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Estatísticas e probabilidades
Matematica 1 (Universidade Católica de Moçambique)
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Estatísticas e probabilidades
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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE
FACULDADE DE CIÊNCIAS DE SAÚDES
ANO PROPIDÉTICO
Tema: Probabilidaade
Estudante:
Enock António Muchanga
Docente: 
Tureva Vurande
Beira,12 de Julho de 2022
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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE
FACULIDADE DE CIÊNCIA DE SAÚDE
ANO PROPIDÉTICO
Turma: K
Trabalho de ESTATÍSTICA
Tema: Probabilidade
Nome de estudade: enock Antonio
Apelido: Muchanga
Cartao de estudante n֯-705220769
Trabalho de investigacao de estatististica
 a sre entregue na universidade catolica 
 para fins avaliativo, pelo Dr. Tureva
Docente:
Tureva Vurande
Beira, 12 de julho de 2022
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índice
Introdução………………………………………………………………………………………………4
Probabilidade…………………………………………………………………………………………...5
1.Introdução á probabilidade…………………………………………………………………………...5
2.Conceitos de probabilidade…………………………………………………………………………..5
2.1.Dinição classica…………………………………………………………………………………….5
2.2.Dinição frequencista………………………………………………………………………………..5
2.3.Dinição subjetiva…………………………………………………………………………………...6
3.Espaço amostral e evento…………………………………………………………………………….6
3.1.União de evento…………………………………………………………………………………….6
4.propriedade matematica de probabilidades…………………………………………………………..6
 5Teoria da Contagem…………………………………………………………………………………..7
6.probabilidade condicionda e independente…………………………………………………………...8
6.1.probabilidade condicionada………………………………………………………………………...8
6.2.probabilidade independente………………………………………………………………………...8
Conclusão………………………………………………………………………………………………9
Bibliografia.……………………………………………………………………………………………10
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introdução
Nsete presente trabalho irei debruçar sobre probabilidade, seus conceintos , propriedades e outros.Esse 
trabalho esta organizado em título e subtitulos. Onde encontramos diferentes conceitos e exemplos dos 
calculos de probabilidades.
Neste tema serão apresentados os conceitos base da teoria das probabilidades, área fundamental para o 
desenvolvimento da inferência estatística e também responsável pela modelação de fenómenos cujo 
comportamento depende duma componente aleatória. Encotramos na pagina 5 inrtodução geral sobre 
probabilidades e difinicoes de probabilidade classica, frequentista e subjectiva.
Esperamos q gosta desse trsbalho e boa atenção.
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Probabilidade
1.Introdução
Probabilidade é o estudo de experimentos aleatórios ou não determinísticos. Mas o que é experimento?
Um experimento é qualquer processo de observação. Um experimento pode ser, por exemplo:
• Uma observação meteorológica ou sísmica. Nesse caso temos observações de experimentos
naturais.
• Uma pesquisa de opinião para saber quantos eleitores votarão no candidato x ou y na próxima
eleição ou para saber quantos alunos almoçam no RU (restaurante universitário) da UECE.
• Uma verificação de um exame de sangue ou o teste de fadiga de determinado material da
construção civil são observações de experimentos controlados. 
Nos experimentos mencionados, pode-se notar que a incerteza sempre está presente, o que quer dizer
que, se esses experimentos forem repetidos em condições idênticas, não se pode determinar qual o
resultado que ocorrerá. Tais experimentos são conhecidos como experimentos aleatórios. 
 2.Conceito de Probabilidade
O conceito de probabilidade pode ser definido de diferentes maneiras. De seguida apresentam-se
apenas as definições mais usuais: 
• Clássica ou a priori (Ω finito);
• ou a posteriori;
• Subjetiva. 
2.1.Definição clássica
“Probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis à ocorrência do
acontecimento, ( ), e o número de casos possíveis, n, todos os casos supostos igualmente prováveis.”𝑛 𝐴
Laplace, 1812.
 ( ) = ( )/ 𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 𝑛
Exemplo: Num saco estão 40 bolas das quais 10 são brancas. Extrai-se, aleatoriamente, uma bola. Qual
a probabilidade de a bola ser branca? (Resposta: 10/40.) 
 
2.2.Definição frequencista
 O conceito frequencista de probabilidade é utilizado em experiências aleatórias e independentes que,
possuindo resultados que não são equiprováveis, são, no entanto, suscetíveis de repetição sob as
mesmas condições. Seja ( ) o número de vezes que o acontecimento A ocorre em n repetições de uma𝑛 𝐴
dada experiência, então
 ( ) = lim →∞ ( ) .𝑃 𝐴 𝑛 𝑛 𝐴 𝑛
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 A frequência relativa tende a estabilizar-se em torno de um valor que os frequencistas tomam como o
valor aproximado da probabilidade ( ). Deste modo, os problemas associados com definições a priori𝑃 𝐴
são eliminados.
Exemplo: Na experiência que consiste no lançamento de uma moeda honesta, considere o
acontecimento = saída de coroa. Logo, ( ) = 0,5𝐴 𝑃 𝐴
2.3.Definição subjetiva
Existem experiências aleatórias que não são suscetíveis de repetição sob condições idênticas e cujos
resultados não são igualmente prováveis. Nestes casos é atribuída uma probabilidade subjetiva aos
acontecimentos da experiência aleatória. As probabilidades são interpretadas como expressões do grau
de credibilidade que cada indivíduo atribui à ocorrência dos acontecimentos.
Exemplo: Qual a probabilidade do atual governo se manter inalterado nos próximos 6 meses? 
