280_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Para você entender o procedimento de como realizar a fatoração LU para 
uma dada matriz, considere a seguinte matriz do tipo 2 × 2:
Aplicando-se o método de eliminação de Gauss, você pode multiplicar 
a primeira linha de A por 3 e somar com a segunda linha, obtendo, assim, a 
matriz U:
Essa operação elementar realizada sobre A também corresponde à aplicação 
da matriz elementar obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz 
identidade por 3, depois, somada com a segunda linha:
Veja:
Com efeito, a matriz L é obtida simplesmente por calcular a matriz inversa 
de E:
Nesse caso, se você multiplicar a primeira linha por –3 e, depois, somar 
com a segunda linha:
você já tem, do lado esquerdo, a matriz identidade e, portanto:
13Matrizes elementares e fatoração LU
Logo, a matriz L fica:
Claro que você poderia ter obtido esse mesmo resultado observando que a 
operação elementar sobre linhas contrárias à realizada para obter a matriz U 
é de multiplicar a primeira linha da matriz identidade por –3 e, depois, somar 
com a segunda linha (que tem o mesmo efeito de multiplicar a primeira linha 
da matriz identidade por 3 e, depois, fazer a subtração com a segunda linha):
Assim, onde aparece o fator 3 na matriz elementar E, aparecerá o fator –3 
na matriz L. Desse modo, a fatoração LU para a matriz A é dada por:
De modo geral, para se fazer a fatoração LU de uma dada matriz A, basta 
registrar as matrizes elementares que conduziram à forma escalonada U da 
matriz A e, então, calcular a matriz inversa dessas matrizes elementares, cujo 
produto em ordem invertida delas resulta na matriz L.
Como você já deve ter percebido, a maior parte do trabalho para fazer 
a fatoração LU consiste em encontrar L. No entanto, você pode construir a 
matriz L mais facilmente, notando que:
Observe que, no caso de E1, obtida pela multiplicação do primeiro ele-
mento da matriz identidade por 5 (e cuja ação sobre outra matriz consiste em 
multiplicar o elemento correspondente por 5), a sua matriz inversa, , é 
obtida simplesmente dividindo por 5 o primeiro elemento. Já para a matriz 
elementar E2, obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade 
por 3, que, depois, foi somada com a segunda linha, a sua matriz inversa, 
, é obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade por 3, 
depois subtraída da segunda linha. Em outras palavras, a matriz inversa de 
Matrizes elementares e fatoração LU14
uma matriz elementar corresponde exatamente à operação algébrica inversa 
da matriz elementar. Se a ação da matriz elementar é multiplicar, a matriz 
inversa dividirá; se a ação da matriz elementar é somar uma linha, a matriz 
inversa subtrairá uma linha.
Veja, agora, como a fatoração LU é empregada para se obter a solução de 
um sistema de equações lineares. A representação matricial do sistema é do 
tipo AX = B. Como a matriz dos coeficientes pode ser posta na forma A = LU, 
então, a equação matricial do sistema fica:
LUX = B
Agora, essa equação matricial pode ser separada em outras duas:
LY = B e UX = Y
Desse modo, primeiro você resolve a equação matricial auxiliar LY = B, 
determinando, assim, a matriz Y. Depois, você substitui esse resultado na 
equação matricial UX = Y, determinando a matriz X, e, portanto, resolvendo 
o problema. A vantagem desse processo é que o formato escalonado das 
matrizes L e U permite uma solução direta e rápida para as matrizes Y e X, 
respectivamente. 
Como exemplo de resolução de um sistema de equações lineares pelo mé-
todo da fatoração LU, considere o seguinte sistema de duas equações lineares:
A matriz dos coeficientes é dada por:
cuja fatoração LU está dada logo acima:
U = –1 1
 0 5 L = 1 0
–3 1
,
15Matrizes elementares e fatoração LU