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d) \(-e^{x^2} + C\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x dx\), resultando em 
\(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\). 
 
13. **Problema 13**: Calcule o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta**: a) 1 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor para \(\tan(x)\), que nos 
dá \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\). 
 
14. **Problema 14**: Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
15. **Problema 15**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação**: Essa integral representa a área de um quarto de círculo, cuja área é 
\(\frac{\pi r^2}{4}\) com \(r = 1\). 
 
16. **Problema 16**: Calcule o determinante da matriz \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 
& 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 6 
 d) 4 
 **Resposta correta**: a) 1 
 **Explicação**: O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da 
diagonal principal, que é \(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\). 
 
17. **Problema 17**: Qual é a solução geral da equação \(y' + y = e^{-x}\)? 
 a) \(y = Ce^{-x} + e^{-x}\) 
 b) \(y = Ce^{-x} - e^{-x}\) 
 c) \(y = Ce^{-x} + 2e^{-x}\) 
 d) \(y = Ce^{-x} + x e^{-x}\) 
 **Resposta correta**: d) \(y = Ce^{-x} + x e^{-x}\) 
 **Explicação**: Usamos o método do fator integrante para resolver a equação. 
 
18. **Problema 18**: Calcule a integral \(\int_0^1 x^4 \sin(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{24}\) 
 d) \(\frac{1}{120}\) 
 **Resposta correta**: d) \(\frac{1}{120}\) 
 **Explicação**: Usamos integração por partes repetidamente para resolver a integral. 
 
19. **Problema 19**: Determine o valor do limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 
2x^2}{5x^3 - x}\). 
 a) \(\frac{3}{5}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) 0 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação**: Dividimos todos os termos por \(x^3\) e analisamos o limite. 
 
20. **Problema 20**: Calcule a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\). 
 a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 b) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 c) \(-\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 d) \(\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Resposta correta**: a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Explicação**: Usamos a regra do quociente para calcular a derivada. 
 
21. **Problema 21**: Encontre a integral \(\int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 b) \(\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = e^{3x}\), e a integral se transforma em uma 
forma que pode ser resolvida. 
 
22. **Problema 22**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta**: a) 1 
 **Explicação**: Usamos a definição de derivada de \(e^x\) em \(x = 0\). 
 
23. **Problema 23**: Determine a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)