Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\)? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

Para calcular a integral \(\int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(4x^3 - 2x^2 + x\). 1. A antiderivada de \(4x^3\) é \(x^4\). 2. A antiderivada de \(-2x^2\) é \(-\frac{2}{3}x^3\). 3. A antiderivada de \(x\) é \(\frac{1}{2}x^2\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(1)\): - Para \(x = 2\): \[ F(2) = 2^4 - \frac{2}{3}(2^3) + \frac{1}{2}(2^2) = 16 - \frac{16}{3} + 2 = 16 - \frac{16}{3} + \frac{6}{3} = 16 - \frac{10}{3} = \frac{48}{3} - \frac{10}{3} = \frac{38}{3} \] - Para \(x = 1\): \[ F(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + \frac{1}{2}(1^2) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \] Convertendo para um denominador comum (6): \[ 1 = \frac{6}{6}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{4}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \] Portanto: \[ F(1) = \frac{6}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] Agora, calculamos a integral: \[ \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{38}{3} - \frac{5}{6} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum (6): \[ \frac{38}{3} = \frac{76}{6} \] Então: \[ \frac{76}{6} - \frac{5}{6} = \frac{71}{6} \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 Nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{71}{6}\), que é aproximadamente 11,83. Parece que houve um erro nas opções ou no cálculo. Por favor, verifique se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta.