Probabilidade e Estatística

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DRAFT
PETROBRAS
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - MECÂNICA
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - ELÉTRICA
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR - ELETRÔNICA
QUÍMICO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
Probabilidade e Estatística
Questões Resolvidas
QUESTÕES RETIRADAS DE PROVAS DAS BANCAS CESGRANRIO E CESPE
Produzido por Exatas Concursos
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rev.3a
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Introdução
Recomendamos que o candidato primeiro estude a teoria referente a este assunto, e só depois
utilize esta apostila. Recomendamos também que o candidato primeiro tente resolver cada questão,
sem olhar a resolução, e só depois observe como nós a resolvemos. Deste modo acreditamos que este
material será de muito bom proveito.
Não será dado nenhum tipo de assistência pós-venda para compradores deste material, ou
seja, qualquer dúvida referente às resoluções deve ser sanada por iniciativa própria do comprador, seja
consultando docentes da área ou a bibliografia. Apenas serão considerados casos em que o leitor
encontrar algum erro (conceitual ou de digitação) e desejar informar ao autor tal erro a fim de ser
corrigido.
As resoluções aqui apresentadas foram elaboradas pela Exatas Concursos, única responsável
pelo conteúdo deste material. Todos nossos autores foram aprovados, dentre os primeiros lugares, em
concursos públicos relativos ao material elaborado. A organização, edição e revisão desta apostila é
responsabilidade de nossa equipe. A Exatas Concursos e todos seus autores não possuem nenhum
tipo de vínculo com a empresa CESGRANRIO, CESPE ou qualquer outra banca examinadora.
Este material é de uso exclusivo do(a) comprador(a). Sendo vedada, por quaisquer meios e a
qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsa-
bilização civil e criminal.
Faça um bom uso do material, e que ele possa ser muito útil na conquista da sua vaga.
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Índice de Questões
Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2014/2
Q43 (pág. 1), Q62 (pág. 3), Q63 (pág. 5).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2012/1
Q56 (pág. 6), Q57 (pág. 9), Q70 (pág. 10).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2010/2
Q56 (pág. 11), Q59 (pág. 12).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2010/1
Q34 (pág. 14).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2008
Q26 (pág. 15), Q27 (pág. 16), Q28 (pág. 17), Q34 (pág. 19).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cespe - Petrobras 2008
Q67 (pág. 20), Q77 (pág. 22).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - INEA 2008
Q37 (pág. 24).
Prova: Engenheiro(a) de Petróleo - CEPERJ - DRM-RJ 2011
Q22 (pág. 25).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2014/2
Q67 (pág. 26), Q68 (pág. 27).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2012/1
Q60 (pág. 28), Q61 (pág. 29).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2011
Q59 (pág. 30), Q60 (pág. 31).
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Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2010/1
Q19 (pág. 32).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Termoaçu 2008
Q21 (pág. 34), Q22 (pág. 36).
Prova: Engenheiro(a) de Manutenção Pleno - Mecânica - PetroquímicaSuape 2011
Q21 (pág. 37), Q23 (pág. 38).
Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2012
Q61 (pág. 40), Q62 (pág. 41).
Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2011
Q60 (pág. 42), Q68 (pág. 43), Q69 (pág. 44).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2014/1
Q63 (pág. 45), Q64 (pág. 47).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2012/1
Q61 (pág. 48), Q62 (pág. 50).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2011
Q47 (pág. 51), Q49 (pág. 53).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2010/2
Q69 (pág. 54), Q70 (pág. 55).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2010/1
Q12 (pág. 57).
Prova: Profissional Júnior - Engenharia Elétrica - BR Distribuidora 2010
Q68 (pág. 58).
Prova: Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 2012
Q41 (pág. 59), Q45 (pág. 60).
Prova: Engenheiro(a) Júnior: Área Elétrica - Transpetro 2011
Q53 (pág. 62).
Prova: Engenheiro(a) Júnior: Área Elétrica - Transpetro 2008
Q12 (pág. 63), Q13 (pág. 64).
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Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2014/2
Q60 (pág. 65), Q68 (pág. 67).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2012/1
Q70 (pág. 68).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2011
Q70 (pág. 70).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2010/1
Q21 (pág. 69), Q22 (pág. 71).
Prova: Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Refap 2007
Q17 (pág. 72).
Prova: Profissional Júnior - Formação: Engenharia Eletrônica - BR Distribuidora 2008
Q49 (pág. 73).
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2011/1
Q22 (pág. 74), Q24 (pág. 75), Q25 (pág. 76).
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/2
Q21* (pág. 11), Q22 (pág. 77), Q23 (pág. 78).
* Esta mesma questão apareceu na prova de Eng. de Petróleo deste mesmo ano.
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/1
Q4 (pág. 80), Q5 (pág. 81), Q6 (pág. 82), Q7 (pág. 83).
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2008
Q26* (pág. 15), Q28* (pág. 16).
* Estas mesmas questões apareceram na prova de Eng. de Petróleo deste mesmo ano.
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2006
Q35 (pág. 85), Q36 (pág. 86).
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2012
Q23 (pág. 88), Q26 (pág. 87).
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição.reflete a
praticidade da distribuição normal padronizada, pois ela nos permite realizar esses
cálculos utilizando a tabela de distribuição normal.
Então, após definirmos o conceito de distribuição normal padronizada, pos-
suímos o embasamento necessário para resolvermos a questão:
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(A) CORRETA. Observando a equação da variável Z é possível notar que o valor
padronizado representa o número de desvios-padrão pelo qual um valor χ
dista da média, podendo ser “para mais” ou “para menos”.
(B) INCORRETA. Avaliando a justificativa da alternativa anterior, pode-se inferir
que a distribuição normal padronizada é aquela que tem média 0 e desvio-
padrão 1. Sendo assim, a média estará bem ao centro da curva de distribuição
e cada desvio (para mais ou para menos) será representado por uma unidade.
(C) INCORRETA. Quando se avalia a probabilidade de uma variável sob a pers-
pectiva da distribuição normal, sempre se avalia a área sobre a curva e não
um único ponto. É Importante mencionar que esse valor sempre será entre 0
e 1.
(D) INCORRETA. Como a curva de distribuição normal padronizada é simétrica,
ou seja, se dividirmos a curva pela metade, um lado é o “espelho” da ou-
tro. Com isso, conclui-se que valores idênticos acima e abaixo da média são
iguais.
(E) INCORRETA. O Teorema do Limite Central afirma que à medida que o tama-
nho da amostra aumenta, a distribuição das médias da amostra tende para
uma distribuição normal independente do tipo de distribuição. Assim, as mé-
dias das médias das amostras poderão ser consideradas como a média da
população. Além disso, se a distribuição da variável χ for originalmente uma
distribuição normal, então a distribuição das médias amostrais terá distribui-
ção normal para qualquer tamanho amostral de amostra.
�� ��Alternativa (A)
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Questão 25
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Termoaçu 2008)
Para responder às questões seguintes, considere a
tabela abaixo, que mostra a distribuição de freqüência
dos salários mensais, em reais, de 50 funcionários de
uma empresa.
Parte 1
A soma do terceiro quartil com o segundo decil é um valor,
em reais,
(A) abaixo de 7.500.
(B) acima de 7.500, mas abaixo de 8.000.
(C) acima de 8.000, mas abaixo de 8.500.
(D) acima de 8.500, mas abaixo de 9.000.
(E) acima de 9.000.
Salários
(reais)
1.000 - 1.999
2.000 - 2.999
3.000 - 3.999
4.000 - 4.999
5.000 - 5.999
6.000 - 6.999
7.000 - 7.999
Número de
funcionários
2
6
16
11
10
3
2
TOTAL: 50
Resolução:
Esta é uma questão de estatística descritiva, mais especificamente de Me-
didas Separatrizes com distribuição de frequência de classes. Nesta questão será
necessário usarmos somente o conceito de quartis e percentis, pois deseja a soma
destes. Calculando primeiramente o valor do 3◦ quartil, onde a interpretação a ser
feita é de que 75% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do terceiro
quartil. Então, é preciso definir a localização ou a posição p desse quartil cuja
equação é apresentada a seguir:
p =
(n
4
)
q
Onde n é a amostragem, sendo neste caso igual a 50, e q é o número para a deter-
minação do quartil. Utilizamos q = 3, pois deseja se determinar o 3◦Q.Resolvendo
temos:
p =
(
50
4
)
× 3
p = 37, 5
Para identificar a posição do 3◦Q, o candidato precisa visualizar na tabela,
na ordem crescente de salários, onde a soma acumulada dos funcionários esteja
entre 37 e 38. Ou seja, o 3◦Q está exatamente na faixa salarial entre 5.000 e 5.999.
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(Isso também pode ser visualizado calculando as frequências acumuladas relativa
em uma coluna ao lado).
Sabendo onde está localizado o 3◦Q é preciso calcular o valor do mesmo.
Para os dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo das medidas
separatrizes é feito pela equação abaixo:
Q3 = li +
h(p− Fai−1
)
Fi
Onde:
i é a classe modal. (i = 5);
li é o limite inferior da classe modal (li = 5.000);
Fi é a frequência absoluta da classe modal. (F5 = 10);
Fai−1
é a frequência acumulada da classe anterior à da separatriz. (Fa4) = 2 + 6 +
16 + 11 = 35);
h é a amplitude de um intervalo de classe, correspondente à diferença entre o
limite superior e inferior da classe.
Calculando h temos:
h = 5999− 5000 = 999
Com todas as inferências anteriores, podemos calcular o 3◦Q:
Q3 = 5000 +
999× (37, 5− 35)
10
≈ 5.250
Agora, é necessário calcular o 2◦ decil. E para isso será necessário encon-
trar sua posição p utilizando uma equação semelhante a dos quartis:
p = d
( n
10
)
Onde n é a amostragem, sendo neste caso igual a 50, d é o número para a
determinação do decil. Utilizamos d = 2, pois deseja se determinar o 2◦D. Resol-
vendo temos:
p = 2× 50
10
= 10
Da mesma forma como foi feito para identificar a posição do 3◦Q, agora
candidato precisa visualizar na tabela para localizar o local onde a soma dos fun-
cionários fique a posição 10. Ou seja, o 2◦D está na faixa salarial entre 3.000 e
3.999. Dessa forma, sabendo onde está localizado o 2◦D é preciso calcular o valor
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do mesmo. Para isso utiliza a equação que o define:
D2 = li +
h(p− Fai−1
)
Fi
Neste caso agora temos: i = 3; li = 3.000; F3 = 16; Fa2 = 2 + 6 = 8. Já h, o
intervalo de classe, será:
h = 3.999− 3.000
h = 999
Com todas as inferências anteriores, podemos calcular o 3◦Q:
D2 = l3 +
h(p− Fa2)
F3
Assim, a equação se resume ao valor de:
D2 = 3000 +
999×(10− 8)
16
≈ 3.125
Logo, podemos efetuar a soma de Q3 com D2:
Q3 +D2 = 5.250 + 3.125 = 8.375
�� ��Alternativa (C)
Questão 26
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Termoaçu 2008)
Parte 2
A freqüência relativa da classe modal é
(A) 8%
(B) 16%
(C) 24%
(D) 32%
(E) 48%
Resolução:
Para resolver esta questão o candidato precisa localizar primeiro a classe
modal, ou seja, aquela que apresenta maior frequência. Neste caso, claramente
é a de faixa salarial entre R$ 3.000 e 3.999 cujo número de funcionários é 16.
Para calcular a frequência relativa fi% desta classe é necessário utilizar a seguinte
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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equação:
Fi% = 100
Fi
n
Onde Fi é a frequência da classe e n é o tamanho da amostra.
Então, fazendo a substituição dos valores na equação descrita, temos:
Fi% = 100× 16
50
Fi% = 32%
�� ��Alternativa (D)
Questão 27
(Engenheiro(a) de Manutenção Pleno - Mecânica - PetroquímicaSuape 2011)21
O diretor, o gerente e quatro funcionários de uma empresa 
sentam-se em volta de uma mesa circular com 6 lugares 
para uma reunião. Sabendo-se que o diretor e o gerente 
não sentam juntos (um ao lado do outro), o número de 
maneiras diferentes em que essas seis pessoas podem 
ficar dispostas em volta da mesa é
(A) 48
(B) 64
(C) 72
(D) 120
(E) 144
Resolução:
Este é um problema de permutações circulares, entretanto o enunciado é
claro quando afirma que o diretor e gerente não podem sentar lado a lado. Nesse
caso, é necessário descontar essas ocasiões. Iniciaremos a resolução do pro-
blema como se todos pudessem em todos os lugares sem nenhuma restrição.
Utilizaremos a equação clássica para os casos de permutações circulares:
(PC)n = (n− 1)!
Onde n é o número de pessoas envolvidas.
Então, com essa equação podemos calcular o número de maneiras diferen-
tes em que essas seis pessoas possam sentar em torno da mesa. Importante:
aqui não é considerada a restrição imposta no enunciado. Então:
(PC)6 = (6− 1)! = 120
Caso não tivesse sido imposta nenhuma restrição, haveria 120 possibilida-
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des de se alocar as 6 pessoas em torno da mesa. Então, será necessário descon-
tar as ocasiões em que em que o gerente e o diretor estejam juntos. Para isso,
é necessário considerar que o diretor e o gerente sejam um único elemento em
torno dessa mesa. Assim, calculamos o número de possibilidades pela seguinte
equação anterior, mas neste caso usamos n = 5.
(PC)5 = (5− 1)! = 48
Dessa forma, existem 48 possibilidades de o diretor e o gerente sentarem
juntos. Portanto, o número de disposições em que é possível alocar as 6 pessoas
sem que o diretor e gerente sentem juntos é:
P = 120− 48 = 72
�� ��Alternativa (C)
Questão 28
(Engenheiro(a) de Manutenção Pleno - Mecânica - PetroquímicaSuape 2011)23
Um reservatório, completamente fechado e contendo ar, 
está conectado a uma bomba de vácuo. A bomba ligada, 
por um minuto, retira 10% da quantidade de ar desse re-
servatório. Quantos minutos, aproximadamente, a bomba 
deve ficar ligada para retirar 90% da quantidade de ar do 
reservatório? Dado: log3 = 0,477
(A) 10
(B) 14
(C) 18
(D) 22 
(E) 28
Resolução:
Como a cada minuto o tanque perde 10% da quantidade de ar do seu inte-
rior, intuitivamente percebemos que está uma questão de progressão geométrica
(PG). Para facilitar o entendimento desse exercício, pode-se pensar na quantidade
de ar que resta dentro do reservatório e não na quantidade que sai do mesmo.
