Aplicações de funções

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Aplicações de funções
Cálculo das taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-las. Interpretação de gráficos que
representem a variação das funções custo, receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa
utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas quanto ao seu crescimento e
decrescimento.
Prof.º André Luís Corte Brochi
1. Itens iniciais
Propósito
Habituar o aluno ao uso de funções matemáticas, ilustrando com exemplos que frequentemente surgem no dia
a dia profissional.
Preparação
Ao longo deste estudo, você precisará de uma calculadora.
Objetivos
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento.
Analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seus gráficos.
Analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado.
Introdução
A Matemática é uma das áreas mais amplas do conhecimento. Ela vai desde análises abstratas até as
aplicações mais corriqueiras do nosso cotidiano. Praticamente qualquer fenômeno ao nosso redor pode ser
representado matematicamente, e muitas vezes essa representação nos ajuda a aprender algo importante, ou
a solucionar um problema concreto.
Neste estudo, veremos algumas aplicações, com ilustrações tanto teóricas quanto práticas. Desse modo, você
vai se habituar com uma linguagem que poderá encontrar e usar ao longo dos seus estudos e da sua vida
profissional.
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1. Taxas de variação médias
Taxa de variação média de \(y\) em relação a \(x\)
Neste vídeo, vamos apresentar como quantificar a relação ente duas variáveis por meio da taxa de variação
média.
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No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las, utilizamos as funções matemáticas,
como aquelas que você estudou no ensino médio, em que, geralmente, expressamos o valor de uma variável 
 em relação à outra, que costumamos denotar por .
Variável dependente
A variável é comumente chamada de variável
dependente.
Variável independente
A variável é comumente chamada de variável
independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à variável independente,
muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa de variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que 
varia para cada unidade de .
Vamos considerar uma variável dada em função de , ou seja:
A taxa de variação média de em relação a , em um intervalo (para variando de até ),
é dada por:
Essa expressão indica o quanto a variável dependente varia para cada unidade aumentada na variável
independente . 
É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega ("delta" maiúscula)
antes da sua indicação. Por exemplo, a variação da variável será notada por . Sendo assim, a taxa de
variação de em relação a poderá ser expressa por: 
Algumas vezes, para facilitar representação, os valores e das fórmulas acima são indicados por e 
, respectivamente. De forma semelhante, escrevemos:
Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever: 
Exemplo 1
Neste vídeo, vamos apresentar um exemplo de função para calcular taxa de variação média.
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Dada a função , em que , vamos calcular, inicialmente, a taxa de variação média de 
 para variando de 2 a .
Nesse caso, consideramos:
Assim:
Consequentemente:
 e 
 
A taxa de variação média, portanto, será dada por: 
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável para cada aumento de uma unidade
em .
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para , variando de 2 a 4.
Nesse caso, temos:
Já vimos que: 
Já o valor de será dado por:
A taxa de variação média, portanto, será dada por: 
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de em relação a . É que o tipo de relação
entre tais variáveis é linear, pois é descrita por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de em
relação a é uma constante. Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de e note que o
resultado será sempre o mesmo. 
Exemplo 2
Neste vídeo, vamos calcular as taxas de variação média de uma função quadrática.
 
 e 
 
 
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Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função:
Taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Comecemos determinando a taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Temos, portanto, e . Assim, 
e
A taxa que queremos determinar, então, será dada por:
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos e . Já vimos que e, além disso, teremos:
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa de variação constante
como a do exemplo anterior.
Exemplo 3
Neste vídeo, vamos ver um exemplo de função que apresenta crescimento e decrescimento.
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Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro, crescimento. Considere a função:
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
Crescimento de em relação a no intervalo .
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo . Temos que: е .
Daí:
e
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Aqui, observa-se um crescimento de em relação a .
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Nesse caso, teremos: , .
E:
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Isso indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em quando aumentou uma unidade.
Exemplo 4
Neste vídeo, vamos calcular as taxas de variação média de uma função com valores negativos para x.
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Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média, mas considerando também
valores negativos para .
Considere a função:
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo .
Temos e . Daí:
e
Portanto, a taxa média de variação será dada por: 
Como é possível constatar, não há alteração no processo, porém será preciso atentar-se aos sinais.
Mão na massa
Questão 1
Dada a função , a sua taxa de variação no intervalo é:
A
-3
B
5
C
-0,6
D
-5
E
-7
A alternativa A está correta.
Considerando e , temos:
e
Daí:
Questão 2
Dada a função , sua taxa de variação no intervalo é:
A
-3
B
-2
C
-4
D
0
E
1
A alternativa B está correta.
Considerando e , temos:
.
 .
e
Daí:
Questão 3
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de seu preço unitário 
, a taxa de variação média de para o intervalo é:
A
-8 unidades/real.
B
2 unidades/real.
C
5 unidades/real.
D
-5 unidades/real.
E
-2 unidades/real.
A alternativa D está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
.
 .
Portanto, a taxa média de variação da demanda D, nesse intervalo, será dada por:
Questão 4
Se a quantidade ofertada de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em função do seu preço unitário 
, em reais, na forma , o quanto essa quantidade varia, em média, quando o preço sobe de 
R$150,00 para R$180,00?
A
240 unidades/real.
B
20 unidades/real.
C
2 unidades/real.
D
12 unidades/real.
E
31 reais/unidade.
A alternativa C está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
e
 
 -5 unidades/real.
Portanto, a taxa média de variação da quantidade ofertada S, nesse intervalo, será dada por:
Questão 5
Quando uma função associa o custo de produção de certa utilidade à sua quantidade produzida q, ela é
denominada função custo total dessa utilidade. A taxa de variação do custo total em relação à quantidade
produzida, isto é, considerando uma variação de 0 aquantidades produzidas, é denominada custo variável
médio de produção e é dada por , em que é o custo total para a
produção de unidades dessa utilidade.
 
Se a função custo total de uma utilidade é dada por , qual será o custo variável
médio para a produção de 200 unidades? Considere em unidades e em reais.
A
20 reais/unidade.
B
21 reais/unidade.
C
18 reais/unidade.
D
16 reais/unidade.
E
56 reais/unidade.
A alternativa B está correta.
O custo variável médio para é a taxa de variação de para o intervalo e é dado,
nesse caso, por:
 unidades real
como
e
Questão 6
A população de uma cidade cresce ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O seu tamanho, anos
após 2010, pode ser calculado pela expressão .
 
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012 e 2019 é:
A
1.875 hab/ano.
B
2.125 hab/ano.
C
2.565 hab/ano.
D
2.955 hab/ano.
E
3.150 hab/ano.
 reais
 21 unidades/real.
A alternativa C está correta.
Para 2012, temos e, em 2019, anos. Então:
e
Portanto, a taxa média de variação da população dessa cidade, de 2012 a 2019, foi de, aproximadamente:
Teoria na prática
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a velocidade média. Ela
corresponde à taxa média de variação da posição de um objeto em relação ao tempo. Considere, por exemplo,
um objeto que se desloca de acordo com a equação (função horária) em que s corresponde à sua posição, em
metros, no instante segundos. 
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo , basta calcular a variação
média de sua posição nesse intervalo.
Veja como é o movimento desse objeto no vídeo a seguir, no qual vamos calcular sua velocidade média entre
os instantes 1 e 5 segundos. 
 2565 hab/ano.
Carro em movimento
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Chave de resposta
Considerando e segundos, temos:
As expressões acima correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 1 e 5
segundos. Sendo assim, sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por:
Portanto, concluímos que, do instante ao instante , esse móvel percorreu um trecho de
16 metros em 4 segundos, isto é, sua velocidade média foi de . Isso näo significa que sua velocidade
permaneceu constante durante esse tempo. Observe, a seguir, que, se considerarmos o intervalo de tempo
de 1 a 4 segundos, sua velocidade média será diferente da que já calculamos.
Vamos considerar e segundos. Já vimos que . No instante , a posição
do móvel é dada por
Portanto, sua velocidade média nesse novo intervalo de tempo será dada pela expressão a seguir, pois é
maior do que no intervalo considerado anteriormente.
 metros e 
metros.
 metros.
O que acontece com esse móvel quando consideramos sua velocidade média entre os instantes t1=6s e
t29s? Vamos ao cálculo.
Temos:
Essas expressões correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 6 e 9
segundos. Observe que são as mesmas posições que esse móvel ocupou nos instantes 4 e 1 segundos.
Sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por:
Temos uma velocidade média negativa, que ocorre quando o móvel se desloca no sentido contrário da
trajetória definida anteriormente. Note que, entre os instantes 1 e 4 segundos e entre 6 e 9 segundos, a
distância percorrida é a mesma e em um mesmo intervalo de tempo (3 segundos). No entanto, no primeiro
caso, o móvel sai da posição 9 metros e chega à posição 24 metros, percorrendo a distância de 15 metros;
no segundo caso, sai da posição 24 metros e chega à posição 9 metros, isto é, percorre a mesma
distância, mas no sentido contrário.
Verificando o aprendizado
Questão 1
A taxa de variação média de em relação a , em determinado intervalo, representa:
A
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma unidade em nesse intervalo.
B
Quantas unidades variou no intervalo considerado.
C
Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.
D
Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.
E
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma unidade em nesse intervalo.
A alternativa A está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica quantas unidades aumentam
ou diminuem, em média, cada vez que a variável é aumentada em uma unidade.
Questão 2
Se a taxa de variação média de uma função com variando de 1 a 6 é igual a 10, então é correto
concluir que:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Então, .
2. Taxas de variação em gráficos
Análises gráficas e representações geométricas
Neste vídeo, vamos apresentar análises gráficas e representações geométricas das funções.
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Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de crescimento ou decrescimento
de uma variável em relação à outra por meio dos valores calculados a partir das funções que as relacionam.
No entanto, toda função matemática pode ser representada graficamente e, por conseguinte, a análise da
taxa de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à outra com base em análises
gráficas e como representá-la geometricamente.
Considere uma função e um intervalo no qual ela está definida.
 
