gráficos a seguir e marque a alternativa com o gráfico
que representa essa função no intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20de%20primeiro%20grau%2C%20seu%20g
lo.%20Vamos%20considerar%2C%20para%20obt%C3%AA-
los%2C%20as%20quantidades%20limites%200%20e%20200.%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%2
table%20u-
centered'%3E%5C(q%3D0%20%5Crightarrow%20C(0)%3D3.000%2B50%20%5Ccdot%200%3D3.000%5C)%20rea
table%20u-
centered'%3E%5C(q%3D200%20%5Crightarrow%20C(200)%3D3.000%2B50%20%5Ccdot%20200%3D3.000%2B
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!-
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22c
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
12%20col-md-10%20col-lg-
12'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
image%20src%3D%22img%2F17.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Andr%C3%A9%20Lu%C3%ADs%2
image%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
q = 3.800
4
q = 950

A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
Questão 2
As funções custo total e receita total referentes a certo componente
eletrônico são:
e
O seu ponto de nivelamento é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20ponto%20de%20nivelamento%20%C3%A9%20aquele%20em%20que%20%5C(R_%7BT%7D
table%20u-
centered'%3E%5C(R_%7BT%7D%3DC_%7BT%7D%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
table%20u-
centered'%3E%5C(R_%7BT%7D(500)%3D20.500%3D10.000%5C)%20reais.%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20
Questão 3
O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário
(variável) são, respectivamente:
CT = 4.000 + 12q
RT = 20q
A (125; 2.500)
B (600; 12.000)
C (600; 12.000)
D (500; 10.000)
E (125,1.500)
A R$1.000,00 e R$50,00.
B R$5.000,00 e R$10,00.
C R$1.000,00 e R$25,00.
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20custo%20fixo%20corresponde%20ao%20valor%20do%20custo%20total%20quando%20%5
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20C_%7BT%7D%7D%7B%5CDelta%20q%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3C
1.000%7D%7B200-
0%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfr
paragraph%20u-
centered'%3E%3Cb%3E25%20reais%2Funidade%3C%2Fb%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%Questão 4
Dadas as funções custo total e receita total e
, o gráfico de sua função lucro total no intervalo
 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPrimeiro%2C%20vamos%20obter%20a%20express%C3%A3o%20que%20fornece%20o%20lucro%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(L_%7BT%7D%3DR_%7BT%7D-
C_%7BT%7D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L_%7BT%7D
(2.500%2B150%20q)%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L_%
2.500-
150%20q%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L_%7BT%7D%3
2.500%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(L_%7BT%7D(0)%3D130%20%5Ccdot%200-
2.500%3D0-2.500%3D-
2.500%5C)%20reais%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%3Cbr%3E%0A%20%20%
2.500%3D13.000-
2.500%3D10.500%5C)%20reais.%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!-
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3
12%20col-md-10%20col-lg-
D R$5.000,00 e R$50,00.
E R$0,00 e R$30,00.
CT = 2.500 + 150q
RT = 280q
0 ≤ q ≤ 100
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
12'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
image%20src%3D%22img%2F20.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Andr%C3%A9%20Lu%C3%ADs%2
image%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se
que, no mês em que são fabricadas 500 camisetas, o custo total de
produção é de R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas
1.000 camisetas, esse custo passa a ser de R$30.000,00.
Considerando que o custo total é representado por uma função de
primeiro grau, é correto concluir que o custo fixo de produção desse
modelo de camiseta é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20custo%20total%20tem%20a%20forma%20%5C(C_%7BT%7D%3DC_%7BF%7D%2BC_%7BV%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(C%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20C_%7BT%7D%7D%7B%5CDelta%20q%7D%3D%5C)%3Cbr%3
22.000%7D%7B1.000-
500%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B8.000%
paragraph'%3EAgora%2C%20considerando%2C%20por%20exemplo%2C%20que%20o%20custo%20total%20pa
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(C_%7BF%7D%2B16%20%5Ccdot%20500%3D22.000%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%
Questão 6
As funções custo total e receita total, dadas em reais, para
determinado bem são, respectivamente:
 e 
Onde (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada.
Qual deve ser a quantidade (aproximada) produzida e
comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$60.000?