3. Espaço Amostral e Eventos
Espaço amostral, denotado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
Um resultado particular de S é um ponto amostral. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral
S, ou seja,é um conjunto de resultados possíveis do experimento aleatório. Ao se realizar um
experimento aleatório, se o resultado pertence a um dado evento A, diz-se que A ocorreu. O evento A =
{ a }, em que a S∈ , consistindo do único ponto amostral é o evento elementar.
1. Evento impossível: é o evento igual ao conjunto vazio ( ).∅
2. Evento certo: é o evento igual ao espaço amostral S.
Exemplo1 :
 S = {chove, não chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. 
• Evento A: chove Então, A = {chove} S. O evento A é um subconjunto de S. ⊂
3.1União de eventos 
• A B é o evento que ocorre se e somente se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem.∪
4.Algumas propriedades matemáticas das probabilidades
A partir da Axiomática de Kolmogorov é possível deduzir um conjunto de propriedades matemáticas
das probabilidades, que a seguir se apresentam, para os acontecimentos e definidos em Ω. 𝐴 𝐵
1. A probabilidade do acontecimento impossível é ( ) = 0. 𝑃 ∅
2. Para qualquer acontecimento , a probabilidade desse acontecimento satisfaz a relação, 0 ≤𝐴
( ) ≤ 1. Dado um acontecimento , com probabilidade ( ), a probabilidade do𝑃 𝐴 𝐴 𝑃 𝐴
acontecimento contrário de é ( ) = 1 − ( ).𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐴
3. Dados dois acontecimentos quaisquer e , a probabilidade do acontecimento diferença − 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴
é dada por: ( − ) = ( ) − ( ∩ ). 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵
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4. Introdução às probabilidades | 67 Dados dois acontecimentos quaisquer e , a probabilidade𝐴 𝐵
da união é dada por: ( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ ). 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵
5. Dados dois acontecimentos quaisquer e , a probabilidade da união verifica: ( ) ≤ ( )𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 𝑃 𝐴
+ ( ). Dados dois acontecimentos quaisquer e , se então ( ) ≤ ( ).𝑃 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
 5.Teoria da Contagem
Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas e o segundo pode
ocorrer de n maneiras distintas, dois eventos conjuntamente podem ocorrer de m.n maneiras distintas.
O cálculo da probabilidade de um evento reduz-se a um problema de contagem. Assim é que a Análise
Combinatória tem fundamental importância para se contar o nº de casos favoráveis e o total de casos. 
1 Combinação
O Número de combinações de r elementos combinados p a p sendo p 
Cr,p=r/p!(r-p)!
Exemplo: Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas com um grupo de dez pessoas?
C10,3 =10x9x8x7!/3x2x7!=120.
Resposta:Podemos ter 120 comissões diferentes compostos com 3 pessoas. 
2 Arranjos 
 O número de arranjos de r elementos é calculado por:
Ar,p =r!/(r-p)!
Exemplo: Considerando um grupo de dez pessoas, quantas chapas diferentes podemos ter para uma
eleição de presidente, tesoureiro e secretário?
A10,3=10!/(10-3)!=720
Resposta: Podemos ter 720 chapas diferentes. 
OBS: Quando queremos selecionar r elementos de um conjunto de n elementos distintos sem levar em
conta a ordem, estamos considerando combinações, quando contamos separadamente ordenações
diferentes dos mesmos elementos temos arranjos. 
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6.Probabilidade condicionada e independennte
 Sejam e dois acontecimentos, com Ω e Ω. 𝐴 𝐵 𝐴 ⊆ 𝐵 ⊆
6.1.Probabilidade condicionada 
Definição: Dados os acontecimentos e a probabilidade de ocorrer sabendo que se realizou, ou𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
a probabilidade de condicionada por , é definida por: ( | ) = ( ∩ ) ( ) , se ( ) > 0.𝑨 𝑩 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 𝑃 𝐵
Invertendo a expressão acima, obtém-se a importante relação: ( ∩ ) = ( | ) ( ) = ( | ) ( ),𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴
se ( ) > 0 e ( ) > 0 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
6.2.probabilidade Independente
 Definição: Dois acontecimentos e são independentes se e só se: ( ∩ ) = ( ) ( ), com ( )𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴
≥ 0 e ( ) ≥ 0. Se e são independentes então: 𝑃 𝐵 𝐴 𝐵
• ( | ) = ( ) se ( ) > 0;𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
• ( | ) = ( ) se ( ) > 0; ou seja, o conhecimento da realização de em nada afecta a𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵
probabilidade de se realizar e vice-versa.𝐴
 Probabilidades e Estatística Observação: A independência entre os acontecimentos e implica a𝐴 𝐵
independência entre os acontecimentos e , e , e . Por exemplo: ( ∩ ) = ( − ) = ( )𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴
− ( ∩ ) = ( ) − ( ) ( ) = ( ) − (1 − ( )) = ( ) ( ). 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
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Conclusão
Neste trabalho constanta probabilidade que estuda espermento aleatório ou não determinístico. Esse 
experimentos aleatórios apresenta uma incerteza esta associada à chance de ocorrência que atribuímos 
ao resultado de interesse. 
Espaço amostral, denotado por S. Um resultado particular de S é um ponto amostral.
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral S. E existe os envento certos e impossível e outros 
enventos q abordemos no trabalho.
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Bibliografia
MORETTIN, L.G. Estatística Básica – Vol.1 – Probabilidade. São Paulo: Makron Books, 1999.
STEVENSON,W.J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 1996 
Galvão de Mello, F. (2000). Probabilidades e estatística: conceitos e métodos fundamentais. Vol. I.
Escolar Editora. 
Galvão de Mello, F. (1997). Probabilidades e estatística: conceitos e métodos fundamentais. Vol. 
II. Escolar Editora. 
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