A próxima imagem mostra a variação de y(Δy) e a variação de x(Δx) para o intervalo dado. 
Os pontos A e B têm coordenadas (a,f(a)) e (b,f(b)), respectivamente. 
A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo com a taxa de variação média
da função f(x) em relação a x no intervalo a≤x≤b.
Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de variação aumentar, por
exemplo, a reta apresentará inclinação mais acentuada.
Taxa de variação média: interpretação gráfica.
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou decrescimento em um intervalo dado,
basta calcular a taxa de variação média nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos
• 
• 
• 
• 
correspondentes ao intervalo é crescente (coeficiente angular positivo) ou decrescente (coeficiente angular
negativo).
Exemplo 1
Neste vídeo, apresentaremos a representação gráfica de uma função linear.
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Considere o gráfico abaixo.
Vamos determinar a taxa de variação média de em relação a , inicialmente, para o intervalo 
Temos, nesse caso, e .
Logo, a taxa de variação média é:
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, , a taxa de variação
média permanecerá igual, pois se trata de um gráfico com comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos e .
Portanto, a taxa de variação média é:
Exemplo 2
Neste vídeo, apresentaremos a representação gráfica de uma função não linear.
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Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir para os intervalos 
e .
Considerando e , teremos e . Portanto, a taxa média de variação de em
relação a será dada por:
Agora, se considerarmos e , teremos e . Portanto, a taxa média de
variação de em relação a será dada por:
Mão na massa
Questão 1
No gráfico apresentado, a taxa de variação de quando varia de —2 a 4 é:
A
-3,5
B
-2,3
C
-1,5
D
-1,2
E
-0,7
A alternativa C está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
Questão 2
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para variando de 2 a 5 é:
 