A R$14.000,00
B R$22.000,00
C R$12.000,00
D R$8.000,00
E R$16.000,00
C = 50.000 + 400q R = 700q
q
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20determinarmos%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20lucro%20desse%20bem%2C%20dev
paragraph%20c-table%20u-centered'%3E%5C(L%3DR-
C%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D700%20q-
(50.000%2B400%20q)%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D700%20q-
50.000-
400%20q%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D300%20q-
50.000%5C).%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando-
se%20o%20lucro%20a%20R%2460.000%20e%20resolvendo%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20resultante%2
paragraph%20c-table%20u-centered'%3E%5C(300%20q-
50.000%3D60.000%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(300%20q%3D110.000%
Teoria na prática
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como,
por exemplo, no estudo da viabilidade de instalação de produção em
determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita
são primordiais nesse tipo de estudo.
(Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 –
Administração – Questão 13) As decisões sobre a localização de
empresas são estratégicas e integram o planejamento global do
negócio. Considerando que o preço de venda da grande maioria dos
bens produzidos é estabelecido pelo mercado, é preciso que as
empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em
determinada localidade. O modelo padrão custo-volume-lucro é útil
na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único
gráfico, as curvas de custo total versus a quantidade produzida
mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo e Goiânia, as
quais foram previamente selecionadas para receber uma nova
fábrica de brinquedos. Sabe-se que a receita total é a mesma para as
três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em
cada localidade varia com a quantidade produzida.
A 367 ton.
B 350 ton.
C 338 ton.
D 383 ton.
E 393 ton.
_black
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico
revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a
nova fábrica, se a quantidade mensal a ser produzida variar entre
5.000 e 10.000 unidades, considerando a estrutura de custos
apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade
produtiva, se a quantidade a ser produzida mensalmente for maior
que 7.500 unidades, pois, a partir desse volume de produção, é a
localidade que proporcionará maior lucro.
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica
para volumes de produção mensal inferiores a 5.000 unidades, pois é
a cidade que viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a
quantidade produzida mensalmente for superior a 10.000 unidades,
tendo em vista que, nas condições apresentadas, é a cidade que
poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o
objetivo é produzir uma quantidade mensal exatamente igual a 5.000
unidades, considerando que o lucro será o mesmo nas duas
localidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada)
Suponha que uma empresa – cujo faturamento anual é de R$840
milhões, o custo unitário do produto é de R$350,00 e o preço de
venda é de R$420,00 por unidade – esteja estudando alterar o
processo de gestão de qualidade a fim de gerar um aumento de
10% na quantidade de produtos vendidos. Considerando esse novo
cenário de vendas, o incremento no valor do lucro final é de:
Mostrar solução
A R$2 milhões
B R$14 milhões
C R$16,8 milhões
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20o%20pre%C3%A7o%20de%20venda%20%C3%A9%20de%20%5C(R%20%5C%24%20420%2
Questão 2
(Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de
processos de produção (celular, automatizada e intermitente) e a
receita de vendas de determinado produto.
Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a
manufatura intermitente é a preferível; entre 10.000 e 43.000, a
manufatura celular é a preferível; acima de 43.000, a manufatura
automatizada é a preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as
receitas igualam os custos) são de 27.000, 30.000 e 40.000,
respectivamente, para as manufaturas celular, automatizada e
intermitente. A respeito das informações anteriores, conclui-se que:
Parabéns!A alternativa B está correta.
D R$70 milhões
E R$84 milhões
A
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda
justifica a primeira.
B
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não
justifica a primeira.
C
A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é
falsa.
D
A primeira afirmação é falsa, e a segunda é
verdadeira.
E Ambas as afirmações são falsas.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20primeira%20afirma%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20correta%2C%20pois%20podemos%
paragraph'%3EA%20segunda%20tamb%C3%A9m%20est%C3%A1%20correta%2C%20pois%20os%20pontos%20
paragraph'%3ENo%20entanto%2C%20a%20segunda%20afirmativa%20n%C3%A3o%20justifica%20a%20primeir
4 - Demanda e a oferta de produtos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta
de produtos a partir do preço praticado.
Análise das funções demanda e
oferta
Neste vídeo, vamos caracterizar as funções de demanda e oferta.
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da
Economia são a demanda e a oferta. Delas deriva o preço de equilíbrio
de mercado, que é peça fundamental em diversas análises econômicas.
Demanda ou quantidade demandada 
A demanda ou quantidade demandada de certa utilidade (bem ou
serviço) a um preço unitário é a soma das quantidades que todos os
compradores do mercado desejam e estão aptos a adquirir a esse preço
em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e de uma
utilidade é denominada função demanda dessa utilidade.
A tendência que, geralmente, se observa é que, se o preço aumenta, a
quantidade demandada cai, pois o produto torna-se menos interessante
QD
QD
P
QD P
para o consumidor.
Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir.
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido.
Oferta ou quantidade ofertada 
A oferta ou quantidade ofertada de uma utilidade (bem ou serviço) a
um preço unitário é a soma das quantidades que todos os
fornecedores ou produtores estão aptos e dispostos a vender desse
produto ao preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e é denominada
função oferta dessa utilidade.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência
que geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade
ofertada aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o
fornece. Porém, se o preço cai, a oferta também tende a cair.
Preço 
Neste vídeo, vamos caracterizar as funções de demanda e oferta.
O preço P de uma utilidade para a qual as quantidades demandada e
ofertada se igualam é denominado preço de equilíbrio de mercado ou,
simplesmente, preço de equilíbrio.
Preço superior ao de equilíbrio
Se o preço praticado for superior ao de equilibrio, a demanda será
inferior à oferta e, dessa forma, haverá sobra do produto no mercado.
Preço inferior ao de equilibrio
Se o preço praticado for inferior ao de equilíbrio, a oferta será maior que
a demanda, provocando falta ou escassez do produto no mercado.
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de
equilíbrio.
Representação grá�ca
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é
bastante útil para facilitar suas análises e a do ponto de equilíbrio. O
QO
Q0
P
P
Q0 P
P
gráfico a seguir mostra uma situação genérica que representa tais
elementos.
Exemplo
Neste vídeo, vamos dar um exemplo de funções de demanda e oferta e
entender como encontrar o ponto de equilíbrio.
Certo produto tem sua quantidade demanda e sua quantidade
ofertada dadas, respectivamente, por:
e
 é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são
representadas graficamente por um segmento de reta no intervalo
designado. Portanto, para traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos
de cada.
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do
intervalo considerado, para calcular os valores apresentados na tabela a
seguir.
Preço (R$)
Quantidade
Demandada
Quantidade
Ofertada
100 8.500 1.300
500 2.500 11.300
Tabela: Preço / Quantidade demandada / Quantidade ofertada.
André Luís Corte Brochi.
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio.
Para obtê-lo algebricamente, basta resolver a equação a seguir:
QD
Q0
QD = 10.000 − 15p
Q0 = −1.200 + 25p
P
Qo = QD
−1.200 + 25p = 10.000 − 15p
Esse é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em
qualquer uma das funções, demanda ou oferta. Substituindo-o na
função demanda, temos:
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Esse ponto,
bem como as funções demanda e oferta, é apresentado no gráfico a
seguir.
Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
Falta
À medida que os preços vão se afastando de R$280,00 para
valores menores, a tendência é que haja falta do produto no
mercado, já que a demanda superará a oferta.
Sobra
No caso de preços maiores que o preço de equilíbrio, a oferta
deverá superar a demanda, portanto haverá sobra desse produto
no mercado.
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de
reta. Elas podem ser de outros tipos, como quadráticas, exponenciais,
logarítmicas, entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica
que fizemos há pouco pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos
de funções que caracterizam essas duas variáveis em relação ao preço.
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos
no módulo anterior, as funções demanda e oferta são obtidas por meio
de processos estatísticos. Esses, por sua vez, obtêm equações
relacionando duas variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter
valores associados dessas variáveis.
25p + 15p = 10.000 + 1.200
40p = 11.200
p = 11.200
40
p = 280 reais
QD = 10.000 − 15.280 = 10.000 − 4.200 = 5.800 unidades 

Mão na massa
Questão 1
1. A função demanda , em toneladas, de certo produto é dada
por , em que é o seu preço por tonelada. O seu
preço atual proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de
:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando%20a%20demanda%20a%2080%20toneladas%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E
table%20u-centered'%3E%5C(200-
3%20p%3D80%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
120%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(p%3D
120%7D%7B-
3%7D%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(p%3
Questão 2
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas,
respectivamente, por:
e
O ponto de equilíbrio desse produto é:
QD
QD = 200 − 3p p
pO
pO
A é menor do que R$30,00.
B é maior do que R$50,00.
C está entre R$32,00 e R$37,00.
D está entre R$39,00 e R$45,00.
E está entre R$30,00 e R$32,00.
QD = 3.600 − 28p
QO = 20p − 1.200
A (100; 800)
B (120; 560)
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando%20a%20demanda%20e%20a%20oferta%2C%20o%20pre%C3%A7o%20de%20equil%C
table%20u-
centered'%3E%5C(Q_%7BO%7D%3DQ_%7BD%7D%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
1.200%3D3.600-
28%20p%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(20%20p%2
table%20u-
centered'%3E%5C(Q_%7B0%7D%3D20%20%5Ccdot%20100-
1.200%3D2.000-
1.200%3D800%5C)%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é
de R$42,00. Sabe-se que a função que relaciona sua quantidade
demanda com seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada
aumento de R$1,00 em seu preço unitário causa uma queda de 25
unidades na sua demanda. Denotando por D sua quantidade
demandada e por p seu preço unitário de venda, a função que
representa corretamente a relação entre essas duas variáveis é:Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'Se%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20de%20primeiro%20grau%2C%20ent%C3%A3o%2
table%20u-
centered'%3E%5C(D%3Da%20p%2Bb%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
25%5C).%20Al%C3%A9m%20disso%2C%20sabe-
se%20que%20%5C(D%3D1.300%5C)%20quando%20%5C(p%3D42%5C).%20Ent%C3%A3o%3A%3Cbr%3E%3Cbr
table%20u-centered'%3E%5C(1.300%3D-
25%20%5Ccdot%2042%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C
C (800; 100)
D (560; 120)
E (560; 120)
A D = −p + 1.300
B D = −25p + 2.350
C D = 25p − 2.350
D D = p − 1.300
E D = 21p + 6.500
25%20%5Ccdot%2042%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C
25%20p%2B2.350%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se
com seu preço de forma linear. Sabe-se que a redução no preço de
R$50,00 para R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para
250 unidades. Se denotarmos por a quantidade vendida e por o
preço do produto, a expressão que relaciona corretamente essas
variáveis é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20coeficiente%20angular%20%5C(a%5C)%20dessa%20reta%20(fun%C3%A7%C3%A3o%20do
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(a%3D%5Cfrac%7B250-
200%7D%7B40-
50%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B
10%7D%3D-
5%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20
5%5C)%20e%20considerando%20que%20%5C((40%2C250)%5C)%20%C3%A9%20um%20de%20seus%20ponto
table%20u-centered'%3E%5C(250%3D-
5.40%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(250%3D-
200%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(b%3D450%5C).%3C%2Fsp
table%20u-centered'%3E%5C(q%3D-
5%20p%2B450%5C).%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas,
respectivamente, por:
e
Considerando que as quantidades e são positivas, os valores
de preço para os quais haverá sobra desse bem no mercado será
dado pelo intervalo:
q p
A q = −10p + 50
B q = 5p − 450
C q = 10p − 50
D q = −5p + 450
E q = 10p + 450
D S
D = 80 − 5p
S = 3p − 18
D S
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando%20as%20fun%C3%A7%C3%B5es%20dadas%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%
table%20u-centered'%3E%5C(3%20p-18%3D80-
5%20p%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(8%20p%3D98%5C)%3Cbr%3E%0A%2
Questão 6
Dadas (demanda) e (oferta), o
preço de equilíbrio é igual a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20determinar%20o%20pre%C3%A7o%20de%20equil%C3%ADbrio%2C%20devemos%20igu
table%20u-centered'%3E%5C(7%20p-10%3D-p_%7B2%7D-
2%20p%2B80%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Assim%2C%20chega
table%20u-centered'%3E%5C(p_%7B2%7D%2B9%20p-
90%3D0%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%
A (0outra
grandeza relacionada varia. Podemos reconhecer os períodos de
crescimento ou decrescimento de uma grandeza que acompanhamos.
Em especial para os gestores, podemos descrever inúmeras situações
onde esse conhecimento é aplicado. Neste estudo, vimos a aplicação
direta nas situações com custo de produção, receita e lucro (algo bem
presente na vida de muitos profissionais!). Também vimos a aplicação
q
L(q) = −q2 + 150q− 3.000 q
A R$2.000,00
B R$2.625,00
C R$3.000,00
D R$3.775,00
E R$4.250,00
direta na relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos
uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da
Matemática, mas existem muitas outras! O importante é que, utilizando
esses conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões
mais acertadas em situações futuras.
Podcast
Para encerrar, ouça um breve resumo dos principais tópicos que foram
abordados ao longo dos módulos.

Explore +
Se quiser gerar gráficos como usamos neste estudo, veja o software
Geogebra, um dos mais simples e mais usados em matemática.
Referências
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática aplicada. 10.
ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
LEITE, A. Aplicações da matemática. São Paulo: Cengage Learning,
2008.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os
cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo:
Atlas, 1997.
TAN, S. T. Aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo:
Cengage Learning, 2012.
Material para download
Clique no botão abaixo para fazer o download do
conteúdo completo em formato PDF.
Download material
O que você achou do conteúdo?
Relatar problema
javascript:CriaPDF()