Lista Geometria Plana regulares

Prévia do material em texto

POLÍGONOS REGULARES
Fundamentos de Matemática Elementar | 9266
701. Lembrando que no quadrado a diagonal passa 
pelo centro, sendo 8 m o lado do quadrado, 
determine:
 a) a diagonal;
 b) o raio R da circunscrita;
 c) o raio r da inscrita;
 d) o apótema do quadrado.
702. Lembrando que no hexágono regular as diago-
nais maiores passam pelo centro e determi-
nam nele 6 triângulos equiláteros, sendo 6 m 
o lado do hexágono, determine:
 a) a diagonal maior;
 b) o raio R da circunscrita;
 c) o raio r da inscrita;
 d) a diagonal menor;
 e) o apótema do hexágono.
219. Cálculo de lado e apótema dos polígonos regulares
Indicaremos por 
n
 a medida do lado do polígono regular de n lados e por a
n
 a 
medida do apótema do polígono regular de n lados.
Exemplo:
a
4

4 
6 
a
6
a
3

3
Problema 1. Dado o raio do círculo circunscrito, calcular o lado e o apótema do 
quadrado.
.
R
r
.
R
r
POLÍGONOS REGULARES
9 | Fundamentos de Matemática Elementar 273
 703. Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular de 12 m de 
lado nos casos:
 a) quadrado b) hexágono c) triângulo
 704. Determine o lado do polígono regular inscrito em uma circunferência de raio 
6 m, nos casos:
 a) quadrado b) hexágono c) triângulo
 705. Determine o apótema (ou raio da circunferência inscrita) do polígono regular de 
lado 6 m, nos casos:
 a) quadrado b) hexágono c) triângulo
 706. Determine o lado do polígono regular de 6 m de apótema nos casos:
 a) quadrado b) hexágono c) triângulo
 707. Determine o raio da circunferência inscrita no polígono regular, sabendo que o 
raio da circunscrita é 12 m, nos casos:
 a) quadrado b) hexágono c) triângulo
 708. Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular, sabendo 
que o raio da circunferência inscrita é 6 m, nos casos:
 a) quadrado b) hexágono c) triângulo
 709. Dado um triângulo equilátero de 6 cm de altura, calcule:
 a) o raio do círculo inscrito; c) o apótema;
 b) o lado; d) o raio do círculo circunscrito.
 710. No hexágono regular ABCDEF da figura, o lado 
mede 5 cm. Calcule:
 a) o apótema;
 b) o raio do círculo inscrito;
 c) a diagonal AC.
 
 711. Determine a razão entre o perímetro do quadrado inscrito em um círculo de raio 
R e o perímetro do quadrado circunscrito a esse mesmo círculo.
 712. Determine a relação entre os raios de dois círculos, sabendo que no primeiro está 
inscrito um triângulo equilátero e no segundo está inscrito um quadrado, e que os 
perímetros do triângulo e do quadrado são iguais.
 713. Determine a razão entre o apótema do quadrado e o apótema de um hexágono 
regular, inscritos em um círculo de raio R.
 714. Dado o raio R de uma circunferência, calcule o lado e o apótema do octógono 
regular inscrito.
A B
CF
E D
O
364 Fundamentos de Matemática Elementar | 9
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
 668. 3(√√2  √√6 ) cm;
 3√ 4√3  10 cm;
 3√ 4√3  14 cm
 669. Note que  e Ĉ são suplementares. Apli-
cando a lei dos cossenos nos triângulos 
ABD e CBD, obtém-se BD  14 m.
 
670.
 
5
� �
8
x
x
B
5 7
Q
C
x
7
A
P
 1) Considere um ponto Q externo ao triân- 
gulo BQ  5 e CQ  7. Note que 
PBA  QBC (LLL), donde se ob-
tém PB̂Q  60. Então PBQ é equi-
látero. Logo, BP̂Q  60 (  60).
 2) Aplique a lei dos cossenos no PQC.
 Obtém-se   60.
 3)   60,   60 ⇒ BP̂C  120.
 Aplique a lei dos cossenos no BPC.
 Obtém-se x  √129 cm.
 671. 4√2
 672. 3√2
 673. 6√6
 674. a) 3 b) √19
 675. 
3
4
 676. 
8√14 
3 m; 
8√14 
5 m; 
4√14 
3 m
 677. 2√√6 cm; 
√105 
2 cm; 12√√7 cm
 678. 
√m2c2  n2b2  mn(b2  c2  a2)
m  n
 679. 6; 8
 680. 18; 9
 681. Ver teoria, item 206.
 682. Ver teoria, item 207.
 683. Ver teoria, item 209.
 684. Ver teoria, item 210.
Capítulo XVI
 685. a) 60, 30, 30
 b) 36, 72, 108
 686. 15
 687. 9
 688. 360 lados
 689. 156
 691. a) 2 e) 2
 b) 3 f) 3
 c) 4 g) 
n  2
2
 
 d) 5 h) 
n  3
2
 692. 2 160 ou 2 340
 693. 126
 694. 1 800
 695. 18
 696. 2 520
 697. 17
 698. 54
 699. 20 e 24
 700. a) 3√3 m c) √3 m
 b) 2√3 m d) √3 m
 701. a) 8√2 m c) 4 m
 b) 4√2 m d) 4 m
 702. a) 12 m d) 6√√3 m
 b) 6 m e) 3√3 m
 c) 3√3 m
 703. a) 6√2 m b) 12 m c) 4√3m
 704. a) 6√2 m b) 6 m c) 6√3 m
 705. a) 3 m b) 3√3 m c) √√3 m
 706. a) 12 m b) 4√3 m c) 12√3 m
 707. a) 6√2 m b) 6√3 m c) 6 m
 708. a) 6√2 m b) 4√3 m c) 12 m
 709. a) 2 cm
 b) 4√3 cm
 c) 2 cm
 d) 4 cm
3659 | Fundamentos de Matemática Elementar
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
 710. a) 
5√3
2 cm c) 5√√3 cm
 b) 
5√3
2 cm
 711. 
√2
2
 712. 
4√6
9
 713. 
√6
3
 714. R√ 2 	√√√2 ; 
R√ 2 	√√√2
2
 715. 
2
3 
 716. 
1  √5
2 
 717. (√√5  1) m
 718. Vide problema 4 da teoria.
 719. Note que o apótema do decágono regu-
lar, o raio R da circunscrita e a metade do 
lado do decágono formam um triângulo 
retângulo com um ângulo agudo de 18.
 Obtém-se sen 18 = 
√√5  1
4
 .
 720. Vide problema 5 da teoria.
 721. Note que a
5
, 

5
2 e R formam um triângulo 
 retângulo com um ângulo de 36. Daí 
vem:
 sen 36  
√ 10 	2√√5
4
 723. cos 72  
√5  1
4
 cos 54  √ 10 	2√√5
4
 sen 54 	
√5  1
4
 724. Use a lei dos senos, 
5
 e o resultado do 
problema anterior.
 a) sen 72  
√ 2√5  10
4
 b) cos 18  
√ 2√5  10
4
 725. O ângulo central ao qual 
8
 é oposto 
mede 45. Então:   R√ 2 	√√2 .
 726. R  

2 √ 4 	2√√2
 727. √ 4 	2√√2 ; (√2  1); √ 2 	√√2 
 728. a) R  

2 (√√5  1)
 b) AE  √ 5 	2√√5
 c) AC  
5
  

2 √ 10 	2√√5
 d) AD  

2 √ 14 	6√√5
 729. x  
a
2 (√√5  1)
 730. x  
a
2 (√√5  1)
 731. d  

2 (√√5  1) [Use o problema ante-
rior.]
 732. a) Como os triângulos A'AB, B'BC, 
C'CD, D'DE e E'EA são congruentes 
e isósceles de bases AB, BC, CD, DE 
e EA, concluímos que Â'  B̂'  Ĉ'  
	̂D'  ̂E' (1) e por diferença obtemos 
A'B'  B'C'  C'D'  D'E'  E'A' (2).
 De (1) e (2) decorre que A'B'C'D'E' é 
pentágono regular.
 b) Aplique duas vezes o problema 728.
 Obtém-se 

2 (3  √√5 ).
Capítulo XVII
 733. a) 16 m b) 26 cm c) 12 m
 734. a) 45 cm b) 30 cm c) 36 cm
 735. a) 48 cm b) 16 cm
 736. a) 12 m b) 32 m
 737. 205 cm
 738. 280 m
 739. 8 cm
 740. 
5
2 cm
 741. 2 cm