A
0,5
B
-0,4
C
-0,25
D
-0,5
E
0
A alternativa B está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
Questão 3
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para variando de -4 a -3 é:
A
-2,4
B
1,25
C
-3,2
D
-4,8
E
0
A alternativa A está correta.
Para , temos e para , temos .
 .
Portanto:
Questão 4
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 3.
Suas taxas médias decrescimento são, respectivamente:
A
2 e 2
B
3 e 2
C
 .
2 e 3
D
3 e 3
E
8 e 7
A alternativa A está correta.
Para analisarmos a maior taxa média de crescimento, uma das formas é traçar as retas passando pelos
pontos definidos pelos intervalos, como mostrado no gráfico a seguir. Porém, observe que, aparentemente,
não há diferença nas inclinações dessas retas.
Para termos certeza de que há ou não diferença, determinaremos as taxas de variação nesses dois casos.
Para o intervalo —1 ≤ ≤ 2, temos:
A taxa de variação média é, portanto:
 e .
Para o intervalo , temos:
A taxa de variação média é, portanto:
Questão 5
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no período de 2013 a 2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse período é:
A
0,75 ton/ano.
B
-0,025 ton/ano.
 .
 e .
C
0,097 ton/ano.
D
0,083 ton/ano.
E
0,5 ton/ano.
A alternativa D está correta.
Em 2013, podemos considerar uma produção de 4,5 toneladas. Em 2019, ela passa a ser de 5 toneladas.
Sendo assim, a taxa média de variação nesse período é dada por:
Questão 6
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os anos de 2010 e 2015 em uma grande região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa média de consumo, se comparada ao
período 2010-2015. Sendo assim, qual foi a quantidade consumida desse cereal em 2019?
A
1,87 ton.
B
2,98 ton.
 0,083 ton/ano.
C
3,15 ton.
D
3,75 ton.
E
2,00 ton.
A alternativa B está correta.
Vemos que, de 2010 a 2015, houve um aumento de 0,75 ton no consumo desse cereal. Como o período é
de 5 anos, concluímos que a taxa média de variação é:
 0,15 ton/ano.
Como, no período entre 2015 e 2019, houve diminuição da taxa média de variação em 20%, concluímos que
essa taxa foi de:
 ton ano.
Teoria na prática
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das mais diversas áreas. Inclusive, já
vimos algumas dessas aplicações.
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de custo marginal, que consiste na
mudança no custo total de produção resultante da variação em uma unidade da quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise de custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de produção e a receita gerada pela sua
comercialização. Dessa forma, torna-se possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos
principais conceitos que devem ser considerados nessa análise são: custo variável médio e custo marginal.
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção, utilizamos um conceito que foge
ao escopo desse texto, que é o de derivada de uma função para definir e obter o custo marginal. Porém,
quando os custos são analisados com base em tabelas que os relacionam com a quantidade produzida, esse
conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
0 5.000,00
1.000 11.000,00
1.500 12.000,00
1.800 14.000,00
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
2.000 17.000,00
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Como seria o cálculo do custo fixo, custo variável médio e custo marginal médio?
Chave de resposta
Primeiro, é importante saber que, mesmo quando nenhuma garrafa de suco é produzida, há um custo de
R$5.000,00. Esse é o chamado custo fixo, que é aquele advindo de aluguel, salário de funcionários etc.
Quando são produzidas 1.000 garrafas, o custo total passa a ser de R$11.000,00. Observe que houve uma
variação de R$6.000,00 quando a quantidade produzida foi de 0 a 1.000 garrafas. Isso significa que cada
garrafa produzida proporcionou um aumento de R$6,00 no custo total de produção, isto é,
R$6.000,00/1.000. Chamamos esse valor de custo variável médio, que, para certa quantidade q, pode ser
definido como a taxa de variação do custo total, considerando a variação da quantidade produzida de 0
até q. 
Se considerarmos a existência de um custo fixo de R$5.000,00 que deve ser dividido por toda a produção,
podemos acrescentar R$5,00 ao custo final de cada unidade produzida. Esses valores mudam à medida
que alteramos a quantidade produzida. Esse tipo de alteração deve ser analisada por quem gere os
custos. 
A tabela a seguir apresenta os custos variáveis médios para cada quantidade apresentada na tabela
anterior. 
Observe que, até a produção de 1.000 unidades, o custo variável médio é bem maior do que nos demais
casos. Quando são produzidas 1.500 unidades, esse valor cai bastante e é o menor entre os apresentados.
Isso é um indicativo de que esse nível de produção é o que gera o menor custo por unidade. No entanto,
nem sempre o custo variável médio indica o melhor nível de produção em relação ao custo, pois ele
considera a diluição do custo fixo.
Uma medida que absorve melhor a diminuição do custo por unidade é o custo marginal médio.
O custo marginal é o aumento no custo associado à produção adicional. O custo marginal médio é o custo
marginal dividido pelo número de unidades adicionais.
São apresentados, na tabela a seguir, os valores dos custos marginais e custos marginais médios.
Quantidade de
garrafas
Custo total
(R$)
Custo
marginal
Custo médio
(R$)
Custo marginal
médio (R$)
0 5.000 - - -
1.000 11.000 6.000 6,00 6,00
1.500 12.000 1.000 0,67 2,00
1.800 14.000 2.000 1,11 6,67
2.000 17.000 3.000 1,50 15,00
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500 unidades, o custo total varia
R$1.000,00, ou seja, cada unidade produzida a mais, nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo
total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores apresentados. Entretanto, quando a
produção passa de 1.800 para 2.000 unidades, o custo marginal é demasiadamente grande.
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade produzida gira em torno de 1.500
unidades, e menos favorável quando ela se aproxima de 2.000 unidades.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considerando dois pontos e em um gráfico, a taxa de variação média de para
o intervalo é dada por:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica quantas unidades aumentam
ou diminuem, em média, cada vez que a variável é aumentada em uma unidade. Portanto, ela será dada
por:
Questão 2
Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de certa utilidade para determinadas
quantidades produzidas.
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade é:
.
A
180 R$/kg.
B
160 R$/kg.
C
72,00 R$/kg.
D
32,50 R$/kg.
E
175 R$/kg.
A alternativa B está correta.
O custo variável médio para certa quantidade é a taxa de variação do custo total quando a produção varia
de 0 a essa quantidade. Portanto, a solução será dada por:
.
3. Funções custo, receita e lucro
Funções custo, receita e lucro totais
Neste vídeo, vamos definir as funções de custo total, receita total e lucro total de uma firma.
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As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são utilizadas nas análises de variação de
duas grandezas, uma em relação à outra, em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas.
Neste módulo, serão abordadas as funções custo, receita e lucro totais.
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências Contábeis e em áreas afins.
Função custo total
A função custo total de uma utilidade relaciona o seu custo total de produção com a quantidade
produzida que é dada pela soma dos custos fixos e dos custos variáveis , como a seguir:
Os custos variáveis, geralmente, são obtidos pela multiplicação do custo unitário pela quantidade
produzida q. Dessa forma, a função custo total pode ser expressa por:
Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau. Apesar de poder assumir outras
formas, a função custo total geralmente apresentaesse tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à produção. Eles são compostos,
por exemplo, pelo aluguel que a empresa paga pela instalação, pelos salários de seus colaboradores
etc. Mesmo que, em determinado período, não seja produzida nenhuma unidade do produto, o custo
fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a variar de forma direta à quantidade produzida:
quanto mais se produz, maior é o custo variável (total). Se nenhuma unidade for produzida, o custo
variável será nulo.
Função receita total
A função receita total de uma utilidade relaciona o valor total recebido pela comercialização de 
 unidades dessa utilidade e é expressa pelo produto entre o seu preço unitário e a quantidade
comercializada, como a seguir:
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade), conseguimos representá-la
com função apenas da variável . Isso porque o preço pode ser fixado ou expresso em relação à
quantidade. Quando o preço é fixo, a função receita tem comportamento linear. Porém, quando o
preço se relaciona com a quantidade (por meio de uma função de demanda, como veremos no
próximo módulo), assume outras formas, como, por exemplo, a de uma função quadrática, cujo
gráfico é uma parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de nivelamento. Ele é importante na
determinação da meta de produção e venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de
lucro.
Função lucro total
A função denominada função lucro total associa, a cada quantidade q produzida e
comercializada, a diferença entre as respectivas funções receita total e o custo total. Sua forma é:
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q unidades de uma utilidade,
podendo assumir valores negativos (prejuízo), positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último
caso, consideramos que custo e receita se igualam.
Exemplo
Neste vídeo, vamos apresentar exemplos das funções de custo, receita e lucro.
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Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de uma despesa fixa (que
independe da quantidade produzida) de R$800,00. Cada unidade produzida é vendida por R$14,00.Temos:
 
