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5 a Lista C-III : Integral Dupla/Tripla em Coordenadas Cartesianas (CC) (questões do: Cálculo, Stewart, Vol 2, 5ª
edição)
I) Integral Dupla em CC
1) Determine: (a)∫
0
5
( y+ xe y )dx e (b)∫
0
1
( y+x e y)dy . R: a)5y + 25.ey/2
2) Calcule a integral iterada:
 a) ∫
0
1
∫
0
1
(u−v )5dudv b) ∫
0
1
∫
0
1
xy √x2+ y2dydx c) ∫
0
2
∫
0
π
r sen2(θ)dθdr R: a) 0 b) (8√2−3)/15
3) Calcule a integral dupla e esboce a região plana de integração:
a) Rcos (x+2 y )dA , R ={(x,y)R2; 0  x   e 0  y  /2} Resp:a) -2 b) (e2-3)/2
b) R(xy .ex
2 y)dA , R = [0,1]x[0,2] 
4) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
 a) ∫
0
1
∫
0
1
(4−x−2 y)dydx b) ∫
0
1
∫
0
1
(4−x2− y2)dxdy
5) Use integral dupla para determinar o volume do sólido que se encontra abaixo do:
 Plano 3x+2y+z=12 e acima do retângulo R = [0, 1]x[-2, 3] Resp: 95/2
6) Qual o volume V do sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 – x2 e pelo plano y = 5?V=640/3
7) Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração:
a ∫
1
2
∫
y
2
xydxdy b) ∫
0
1
∫
x2
x
(1+2 y )dydx Resp: a) 9/8
8) Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
a) D (x3 . y2)dA, D = {(x,y)R2; 0  x  2 e -x  y  x} 
b) Dx3dA, D = {(x,y)R2; 1  x  e, 0  y  ln(x)}
c) D x .cos ⁡( y)dA, D é a região limitada pelas curvas y = 0, y = x2, x = 1.
d) D y3dA, D é a região triangular com vértices (0,2), (1,1), (3,2).
e) D(x.y2)dA, D é limitada pelas curvas x = 0 e x = √1− y2 
f) f) D(2x-y)dA, D é o disco plano B2(0,0)
Sugestões: c) ∫
0
1
∫
0
x2
x .cos ⁡( y )dydx d) ∫
1
2
∫
− y+2
2 y−1
y3 dxdy e) ∫
−1
1
∫
0
√1− y2
x y2dxdy f) ∫
−2
2
∫
−√4−x2
√4−x2
(2 x−y )dydx
9) Determine o volume do sólido que se encontra:
a) Abaixo do paraboloide z = 3x2 + y2 e acima da região limitada pelas curvas y = x e x = y2 – y.
b) Delimitada pelo paraboloide z = x2 + 3y2 e pelos planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0.
c) Limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos x = 0, y = z, z = 0, no primeiro octante.
Sugestões: a) ∫
0
2
∫
y2− y
y
(3 x2+ y2)dxdy b) ∫
0
1
∫
0
y
(x2+3 y2)dxdy c) ∫
0
1
∫
0
√1−x2
y dydx 
10) Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
a) ∫
0
1
∫
4 x
4
f (x , y )dydx b) ∫
0
3
∫
−√9−y2
√9− y2
f (x , y )dxdy c) ∫
1
2
∫
0
ln ⁡( x)
f (x , y )dydx
 R: a) ∫
0
4
∫
0
y/4
f (x , y )dxdy b) ∫
−3
3
∫
0
√9−x2
f (x , y )dydx c) ∫
0
ln2
∫
e y
2
f (x , y )dxdy
11) Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração: 
a) ∫
0
1
∫
3 y
3
ex
2
dxdy b) ∫
0
4
∫
√ x
2
1
y3+1
dydx
12) Determine o valor da integral: D √1−x2− y2dA em que D é o disco x2 + y2  1. R: 2/3
II) Integral Tripla em CC
1. Calcule as integrais triplas:
a) ∫
0
1
∫
0
z
∫
0
x+ z
6xzdydxdz b) ∫
0
3
∫
0
1
∫
0
√1− z2
z .e y dxdzdy c) ∫
0
1
∫
0
z
∫
0
y
z .e− y
2
dxdydz R: a) 1 b) (e3-1)/3 c) 1/4e
2. Determine a integral tripla em E para:
 a)∭
E
2xdV; E={(x , y , z) ;0≤ y≤2 ,0≤ x≤√4− y2 ,0≤ z≤ y }
 b) ∭
E
6 xydV; em que E é a região abaixo do plano z = 1+x+y e acima da região do plano xy limitada por
y=√x , y=0 , x=1.
 c) ∭
E
x2.e y dV, em que E é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y2 e pelos planos z = 0,
 x = 1, x = -1.
 d) ∭
T
xyzdV, T é o tetraedro sólido de vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,0,1).
 R: a) 4 b) 65/28 c) 8/(3e) d) 1/144
3. Encontre a integral das seguintes funções sobre as regiões S do R3 indicadas:
a) f (x , y , z)=x2, S é o tetraedro limitado pelo plano 12x + 20y +15z = 60 e pelos planos coordenados.
b) f (x , y , z)= y , S é o tetraedro do item anterior.
c) f (x , y , z)=1, S é o sólido limitado pelos 3 planos coordenados, pela superfície z=x2+ y2 e pelo 
plano x +y = 1.
R: a) 25 b) 15/2 c) 1/6
4. Expresse a integral ∭
E
f (x , y , z)dVcomo uma integral iterada de seis modos diferentes, em que E é o 
sólido limitado pelas superfícies: a) y=4−x2−4 z2 , y=0 b) x2+ y2=9 , z=−2 , z=2 
5. Qual a massa do sólido limitado pelo cubo E={(x , y , z) ;0≤x ≤a ,0≤ y≤a ,0≤ z ≤a}, com densidade
ρ(x , y , z)=x2+ y2+z2? R: a5
6. Use integral tripla para calcular volume do sólido delimitado pelo cilindro y=x2 e pelos planos y+z = 4 e 
z=0. Esboce o sólido. R: 256/15