Então, fazendo uma analogia com o nosso problema do reservatório podemos re-
modelar a equação da PG em:
Vt = V0(0, 9)t
onde Vt é a quantidade de ar restante no reservatório após determinado tempo t
de sucção e V0 é a quantidade de ar no instante inicial, ou seja, no tempo zero
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(Caso em que o tanque está com 100% da quantidade de ar).
A razão da PG é 0,9, pois a cada minuto são retirados 10% do ar em relação
ao minuto anterior, assim podemos dizer que restam 90% do ar em relação ao
minuto anterior. t é a variável de tempo, que neste caso estaremos usando em
minutos.
Com a equação apresentada anteriormente, o candidato tem todas as con-
dições de resolver o problema, pois é necessário saber qual o instante de tempo t
que a quantidade de ar retirado do reservatório atingirá os 90%, ou seja, restando
10% de ar. Relacionando com o equacionamento proposto pela resolução, isto
pode ser traduzido da seguinte forma:
Vt = (0, 1)V0
Aplicando logaritmo nos dois lados da equação original e na sequência uti-
lizarmos suas propriedades obtemos:
log(Vt) = log(V0(0, 9)t)
log(Vt) = log(V0) + log((0, 9)t)
Agora podemos substituir Vt por 0, 1V0:
log(0, 1V0) = log(V0) + t× log(0, 9)
log
(
1
10
)
+ log(V0) = log(V0) + t× log
(
3× 3
10
)
− log(10) = t× (log(3) + log(3)− log(10))
Como log(3) = 0, 477 e log(10) = 1, ficamos com:
−1 = t× (2× 0, 477− 1)
t ≈ 22min
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Questão 29
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2012)
61
Um departamento de uma empresa possui um total 30 engenheiros, sendo 8 engenheiros mecânicos, 10 engenheiros 
civis e 12 engenheiros de produção.
Se um engenheiro é selecionado aleatoriamente para responder a uma entrevista, a probabilidade de que o engenheiro es-
colhido seja de engenharia civil ou de produção é
(A) 1/3
(B) 2/5
(C) 11/15
(D) 22
(E) 120
Resolução:
Este é um caso onde os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja,não
possuem nenhum elemento em comum. Então, para se calcular a possibilidade de
selecionar o engenheiro civil (1) ou de produção (2) basta somar as probabilidades
de que cada um ocorra. Lembrando que o número de engenheiros mecânicos,
civis e de produção são, respectivamente, 8, 10 e 12.
A probabilidade de se escolher um engenheiro civil é:
P (1) =
10
30
A probabilidade de se escolher um engenheiro de produção é:
P (2) =
12
30
Então, para resolver a questão, o candidato precisa aplicar a seguinte equa-
ção:
P (1 ∪ 2) = P (1) + P (2)
P (1 ∪ 2) =
10
30
+
12
30
P (1 ∪ 2) =
22
30
P (1 ∪ 2) =
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Questão 30
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2012)
62
As probabilidades de uma pessoa comprar um compressor industrial e escolher o compressor de parafusos, de lóbulos, de 
palhetas ou de diafragma são respectivamente, 0,10; 0,18; 0,26 e 0,28.
Qual a probabilidade de que determinado cliente compre um desses compressores? 
(A) 0,001
(B) 0,18
(C) 0,20 
(D) 0,82
(E) 1,20
Resolução:
Este é um caso onde os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, não
possuem nenhum elemento em comum. Então, para se calcular a possibilidade de
selecionar um dos compressores mencionados bastam somar as probabilidades
de que cada um ocorra.
A probabilidade de cada um dos compressores está listada abaixo:
• Parafusos: P (1) = 0, 1
• Lóbulos: P (2) = 0, 18
• Palhetas: P (3) = 0, 26
• Diafragma: P (4) = 0, 28
Então, para resolver a questão, o candidato precisa aplicar a seguinte equa-
ção:
P (1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4)
P (1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4) = 0, 1 + 0, 18 + 0, 26 + 0, 28
P (1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4) = 0, 82
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Questão 31
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2011)
60
Uma distribuição discreta de probabilidade que fornece a 
frequência de ocorrência de certos tipos de eventos alea-
tórios, podendo ser usada como aproximação da distribui-
ção binomial, corresponde à distribuição 
(A) geométrica
(B) hipergeométrica
(C) normal
(D) uniforme
(E) de Poisson
Resolução:
A seguir é feita a descrição de cada um dos tipos de distribuição menciona-
dos no enunciado da questão:
(A) INCORRETA. Geométrica: é a distribuição que a avalia uma sucessão de
provas de Bernoulli e uma variável aleatória qualquer. Calcula-se o número
de provas a serem realizadas até que se obtenha sucesso. Importante é que
o sucesso só se busca na última prova a ser realizada, sendo que nos testes
anteriores só ocorram falhas ou insucessos. Então, calcula-se a probabilidade
associada ao sucesso e a do insucesso.
(B) INCORRETA. Hipergeométrica: Este tipo de distribuição de probabilidade dis-
creta que analisa o a probabilidade de se obter sucesso em n extrações em
uma população finita de tamanho N sem que reposição.
(C) INCORRETA. Normal: A distribuição normal é o tipo de distribuição cujo for-
mato da curva é semelhante a um sino invertido. Essa curva é montada a
partir da função de densidade da probabilidade da distribuição normal, po-
dendo pode apresentar diversos comportamentos, como possuir mesmos σ e
diferentes µ, mas também apresentar mesmo µ e diferentes σ. Além disso,
ela pode ser padronizada, onde os cálculos de probabilidade são facilitados,
pois se projeta qualquer análise mediante o uso da variável padronizada Z.
(D) INCORRETA. Uniforme: É a distribuição mais simples de conceituar. A dis-
tribuição uniforme é uma distribuição contínua, utilizada para modelar a ocor-
rência de eventos cuja probabilidade é constante em intervalos de mesma
dimensão (por exemplo: no intervalo [a, b]).
(E) CORRETA. De Poisson: usualmente é aplicada na modelagem do número
de ocorrências de um determinado evento por certo tempo ou por um certo
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volume ou por uma certa área, ou seja aleatório. Podemos utilizar a distribui-
ção de Poisson como uma aproximação da distribuição Binomial quando: o
número de tentativas n for grande e a probabilidade de cada tentativa p, for
muito pequena.
�� ��Alternativa (E)
Questão 32
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2011)
68
De quantos modos oito estagiários de engenharia podem 
ser combinados para formar duas duplas e um grupo com 
quatro estagiários para executar determinada tarefa? 
(A) 8
(B) 420
(C) 1.132
(D) 1.680
(E) 40.320
Resolução:
É necessário separar o raciocínio em duas etapas, a primeira para formar
dois grupos de 4 integrantes cada e a segunda formar duas duplas com os 4 inte-
grantes que restaram da escolha, pois os 4 primeiros já fazem parte do quarteto. O
método a ser utilizado é o produto de duas combinações simples, onde a fórmula
esta apresentada abaixo:
Cp
n =
n!
p!(n− p)!
Então, aplicando os valores do enunciado:
C4
8C
2
4 =
8× 7× 6× 5× 4!
4!× 4!
× 4!
2!× 2!
C4
8C
2
4 = 70× 6
C4
8C
2
4 = 420
Logo, são 420 modos de combinar os estagiários.
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Questão 33
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Mecânica - Transpetro 2011)
69
Em um jantar de confraternização de uma empresa, há 
260 homens, dos quais 80 falam francês, e 180 mulheres, 
das quais 120 falam francês. Um dos convidados será se-
lecionado aleatoriamente para participar de um evento na 
França. 
Qual a probabilidade de esse indivíduo ser homem e falar 
francês? 
(A) 2/3
(B) 2/5
(C) 2/11
(D) 4/13
(E)80
Resolução:
Primeiramente é necessário saber qual e probabilidade do indivíduo ser ho-
mem P (H). Isto pode ser facilmente calculado, pois a soma homens (H) mais
mulheres (M ) é igual a 440. Então a probabilidade desse individuo ser homem é:
P (H) =
H
(H +M)
=
260
440
Já a probabilidade desse homem falar francês (HF ) é obtida através da
divisão do total de homens que estão nesse jantar. Assim, podemos calcula a
probabilidade de se escolher um homem que fale francês;
P (HF ) =
HF
H
=
80
260
Dessa maneira, utilizando o princípio multiplicativo dos princípios fundamen-
tais da contagem, determinamos a probabilidade desse indivíduo ser homem e
falar francês P (HHF ).
P (HHF ) = P (H)× P (HF )
P (HHF ) =
260
440
× 80
260
P (HHF ) =
2
11 �� ��Alternativa (C)
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Questão 34
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2014/1)
Na produção fabril de um componente eletrônico, a probabilidade de um deles sair com defeito é um valor constante para 
qualquer componente fabricado e vale 0,2. Dessa forma, a função de distribuição de probabilidade é discreta e do tipo 
binomial. 
Num lote de 5 componentes fabricados, qual é a probabilidade de 3 saírem defeituosos? 
(A) 0,409
(B) 0,327
(C) 0,204
(D) 0,051
(E) 0,006
Resolução:
Do ponto de vista lógico existem apenas duas possibilidades para a peça
amostrada, ou ela é defeituosa ou não é. Assim, se P (D) = 0, 20, então devido à
complementaridade:
P (D) = 1− P (D) = 1, 00− 0, 20 = 0, 80
Então, todas as combinações possíveis de resultados da amostragem po-
dem ser obtidas pela definição de binômio de Newton:
1 = (P (D) + P (D))5
1 = C5
5P (D)5P (D)0 + C5
4P (D)4P (D)1 + C5
3P (D)3P (D)2+
+ C5
2P (D)2P (D)3 + C5
1P (D)1P (D)4 + C5
0P (D)0P (D)5
De modo que cada um dos termos tem um significado:
C5
5P (D)5P (D)0: probabilidade de cinco amostras defeituosas;
C5
4P (D)4P (D)1: probabilidade de quatro amostras defeituosas e uma não;
C5
3P (D)3P (D)2: probabilidade de três amostras defeituosas e duas não;
C5
2P (D)2P (D)3: probabilidade de duas amostras defeituosas e três não;
C5
1P (D)1P (D)4: probabilidade de uma amostra defeituosa e quatro não;
C5
0P (D)0P (D)5: probabilidade de cinco amostras não defeituosas.
Porém, sabemos que a combinação de n em p vale:
Cn
p =
n!
p!(n− p)!
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Para o caso onde p = 3 defeitos em n = 5 amostras, temos:
C5
3 =
5!
3!2!
C5
3 =
5× 4× 3!
3!2!
C5
3 =
5× 4
2× 1
C5
3 = 10
Temos também que:
P (D)3 = (0, 20)3 = 0, 008
P (D)2 = (0, 80)2 = 0, 64
De modo que:
P (3D, 2D) = C5
3P (D)3P (D)3
P (3D, 2D) = 10× 0, 008× 0, 64
P (3D, 2D) = 0, 0512
Arredondando para baixo, teremos:
P (3D, 2D) = 0, 051
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 35
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2014/1)
Uma tensão elétrica de natureza aleatória incide sobre um circuito elétrico, causando incertezas. A variável aleatória v tem 
a sua função densidade de probabilidade dada em volts assim definida para v:
Qual é o valor médio esperado dessa tensão, em volts?
(A) 7,5
(B) 7,0
(C) 6,8
(D) 6,2
(E) 5,8
Resolução:
O valor esperado, ou esperança, de uma variável aleatória contínua pode
ser obtido através da função densidade de probabilidade através da seguinte inte-
gração:
E[V ] =
∫
−∞
∞f(v)vdv
Uma vez que a densidade de probabilidade é nula fora do intervalo 5uma amostra aleatória (X1, X2, ..., Xn)
de tamanho n, retirada de uma população com média µ e variância σ2. Então a
média X1+X2+...+Xn
n
é uma variável aleatória cuja distribuição aproxima-se de uma
Normal com média µ e variância σ2
n
. ”
No caso deste trabalho, n = 16, µ = 5h2 e σ = 9h2. Defina a variável
aleatória M = X1+X2+...+Xn
n
. Assim, M tem distribuição Normal com média µ e
variância V AR = σ2
n
. Assim, usando a propriedade de que P (A) = 1 − P (Ac) em
que Ac é o complemento de A, temos que
P (M > k) = 1− P (M ≤ k)
Como
P (M ≤ k) = P
(
Z ≤ (k − µ)√
V AR
)
= Φ
(
(k − µ)√
V AR
)
então
P (M > k) = 1− Φ
(
(k − µ)√
V AR
)
Substituindo os valores temos que
P (M > 5, 5) = 1− Φ
5, 5− 5√
9
16
 = 1− Φ
(
2
3
)
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
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789.976.407-63
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Questão 37
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2011)
62
Ao analisar dados coletados de uma certa medida de 
interesse, variando de 0 a 2, o pesquisador observou que 
o histograma tinha a forma de uma parábola restrita a [0,2] 
e assim modelou probabilisticamente a variável, segundo 
uma função de densidade de probabilidade dada por 
O valor de c e a mediana da distribuição são, respectiva-
mente,
(A) 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
Resolução:
Para que f(x) seja realmente uma função densidade de probabilidade, é
necessário que sua integral em todo o limite de definição seja igual a 1. Dessa
forma, temos que ter ∫ 2
0
f(x)dx = 1
ou seja, ∫ 2
0
cx2dx = c
[
x3
3
]2
0
= c× 8
3
= 1
Dessa forma,
c =
3
8
A mediana, denotada por m, é o valor tal que a probabilidade de que a va-
riável aleatória seja maior que m é igual à probabilidade de que a variável aleatória
seja menor que m. Dessa forma, se m é a mediana da distribuição então∫ m
0
cx2dx =
1
2
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Dessa forma, ∫ m
0
3
8
x2dx =
1
2
3
8
×
[
x3
3
]m
0
=
1
2
3
8
× m3
3
=
1
2
m3 = 4
m =
3
√
4
�� ��Alternativa (E)
Questão 38
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2011)
47
Uma transportadora promete entregar mercadorias em, 
no máximo, 24 horas, para qualquer endereço no país. Se 
o prazo das entregas segue distribuição de probabilidade 
normal, com média de 22 horas e desvio padrão de 40 mi-
nutos, o percentual de mercadorias que demoram mais do 
que as 24 horas prometidas para chegar ao seu destino é 
(A) 0,135% 
(B) 0,27%
(C) 0,375% 
(D) 0,73%
(E) 0,95%
Resolução:
O objetivo da questão é calcular a probabilidade de que a entrega ocorra
com mais de 24h. Denotando por T a variável aleatória Tempo de Entrega, o
que deve ser calculado é P (T > 24). Como a probabilidade de que a entrega
ocorra exatamente com 24h é nula (já que trata-se de uma função densidade de
probabilidade) então não há diferença entre se usar > ou ≥. Sendo µ a média da
distribuição T e σ seu desvio padrão, então a probabilidade de que T seja maior
ou igual a um valor k é:
P (T ≥ k) = P
(
Z ≥ k − µ
σ
)
789.976.407-63
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789.976.407-63
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Substituindo os valores e notando que σ = 40min = 2
3
h, temos que
P (T ≥ 24) = P
(
Z ≥ 24− 22
2
3
)
= P (Z ≥ 3)
Usando a propriedade de que P (A) = 1− P (Ac) temos que
P (T ≥ 24) = 1− P (ZQuestão 40
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2010/2)
69
Considere as seguintes distribuições:
IBGE. Pesquisa Perfi l dos Municípios Brasileiros, 2009. (Dados adaptados)
Sabe-se que 1% dos municípios com mais de 100.000 habitantes não possuem unidades de ensino superior, estádios ou 
ginásios poliesportivos, nem cinema. Nessa faixa de população, o número de municípios que possuem as três caracterís-
ticas, é, aproximadamente,
(A) 94 (B) 170 (C) 210 (D) 226 (E) 255
Distribuição do número de municípios
segundo faixas da população
Faixas de população Número de 
municípios
Até 5.000 habitantes 1.267
De 5.001 a 20.000 habitantes 2.675
De 20.001 a 100.000 habitantes 1.356
De 100.001 a 500.000 habitantes 229
Mais de 500.000 habitantes 37
Total de municípios 5.564
Resolução:
Para resolver esta questão é necessário conhecer a seguinte propriedade
das probabilidades: Dados dois eventos A e B vale que
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Esta propriedade pode ser extendida para n eventos. No caso de três even-
789.976.407-63
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tos A, B e C a propriedade é
P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C)
Defina então os seguintes eventos:
A: Cidade com mais de 100000 habitantes possuir unidade de ensino superior.
B: Cidade com mais de 100000 habitantes possuir unidade de ensino ginásio.
C: Cidade com mais de 100000 habitantes possuir unidade de ensino cinema.
Como P (A∪B ∪C) = 99% (já que a probabilidade de que não haja nenhum
dos três lugares é 1%) e aplicando a propriedade apresentada temos que
99% = 81% + 96% + 78%− 64%− 81%− 75% + P (A ∩B ∩ C)
P (A ∩B ∩ C) = 64%.
Como existem 229 + 37 = 266 cidades com mais de 100.000 habitantes,
então o número de cidades em que existe unidade de ensino superior, ginásio e
cinema é de 0, 64× 266 = 170, 24. Aproximando, o resultado fica 170 cidades.
�� ��Alternativa (B)
Questão 41
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2010/2)70
Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na 
primeira situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, 
perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é
(A) 7/16 
(B) 31/64
(C) 1/2
(D) 1/32
(E) 1/64
Resolução:
Esta é uma questão típica em que alguns candidatos perderiam um tempo
precioso da prova fazendo várias contas e analisando diversos cenários possíveis.
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Observe, no entanto, que a moeda é honesta e o conceito de cara e coroa é ape-
nas uma definição. Dessa forma, a probabilidade de vencer o jogo até o sexto
lançamento é igual à probabilidade de perder o jogo até o sexto lançamento. Po-
rém, existe ainda uma outra possibilidade: o jogo não ter terminado até o fim do 6o
lançamento.
Vamos então calcular a probabilidade do evento NT : jogo não ter terminado
até o fim do 6o lançamento. Isso só ocorre se sair cara e coroa alternadamente.
Sendo C(cara) e K(coroa), temos:
• Possibilidade 1: C-K-C-K-C-K, cuja probabilidade de ocorrer é igual a
P1 =
(
1
2
)6
=
1
64
• Possibilidade 2: K-C-K-C-K-C, cuja probabilidade de ocorrer é igual a
P2 =
(
1
2
)6
=
1
64
Logo a probabilidade de que o jogo não tenha terminado até o fim do 6o
lançamento é
P (NT ) = P1 + P2 =
1
64
+
1
64
=
1
32
Definindo os eventos V , D como Vitória e Derrota até o fim do 6o lança-
mento, respectivamente, temos que
P (V ) + P (D) + P (NT ) = 1
Como P (V ) = P (D) então
2P (V ) = 1− P (NT )
2P (V ) = 1− 1
32
2P (V ) =
31
32
P (V ) =
31
64 �� ��Alternativa (B)
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Questão 42
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Elétrica - Petrobras 2010/1)
12
Uma pessoa lança um mesmo dado não viciado duas vezes consecutivas. Como no primeiro lançamento foi obtido o
número 5, qual a probabilidade do resultado ser 3 ou 4 no segundo lançamento?
(A)
1
3 (B)
1
6 (C)
1
12
(D)
1
18 (E) 
1
36
Resolução:
Esta é uma questão de probabilidade condicional. Defina os eventos:
• A: Sair 5 no primeiro lançamento
• B: Sair 2 ou 3 no 2o lançamento
A probabilidade condicional de B dado A é
P (B|A) =
P (A ∩B)
P (A)
Note que P (A ∩ B) = P (A) × P (B), já que os eventos A e B são indepen-
dentes.
Assim,
P (B|A) =
P (A)× P (B)
P (A)
P (B|A) = P (B)
Como para B existem 2 eventos favoráveis de 6 possíveis, então P (B) = 1
3
.
Dessa forma,
P (B|A) = P (B) =
1
3
É bastante intuitivo que o resultado do primeiro lançamento não influencie o
segundo, já que os eventos são independentes.
�� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 43
(Profissional Jr - Engenharia Elétrica - BR Distribuidora 2010)
68
Considerando-se válida a hipótese de que a duração de
um projeto se distribua segundo uma curva normal, a pro-
babilidade percentual desse projeto ter sua conclusão em
um tempo, no máximo, igual ao planejado, é igual a
(A) 40
(B) 50
(C) 60
(D) 70
(E) 90
Resolução:
Essa questão não é muito clara com relação à média da distribuição normal
considerada. No entanto, é natural imaginar que a média da distribuição seja igual
ao tempo de projeto.
Dessa forma, usando a propriedade de simetria da curva normal em relação
à média, a probabilidade de que o tempo seja menor ou igual à média é de 50%,
como apresentado na figura a seguir:
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 44
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 2012)
41
Uma empresa fornecedora de motores foi contratada por uma indústria para providenciar uma encomenda feita por uma 
de suas unidades. A empresa contratada fornece motores de apenas duas marcas: M e N. A marca M é a mais popular e, 
por motivo da grande demanda decorrente de sua popularidade, tornou-se mais rara no mercado. Diante disso, a empresa 
fornecedora avisa aos seus clientes que, para cada motor fornecido, a probabilidade de o mesmo ser da marca M é de 
apenas 25%.
Considerando verdadeiro o aviso dado pela empresa e sabendo que a encomenda realizada pela unidade industrial foi de 
6 motores, qual é a probabilidade de, ao serem entregues, apenas 2 motores serem da marca M?
(A) 1
3
(B) 1
16
(C) 97
4096
(D) 81
4096
(E) 1215
4096
Resolução:
A probabilidade de que os motores 1 e 2 sejam da marca M e os outros 4
da marca N é de
P12 = 0, 25× 0, 25× (0, 75)4
A probabilidade P12 não é a resposta da questão, pois nela foi fixado que os
motores 1 e 2 serão da marca M e os motores 3,4,5 e 6 da marca N. Devemos
então calcular o número de formas possíveis de se escolher 2 motores em um
conjunto de 6 motores, que corresponde à combinação “de 6 escolhem 2”:
C2
6 =
6!
2!× 4!
= 15
Assim, a probabilidade de que exatamente 2 motores sejam da marca M é:
P12 × C2
6 =
1
4
× 1
4
×
(
3
4
)4
× 15
P12 × C2
6 =
1215
4096 �� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 45
(Engenheiro(a) Júnior - Área: Elétrica - Transpetro 2012)45
Uma variável aleatória quantitativa X assume todos os va-
lores numéricos do intervalo real [3,11], e apenas esses. 
Sabe-se que a sua distribuição é simétrica e que sua va-
riância é igual a 2. 
Dessa forma, ao se considerar a variável aleatória Y de-
finida por y = 4.X + 3, a média e o desvio padrão de Y 
serão, respectivamente, iguais a
(A) 10 e 11
(B) 10 e 4 2
(C) 10 e (4 2 3)�
(D) 31 e 11
(E) 31 e 4 2
Resolução:
Como a média é dada por∫ 11
0
xp(x)dx =
∫ 7
0
xp(x)dx+
∫ 11
7
xp(x)dx
Mas como a distribuição é simétrica, p(14−x) = p(x) para todo x no intervalo
[3, 11], e a expressão pode ser reescrita como∫ 11
3
xp(x)dx =
∫ 7
0
xp(x)dx+
∫ 11
7
xp(14− x)dx
Defina então a mudança de coordenadas y = 14 − x. Assim, dy = −dx e
temos que: ∫ 11
3
xp(x)dx =
∫ 7
0
xp(x)dx−
∫ 3
7
(14− y)p(y)dy
Trocando os limites de integração do segundo membro do lado direito temos
que ∫ 11
3
xp(x)dx =
∫ 7
0
xp(x)dx+
∫ 7
3
(14− y)p(y)dy
Juntando as duas integrais (pois elas tem os mesmos limites de integração,
temos que: ∫ 11
3
xp(x)dx =
∫ 7
0
(x+ 14− x)p(x)dx =
∫ 7
0
14p(x)dx
Como p(x) é simétrica em relação à x = 7 então∫ 7
0
p(x)dx =
∫ 14
7
p(x)dx =
1
2
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Assim, ∫ 11
3
xp(x)dx = 7
Logo a média (valor esperado) da variável X é 7. Definindo E(X) como
sendo o valor esperado de X e E(Y ) o valor esperado de Y , temos que
E(Y ) = 4E(X) + 3 = 31
Definido a variância de X como V AR(X) e a variância de Y como V AR(Y )
e usando as propriedades da variância de que
V AR(cX) = c2 × V AR(X)
V AR(X + C) = V AR(X)
temos que:
V AR(Y ) = 42 × V AR(X)
V AR(Y ) = 16× 2
V AR(Y ) = 32
Como o desvio padrão
σ(Y ) =
√
V AR(Y )
σ(Y ) =
√
32
σ(Y ) = 4
√
2
�� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 46
(Engenheiro(a) Júnior: Área Elétrica - Transpetro 2011)53
O gráfico da figura acima mostra a função densidade de 
probabilidade de um experimento com uma variável ale-
atória X.
O valor da amplitude A é
(A) 0,10
(B) 0,15
(C) 0,20
(D) 0,25
(E) 0,30
Resolução:
Para que p(x) seja uma função densidade de probabilidade é necessário
que o valor da integral sobre todo o domínio de definição seja igual a 1. Isso deve
ser verdade para que a probabilidade da união de todos os eventos possíveis seja
igual a 1.
Essa integral é muito simples de ser calculada, por corresponder à área de
um triângulo de base igual a 8 e altura A. Portanto:∫ 8
0
p(x)dx =
1
2
× 8× A
1 = 4A
A =
1
4
A = 0, 25
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
78
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Questão 47
(Engenheiro(a) Júnior: Área Elétrica - Transpetro 2008)
(A)
(A)
(A)
(A)
(A)
2
3
1
4
5
(B)
(B)
(B)
(B)
(B)
(C)
(C)
(C)
(C)
(C)
(D)
(D)
(D)
(D)
(D)
(A)
(A)
(A)
(A)
(A)
2
3
1
4
5
(B)
(B)
(B)
(B)
(B)
(C)
(C)
(C)
(C)
(C)
(D)
(D)
(D)
(D)
(D)
Um candidato fará uma prova com 5 questões de múltipla
escolha. Cada questão possui 4 alternativas, sendo apenas
uma destas a correta. O candidato marcará apenas uma
alternativa em cada questão e não deixará questão em branco.
A figura ilustra duas maneiras diferentes de o candidato pre-
encher cartões-respostas dessa prova.
Parte 1
Quantos são os cartões-respostas distintos que apresen-
tam exatamente 3 respostas certas?(A) 9
(B) 19
(C) 36
(D) 64
(E) 90
Resolução:
Como devem ser 3 questões certas e 2 questões erradas, inicialmente es-
colhemos quais questões estarão corretas e quais estarão erradas. O número de
escolhas possíveis de questões certas é a combinação de 5 escolhem 3, ou seja
C3
5 =
5!
2!× 3!
= 10
Para cada questão correta existe apenas uma solução possível. Para cada
uma das questões erradas existem 3 possibilidades. Suponha que tenhamos fi-
xado as questões corretas (exemplo 1, 2 e 3). Então, o número de formas de
preencher o gabarito com (1,2,3) corretas é 3× 3 = 9 (3 alternativas erradas em 4
e 5).
Como não é necessário que as erradas sejam (1,2 e 3), o número de possi-
bilidades de preenchimento do gabarito é 9× 10 = 90.
�� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 48
(Engenheiro(a) Júnior: Área Elétrica - Transpetro 2008)
Parte 2
Se o candidato decidir assinalar as alternativas dessa prova
de forma totalmente aleatória, qual a probabilidade de que
ele acerte exatamente 4 questões?
(A)
15
1024
(B)
3
1024
(C)
3
512
(D)
3
256
(E)
1
256
Resolução:
Para acertar exatamente 4 questões, é necessário escolher quais as ques-
tões se vai acertar. Existem C4
5 = 5 possibilidades de escolha das quatro questões
(de fato, isso é equivalente a escolher a única questão que será errada). Para
cada uma das 5 possibilidades de questão para errar existem 3 formas de errar
(pois existem 3 alternativas incorretas). Assim, existem 5 × 3 = 15 formas de ga-
baritos possíveis para acertar exatamente 4 questões.
O número total de possibilidades de preencher o gabarito é 45 = 1024, pois
para cada questão existem 4 alternativas possíveis. Dessa forma, a probabilidade
de acertar exatamente 4 questões respondendo-as aleatoriamente é
P =
15
1024 �� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 49
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2014/2)
0
B
�3 0 3
p(i)
i
Uma corrente elétrica de natureza aleatória tem sua função densidade de probabilidade distribuída conforme mostrado no 
Gráfico acima, onde i é uma variável aleatória. Considere, nesse caso, que o valor eficaz ou r.m.s. do sinal de corrente é 
obtido pela expressão 2
rmsI E i� �� � � , onde 	 
E � representa o valor esperado ou expectância da variável aleatória.
Qual é o valor r.m.s. desse sinal aleatório? 