Custo fixo: = R$800,00.
Custo unitário: c = R$10,00.
Preço unitário de venda: p = R$14,00.
Para expressar o custo total em relação à quantidade produzida , colocamos esses valores na
expressão:
• 
• 
• 
Assim, temos:
A função receita total tem a forma:
Nesse caso, ela é expressa por:
O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para determiná-lo, começamos
resolvendo a equação:
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200 unidades, não há lucro nem
prejuízo, pois receita e custo assumem o mesmo valor.
Para determinar esse valor, basta substituir q por 200 na função custo ou receita.
Veja:
ou
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de nivelamento.
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções custo e receita ocorre
quando . À esquerda desse ponto, o custo supera a receita, indicando, portanto, que, para 
(quantidades inferiores a 200 unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a receita que supera o custo, indicando
que, para , ocorre lucro.
A função lucro total pode ser obtida considerando:
Daí, temos:
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão representadas as funções custo total
e receita total, podemos comparar as variações dessas três funções. Veja a seguir:
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo horizontal no valor = 200 (isso
significa que o lucro é igual a zero quando a quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do ponto
de nivelamento, pois, quando receita e custo se igualam, o lucro é nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda de certa quantidade q dessa
utilidade e para determinar qual quantidade deve ser produzida e vendida para que determinada meta de lucro
seja alcançada. Por exemplo, se queremos determinar o lucro quando são produzidas e comercializadas 500
unidades, fazemos:
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que o lucro seja de, por exemplo,
R$3.000,00, devemos resolver a equação:
Isto é:
Mão na massa
Questão 1
Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade produzida q, em quilogramas, é dada
por C(q) = 3.000 + 50q.
Analise os gráficos a seguir e marque a alternativa com o gráfico que representa essa função no intervalo 0 ≤
q ≤ 200 é:
A
Imagem 1
B
Imagem 2
C
Imagem 3
D
Imagem 4
E
Imagem 5
A alternativa A está correta.
Como a função é de primeiro grau, seu gráfico é parte de uma reta. Portanto, basta tomarmos dois pontos
para traçá-lo. Vamos considerar, para obtê-los, as quantidades limites 0 e 200.
Considerando os pontos obtidos anteriormente, temos:
 reais 
 reais
Questão 2
As funções custo total e receita total referentes a certo componente eletrônico são:
e
O seu ponto de nivelamento é:
A
(125; 2.500)
B
(600; 12.000)
C
(600; 12.000)
D
(500; 10.000)
E
(125,1.500)
A alternativa D está correta.
O ponto de nivelamento é aquele em que . Portanto, obtemos a quantidade desse ponto
resolvendo a equação abaixo:
Substituindo esse valor na função receita total (pode ser também na função custo total), chegamos a:
Logo, o ponto de nivelamento será dado por: (500; 10.000).
Questão 3
O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são, respectivamente:
A
R$1.000,00 e R$50,00.
B
R$5.000,00 e R$10,00.
C
R$1.000,00 e R$25,00.
D
R$5.000,00 e R$50,00.
E
R$0,00 e R$30,00.
 .
 reais.
A alternativa C está correta.
O custo fixo corresponde ao valor do custo total quando . Observe, no gráfico, que esse valor é R\
$1.000,00 (valor do eixo vertical).
Já o custo variável unitário é a taxa de variação média (quando a função é de primeiro grau) do custo para
q variando de 0 até qualquer outro valor positivo. Observe, no gráfico, que, quando , temos 
 reais e, quando , temos reais. Portanto, a taxa de variação será dada
por:
Questão 4
Dadas as funções custo total e receita total e , o gráfico de sua função lucro
total no intervalo é:
 25 reais/unidade.
A
Imagem 1
B
Imagem 2
C
Imagem 3
D
Imagem 4
E
Imagem 5
A alternativa C está correta.
Primeiro, vamos obter a expressão que fornece o lucro total desse produto em relação à sua quantidade
produzida e vendida. Temos:
Escolhendo valores arbitrários para , tais como e , temos:
Localizando esses dois pontos no gráfico e traçando um segmento por eles, obtemos o gráfico a seguir:
 .
 reais e 
 reais.
Questão 5
Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês em que são fabricadas 500
camisetas, o custo total de produção é de R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas 1.000 camisetas,
esse custo passa a ser de R$30.000,00.
 
Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro grau, é correto concluir que o
custo fixo de produção desse modelo de camiseta é:
A
R$14.000,00
B
R$22.000,00
C
R$12.000,00
D
R$8.000,00
E
R$16.000,00
A alternativa A está correta.
O custo total tem a forma . Como a função é de primeiro grau, temos . , e o
custo unitário , nesse caso, é dado pela taxa de variação média do custo total para qualquer intervalo.
Considerando o intervalo , temos:
Agora, considerando, por exemplo, que o custo total para produzir 500 camisetas foi de R$22.000,00,
temos:
Questão 6
As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem são, respectivamente:
 e 
Onde (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a quantidade (aproximada)
produzidae comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$60.000?
A
367 ton.
B
350 ton.
C
338 ton.
D
383 ton.
E
393 ton.
A alternativa A está correta.
Para determinarmos a função lucro desse bem, devemos subtrair o custo da receita:
Igualando-se o lucro a R$60.000 e resolvendo a equação resultante, chegamos ao valor solicitado:
 
