85_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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O determinante dela é dado por:
det(A) = cos(θ) cos(θ) – sen(θ)(–sen(θ))
det(A) = cos2(θ) + sen2(θ) = 1 
onde essa última igualdade é uma identidade trigonométrica fundamental. Veja, 
na Figura 1, alguns vetores dessa forma.
2.221.81.61.41.210.80.60.40.20–0.2–0.4–0.6–0.8–1–1.2–1.4–1.6–1.8–2
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
90º
45º
Figura 1. Representação de vetores com coordenadas determinadas por valores de seno 
e cosseno.
A matriz do exemplo anterior é de rotação. Ainda é possível ver a relação 
entre dependência e independência linear e geometria.
Para encerrar este tópico, veja, ainda, um teorema apresentado em Ni-
cholson (2015).
Um conjunto de vetores { } em ℝn é linearmente dependente 
se, e somente se, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação 
linear dos demais.
9O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Combinações lineares e geometria
Na seção anterior, você estudou sobre a relação entre matrizes invertíveis, 
sistemas lineares e independência linear de conjuntos de vetores. Agora, você 
terá maior contato com a geometria dos espaços ℝn e algumas de suas relações 
com conjuntos geradores, dependência e independência linear.
Em continuação ao tópico anterior, um corolário imediato daquele teorema 
pode ser enunciado como em Nicholson (2015).
Corolário: sejam u→ e v→ vetores não nulos em ℝ3 ou ℝ2, então:
1. {u→, v→} é linearmente dependente se, e somente se, os vetores são 
paralelos;
2. {u→, v→} é linearmente independente se, e somente se, os vetores não 
são paralelos.
Esse simples resultado pode nos ajudar a estabelecer alguns testes muito 
úteis para a compreensão de algumas propriedades geométricas. No plano 
euclidiano, por exemplo, é muito importante conhecer quando dois vetores 
são paralelos. Veja o exemplo a seguir.
Considere os vetores v1 = , v2 =
–1
2
10
–20
 Eles são paralelos? Podemos verificar, por 
inspeção direta, se existe α ∈ ℝ, tal que v1 = αv2 . Por outro lado, pelos resultados 
estudados até este ponto, sabemos que tais vetores são paralelos se, e somente se, 
forem linearmente dependentes. E eles assim serão se o determinante da matriz a 
seguir for igual a zero:
A =
–1 10
 2 –20
Temos:
det(A) = –1 × (–20) – (2 × 10) = 20 – 20 = 0
Logo, os vetores são, de fato, paralelos. 
Observe que, em ℝ3 não podemos utilizar determinante para verificar a condição 
de paralelismo.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear10
Uma consequência importante desse corolário é a possibilidade de deter-
minar se duas retas em ℝ2 são paralelas ou não, com o simples cálculo de um 
determinante.
Em ℝ3, temos algumas possibilidades quanto à geometria de espaços 
gerados. Conjuntos com um único vetor não nulo dão origem a retas em 
ℝ3. Conjunto com dois vetores linearmente independentes geram, como su-
bespaços, planos em ℝ3. Por fim, conjuntos com três vetores linearmente 
independentes geram o próprio espaço ℝ3.
Unindo essa informação com a ideia de que, em transformações matriciais, 
as colunas geram o espaço imagem, podemos determinar a geometria do espaço 
imagem por meio da dependência ou independência linear dos vetores coluna 
da matriz da transformação. 
Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz:
A =
 4 1 5
–7 5 –2
 9 –3 6
Qual a geometria do espaço imagem dessa transformação: reta, plano ou todo o 
espaço? Um primeiro teste que podemos fazer é o cálculo do determinante da matriz. 
Se o determinante for diferente de zero, as colunas serão linearmente independentes 
e, portanto, gerariam o espaço.
Obtemos que o determinante da matriz é igual a zero. Logo, as colunas não são 
linearmente independentes, e existem números a, b, c ∈ ℝ, não todos nulos, que 
sejam solução do sistema:
4a + b + 5c =0
–7a + 5b – 2c = 0
9a – 3b + 6c =0
Resolvendo esse sistema linear, pelo método de eliminação gaussiana, por exemplo, 
obtemos a solução a = 1, b = 1, c = –1 Temos, portanto:
1 + 1 – 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
0
0
0
11O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear