Quinta_Lista_de_Exercicios_Geometria_Ana

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Quinta Lista de Exerćıcios - Geometria Anaĺıtica
Prof.
a
Mariana
PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE
1. Verifique se as retas r e s são ortogonais; em caso afirmativo, verifique se são também perpendiculares.
a)r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + γ(−1, 1,−1)
b)r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + γ(1, 0, 1)
c)r :
x− 1
2
=
y − 3
5
=
z
7
e s : X = (1, 3, 0) + γ(0,−7, 5)
2. Dê equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a r nos casos:
a) P = (2, 6, 1) e r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3)
b) P = (1, 0, 1) e r passa por A = (0, 0,−1) e B = (1, 0, 0)
3. Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas
r :



x = 2 + λ
y = λ
z = −1 + λ
e s :
{
x+ y = 2
z = 0
4. Verifique se r é perpendicular a π nos casos:
a)r : X = (3, 1, 4) + λ(1,−1, 1) π : X = (1, 1, 1) + γ(0, 1, 0) + µ(1, 1, 1)
b)r : X = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1) π : X = (1, 1, 1) + γ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1)
c)r :



x = 1 + 3λ
y = 1− 3λ
z = λ
e π : 6x− 6y + 2z − 1 = 0
5. Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano π nos casos:
a)P = (1,−1, 0) π : X = (1,−1, 1) + γ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1)
b)P = (1, 3, 7) π : 2x− 2y + 4z = 1
6. Ache uma equação geral do plano π que passa por P e é perpendicular à reta r nos seguintes casos:
a)P = (0, 1,−1) e r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 1)
b)P = (0, 0, 0) e r passa por A = (1,−1, 1) e B = (−1, 1,−1)
7. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que contém π1 ∩ π2 e é
ortogonal ao vetor (1,1,-1).
8. Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a) X = (1,−3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) e X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1,−1, 0)
b) X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0,−1) + µ(4, 1, 1) e X = (3, 1, 1) + λ(1,−3,−1) + µ(3, 1, 0)
9. Ache uma equação geral do plano por (2, 1, 0) que é perpendicular aos planos x+ 2y − 3z + 4 = 0 e 8x− 4y +
16z − 1 = 0.
10. Dados os planos π1 : x− y + z + 1 = 0, π2 : x+ y − z − 1 = 0 e π3 : x+ y + 2z − 2 = 0. Ache uma equação do
plano que contém π1 ∩ π2 e é perpendicular a π3.
DISTÂNCIAS
1. Calcule a distância entre os pontos P e Q nos casos:
a) P = (0,−1, 0) Q = (−1, 1, 0)
b) P = (−1,−3, 4) Q = (1, 2,−8).
2. Calcule a distância entre o ponto P = (1,−1, 4) e a reta r :
{
x− 2
4
=
y
−3
=
z − 1
−2
(resp. d(r, s) =
√
270
29
).
3. Calcule a distância entre o ponto P = (−2, 0, 1) e a reta r :



x = 3t+ 1
y = 2t− 2
z = t
4. Calcule a distância entre o ponto P = (0,−1, 0) e s :
{
x = 2z − 1
y = z + 1
5. Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
a)r :
{
x =
y − 3
2
= z − 2 e s :
{
x− 3 =
y + 1
2
= z − 2
(resp. d(r, s) = 5
√
30
6
)
b)
x− 1
−2
=
y
1
2
= z e X = (0, 0, 2) + λ(−2, 1
2
, 1)
6. Calcule a distância entre o ponto o plano nos casos:
a)P = (1, 1, 15
16
) e π : {4x− 6y + 12z + 21 = 0
(resp. d(P, π) = 7
2
)
b)P = (1, 1, 15
6
) e π : 4x− 6y + 12z + 21 = 0.
c)P = (9, 2,−2) e π : X = (0,−5, 0) + λ(0, 5
12
) + µ(1, 0, 0).
7. Calcule a distância entre a reta e o plano paralelos nos seguintes casos:
a)r :



x = 1 + t
y = 1 + 3t
z = 1 + 4t
e π : {2x− 2y + z − 10 = 0
(resp. d(r, π) = 3)
8. Calcule a distância entre os planos paralelos nos seguintes casos:
a)π1 : {2x− y + 2z + 9 = 0 e π2 : {4x− 2y + 4z − 21 = 0
(resp. d(π1, π2) =
13
2
)
b)r :



x = 2− λ− µ
y = µ
z = λ
e x+ y + z = 5
2
9. Calcule m para que a distância entre o ponto P = (m, 3m,m − 2) e o plano π : {2x+ y − z + 3 = 0 seja√
6.(resp.m = 1
4
ou m = − 11
4
)
10. Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
11. Ache os pontos de r : x− 1 = 2y = z que equidistam dos pontos A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1).
12. Determine o ponto de π : 2x− y + z − 2 = 0 tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja mı́nima nos casos:
a) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 1)
b) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 2)
13. Ache os pontos da reta r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam
√
6 de π : x− 2y − z = 1.
14. Ache os pontos da reta r : x − 1 = 2y = z que equidistam dos planos π1 : 2x − 3y − 4z − 3 = 0 e π2 :
4x− 3y − 2z + 3 = 0.
15. Ache uma equação geral do plano π que contém a reta r : X = (1, 0, 1) + λ(1, 1,−1) e que dista
√
2 do ponto
P = (1, 1,−1).
16. Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1) e Q = (2, 1, 1) e que dista 1 da reta
r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2).