 reais.
 .
Teoria na prática
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por exemplo, no estudo da viabilidade de
instalação de produção em determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita são primordiais
nesse tipo de estudo.
(Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 – Administração – Questão 13) As decisões sobre a
localização de empresas são estratégicas e integram o planejamento global do negócio. Considerando que o
preço de venda da grande maioria dos bens produzidos é estabelecido pelo mercado, é preciso que as
empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em determinada localidade. O modelo
padrão custo-volume-lucro é útil na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único gráfico,
as curvas de custo total versus a quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo e
Goiânia, as quais foram previamente selecionadas para receber uma nova fábrica de brinquedos. Sabe-se que
a receita total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em cada
localidade varia com a quantidade produzida. 
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a quantidade mensal a ser
produzida variar entre 5.000 e 10.000 unidades, considerando a estrutura de custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a quantidade a ser produzida
mensalmente for maior que 7.500 unidades, pois, a partir desse volume de produção, é a localidade que
proporcionará maior lucro.
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de produção mensal
inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade que viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade produzida mensalmente for superior a
10.000 unidades, tendo em vista que, nas condições apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é produzir uma quantidade
mensal exatamente igual a 5.000 unidades, considerando que o lucro será o mesmo nas duas localidades.
Chave de resposta
Observe que a comparação entre o custo em cada região com a função receita permite avaliar em qual
região o lucro deverá ser maior, considerando o nível de produção. A alternativa correta é a letra A, pois,
para o nível de produção entre 5.000 e 10.000 unidades, a função custo referente a São Paulo é a que está
 ton (aprox.).
no menor patamar de todas. Como a receita independe da região, ou seja, será a mesma para qualquer
uma, então o maior lucro será atingido quando o custo for o menor.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que uma empresa – cujo faturamento
anual é de R$840 milhões, o custo unitário do produto é de R$350,00 e o preço de venda é de R$420,00 por
unidade – esteja estudando alterar o processo de gestão de qualidade a fim de gerar um aumento de 10% na
quantidade de produtos vendidos. Considerando esse novo cenário de vendas, o incremento no valor do lucro
final é de:
A
R$2 milhões
B
R$14 milhões
C
R$16,8 milhões
D
R$70 milhões
E
R$84 milhões
A alternativa B está correta.
Se o preço de venda é de e o faturamento (receita total) é de R\$\$40.000.000,00, então a
quantidade vendida é igual a 2. unidades ao ano. Com um aumento de nessa
quantidade, a empresa espera vender unidades, o que proporcionará um aumento de 
também no faturamento, que deverá ir para R\$924.000.000,00.
Antes, o custo variável era de 350 ∙ 2.000.000 = 700.000.000 reais.
Ocorrendo o aumento esperado de 10% na quantidade vendida (e produzida), o custo variável irá para
350∙2.200.000 = 770.000.000 reais.
Observe que se espera um incremento de 84 milhões no faturamento e de 70 milhões no custo. No lucro,
portanto, o incremento será de 14 milhões.
Questão 2
(Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de produção (celular, automatizada
e intermitente) e a receita de vendas de determinado produto.
Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a manufatura intermitente é a preferível; entre
10.000 e 43.000, a manufatura celular é a preferível; acima de 43.000, a manufatura automatizada é a
preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as receitas igualam os custos) são de 27.000,
30.000 e 40.000, respectivamente, para as manufaturas celular, automatizada e intermitente. A respeito das
informações anteriores, conclui-se que:
A
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
B
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
C
A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
D
A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
E
Ambas as afirmações são falsas.
A alternativa B está correta.
A primeira afirmação é correta, pois podemos notar que, para cada um dos intervalos citados, as formas de
produção que geram menor custo são aquelas cujos gráficos de custo estão abaixo dos demais, o que
significa que geram maior lucro (já que a função receita independe, nesse caso, da forma de produção).
A segunda também está correta, pois os pontos de equilíbrio para as diferentes formas de produção são
aqueles em que os gráficos das respectivas funções custo interceptam o gráfico da função receita.
No entanto, a segunda afirmativa não justifica a primeira, porque os pontos de equilíbrio comparam cada
modelo de produção com a receita e não entre si.
4. Demanda e a oferta de produtos
Análise das funções demanda e oferta
Neste vídeo, vamos caracterizar as funções de demanda e oferta.
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Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a demanda e a oferta. Delas
deriva o preço de equilíbrio de mercado, que é peça fundamental em diversas análises econômicas.
Demanda ou quantidade demandada 
A demanda ou quantidade demandada de certa utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário é a
soma das quantidades que todos os compradores do mercado desejam e estão aptos a adquirir a esse preço
em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e de uma utilidade é denominada função demanda
dessa utilidade.
A tendência que, geralmente, se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade demandada cai, pois o
produto torna-se menos interessante para o consumidor.
Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir. 
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido.
Oferta ou quantidade ofertada 
A oferta ou quantidade ofertada de uma utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário é a soma das
quantidades que todos os fornecedores ou produtores estão aptos e dispostos a vender desse produto ao
preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e é denominada função oferta dessa utilidade.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que geralmente se observa é que, se
o preço aumenta, a quantidade ofertada aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece.
Porém, se o preço cai, a oferta também tende a cair.
Preço \(P\)
Neste vídeo, vamos caracterizar as funções de demanda e oferta.
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O preço P de uma utilidade para a qual as quantidades demandadae ofertada se igualam é denominado preço
de equilíbrio de mercado ou, simplesmente, preço de equilíbrio.
Preço superior ao de equilíbrio
Se o preço praticado for superior ao de
equilibrio, a demanda será inferior à oferta e,
dessa forma, haverá sobra do produto no
mercado.
Preço inferior ao de equilibrio
Se o preço praticado for inferior ao de
equilíbrio, a oferta será maior que a demanda,
