Demonstração: Transformada de Laplace de \(e^{at}\)A definição formal da Transformada de Laplace de uma função \(f(t)\) é dada pela integral imprópria:\(\mathcal{L}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}e^{-st}f(t)\,dt\)Para \(f(t) = e^{at}\), substituímos na definição:\(\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}e^{at}\,dt\)Podemos agrupar os termos com a base \(e\), somando os expoentes:\(\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int _{0}^{\infty }e^{-(s-a)t}\,dt\)Para resolver a integral imprópria, calculamos o limite quando \(b \to \infty\):\(\lim _{b\rightarrow \infty }\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{b}\)Aplicando os limites de integração (supondo \(s > a\) para que o termo \(e^{-(s-a)t}\) convirja para \(0\) quando \(t \to \infty\)):\(=\lim _{b\rightarrow \infty }\left(\frac{e^{-(s-a)b}}{-(s-a)}-\frac{e^{-(s-a)0}}{-(s-a)}\right)\)Como \(\lim_{b \to \infty} e^{-(s-a)b} = 0\), ficamos com:\(=0-\left(\frac{1}{-(s-a)}\right)\)\(=\frac{1}{s-a}\)Portanto, provamos que:\(\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad \text{para\ }s>a\)