1V9Y provas 1V9Y

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b) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 c) \(\frac{2x^2}{(x^2 + 1)^2}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). A segunda derivada, 
usando a regra do quociente, resulta em \(f''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = 
\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\). 
 
7. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2 - 3}{4x^3 - x + 1}\)?** 
 a) 0 
 b) \(\frac{5}{4}\) 
 c) \(\infty\) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{4}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^3\), temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{5 + 
\frac{2}{x} - \frac{3}{x^3}}{4 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{5}{4}\). 
 
8. **Qual é a integral de \(\int e^{3x} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 b) \(3 e^{3x} + C\) 
 c) \(e^{3x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{3} e^{x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{ax}\) é \(\frac{1}{a} e^{ax} + C\). Portanto, \(\int e^{3x} \, 
dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C\). 
 
9. **Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)?** 
 a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 **Explicação:** Esta é uma série conhecida, chamada de série de Basileia, que 
converge para \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
10. **Qual é o resultado da derivada de \(g(x) = \tan^{-1}(x)\)?** 
 a) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x}\) 
 d) \(\frac{1}{\sin^2(x)}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan^{-1}(x)\) é dada pela fórmula \(\frac{d}{dx}\tan^{-
1}(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\). 
 
11. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\)?** 
 a) 3 
 b) 4 
 c) 5 
 d) 6 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** Calculando a integral, temos \(\left[x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 
\frac{1}{2}x^2\right]_1^2 = \left(16 - \frac{16}{3} + 2\right) - \left(1 - \frac{2}{3} + 
\frac{1}{2}\right) = 3\). 
 
12. **Qual é o valor de \(\int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral \(\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)\), então \(\left[-
\cos(x)\right]_0^{\pi/2} = -\left(-1 - 1\right) = 1\). 
 
13. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 
2\). 
 
14. **Qual é a integral de \(\int \cos^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 b) \(\sin(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}\sin(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\) para resolver a 
integral. 
 
15. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + 
x\right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}\). 
 
16. **Qual é a derivada de \(h(x) = \sqrt{x} \cdot \ln(x)\)?** 
 a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}} \ln(x) + \frac{1}{x}\sqrt{x}\) 
 b) \(\frac{1}{2\sqrt{x}} \ln(x) + \sqrt{x}\) 
 c) \(\frac{1}{\sqrt{x}} \ln(x) + \frac{1}{2} \sqrt{x}\) 
 d) \(\frac{1}{2\sqrt{x}} \ln(x) + \frac{1}{2} \sqrt{x}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}} \ln(x) + \frac{1}{x}\sqrt{x}\)