provocando falta ou escassez do produto no
mercado.
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de equilíbrio.
Representação gráfica
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil para facilitar suas análises e a
do ponto de equilíbrio. O gráfico a seguir mostra uma situação genérica que representa tais elementos.
Exemplo
Neste vídeo, vamos dar um exemplo de funções de demanda e oferta e entender como encontrar o ponto de
equilíbrio.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Certo produto tem sua quantidade demanda e sua quantidade ofertada dadas, respectivamente,
por:
e
 é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas graficamente por um segmento
de reta no intervalo designado. Portanto, para traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos de cada.
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo considerado, para calcular os
valores apresentados na tabela a seguir.
Preço (R$) Quantidade Demandada Quantidade Ofertada
100 8.500 1.300
500 2.500 11.300
Tabela: Preço / Quantidade demandada / Quantidade ofertada.
André Luís Corte Brochi.
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para obtê-lo algebricamente, basta
resolver a equação a seguir: 
Esse é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer uma das funções, demanda ou
oferta. Substituindo-o na função demanda, temos:
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Esse ponto, bem como as funções demanda e
oferta, é apresentado no gráfico a seguir.
Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
Falta
À medida que os preços vão se afastando de
R$280,00 para valores menores, a tendência é
que haja falta do produto no mercado, já que a
demanda superará a oferta.
Sobra
No caso de preços maiores que o preço de
equilíbrio, a oferta deverá superar a demanda,
portanto haverá sobra desse produto no
mercado.
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta. Elas podem ser de outros tipos,
como quadráticas, exponenciais, logarítmicas, entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que
fizemos há pouco pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos de funções que caracterizam essas duas
variáveis em relação ao preço.
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no módulo anterior, as funções
demanda e oferta são obtidas por meio de processos estatísticos. Esses, por sua vez, obtêm equações
relacionando duas variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter valores associados dessas variáveis.
Mão na massa
Questão 1
A função demanda , em toneladas, de certo produto é dada por , em que é o seu
preço por tonelada. O seu preço atual proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de :
A
é menor do que R$30,00.
B
é maior do que R$50,00.
C
está entre R$32,00 e R$37,00.
D
está entre R$39,00 e R$45,00.
E
está entre R$30,00 e R$32,00.
A alternativa D está correta.
Igualando a demanda a 80 toneladas, temos:
Questão 2
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
 e 
O ponto de equilíbrio desse produto é:
A
(100; 800)
B
(120; 560)
C
(800; 100)
D
(560; 120)
E
(560; 120)
A alternativa A está correta.
Igualando a demanda e a oferta, o preço de equilíbrio pode ser obtido da seguinte forma:
 .
 .
A quantidade de equilíbrio pode ser dada pelo valor da demanda ou da oferta quando .
Substituindo esse valor na função oferta, temos:
Portanto, o ponto de equilíbrio será: (100; 800).
Questão 3
A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de R$42,00. Sabe-se que a função que
relaciona sua quantidade demanda com seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada aumento de R$1,00
em seu preço unitário causa uma queda de 25 unidades na sua demanda. Denotando por D sua quantidade
demandada e por p seu preço unitário de venda, a função que representa corretamente a relação entre essas
duas variáveis é:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Nessa forma, a é seu coeficiente angular e , seu intercepto. Como a função cai 25 unidades para cada
aumento de R$1,00 no preço, então . Além disso, sabe-se que quando .
Então:
.
Logo, a função procurada é: .
Questão 4
A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu preço de forma linear. Sabe-se
que a redução no preço de R$50,00 para R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para 250 unidades.
Se denotarmos por a quantidade vendida e por o preço do produto, a expressão que relaciona
corretamente essas variáveis é:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
O coeficiente angular dessa reta (função do primeiro grau) é a taxa de variação da quantidade em
relação ao preço. Então:
Como a equação dessa reta tem a forma , com e considerando que é um de
seus pontos, podemos escrever:
 .
 .
 .
A expressão que relaciona corretamente as variáveis e para esse produto é, portanto:
Questão 5
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
 e 
Considerando que as quantidades e são positivas, os valores de preço para os quais haverá sobra
desse bem no mercado será dado pelo intervalo:
A
(0do preço poderia nos levar a concluir pela diminuição da
receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida resultante dessa queda no preço tiver mais peso
sobre a receita, o que podemos concluir?
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e vendida também aumentar. Se o
aumento do preço provoca diminuição na quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação
matematicamente para obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a função demanda para
obter a função receita de uma utilidade.
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de análise e qual sua importância na
determinação de um nível de produção e venda que pode levar ao maior lucro possível.
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável unitário de R$80,00. A sua
quantidade demanda q, em unidades, relaciona-se com seu preço de venda unitário p, em reais, através da
função demanda:
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na forma:
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos obtê-lo a partir da sua relação
com a quantidade q dada pela função demanda. Tomando essa função, podemos isolar a variável p, isto é,
escrever p em função de q. Assim, teremos:
Chave de resposta
Substituindo por , na função , chegamos a:
Essa é uma função quadrática. Seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente do termo quadrático é
negativo, então essa parábola terá concavidade voltada para baixo.
Para obter a função lucro total, fazemos:
Observe que essa também é uma função quadrática representada por uma parábola com concavidade
voltada para baixo, como mostra o gráfico a seguir:
Pela análise, percebemos que, à medida que a quantidade aumenta, há também o aumento do lucro, mas
até certo ponto. Há um ponto em que o lucro atinge seu valor máximo. Isso ocorre no vértice dessa
parábola. Para determinar sua coordenada , podemos utilizar a seguinte fórmula, em que é o
coeficiente do termo e , o coeficiente do termo . Portanto, e .
Sendo assim, temos:
Logo, a quantidade que deverá ser produzida e vendida para que o lucro atinja seu valor máximo é 160
unidades. Qualquer outro valor de levará a um valor menor para . Para calcular qual é o lucro
máximo, podemos substituir esse valor na expressão do lucro, como mostrado a seguir:
 reais
 
 
 
Pode parecer estranho o fato de a quantidade produzida e vendida aumentar e, mesmo assim, o lucro
diminuir. Isso ocorre porque, para aumentar a quantidade, o preço deve cair. Se, por um lado, o aumento da
quantidade tende a provocar aumento da receita e, consequentemente, do lucro, por outro, a diminuição
do preço tende a provocar diminuição da receita e do lucro.
Até certo ponto, o lucro cresce, mas chega um momento em que a diminuição do preço está tendo maior
“força” do que o aumento da quantidade.
Verificando o aprendizado
Questão 1
A função de demanda para certo produto é , onde caixas são demandadas quando é o
preço por caixa.
 
A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a:
A
R$1.560.000
B
R$720.000
C
R$1.980.000
D
R$875.000
E
R$8.000
A alternativa A está correta.
Para obter a função receita total em função da quantidade , devemos, em primeiro lugar, escrever a
função demanda isolando a variável .
Temos, então: 
Substituindo essa expressão na função (receita total) e aplicando a propriedade distributiva,
temos:
Para uma quantidade igual a 200 caixas, temos a receita dada por:
Questão 2
O lucro referente à produção e venda de unidades de certo produto é dado por 
 reais, para variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, o valor máximo de lucro que pode
ser obtido é:
A
R$2.000,00
B
R$2.625,00
C
R$3.000,00
D
R$3.775,00
E
R$4.250,00
A alternativa B está correta.
Como o lucro é expresso por uma função quadrática com , ou seja, seu gráfico é uma parábola com
concavidade voltada para baixo ( , seu valor máximo é a coordenada do vértice . Portanto, o
lucro máximo pode ser obtido da seguinte forma:
.
 .
 reais.
 reais.
5. Conclusão
Considerações finais
Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer profissional, em especial daqueles em
cargo de gestão. Essas taxas nos ajudam a estimar o que acontece com uma grandeza quando outra
grandeza relacionada varia. Podemos reconhecer os períodos de crescimento ou decrescimento de uma
grandeza que acompanhamos. Em especial para os gestores, podemos descrever inúmeras situações onde
esse conhecimento é aplicado. Neste estudo, vimos a aplicação direta nas situações com custo de produção,
receita e lucro (algo bem presente na vida de muitos profissionais!). Também vimos a aplicação direta na
relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da Matemática, mas existem muitas outras!
O importante é que, utilizando esses conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões mais
acertadas em situações futuras.
Podcast
Para encerrar, ouça um breve resumo dos principais tópicos que foram abordados ao longo dos módulos.
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Se quiser gerar gráficos como usamos neste estudo, veja o software Geogebra, um dos mais simples e mais
usados em matemática.
Referências
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática aplicada. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
 
LEITE, A. Aplicações da matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
 
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
 
TAN, S. T. Aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
	Aplicações de funções
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	1. Taxas de variação médias
	Taxa de variação média de \(y\) em relação a \(x\)
	Conteúdo interativo
	Variável dependente
	Variável independente
	Exemplo 1
	Conteúdo interativo
	Exemplo 2
	Conteúdo interativo
	Exemplo 3
	Conteúdo interativo
	Exemplo 4
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Teoria na prática
	Carro em movimento
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Taxas de variação em gráficos
	Análises gráficas e representações geométricas
	Conteúdo interativo
	Exemplo 1
	Conteúdo interativo
	Exemplo 2
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	3. Funções custo, receita e lucro
	Funções custo, receita e lucro totais
	Conteúdo interativo
	Função custo total
	Função receita total
	Função lucro total
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 3
	Questão 4
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	4. Demanda e a oferta de produtos
	Análise das funções demanda e oferta
	Conteúdo interativo
	Demanda ou quantidade demandada
	Oferta ou quantidade ofertada
	Preço \(P\)
	Conteúdo interativo
	Preço superior ao de equilíbrio
	Preço inferior ao de equilibrio
	Representação gráfica
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Falta
	Sobra
	Mão na massa
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências