letras com rascunhos QK

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**Explicação:** Usamos a fórmula de Bhaskara \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). 
Aqui, \( a = 1 \), \( b = 3 - 4i \) e \( c = 2 + 5i \). Calculando o discriminante \( b^2 - 4ac \) e as 
raízes, obtemos as raízes corretas. 
 
2. Determine o valor de \( x \) na equação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \) sabendo que uma 
das raízes é \( x = 1 \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** b) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de Horner ou divisão sintética, dividimos \( x^3 - 6x^2 + 
11x - 6 \) por \( x - 1 \) e encontramos o quociente \( x^2 - 5x + 6 \), que fatoramos para 
encontrar as raízes restantes \( x = 2 \) e \( x = 3 \). 
 
3. Resolva a equação \( 2z^2 + 3z + 5 = 0 \) e determine a parte real e imaginária das raízes. 
 a) Parte real: 0, Parte imaginária: ±2 
 b) Parte real: -0.75, Parte imaginária: ±1.5 
 c) Parte real: -0.75, Parte imaginária: ±2.5 
 d) Parte real: 1, Parte imaginária: ±3 
 **Resposta:** c) Parte real: -0.75, Parte imaginária: ±2.5 
 **Explicação:** Aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante \( b^2 - 4ac = 3^2 - 4 
\cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 \). As raízes são \( z = \frac{-3 \pm \sqrt{-31}}{4} \), resultando 
em parte real \( -0.75 \) e parte imaginária \( \pm 2.5 \). 
 
4. Se \( z = re^{i\theta} \) é uma representação polar de um número complexo, qual é a 
forma retangular de \( z^2 \) se \( r = 2 \) e \( \theta = \frac{\pi}{3} \)? 
 a) \( 4 + 4\sqrt{3}i \) 
 b) \( 4 + 2\sqrt{3}i \) 
 c) \( 4 + 0i \) 
 d) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** a) \( 4 + 4\sqrt{3}i \) 
 **Explicação:** Usamos a propriedade de potências na forma polar: \( z^2 = r^2 
e^{i2\theta} \). Assim, \( z^2 = 4e^{i\frac{2\pi}{3}} \). Convertendo para a forma retangular, 
temos \( 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = -2 + 2\sqrt{3}i \). 
 
5. Encontre as raízes da equação \( z^4 + 1 = 0 \). 
 a) \( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 b) \( \pm 1 + i \) 
 c) \( \pm \sqrt{2} + i\sqrt{2} \) 
 d) \( \pm \frac{1}{2} + i\frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 **Explicação:** A equação \( z^4 + 1 = 0 \) pode ser reescrita como \( z^4 = -1 \). As raízes 
são dadas por \( z = e^{i(\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2})} \) para \( k = 0, 1, 2, 3 \), resultando 
nas raízes \( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}, -
\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} \). 
 
6. Resolva a equação \( |z - 3 + 4i| = 5 \) e determine o conjunto de soluções. 
 a) Círculo centrado em \( (3, 4) \) com raio 5 
 b) Círculo centrado em \( (0, 0) \) com raio 5 
 c) Círculo centrado em \( (3, 4) \) com raio 2 
 d) Círculo centrado em \( (0, 0) \) com raio 2 
 **Resposta:** a) Círculo centrado em \( (3, 4) \) com raio 5 
 **Explicação:** A equação \( |z - (3 - 4i)| = 5 \) representa um círculo no plano complexo 
com centro em \( (3, 4) \) e raio 5. 
 
7. Qual é o valor de \( k \) que torna a equação \( z^2 + (k + 2i)z + (1 - k) = 0 \) ter raízes 
reais? 
 a) \( k = 1 \) 
 b) \( k = -2 \) 
 c) \( k = 2 \) 
 d) \( k = 0 \) 
 **Resposta:** b) \( k = -2 \) 
 **Explicação:** Para que as raízes sejam reais, o discriminante deve ser não negativo: \( 
(k + 2i)^2 - 4(1 - k) \geq 0 \). Calculando o discriminante e resolvendo a desigualdade, 
encontramos \( k = -2 \). 
 
8. Se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 1 - 4i \), qual é o valor de \( z_1 \cdot z_2 \)? 
 a) \( 11 - 10i \) 
 b) \( 10 + i \) 
 c) \( 5 - 10i \) 
 d) \( 10 - 5i \) 
 **Resposta:** a) \( 11 - 10i \) 
 **Explicação:** Multiplicamos os números complexos: \( z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 - 4i) = 
2 - 8i + 3i + 12 = 11 - 10i \). 
 
9. Determine o valor de \( z \) na equação \( \frac{z - 1}{z + 1} = i \). 
 a) \( 1 + i \) 
 b) \( -1 + i \) 
 c) \( 1 - i \) 
 d) \( -1 - i \) 
 **Resposta:** a) \( 1 + i \) 
 **Explicação:** Multiplicamos ambos os lados por \( z + 1 \) e isolamos \( z \): \( z - 1 = i(z 
+ 1) \). Resolvendo a equação, encontramos \( z = 1 + i \). 
 
10. Qual é a soma das raízes da equação \( z^3 - 6z^2 + 11z - 6 = 0 \)? 
 a) 6 
 b) 11 
 c) 3 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 6 
 **Explicação:** Pela fórmula de Viète, a soma das raízes de \( az^3 + bz^2 + cz + d = 0 \) 
é dada por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( a = 1 \) e \( b = -6 \), então a soma é \( -(-6)/1 = 6 \). 
 
11. Encontre a parte real e imaginária de \( z = \frac{1 + i}{2 - i} \). 
 a) Parte real: \( \frac{2}{5} \), Parte imaginária: \( \frac{1}{5} \) 
 b) Parte real: \( \frac{1}{5} \), Parte imaginária: \( \frac{2}{5} \) 
 c) Parte real: \( 1 \), Parte imaginária: \( 0 \) 
 d) Parte real: \( 0 \), Parte imaginária: \( 1 \) 
 **Resposta:** a) Parte real: \( \frac{2}{5} \), Parte imaginária: \( \frac{1}{5} \)