(A) 3
3
(B) 3
2
 (C) 2
2
(D) 3 (E) 2
Resolução:
A função densidade de probabilidade se aplica a variáveis aleatórias contí-
nuas. Para calcular a probabilidade de ocorrência em um determinado intervalo,
calcula-se a integral da função dentro dos limites deste intervalo em questão. Isto
é, a probabilidade de que a variável assuma valores compreendidos no intervalo
equivale à área delimitada pela curva e pelo eixo das abcissas no intervalo consi-
derado.
Sabendo que a probabilidade de um espaço amostral é 1, vale a seguinte
propriedade para a função densidade de probabilidade f(x):∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
Aplicando tal propriedade ao gráfico apresentado, é possível encontrar o
valor de B: ∫ ∞
−∞
p(i)di = 1∫ 3
−3
p(i)di = 1
2
∫ 3
0
Bdi = 1
2Bi
∣∣∣3
0
= 1
2B(3− 0) = 1
B =
1
6
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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O valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância,
de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de
saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio
esperado de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Se todos os eventos
tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.
Para uma variável aleatória contínua X, o valor esperado calcula-se medi-
ante o integral de todos os valores da função de densidade f(x):
E[X] =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
Generalizando, vale o seguinte:
E[g(x)] =
∫ ∞
−∞
g(x)f(x)dx
Para o cálculo de Irms, g(x) = i2:
E[g(x)] =
∫ ∞
−∞
g(x)f(x)dx
E[i2] = 2
∫ 3
0
i2
6
di
E[i2] =
2
6
∫ 3
0
i2di
E[i2] =
1
3
× i3
3
∣∣∣3
0
E[i2] =
1
3
(
33
3
− 0
3
)
E[i2] =
33
32
E[i2] = 3
Inserindo na fórmula de Irms:
Irms =
√
E[i2]
Irms =
√
3
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 50
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2014/2)
Considerem-se os seguintes resultados de uma amostra:
1o quartil = 96; 2o quartil = 102; 3o quartil = 116
• 3 menores valores: 25; 65; 93
• 3 maiores valores: 121; 130; 150
Considerando o box plot, verifica-se que há
(A) um outlier inferior apenas, sendo considerado outlier extremo inferior.
(B) um outlier superior apenas.
(C) um outlier inferior e um superior.
(D) um outlier inferior e dois superiores.
(E) dois outliers inferiores e um superior, sendo um outlier extremo inferior.
Resolução:
Para construir um boxplot ou diagrama de caixa e identificar os outliers, pri-
meiramente é necessário saber a amplitude interquartílica do grupo de dados.
Essa amplitute é dada pela diferença entre o quartil superior e o quartil inferior,
ou seja, Q3−Q1.
Neste caso:
L = Q3−Q1
L = 116− 96
L = 20
Outlier é um dado muito diferente do conjunto, sujeito a ser eliminado do
conjunto. Os valores que estiverem além de Q3+1,5L ou abaixo de Q1-1,5L, são
considerados outliers. Os valores que forem maiores que Q3+3L e menores que
Q1-3L devem ser considerados suspeitos de pertencer à população, devendo ser
investigada a origem da dispersão. Estes outliers são chamados de extremos.
Para este boxplot, osoutliers são os valores abaixo de 66 (96 − 1, 5 × 20)
e acima de 146 (116 + 1, 5 × 20). Analisando os menores e maiores valores que
foram apresentados, é possível perceber dois outliers inferiores (25 e 65) e um
outlier superior (150).
O valor de 25, como está a mais de 3L abaixo do primeiro quartil (Q1) é
considerado um outlier extremo.
�� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 51
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2012/1)
70
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Selecionadas três bolas dessa urna, de forma aleatória e 
sem reposição, qual a probabilidade de que pelo menos 
uma bola de número primo seja selecionada?
(A) (B) (C) (D) (E)
Resolução:
Devemos pensar inicialmente que serão retiradas três bolas. Em cada re-
tirada, temos a chance de o número ser primo ou não-primo. Assim, temos as
seguintes possibilidades:
(NP, NP,NP), (NP, NP,P), (NP, P,NP), (NP, P,P), (P, NP,NP), (P, NP,P), (P, P,NP), (P,
P,P)
Dentre estas, só não nos interessa o primeiro evento, visto que todos os
outros contém no mínimo um número primo. Sabemos que a soma das probabi-
lidades de todos estes eventos ocorrerem deve ser igual a 1, visto que estes são
complementares. Sendo assim, a maneira mais fácil de se resolver este problema
é calcular a probabilidade de o evento 1 não ocorrer, ou seja:
P(mínimo um número primo) = 1− P(NP, NP, NP)
Vale lembrar que temos 4 números primos (2, 3, 5 e 7) e 6 números não-
primos (1, 4, 6, 8, 9, 10), de 1 a 10. Ainda, a retirada das bolas é feita sem
reposição. Assim, temos:
P(mínimo um número primo) = 1−
[(
6
10
)
×
(
5
9
)
×
(
4
8
)]
P(mínimo um número primo) = 1−
(
120
720
)
P(mínimo um número primo) = 1− 1
6
P(mínimo um número primo) =
5
6
OBS: Se fosse feita a soma da probabilidade dos outros 7 eventos, chega-
ríamos ao mesmo resultado.
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 52
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2010/1)
21
Na experiência de lançamento de dois dados, a variável
aleatória observada é a soma dos resultados. Calculam-
se as seguintes probabilidades:
• P1 é a probabilidade de a soma ser igual a 5;
• P2 é a probabilidade de a soma ser maior que 6;
• P3 é a probabilidade de a soma ser maior que 6, sabendo-
se, a priori, que um dos dados apresentou o valor 2.
Com base nessas informações, considere as afirmativas
abaixo.
I – O cálculo de P1 resultou em 1
9
.
II – O cálculo de P2 resultou em 1
2
.
III – P2 é maior do que P3.
É (são) correta(s) a(s) afirmativa(s)
(A) I , apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Resolução:
Sabendo que temos 6 resultados possíveis no lançamento de cada um dos
dados, no lançamento de dois dados teremos ao todo 6× 6 = 36 resultados possí-
veis. Vale lembrar que, devido a natureza aleatória do evento, a probabilidade de
obtenção de cada um dos resultados é a mesma. Sabendo isso, vamos analisar
as afirmativas:
I - Verdadeiro. P1 representa a probabilidade de a soma dos dois resultados
ser igual a 5. Os eventos que resultam nisto são (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Ou
seja, temos 4 eventos possíveis dentre os 36. Assim:
P1 =
4
36
=
1
9
II - Falso. P2 representa a probabilidade de a soma dos dois resultados ser
maior do que 6. Os eventos que resultam nisto são todos exceto (1,1), (1,2),
(1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1).
Ou seja, temos 15 eventos que não são possíveis dentre os 36. Assim:
P2 =
36
36
− 15
36
=
21
36
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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III - Verdadeiro. O número total de resultados possíveis neste caso se reduz a:
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2). Destes,
temos apenas 4 entre os 11 eventos que resultam em uma soma maior do
que 6.
P3 =
4
11
≈ 0, 36
E, no caso de P2, tinhamos:
P2 =
21
36
≈ 0, 58
Portanto, P2 > P3.
�� ��Alternativa (C)
Questão 53
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2011)
70 
Uma pessoa lança repetidamente um dado equilibrado, 
parando quando obtém a face com o número 6. 
A probabilidade de que o dado seja lançado exatamente 
3 vezes é
(A) (B) (C) (D) (E) 
Resolução:
Para que cheguemos exatamente em três lançamentos, é necessário que a
face com o número 6 apareça apenas no terceiro lançamento, cuja probabilidade
é 1 em 6. Desta maneira, o primeiro e o segundo lançamento obrigatoriamente
devem conter um número de 1 a 5, cuja probabilidade é de 5 em 6.
Assim, a probabilidade deste evento ocorrer é:
P =
5
6
× 5
6
× 1
6
P =
25
216 �� ��Alternativa (C)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 54
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Petrobras 2010/1)22
Uma urna contém bolas de cores preta e branca. As bolas
apresentam o mesmo volume, mas foram fabricadas com
dois tipos de materiais, ou seja, madeira e vidro. Sabe-se
que:
• 55% das bolas na urna são pretas;
• 25% das bolas na urna são pretas e de madeira;
• 35% das bolas na urna são brancas e de vidro.
Se uma bola de madeira for retirada da urna, qual será a
probabilidade de ela ser branca?
(A)
1
3
(B)
3
5
(C)
2
7
(D)
5
7
(E)
4
9
Resolução:
Para que o entendimento da questão fique mais claro, vamos supor que a
urna contém 100 bolas. A primeira informação é de que 55% das bolas são pretas.
Em termos de cores, as 100 bolas só podem ser divididas entre pretase brancas.
Sendo assim, teremos 55 bolas pretas e 45 bolas brancas.
A segunda informação é de que 25% das bolas são pretas e de madeira. Ou
seja, teremos 25 bolas pretas e de madeira. Como as 55 bolas pretas só podem
ser ou de vidro ou de madeira, complementarmente teremos 55 − 25 = 35 bolas
pretas e de vidro.
A última informação diz que 35% das bolas são brancas e de vidro. Da
mesma maneira, teremos 35 bolas brancas e de vidro e 45−35 = 10 bolas brancas
e de madeira. Portanto, temos ao todo 25 (pretas) + 10 (brancas) = 35 bolas de
madeira. Destas 35, 10 delas são brancas. Como a bola retirada ja é de madeira,
a chance de ela ser branca é de:
P =
10
35
=
2
7 �� ��Alternativa (C)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 55
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Eletrônica - Refap 2007)
17
Sobre uma mesa, existem exatamente 7 moedas. Agru-
pando-se as caras de duas em duas, não sobra cara alguma
sem estar agrupada. Agrupando-se cada uma das caras com
cada uma das coroas, sobra uma quantidade de moedas,
sem que estejam agrupadas, menor do que 3. O número de
coroas existentes sobre a mesa é:
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
Resolução:
O enunciado informa que temos ao todo 7 moedas, que se dividem entre
cara e coroa. Outra informação que consta é que, agrupando as moedas cara
em grupos de 2, não sobra nenhuma moeda cara. Sendo assim, sabemos que
teremos um número par de moedas cara, o que resulta em três possibilidades:
• 2 caras e 5 coroas;
• 4 caras e 3 coroas;
• 6 caras e 1 coroa;
A última informação fornecida pelo enunciado diz que, o agrupamento de
uma moeda cara com uma coroa, resulta em um número de moedas desagrupadas
menor do que 3. Vamos testar as três possibilidades:
• 2 caras e 5 coroas: Agrupando as duas caras com duas coroas, sobram 3
moedas desagrupadas.
• 4 caras e 3 coroas: Agrupando as três coroas com 3 caras, sobra apenas uma
moeda. Esta é a combinação correta.
• 6 caras e 1 coroa: Agrupando a coroa com uma cara, sobram 5 moedas.
Sendo assim, teremos 4 moedas cara e 3 moedas coroa.
�� ��Alternativa (B)
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789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 56
(Profissional Jr - Eletrônica - BR Distribuidora 2008)
0 4 6 v
B
p(v)
49
O sinal de tensão v recebido em um sistema de comunica-
ções pode ser modelado por uma variável aleatória cuja
função densidade de probabilidade é mostrada na figura
acima. Com base nos dados da figura, a probabilidade de a
tensão do sinal recebido estar compreendida entre 3 e 4
volts é
(A) 0,45 (B) 0,38
(C) 0,29 (D) 0,15
(E) 0,08
Resolução:
O gráfico mostrado na figura simula uma distribuição de probabilidade de
um evento ocorrer. Como no caso de outras distribuições, a área total (neste caso
do triângulo) corresponde a 100% de probabilidade. A área total do triângulo vale:
Atotal =
hb
2
Atotal =
B × 6
2
Atotal = 3B
Para que calculemos a probabilidade de a resposta estar entre 3 e 4, deve-
mos obter a razão entre a área compreendida entre estes pontos e a área total.
Entre 3 e 4, temos um trapézio retângulo. Devemos saber que a altura do ponto 3
valerá 3
4
de B, visto que a tendência é linear até o ponto 4, cuja altura é B. Sendo
assim, a área deste trapézio é:
A3,4 = (4− 3)
(
3B
4
+B
2
)
A3,4 =
(
3B+4B
4
)
2
A3,4 =
7B
8
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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E a razão vale:
A3,4
Atotal
=
(
7B
8
)
3B
A3,4
Atotal
=
7
24
A3,4
Atotal
= 0, 29
�� ��Alternativa (C)
Questão 57
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2011/1)
O registro mensal de mercadorias com peso maior do que 
0,5 kg despachadas por uma transportadora, nos últimos 
8 meses, foi 
7 33 15 21 11 35 7 7
A mediana associada aos dados acima é 
(A) 7 
(B) 13
(C) 15 
(D) 16
(E) 17
Resolução:
Vamos inicialmente colocar os valores em ordem crescente:
7 7 7 11 15 21 33 35
Sabe-se que a mediana é uma medida de tendência central, que representa
50% dos valores de uma distribuição. Em uma distribuição de dados, o procedi-
mento utilizado para a obtenção da mediana é a disposição dos dados em ordem
crescente, sendo que a mediana será aquele valor que se encontra exatamente
na posição central. Na presente questão, temos exatamente 8 dados, portanto
a posição central se dará entre quarto e o quinto termo. Assim, a mediana será
representada pela média entre estes dois valores.
Md =
n4 + n5
2
=
11 + 15
2
=
26
2
= 13
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Questão 58
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2011/1)
Uma transportadora promete entregar mercadorias em, 
no máximo, 24 horas, para qualquer endereço no país. Se 
o prazo das entregas segue distribuição de probabilidade 
normal, com média de 22 horas e desvio padrão de 40 mi-
nutos, o percentual de mercadorias que demoram mais do 
que as 24 horas prometidas para chegar ao seu destino é 
(A) 0,135% 
(B) 0,27%
(C) 0,375% 
(D) 0,73%
(E) 0,95%
Resolução:
Para a resolução desta questão, é necessário que o candidato possua co-
nhecimentos acerca da distribuição normal. O enunciado informa que a média da
distribuição é de 22 horas, com um desvio padrão de 40 minutos. O objetivo da
questão é descobrir o percentual nesta distribuição acima de 24 horas. Sabemos
que este valor de 24 horas equivale à soma da média com três desvios-padrão:
µ+ 3σ = 22 +
40
60
× 3 = 24
Assim, devemos buscar na tabela presente no final da prova o percentual
da distribuição que está dentro deste intervalo de três desvios-padrão (Zc = 3, 0).
Observamos queSujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Probabilidade e Estatística www.exatas.com.br
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011
Q61 (pág. 90), Q64 (pág. 89), Q65 (pág. 92), Q66 (pág. 94), Q67 (pág. 95),
Q68 (pág. 96), Q69 (pág. 97), Q70 (pág. 99).
Prova: Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2006
Q23 (pág. 100), Q24 (pág. 101), Q25 (pág. 102).
Número total de questões resolvidas nesta apostila: 80
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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 Material de uso exclusivo de Ana Paula Reis Morais portador do CPF 789.976.407-63. 
 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Probabilidade e Estatística
Questão 1
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2014/2)
Três filmes devem ser estreados em dias diferentes de 
uma determinada semana (7 dias). 
De quantos modos é possível escolher os dias de exibi-
ção de forma que não haja filmes estreando em dias con-
secutivos?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10 
(E) 12 
Resolução:P3-12-Q43
A maneira elegante de resolver esta questão envolve o primeiro lema de
Kaplansky. Esse lema calcula o número de possibilidades, a partir de um conjunto
de n elementos, de escolher um subconjunto com p elementos não consecutivos,
de acordo com a seguinte fórmula:
Cn−p+1,p
Para este caso, n = 7 dias da semana e p = 3 filmes para estrear:
Cn−p+1,p
C7−3+1,3
C5,3
Calculando a combinação, temos:
C5,3 =
n!
(n− p)! p!
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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 Material de uso exclusivo de Ana Paula Reis Morais portador do CPF 789.976.407-63. 
 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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C5,3 =
5!
(5− 3)! 3!
C5,3 =
5× 4× 3!
2! 3!
C5,3 =
5× 4
2
C5,3 = 10
A idéia por trás de tal lema pode ser explicada da seguinte maneira: em
uma semana de 7 dias, com estréia de 3 filmes, sobram 4 dias sem estréias. Os
4 dias sem estréias são importantes, pois intercalam as estréias de filmes em dias
não-consecutivos. Um dia sem estréia (x) pode ser acompanhado de uma estréia
no seu dia anterior ou posterior. A semana, neste caso, pode ser representada
pela seguinte maneira:
X X X X
Para atender o que a questão pede, os 3 filmes deverão ser alocados em
algum dos 5 espaços vagos em torno dos casas marcadas com X. O número de
maneiras possíveis é calculada através da combinação de 3 em 5 (C5,3). Isso
confirma o primeiro lema de Kaplansky.
Pela força bruta, o candidato também conseguiria a resposta se entendesse
o padrão que a questão descreve. Na tabela abaixo, o X indica um dia de estréia.
Os modos possíveis são:
1 X X X
2 X X X
3 X X X
4 X X X
5 X X X
6 X X X
7 X X X X
8 X X X
9 X X X
10 X X X
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Questão 2
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2014/2)
Dados históricos revelaram que 40% de uma população têm uma determinada característica. Desses 40%, 25% têm o 
perfil desejado por um pesquisador. 
Quantas pessoas devem ser entrevistadas, no mínimo, para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma pessoa 
com o perfil desejado pelo pesquisador seja igual ou superior a 70%?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13 
(E) 14 
Dados
x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
log10(x) 1,000 0,699 0,523 0,398 0,301 0,221 0,155 0,097 0,046
Resolução:P3-12-Q62
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta do nú-
mero de sucessos em uma sequência de n tentativas, tais que as tentativas são
independentes. Cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades: sucesso
ou fracasso. A probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante.
A probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas é dada pela
função:
P (k) =
(
n
k
)
pk(1− p)n−k
Para o problema apresentado, a probabilidade de encontrar o perfil desejado
(sucesso) em cada tentativa é 10% (0,4× 0,25). Dada a diversidade de situações
onde pelo menos uma pessoa desse grupo tem o perfil desejado, será conside-
rada a situação complementar. Vamos tentar descobrir quantas pessoas poderiam
ser entrevistadas para que exista 30% (complementar de 70%) de chance de que
todos os entrevistados fossem dos outros 90% da população.
Neste caso, portanto, n = k, pois todos devem ser do mesmo tipo, ou seja,
não devem ser do perfil desejado. A probabilidade P (k) será 30% e a probabilidade
p de sucesso, como o foco está nos que não tem o perfil, é de 90%. Falta encontrar
789.976.407-63
789.976.407-63
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o valor de n:
P (k) =
(
n
k
)
pk(1− p)n−k
P (n) =
(
n
n
)
pn(1− p)n−n
0, 3 = 1× 0, 9n × (1− 0, 9)0
0, 3 = 0, 9n
log(0, 3) = log(0, 9n)
log(0, 3) = n log(0, 9)
n =
log(0, 3)
log(0, 9)
n =
−0, 523
−0, 046
n ≈ 11, 4
Esse é o resultado conseguido usando a tabela de logaritmos que a questão
fornece. Porém, como o número de entrevistados é um número inteiro, e a proba-
bilidade de sucesso deve ser igual ou superior aos 70%, é necessário arredondar
o resultado encontrado para cima, logo n = 12. Do ponto de vista matemático,
como trata-se de uma desigualdade e queremos um número natural, o próximo
valor inteiro é 12.
�� ��Alternativa (C)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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-6para este valor de Zc, temos p = 49865. Este valor, somado
com os 50000 referentes à toda população abaixo da média (que possui um tempo
menor do que 22 horas), nos permite calcular a probabilidade de um tempo de
entrega da mercadoria menor do que 24 horas:
pmenor =
49865 + 50000
10000
pmenor =
99865
10000
pmenor = 0, 99865
Como estamos interessados na população com um tempo de entrega acima
de 24 horas, temos:
pmaior = 1− pmenor
pmaior = 1− 0, 99865
pmaior = 0, 00135 = 0, 135%
�� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 59
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2011/1)
Um carteiro decide registrar o número de cartas enviadas 
a um endereço nos últimos 7 dias. No entanto, ele se es-
quece do número de cartas do primeiro dia, lembrando-se 
apenas daqueles correspondentes aos 6 dias restantes: 
3, 5, 4, 5, 4 e 3, e de que, nos 7 dias considerados, a mé-
dia, a mediana e a moda foram iguais.
O número de cartas enviadas no primeiro dia foi 
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Resolução:
Vamos inicialmente colocar os 6 dados que possuímos em ordem crescente:
3 3 4 4 5 5
Devemos identificar inicialmente a mediana desta distribuição (que é o va-
lor que ocupará a posição central da distribuição), lembrando que ainda falta um
termo. Como a distribuição será composta por sete valores, o valor de posição
central será aquele na posição de número quatro. Façamos algumas hipóteses:
n 3 3 4 4 5 5
3 n 3 4 4 5 5
3 3 n 4 4 5 5
3 3 4 n 4 5 5
3 3 4 4 n 5 5
3 3 4 4 5 n 5
3 3 4 4 5 5 n
Observamos que, indepententemente do número de cartas do primeiro dia,
o valor na posição central (ou seja, a mediana da distribuição) será sempre igual
a 4. Como o enunciado informa que a mediana será igual à média da distribuição,
temos:
µ =
n+ 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5
7
4 =
n+ 24
7
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789.976.407-63
789.976.407-63
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28 = n+ 24
n = 4
Assim, obtemos que o número de cartas enviadas no primeiro dia é igual a
4. Para comprovar, a moda da distribuição também vale 4 (o valor 4 aparece três
vezes, enquanto 3 e 5 aparecem duas vezes cada), como era esperado.
�� ��Alternativa (C)
Questão 60
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/2)
O tempo médio de permanência dos 600 empregados de uma empresa é de 5 anos com coeficiente de variação de 60%.
O Box-plot seguinte apresenta a distribuição do tempo de permanência. 
O número de empregados que permanecem na empresa entre 6 e 8 anos, e o desvio padrão para o tempo, em anos, de 
permanência são, respectivamente,
(A) 300 e 6 
(B) 300 e 3
(C) 150 e 6
(D) 150 e 3
(E) 60 e 3
Resolução:
Para a resolução desta questão, é necessário que o candidato tenha conhe-
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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cimento acerca da representação Box plot. Sabe-se que o valor que representa
50% da população (a mediana) é indicado pela barra em negrito na representa-
ção. No nosso caso, a mediana é de 6 anos. Os quartis inferior e superior são
representados pelos limites das caixas na representação, ou seja, 25% da popula-
ção é indicada pelo limite inferior da caixa (2 anos), e 75% da população é indicada
pelo limite superior (8 anos).
Com base nisto, podemos responder o primeiro item da questão, pois sabe-
mos que 50% da população permanece 6 anos na empresa e 75% permanece 8
anos. Assim, temos 75 - 50 = 25% da população, que é de 600 empregados, neste
período, o que totaliza 150 funcionários. Para obtermos o desvio padrão, devemos
utilizar o coeficiente de variação e a média, que são dados no enunciado:
Cv =
σ
µ
σ = Cvµ
Como temos o coeficiente de variação e a média, temos:
σ = 0, 6× 5
σ = 3, 0
�� ��Alternativa (D)
Questão 61
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/2)
Suponha que a temperatura de destilação de um determinado derivado do petróleo não possa ultrapassar 300 oC. 
Três colunas de destilação, C1, C2 e C3, operam segundo uma distribuição normal com parâmetros apresentados na tabela 
a seguir.
Sabendo-se que p1, p2 e p3 são as probabilidades de cada uma das colunas C1, C2 e C3, respectivamente, ultrapassar o 
limite máximo, conclui-se que
(A) p1 > p3 > p2
(B) p2 > p1 > p3
(C) p2 > p3 > p1
(D) p3 > p1 > p2
(E) p3 > p2 > p1
Coluna Média Desvio 
padrão
C1 200 oC 50 oC
C2 250 oC 80 oC
C3 220 oC 100 oC
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Resolução:
Para analisarmos esta questão, devemos notar que a probabilidade de a
temperatura exceder o limite máximo será dado pela probabilidade da distribuição
não estar dentro do limite, ou seja:
pfora = 1− pdentro
Sabendo que em uma distribuição normal, quanto mais desvios-padrão,
maior a probabilidade de a distribuição estar dentro da curva normal. Com base
nisto, vamos analisar cada coluna.
Coluna 1: Observa-se que a temperatura de 300◦C neste caso é atingida pela
soma da média com dois desvios-padrão. Assim, teremos
p1 = 1− p(Zc=2)
Coluna 2: Observa-se que a temperatura de 300 ◦C neste caso é atingida pela
soma da média com 50
80
= 0, 625 vezes o desvio padrão. Assim, teremos
p2 = 1− p(Zc=0,625)
Coluna 3: Observa-se que a temperatura de 300◦C neste caso é atingida pela
soma da média com 80
100
= 0, 8 vezes o desvio padrão. Assim, teremos
p3 = 1− p(Zc=0,8)
Assim, podemos fazer as seguintes análises:
p(Zc=2,0) > p(Zc=0,8) > p(Zc=0,625)
Portanto, de maneira complementar:
p2 > p3 > p1
�� ��Alternativa (C)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 62
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/1)
As medidas de volume de enchimento de uma máquina de
envase de óleo lubrificante apresentam distribuição nor-
mal, com média de 500 ml e variância de 4 ml2. A
especificação estabelece um volume de (500 +/- 5) ml. Qual
a probabilidade de o volume envasado ficar fora da
especificação?
(A) 0,62%
(B) 1,24%
(C) 10,56%
(D) 21,12%
(E) 78,87%
Resolução:
Para a resolução desta questão, é necessário que o candidato possua co-
nhecimentos acerca da distribuição normal. O enunciado informa que a média da
distribuição é de 500mL, com uma variância de 4mL2. Sabemos que a variância é
igual ao desvio padrão ao quadrado, temos:
σ2 = 4
σ = 2
Assim, o desvio padrão da distribuição é de 2mL. O objetivo da questão é
descobrir a probabilidade do volume de uma amostra com média igual e desvio
padrão de 5mL estar fora desta distribuição normal. Sabemos que este valor ex-
cede em 2,5 vezes (5
2
) o desvio padrão da distribuição, portanto Zc = 2, 5. Pela
tabela presente no final da prova, a probabilidade correspondente é de p = 0, 9938.
Como o gráfico é simétrico e o volume padrão da amostra é de mais ou menos
5mL, devemos descontar o valor da média e multiplicar a probabilidade por 2, visto
que o volume pode também estar fora da curva para valores menores. Assim, a
probabilidade vale:
pdentro = (0, 9938− 0, 5)× 2 = 0, 9876
Como estamos interessados na probabilidade do valor estar fora da curva:
pfora = 1− pdentro
pfora = 1− 0, 9876
pfora = 0, 0124 = 1, 24%
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 63
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/1)
A resistência à compressão de uma amostra de cimento
pode ser modelada por uma distribuição normal com uma
média de 6.000 quilogramas por centímetro quadrado e
um desvio padrão de 100 quilogramas por centímetro qua-
drado. Qual o valor da resistência máxima, em Kg/cm2 ,
que é excedida por 97,5% das amostras?
(A) 6.196
(B) 6.165
(C) 5.835
(D) 5.804
(E) 5.700
Resolução:
Esta é uma questão de distribuição normal. Inicialmente, devemos identificar
o percentual da distribuição inclusa na curva normal, que será de:
p =
100− 97, 5
100
p = 0, 025
Devemos localizar na tabela presente no final da prova o valor de Zc cor-
respondente a uma probabilidade de 2,5% (p = 0, 025). Observando a tabela,
identificamos Zc = −1, 96. Com base nisto, sabemos que este valor será composto
pela soma da média com −1, 96 vezes o desvio padrão:
n = µ− 1, 96σ
n = 6.000− 1, 96× 100
n = 6.000− 196
n = 5.804
kg
cm2
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 64
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/1)
Considerando os dados apresentados no gráfico de distri-
buição de frequências acima, a média, a mediana e a moda
são, respectivamente,
(A) 48, 40, 40 (B) 40, 40, 40
(C) 48, 50, 40 (D) 40, 50, 50
(E) 48, 50, 50
6
5
4
3
2
1
0
10 20 30 40 50 60 70 80
Dados
Gráfico de Distribuição de Frequências
F
re
q
u
ê
n
ci
a
s
Resolução:
Observamos que a distribuição presente no enunciado da questão apre-
senta os dados em um gráfico de frequência. O primeiro parâmetro que pode
ser obtido diretamente do gráfico é a moda, que representa o valor que aparece
com maior frequência. Observamos que o valor de 40 é o que apresenta maior
frequência (igual a 5), portanto a moda da distribuição é igual a 40.
Mo = 40
A mediana da distribuição é aquele valor que representa 50% da popula-
ção. Para a obtenção deste, vamos calcular primeiramente a soma de todas as
frequências absolutas. Fazendo este procedimento, temos que a frequência total
vale:
F = 1 + 0 + 1 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 = 15
Sendo assim, o valor central desta ditribuição será aquele do oitavo termo
(pois separa 7 termos para cada lado). Observando isto, vemos que o oitavo termo
tem valor igual a 50, ou seja, a mediana da distribuição vale 50.
Md = 50
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Por último, a média da distribuição é calculada pela seguinte fórmula:
µ =
80∑
i=10
fixi
F
µ =
(1× 10) + (0× 20) + (1× 30) + (5× 40) + (3× 50) + (3× 60) + (1× 70) + (1× 80)
15
µ =
720
15
µ = 48
�� ��Alternativa (C)
Questão 65
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2010/1)
Os dados abaixo são os resultados das últimas competi-
ções de cinco corredores do circuito de rua da sua cidade.
Considerando o histórico de desempenho de cada atleta,
qual deles apresenta maior regularidade de resultados?
(A) Antônio (B) João
(C) Pedro (D) Francisco
(E) José
Competição
1
2
3
4
Antônio
2h 25min
2h 15min
2h 30min
2h 10min
João
2h 30min
2h 35min
2h 31min
2h 40min
Pedro
2h 15min
2h 27min
2h 30min
2h 20min
Francisco
2h 20min
2h 35min
2h 35min
2h 30min
José
2h 30min
2h 27min
2h 31min
2h 20min
Resolução:
Devemos observar que, quanto maior for a variância de uma determinada
distribuição, maior é a dispersão dos dados, ou seja, menos regular é esta dis-
tribuição. Da mesma maneira, quanto menor for a variância da distribuição, mais
regular é esta. Sendo assim, vamos calcular inicialmente a média do tempo de
cada um dos atletas:
µ =
4∑
i=1
xi
n
Calculando para o primeiro atleta (convertendo os tempos em minutos), te-
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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mos:
µ1 =
((2× 60) + 25) + ((2× 60) + 15) + ((2× 60) + 30) + ((2× 60) + 10)
4
µ1 =
145 + 135 + 150 + 130
4
µ1 = 140
Fazendo o mesmo procedimento para os outros atletas, obtemos:
µ2 = 154
µ3 = 143
µ4 = 150
µ5 = 147
Agora, devemos calcular a variância das distribuições:
σ2 =
4∑
i=1
(xi − µ)2
n
Calculando para o primeiro atleta, convertendo os tempos em minutos:
σ2
1 =
(145− 140)2 + (135− 140)2 + (150− 140)2 + (130− 140)2
4
σ2
1 =
25 + 25 + 100 + 100
4
σ2
1 = 62, 5
Fazendo o mesmo procedimento para os outros atletas, obtemos:
σ2
2 = 15, 5
σ2
3 = 34, 5
σ2
4 = 37, 5
σ2
5 = 18, 5
Assim, pode-se concluir que o segundo atleta (João) é o mais regular.
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 66
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2006)
Parâmetros Método 1 Método 2
Média 0,98 0,98
Mediana 0,51 0,78
Desvio padrão 0,18 0,36
Variância 0,03 0,13
Uma determinada propriedade de amostras de petróleo,
provenientes de vários poços, foi determinada por dois métodos
normatizados diferentes. Alguns parâmetros obtidos a partir
destes resultados estão apresentados na tabela abaixo.
Analisando apenas a tabela, foram feitas as afirmativas a
seguir.
I - O desempenho de ambos os métodos é diferente.
II - A distribuição dos dados é normal em ambos os métodos.
III - A repetitividade do Método 1 é melhor do que a do
Método 2.
IV - As variâncias são estatisticamente equivalentes.
Estão corretas apenas as afirmativas:
(A) I e II (B) I e III
(C) II e III (D) II e IV
(E) III e IV
Resolução:
Vamos analisar cada uma das afirmativas:
I - VERDADEIRA. Apesar de a média ser igual nos dois métodos, os outros
parâmetros estatísticos diferem, especialmente com relação à dispersão dos
dados. Sendo assim, o desempenho dos dois métodos são diferentes.
II - FALSA. Em uma distribuição normal, os valores de média, mediana e moda
são iguais. Como pode ser visto na tabela presente no enunciado, isto não
acontece nos métodos em questão.
III - VERDADEIRA. O método 1 apresenta um menor valor de desvio padrão e
variância, ou seja, os seus dados estão menos dispersos. Sendo assim,
existe uma maior probabilidade de que os valores se situem mais perto da
média.
IV - FALSA. Observa-se que há uma diferença significativa nos valores de va-
riância entre os dois métodos. Sendo assim, estas não são consideradas
estatisticamente iguais.
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 67
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Petrobras 2006)
Supondo que os valores de índice acidez de amostras de pe-
tróleo apresentem distribuição normal, um desvio padrão de
0,06 mg de KOH/g e média igual a 0,79 mg de KOH/g é corre-
to afirmar, em relação aos dados de índice de acidez, que:
(A) 68% estão entre 0,70 e 0,88 mg de KOH/g.
(B) 68% estão entre 0,76 e 0,82 mg de KOH/g.
(C) 95% estão entre 0,33 e 1,25 mg de KOH/g.
(D) 95% estão entre 0,69 e 0,89 mg de KOH/g.
(E) 99,7% estão entre 0,61 e 0,97 mg de KOH/g.
Resolução:
Para que o candidato resolva esta questão, é necessário que o mesmo te-
nha conhecimento acerca da distribuição normal. Neste tipo de distribuição, a
curva gaussiana que a representa possui algumas propriedades. A área que vai
de menos um até mais um desvio padrão representa de 68% do conjunto. No caso
de dois desvios padrão, a representação passa a ser em torno de 95%, enquanto
que três desvios padrão cobrem cerca de 99,7%.
Sabendo isto, vamos adaptar para o nosso caso:
Um desvio padrão (68%) = 0, 73 a 0, 85mg de
KOH
g
Dois desvios padrão (95%) = 0, 67 a 0, 91mg de
KOH
g
Três desvios padrão (99,7%) = 0, 61 a 0, 97mg de
KOH
g
Observamos que a única alternativa correta é a letra (E).
�� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 68
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2012)
A tabela mostra um conjunto de dados, dispostos em ordem crescente, no qual um dos dados está faltando. Os dados 
dispostos são relativos ao número de funcionários atualmente em férias, em cada uma das 10 unidades que compõem 
uma indústria. 
Unidades que 
compõem a 
indústria
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10
No de funcionários 
em férias 1 1 2 2 ? 12 12 14 15 17
Essa indústria criou um parâmetro numérico P para estimar o nível de articulação entre as diferentes unidades, no que 
se refere à determinação das férias dos funcionários: P é igual à diferença entre a média aritmética e a moda dos dados 
apresentados. Se a moda não existir, P será dado pela diferença entre a média aritmética e a mediana dos dados.
Sabendo-se que a mediana dos dados acima é igual a 7, quanto vale o parâmetro P?
(A) −3,2 
(B) 0,8 
(C) 5,8
(D) 7
(E) 7,8
Resolução:
Primeiramente o candidato precisa identificar o número de funcionários em
férias na unidade 5. Para isso é preciso utilizar o conceito de mediana Md, pois
o valor da mesma foi fornecido pelo enunciado. Quando a quantidade de dados é
par, a mediana é a média dos valores centrais. Então, podemos obter o números
de funcionários em U5 com:
Md =
NU5 +NU6
2
7 =
NU5 + 12
2
NU5 = 2
Sabendo que o número de funcionários em U5 é 2, basta calcular a média
µ que é a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número
total de observações:
µ =
1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 12 + 12 + 14 + 15 + 17
10
µ =
78
10
µ = 7, 8
Assim, podemos calcular o valor de P a partir da moda Mo, pois é possível
verificar que o valor 2 apresenta maior frequência da variável entre os valores
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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observados. Caso não existisse moda, utilizaríamos a mediana. Portanto:
P = µ−Mo
P = 7, 8− 2
P = 5, 8
�� ��Alternativa (C)
Questão 69
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2012)
Um estatístico de uma empresa calculou o desvio padrão de um grande número de dados e obteve o valor . Os dados 
eram relativos aos rendimentos brutos anuais de cada um dos 5.000 funcionários de sua empresa. Infelizmente, quando 
elaborava o relatório que apresentaria os resultados dos seus cálculos, o estatístico foi avisado pelo seu gerente de que 
os resultados a serem apresentados deveriam referir-se aos rendimentos brutos semestrais dos funcionários, em vez de 
aos rendimentos anuais.
Assumindo-se que o rendimento bruto semestral de cada funcionário é igual à metade do seu rendimento bruto anual, qual 
será a variância do novo conjunto de dados?
(A) 1
2
(B) 
(C) 
(D) 1 
(E) 2
Resolução:
Conforme informado no enunciado, o rendimento bruto semestral de cada
funcionário é a metade de seu rendimento bruto anual. Dessa forma, podemos
afirmar que os desvios padrão dos rendimentos semestrais são:
σ =
√
2
2
Como a variância também é uma medida de dispersão, ela pode ser obtida
a partir do desvio padrão. Então:
σ2 =
(√
2
2
)2
σ2 =
1
2 �� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 70
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
A tabela a seguir apresenta algumas estatísticas sobre 
o número de solicitações à Coordenação de Inspeção, 
Aceitação e Veto de Navios (COINV) da Transpetro, em 
2009, para uso dos terminais aquaviários da empresa por 
navios de terceiros, por tipo de carga nos últimos 5 anos.
Medidas
estatísticas
Produto
químico Gases
Condensado 
/ Nafta Álcool
Média 74,8 18,6 62,8 60,2
Mediana 65 20 69 57
Desvio padrão 19,74 8,02 23,32 17,80
1o Quartil 62 13 42 55
3o Quartil 94 25 70 69
Curtose −2,94 −1,87 −1,05 0,36
Assimetria (x) 0,47 (y) 0,41 (z) 0,32 (w) 0,01
Mínimo 55 8 38 36
Máximo 98 27 95 84
Soma 374 93 314 301
Contagem 5 5 5 5
Os sinais de x, y, z e w são, respectivamente,
(A) positivo , negativo , negativo e negativo
(B) positivo , negativo , negativo e positivo
(C) positivo , negativo , positivo e negativo
(D) negativo , positivo , positivo e negativo
(E) negativo , negativo , negativo e positivo
Resolução:
Para avaliar se uma distribuição é classificada como assimétrica negativa
ou positiva, basta avaliar o comportamento da média, mediana e moda. Caso seja
assimétrica positiva a moda é menor que a mediana que, por conseguinte, deve
ser menor que a média. Já a assimetria negativa a média é menor que a mediana
que, por sua vez, é menor que a moda. Neste caso a moda não está discriminada
como medida estatística, mas o candidato pode resolver a questão conhecendo as
posições da média e da mediana.
Assim, avaliando para cada carga temos:
• Produto Químico: medianaa Q1 − 1, 5L ou superior a Q3 + 1, 5L
é considerado outlier. Verifique que este é o caso do valor 60, um outlier inferior.
Marcamos no box plot os nossos resultados:
100
90
85
80
60
�� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 72
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
Considere as séries estatísticas.
 X: X1, X2, ..., Xn
com média μX, desvio padrão σX, Xi > 1, i = 1, 2,..., n, e σX > 0;
 Y: Y1, Y2, ..., Yn
com média μY e desvio padrão σY.
Se , onde i = 1, 2,..., n, então 
(A) o desvio padrão do conjunto X é igual ao desvio pa-
drão do conjunto Y.
(B) o desvio padrão do conjunto X é igual ao coeficiente 
de variação do conjunto Y.
(C) o desvio padrão do conjunto Y é igual ao coeficiente 
de variação do conjunto X.
(D) o coeficiente de variação do conjunto Y é igual ao 
desvio padrão do conjunto X dividido por .
(E) o coeficiente de variação do conjunto Y é igual ao 
coeficiente de variação do conjunto X dividido por μX.
Resolução:
Antes de analisarmos as alternativas e para facilitar a análise, vamos supor
que a série deXi é composta por somente 2 termos: X1 = 1 e X2 = 3. Então a
média µX é:
µX =
X1 +X1
2
= 2
Faremos as mesmas considerações para a série Yi = Xi
µX
. Então: Y1 = 0, 5 e
Y2 = 1, 5 e a média µY = 1. Agora sim, vamos analisar as alternativas:
(A) INCORRETA. O valor do desvio padrão para a série X é:
σX =
√
(X1 − µX)2 + (X2 − µX)2
2
σX =
√
(1− 2)2 + (3− 2)2
2
σX =
√
(−1)2 + (1)2
2
σX =
√
2
2
σX = 1
789.976.407-63
789.976.407-63
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E para a série Y temos:
σY =
√
(Y1 − µY )2 + (Y2 − µY )2
2
σY =
√
(0, 5− 1)2 + (1, 5− 1)2
2
σY =
√
(−0, 5)2 + (0, 5)2
2
σY =
√
0, 5
2
σY =
√
0, 25
σY = 0, 5
Dessa forma, o desvio padrão da série X é diferente do desvio padrão da série
Y.
(B) INCORRETA. O coeficiente de variação do conjunto Y, Cv,Y , é dado por:
Cv,Y =
σY
µY
Cv,Y =
√
0, 25
1
Cv,Y = 0, 5
Como σX = 1, a alternativa está incorreta.
(C) CORRETA. O coeficiente de variação do conjunto X, Cv,X é é calculado da
mesma forma como foi feita para Y:
Cv,X =
σX
µX
Cv,X =
1
2
Cv,X = 0, 5
Já foi calculado σY = 0, 5, logo esta é a alternativa correta.
(D) INCORRETA.
Cv,Y =
σX√
µX
Cv,Y =
1√
2
Como Cv,Y = 0, 5, percebemos que a afirmativa não está correta.
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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(E) INCORRETA.
Cv,Y =
Cv,X√
µX
Cv,Y =
0, 5
2
Cv,Y = 0, 25
Como Cv,Y = 0, 5, a afirmativa não está correta.
�� ��Alternativa (C)
Questão 73
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
Um investidor precisa calcular a variância dos lucros de 
algumas empresas para auxiliá-lo na caracterização do 
risco de um investimento. As informações sobre lucros 
são fornecidas em reais e, como ele não quer trabalhar 
com valores muito grandes, resolveu trabalhar com os nú-
meros em milhões de reais. 
A variância obtida com os dados em milhões de reais é a 
variância dos dados em reais dividida por
(A) 1012
(B) 109
(C) 106
(D) 103
(E) 100
Resolução:
Este investidor está trabalhando com unidade em milhões, ou seja, os nú-
meros utilizados serão multiplicados por um fator de 106. Então, diversas medidas
estatísticas terão unidade de milhões, como é o caso da moda, média, mediana,
assim como desvio padrão. Então, como a variância ( σ2 ) é o próprio desvio pa-
drão ( σ ) elevado ao quadrado e sabemos que a ordem de grandeza do desvio
padrão é de 106, temos:
σ2 = (106)2
σ2 = 1012
�� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 74
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
Um dos riscos de acidentes em dutos de gás natural é 
de vazamento. A probabilidade de que o vazamento pro-
voque um incêndio é de 1%. Caso não haja incêndio, o 
problema não acabou, pois pode ocorrer explosão de uma 
nuvem de gás. No caso de não haver incêndio, a probabi-
lidade de haver explosão é de 1%.
Dado que houve um vazamento, qual é a probabilidade 
aproximada de não haver incêndio e não ocorrer explosão? 
(A) 1%
(B) 2%
(C) 97%
(D) 98%
(E) 99%
Resolução:
Este é um problema de eventos independentes, pois a probabilidade de
ocorrer um incêndio não está atrelada a probabilidade de ocorrer explosão de nu-
vem de gás e vice-versa. Pela definição, a probabilidade desses dois eventos
ocorrerem ou não é calculada pelo produto de suas probabilidades, sendo repre-
sentada pela interseção ( P (1 ∩ 2) ) de seus eventos.
Então, para esse caso, chamamos a probabilidade de não ocorrer incêndio
de P (1) e a de não ocorrer explosão de P (2). Sabemos que a probabilidade de
ocorrer incêndio é de 1%, então a chance de que o evento 1 não aconteça é de
99%. O mesmo raciocínio pode ser feito para o risco de explosões, sendo que a
probabilidade de que ela não ocorra é de 99%.
Dessa forma podemos determinar a chance de que esses dois eventos não
ocorram simultaneamente:
P (1 ∩ 2) = P (1)× P (2)
P (1 ∩ 2) = 0, 99× 0, 99
P (1 ∩ 2) ≈ 0, 98 = 98%
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 75
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
Dez participantes de um programa de televisão serão dis-
tribuídos aleatoriamente em duas casas, sendo que, em 
cada casa, haverá o mesmo número de participantes, isto 
é, 5 em cada uma. Desses 10 participantes, 3 preferem a 
casa X e 2 preferem a casa Y.
Qual é a probabilidade de as preferências serem aten-
didas?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Resolução:
Inicialmente é necessário identificar qual é o número de possibilidades que
as 10 pessoas possuem para entrar nas duas casas. Para isso, usaremos o re-
curso combinação da análise combinatória, pois a ordem de entrada das pessoas
não é relevante. Então, o total de possibilidades para os 5 integrantes que pos-
suem preferência é de que ocorra a combinação das 10 pessoas em 5 vagas.
Assim:
Cp
n =
n!
p!(n− p)!
C5
10 =
10!
5!(10− 5)!
C5
10 = 252
Para impor as restrições e calcular as possibilidades desejadas, iremos as-
sumir que as 3 pessoas que desejam estar na casa x, já estarão selecionadas e
alocadas nessa casa. E essa premissa também será feita para as 2 pessoas que
tem preferência pela casa y. Dessa forma, só restam 2 pessoas possíveis para
entrar na casa x e 3 para entrar na casa y. Então, é possível combinar as 5 pes-
soas restantes nos 2 lugares remanescentes da casa x e, obviamente, as outras 3
pessoas nos 3 lugares que sobraram na casa y. Então, temos:
C2
5C
3
3 =
10!
5!(10− 5)!
× 3!
3!(3− 3)!
C2
5C
3
3 = 10× 1
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Importante mencionar que a ordem de escolha de qual grupo de pessoas
irá primeiro, seja para a casa x ou para casa y, não importa, pois sobram 5 vagas
para 5 pessoas. Dessa forma, podemos calcular a probabilidade P das 5 pessoas
serem escolhidas para suas respectivas casas de preferência:
P =
10
252
P =
5
126 �� ��Alternativa (D)
Questão 76
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
Duas empresas diferentes produzem a mesma quanti-
dade de aparelhos celulares, ou seja, ao se comprar um 
aparelho celular, a probabilidade de ele ter sido produzido 
por qualquer uma delas é a mesma. Cada aparelho pro-
duzido pela fábrica A é defeituoso com probabilidade 1%, 
enquanto cada aparelho produzido pela fábrica B é defei-
tuoso com probabilidade 5%. Suponha que você compre 
dois aparelhos celulares que foram produzidos na mesma 
fábrica. Se o primeiro aparelho foi verificado e é defeitu-
oso, a probabilidade condicional de que o outro aparelho 
também seja defeituoso é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Resolução:
Primeiramente é necessário calcular a probabilidade total de escolhermos
um aparelho defeituoso seja da empresa A ou seja da empresa B. Conforme o
enunciado apresenta, temos que P (A) = 0, 01 e P (B) = 0, 05 para cada empresa
separadamente. Então, como precisa ser de uma empresa ou de outra, somamos
as probabilidades para termos o primeiro celular selecionado defeituoso.
P (A) + P (B) = 0, 06
0,06 é o total de probabilidade de o primeiro celular ser defeituoso.
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Agora é necessário verificar as probabilidade dos aparelhos serem defeitu-
osos e pertencerem a mesma empresa. Neste caso, basta multiplicar a probabili-
dade de selecionar dois celulares da mesma empresa com defeito, pois retirar um
celular com defeito não altera a probabilidade de selecionar outro também com
defeito. O candidato precisará obter a probabilidade de cada empresa separada-
mente e depois soma-las. Então, para a empresa A temos P (2A):
P (2A) = 0, 01× 0, 01 = 0, 0001
E para a empresa B realizamos o mesmo procedimento:
P (2B) = 0, 05× 0, 05 = 0, 0025
Dessa forma, para que o cliente compre os celulares da empresa A ou
da empresa B, implica que estamos trabalhando com probabilidade condicional.
Acontecerá um evento ou outro e, portanto, o cálculo da probabilidade é a soma
de P (2A) com P (2B).
P (2A) + P (2B) = 0, 0026
Assim, basta dividir a probabilidade condicional de compra dos celulares da
empresa A ou da empresa B pela possibilidade de comprarmos o primeiro celular
defeituoso.
P =
P (2A) + P (2B)
P (A) + P (B)
P =
0, 0026
0, 06
P =
26
10000
6
100
P =
26
100
6
1
P =
26
600
P =
13
300
�� ��Alternativa (C)
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789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 77
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2011)
A tabela abaixo apresenta a distribuição dos equipamen-
tos de uma grande empresa.
Estado do 
equipamento
Tipo de equipamento
Total
A B C
Ativo 50 30 100 180
Inativo 60 10 20 90
Total 110 40 120 270
Qual é a probabilidade de que um equipamento selecio-
nado aleatoriamente esteja inativo ou seja do tipo A?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Resolução:
A probabilidade de que o equipamento selecionado seja inativo P (I) é dado
por:
P (I) =
90
270
Para que o equipamento seja do tipo A, temos:
P (A) =
110
270
Entretanto, o enunciado da questão solicita que o candidato calcule a pro-
babilidade de que ocorre P (I) ou P (A). Para isso, é necessário excluir a probabili-
dade de que o equipamento inativo seja do tipo A, pois isto faz parte da condição
imposta. Então, a probabilidade do equipamento ser do tipo A e inativo P (AI) é:
P (AI) =
60
270
Dessa forma. A probabilidade de selecionar um equipamento inativo ou do
tipo é de:
P (I) + P (A)− P (AI) =
90
270
+
110
270
− 60
270
=
140
270 �� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 78
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2006)
Uma urna contém dez bolas, numeradas de 1 a 10. Sacam-se,
sucessivamente e sem reposição, duas dessas bolas.
A probabilidade de a primeira bola ter um número par e a
segunda ter um número múltiplo de 5 é igual a:
(A) 1
20
(B) 1
18 (C) 7
90 (D) 1
10 (E) 1
9
Resolução:
Inicialmente é necessário calcular a probabilidade de se tirar uma bola con-
tendo um número par (bolas 2, 4, 6, 8 e 10) e, em seguida, precisamos tirar um
número múltiplo de 5 (bolas 5 e 10). Percebemos que ocorre uma restrição envol-
vendo a bola de número 10, pois além de ser par, ela é múltiplo de 5. Então, vamos
resolver primeiro para as bolas 2, 4, 6 e 8. Caso tiramos primeiramente as bolas 2,
4, 6 ou 8, temos a possibilidade de tirar 5 ou 10 na segunda retirada. Dessa forma,
a probabilidade para que isso aconteça é de 4 possibilidades do total de 10 bolas
multiplicado pelas 2 chances de tirarmos as bolas múltiplas de 5 dentre as 9 bolas
que ainda restam na urna.
P1 =
4
10
× 2
9
=
8
90
Agora, precisamos analisar o caso de tirarmos da urna primeiramente a bola
de número 10. Caso essa bola saia obrigatoriamente é necessário que saia a bola
5 para que a restrição imposta pelo problema seja atendida. Então, a probabilidade
de que isso aconteça é de retirarmos a bola 10 entre 10 bolas multiplicado pela
possibilidade de tirarmos a bola 5 dentre as 9 bolas que ainda sobram. Assim,
temos:
P2 =
1
10
× 1
9
=
1
90
Basta agora somar as probabilidades calculadas anteriormente para obter-
mos o resultado solicitado:
P = P1 + P2
P =
8
90
+
1
90
P =
9
90
P =
1
10 �� ��Alternativa (D)
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789.976.407-63
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Questão 79
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2006)
Supondo normalmente distribuídos, com média 200g e des-
vio padrão 5g, os pesos dos pacotes de biscoitos, é correto
afirmar que 95% dos pacotes têm pesos, em gramas, com-
preendidos entre:
(A) 195,0 e 205,0 (B) 194,5 e 205,5
(C) 192,0 e 208,0 (D) 191,4 e 208,6
(E) 190,2 e 209,8
Resolução:
Como a variável analisada segue uma distribuição normal, os cálculos de
probabilidade são facilitados, pois se projeta qualquer análise mediante o uso da
variável padronizada Z. Cada par de parâmetros (µ e σ) define uma distribuição
distinta, sendo que as medidas de tendência central: média, mediana e moda são
todas idênticas, pois a curva é simétrica. Utilizando a fórmula de transformação
abaixo é possível converter qualquer variável aleatória normal x na variável padro-
nizada Z:
Z =
x− µ
σ
A estimativa de probabilidades ligadas a variáveis aleatórias contínuas leva
em consideração o cálculo de área sob a curva da densidade. Este ponto reflete a
praticidade da distribuição normal padronizada, pois ela nos permite realizar esses
cálculos utilizando a tabela de distribuição normal. Como o enunciado busca um
valor de Z que compreende a 95% da área sob a curva de distribuição, temos que
avaliar a tabela de distribuição normal em anexo a prova. Avaliando a tabela, per-
cebemos que os valores de Z apresentados representam as áreas fora da região
que se busca. Dessa maneira, o valor de Z a ser buscado na tabela é 5%, ou seja,
a diferença entre 100% e 95%. A figura abaixo apresenta a convenção adotada
sobre a área tabulada:
Além disso, como a curva de distribuição é simétrica, temos que dividir os
5% que compreendem a região hachurada por 2. Dessa forma, temos que localizar
o ponto Z que represente 2,5% na parte positiva da curva de distribuição. Então,
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analisando a tabela de distribuição normal, vemos que para 0,025 obtemos o valor
de 1,96 para Z. Lembrando que o valore de Z é um parâmetro que dá a distância
do ponto observado até a média, temos:
µ± 1, 96σ
Dessa forma, é possível calcular a faixa de peso dos pacotes compreendidos
em 95% dos pacotes. Assim, o peso máximo Pmax e o peso mínimo Pmin são
obtidos, respectivamente por:
Pmax = 200 + (1, 96× 5) e Pmin = 200− (1, 96× 5)
Logo, Pmax = 209, 8 e Pmin = 190, 2
�� ��Alternativa (E)
Questão 80
(Químico(a) de Petróleo Júnior - Transpetro 2006)
A tabela abaixo mostra a distribuição de salários em uma
amostra aleatória de 250 empregados de certa empresa.
A melhor estimativa, em reais, do percentil P
80
, ou seja, do
salário abaixo do qual se encontram 80% dos salários é:
(A) 1.000,00
(B) 1.120,00
(C) 1.150,00
(D) 1.160,00
(E) 1.180,00
Salários (R$) Número de empregados
300 500 100
500 800 60
800 1200 50
1200 1500 40
Resolução:
Os percentis dividem o conjunto em 100 partes iguais, dessa forma, dese-
jamos obter ao valor do percentil que separa 80% dos valores menores ou iguais
ao valor do percentil 80. Calculando primeiramente o valor do percentil 80 P80.
Então, é preciso definir a localização ou a posição p desse percentil cuja equação
é apresentada a seguir:
P80 =
n
100
× q
Onde n é a amostragem, sendo neste caso igual a 250, e q é o número para
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a determinação do percentil. Utilizamos q = 80, pois deseja se determinar o P80.
Resolvendo temos:
P80 =
250
100
× 80
P80 = 200
Para identificar a posição do P80, o candidato precisa visualizar na tabela,
na ordem crescente de salários, onde a soma acumulada dos funcionários esteja
na posição 200. Ou seja, o P80 está exatamente na faixa salarial entre 800 e 1200
reais. (Isso também pode ser visualizado calculando as frequências acumuladas
relativa em uma coluna ao lado).
Sabendo onde está localizado o P80, é preciso calcular o valor do mesmo.
Para os dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo das medidas
separatrizes é feito pela equação abaixo:
P80 = li + h
(p− Fai−1
)
Fi
i é a classe modal ( i = 3 );
li é o limite inferior da classe modal ( li = 800 );
Fi é a frequência absoluta da classe modal ( F3 = 50 );
Fai−1
é a frequência acumulada da classe anterior à da separatriz ( Fa2) = 100 +
60 = 160 );
h é a amplitude do intervalo de classe ( h = 400 ).
Com todas as inferências anteriores, podemos calcular o 3◦Q:
P80= l3 + h
(p− Fa2)
F3
Assim, a equação se resume ao valor de:
P80 = 800 + 400× (200− 160)
50
)
P80 = 800 + 400× 40
50
P80 = 800 + 8× 40
P80 = 1120
�� ��Alternativa (B)
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Questão 3
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2014/2)
Um conjunto é constituído de observações medidas em 
minutos. Para esse conjunto, calculou-se a variância 
representada por VAR.
A variância desse conjunto de observações, em horas2, é,
(A) VAR
3.600
(B) VAR
60
(C) VAR
(D) VAR 60
(E) VAR 3.600
Resolução:P3-12-Q63
Entre horas e minutos, vale a seguinte relação:
Xh =
Xmin
60
Ao multiplicar a variância de X por uma constante, existe a seguinte propri-
edade:
VAR(cX) = c2VAR(X)
Para observações expressas em horas, a variância passa a ser:
VAR(Xh) = VAR
(
Xmin
60
)
VAR(Xh) =
(
1
60
)2
VAR(Xmin)
VAR(Xh) =
VAR(Xmin)
3.600 �� ��Alternativa (A)
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Questão 4
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2012/1)56
Os dados a seguir representam os valores de glóbu-
los brancos (em mil) coletados de 10 pacientes de um 
hospital pela manhã: 7, 7, 35, 8, 9, 1, 10, 9, 12, 7. 
Sobre esses dados, tem-se que a mediana é
(A) 5, e os valores 1 e 35 são os únicos outliers dos dados.
(B) 5, e o valor de 35 é o único outlier dos dados.
(C) 5, e não há outliers nos dados. 
(D) 8,5, e o valor de 35 é o único outliers dos dados.
(E) 8,5, e o valores 1 e 35 são os únicos outliers dos dados.
Resolução:
Para resolver esta questão, vamos primeiramente ordenar os valores em
ordem crescente:
1, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 12, 35
Para resolvê-la por completo, necessitamos calcular inicialmente o primeiro
quartil, o segundo (que representa a mediana) e o terceiro. Os outliers são valores
que se localizam distantes de quase todos os outros pontos da distribuição. Os
pontos são considerados outliers quando estão fora do intervalo definido pelos
limites inferior (Li) e o superior (Ls). Para já eliminarmos algumas alternativas,
vamos calcular primeiramente a mediana, cuja posição é dada por:
i2 = 0, 5× (n+ 1)
i2 = 0, 5× (10 + 1)
i2 = 5, 5
Assim, a mediana vale:
Md = n5 + 0, 5× (n6 − n5)
Md = 8 + 0, 5× (9− 8)
Md = 8, 5
O primeiro quartil representa o valor que ocupa a posição do primeiro quarto,
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que é:
i1 = 0, 5× (
n
2
+ 1)
i1 = 0, 5× (
10
2
+ 1)
i1 = 3
Ou seja, o primeiro quartil (Q1) é o terceiro elemento da sequência, logo:
Q1 = 7
O terceiro quartil representa o valor que ocupa a posição do terceiro quarto,
que é:
i3 =
n
2
+ 0, 5× (
n
2
+ 1)
i3 =
10
2
+ 0, 5× (5 + 1)
i3 = 8
Ou seja, o terceiro quartil (Q1) é o oitavo elemento da sequência, logo:
Q3 = 10
Observação Importante: O valor da mediana, o valor do primeiro e do terceiro
quartil podem ser obtidos de forma muito mais prática, sem tanta formalidade ma-
temática. Lembrando de primeiro ordenar os dados, temos a mediana (ou segundo
quartil) como sendo o elemento central da lista. Como no nosso caso há um nú-
mero par de elementos, o valor da mediana será igual à média entre os dois valores
centrais (8 e 9), ou seja: Md = 8, 5.
Se agora dividirmos nossa sequência pela metade, temos duas sequências
de cinco elementos cada. O primeiro quartil é igual ao elemento central da pri-
meira sequência, que corresponde ao terceiro elemento desta (terceiro elemento
da sequência completa também), ou seja: Q1 = 7. De forma análoga, o ter-
ceiro quartil será igual ao valor central da segunda sequência, que corresponde
ao terceiro elemento desta (ou oitavo elemento da sequência completa), ou seja:
Q3 = 10.
Agora, calculemos a diferença entre o terceiro e o primeiro quadrante, cha-
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mada de amplitude interquartílica.
dq = Q3 −Q1
dq = 10− 7
dq = 3
Por último, os limites inferior e superior:
Li = Q1 − 1, 5dq
Li = 7− 1, 5× 3
Li = 2, 5
E,
Ls = Q3 + 1, 5dq
Ls = 10 + 1, 5× 3
Ls = 14, 5
Sendo assim, notamos que tanto 1 quanto 35 estão fora deste intervalo, e
portanto são valores outliers.
�� ��Alternativa (E)
789.976.407-63
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Questão 5
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2012/1)
57
Para a produção de uma peça, utilizam-se três máquinas: 
M1, M2 e M3. As proporções de peças defeituosas geradas 
por essas máquinas, M1, M2 e M3 são, respectivamente, 
1%, 2% e 0,1%, e as três máquinas produzem, respecti-
vamente, 30%, 50% e 20% da produção total. 
Se uma peça defeituosa é retirada aleatoriamente, qual 
é a probabilidade de ela ter sido oriunda da máquina 3?
(A) 1/1000
(B) 1/66 
(C) 1/5 
(D) 1/3
(E) 1/77
Resolução:
Para que a resolução desta questão fique mais clara, vamos considerar que
a produção total das máquinas é de 1.000 peças. Pelas proporções de peças pro-
duzidas por máquina dadas no enunciado, temos que são produzidas 300 peças
pela máquina 1, 500 pela máquina 2 e 200 pela máquina 3. Agora, utilizando os
percentuais de peças defeituosas por máquina, podemos calcular o número de
peças com defeito que cada máquina produz.
M1,def = 0, 01×M1 = 0, 01× 300 = 3 peças defeituosas
M2,def = 0, 02×M2 = 0, 02× 500 = 10 peças defeituosas
M3,def = 0, 001×M3 = 0, 001× 200 = 0, 2 peça defeituosa
Assim, temos número total de peças defeituosas, para este caso. Como a
peça defeituosa já foi retirada aleatoriamente, a probabilidade de ela pertencer à
máquina 3 é de:
P =
M3,def
M1,def +M2,def +M3,def
P =
0, 2
3 + 10 + 0, 2
P =
0, 2
13,2
P =
1
66 �� ��Alternativa (B)
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Questão 6
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2012/1)
70
Toma-se um conjunto P com 2 elementos e um conjunto 
Q com 3 elementos.
Quantas são as possíveis relações não vazias de P em Q? 
(A) 6
(B) 8
(C) 16
(D) 48
(E) 63
Resolução:
O número total de relações que podem ser formadas entre os elementos
destes dois conjuntos é dado pela seguinte expressão:
nrelações = 2nP×nQ
Onde nP e nQ são os números de elementos nos conjuntos P e Q, res-
pectivamente. O enunciado informa que existem 2 elementos no conjunto P e 3
elementos no conjunto Q. Portanto:
nrelações = 22×3 = 26 = 64
Este é o número total de relações que podemos ter com estes conjuntos.
Dentre estas, uma delas corresponde ao conjunto vazio. Como a questão pede o
número de relações não vazias, temos que descontá-la. Sendo assim:
nrelações não vazias = nrelações − 1
nrelações não vazias = 64− 1
nrelações não vazias = 63
�� ��Alternativa (E)
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Questão 7
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2010/2)
56
Em uma empresa, todos os funcionários receberam um aumento de 10% nos salários e, posteriormente, ganharam um 
abono de 100 reais. Sobre a nova média e a nova variância de salários, em relação à média e à variância iniciais, isto é, 
antes dos aumentos, tem-se que a
(A) média e a variância não se alteram.
(B) média não se altera, e a variância fica aumentada em 10%.
(C) média e a variância ficam aumentadas em 10% mais 100 reais.
(D) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 10%.
(E) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 21%.
Resolução:
Vamos supor que esta empresa possui apenas 3 funcionários, por exemplo,
que recebem os seguintes salários: S1, S2, S3. A média inicial do salário deles é
dada por:
¯S, in. =
S1 + S2 + S3
3
Agora, após os incrementos, os salários passaram para: (S1 × 1, 1 + 100),
(S2× 1, 1 + 100) e (S3× 1, 1 + 100). Desta maneira, nova média de salários passou
para:
S, fin. =
(S1 × 1, 1 + 100) + (S2 × 1, 1 + 100) + (S3 × 1, 1 + 100)
3
S, fin. =
(S1 × 1, 1) + (S2 × 1, 1) + (S3 × 1, 1) + 300
3
S, fin. =
(S1 × 1, 1) + (S2 × 1, 1) + (S3 × 1, 1)
3
+ 100
S, fin. = 1, 1× S1 + S2 + S3
3
+ 100
S, fin. = 1, 1× (S, in.) + 100
Ou seja, a média fica aumentada em 10% mais 100 reais. Com relação à
variância, tinhamos inicialmente:
σin.
2 =
(S1 − S, in.)2 + (S2 − S, in.)2 + (S3 − S, in.)2
3
Notamos que há uma subtração entre os valores e a média. Sendo assim,
quando for acrescentado 100 reais aos salários, estes serão anulados pelo acrés-
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cimo de 100 reais na média, que foi mostrado acima. Assim, a variância ficará:
σfin.
2 =
(1, 1S1 − 1, 1S, in)2 + (1, 1S2 − 1, 1S, in)2 + (1, 1S3 − 1, 1S, in)2)
3
σfin.
2 =
(1, 12)(S1 − S, in)2 + (1, 12)(S2 − S, in)2 + (1, 12)(S3 − S, in)2
3
σfin.
2 = (1, 1)2 × (S1 − S, in.)2 + (S2 − S, in.)2 + (S3 − ¯S, in.)2
3
σfin.
2 = 1, 21σin.
2
Portanto, a variância fica aumentada em 21%.
OBS: Se tivessemos suposto outro número de funcionários, ou feito em fun-
ção de n funcionários, o resultado seria o mesmo.
�� ��Alternativa (E)
Questão 8
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2010/2)
59
Em uma fábrica, 70% dos funcionários ou trabalham no setor de Produção ou trabalham no setor de Desenvovimento, 
ou seja, nenhum deles trabalha nos dois setores. Um terço dos funcionários que trabalham no setor de Desenvolvimento 
também trabalha no setor de Produção, e 50% dos funcionários da fábrica não trabalham no setor de Produção. 
A porcentagem de funcionários da fábrica que trabalha tanto no setor de Desenvolvimento como no setor de Produção é
(A) 5%
(B) 10%
(C) 20%
(D) 25%
(E) 30%
Resolução:
Vamos atribuir variáveis aos tipos de funcionários. Os funcionarios podem:
trabalhar somente no setor de produção (chamaremos de A), somente no setor de
desenvolvimento (B), em ambos setores (C) ou em nenhum dos dois setores (D).
Consideremos que existam 100 funcionários. Com base nisto, temos:
A+B + C +D = 100
A primeira informação do enunciado diz de 70% dos funcionários trabalha
ou no setor de produção (A) ou no setor de desenvolvimento (B), mas não nos
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dois ao mesmo tempo. Ou seja:
A+B = 70
A = 70−B
A segunda informação do enunciado é de que um terço dos funcionários
que trabalham no setor de desenvolvimento (B + C) também trabalha no setor de
produção (C). Assim:
B + C
3
= C
B + C = 3C
C = 0, 5B
E a última informação do enunciado é de que 50% dos funcionários não
trabalha no setor de produção. Assim, temos:
B +D = 50
D = 50−B
Substituindo estas três expressões na primeira, temos:
(70−B) +B + 0, 5B + (50−B) = 100
120− 0, 5B = 100
B =
20
0, 5
B = 40
Para descobrirmos C, basta substituir esta expressão na equação de C em
função de B:
C = 0, 5× 40 = 20
Como o número total de funcionários é 100, esta quantia representa
20
100
= 20%
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Questão 9
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2010/1)34
Uma prova consta de 35 questões do tipo múltipla esco-
lha, com 5 opções cada uma, onde apenas uma opção é
verdadeira. Um candidato que não sabe resolver nenhu-
ma das questões vai respondê-las aleatoriamente. Ele sabe
que as respostas certas das 35 questões estão distribuí-
das igualmente entre as opções A,B,C,D e E, e resolve
marcar suas respostas seguindo esse critério: escolherá
aleatoriamente 7 questões para marcar a opção A, outras
7 para a B, e assim sucessivamente. A probabilidade de
ele acertar todas as questões é
(A)
1
35!
(B)
7.5!
35!
(C)
5.7!
35!
(D)
5(7!)
35!
(E)
7(5!)
35!
Resolução:
A informação crucial para resolver esta questão é de que existem exata-
mente 7 questões corretas para cada letra dentre as 35 questões. No momento
que o candidato marca a primeira resposta (por exemplo, começando pela letra A),
a chance de ele acertar é 7
35
, visto que existem 7 respostas corretas desta letra
dentre as 35.
Quando ele marcar a segunda, a probabilidade de acerto cai para 6
34
, visto
que uma das respostas já foi marcada. A terceira será 5
33
, e assim por diante.
Depois de marcar as 7 respostas, ainda existem 28 questões. Quando o
candidato for marcas as alternativas da letra B, por exemplo, as chances de acerto
serão de 7
28
, 6
27
e assim por diante até marcar as 7 respostas desta letra. Este
procedimento é o mesmo para as outras letras, até acabarem todas as questões.
Vemos que a probabilidade de acerto é:
P (T ) =P (A)× P (B)× P (C)× P (D)× P (E)
P (T ) =
[
7
35
× 6
34
× 5
33
× 4
32
× 3
31
× 2
30
× 1
29
]
×[
7
28
× 6
27
× 5
26
× 4
25
× 3
24
× 2
23
× 1
22
]
×[
7
21
× 6
20
× 5
19
× 4
18
× 3
17
× 2
16
× 1
15
]
×
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789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
78
9.
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-6
3 
 
 
 
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-6
3
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9.
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6.
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[
7
14
× 6
13
× 5
12
× 4
11
× 3
10
× 2
9
× 1
8
]
×[
7
7
× 6
6
× 5
5
× 4
4
× 3
3
× 2
2
× 1
1
]
P (T ) =
(7!)5
35! �� ��Alternativa (D)
Questão 10
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2008)26
Em um concurso público serão chamados para contratação
imediata 20% dos candidatos com as maiores notas.
As notas obtidas seguem uma distribuição normal com
média 5,5 e desvio padrão 3. A nota mínima para que o
candidato seja chamado para contratação imediata é,
aproximadamente,
(A) 7,0 (B) 7,5
(C) 8,0 (D) 8,5
(E) 9,0
Resolução:
O objetivo da questão é descobrir a nota de corte que separa os 80% primei-
ros colocados dos 20% que obtiveram as notas mais altas. Para tanto, é necessário
que o candidato observe a tabela e o gráfico da distribuição normal fornecida no
início desta prova.
Vale lembrar que a distribuição normal é simétrica, ou seja, a partir da média
dos valores, temos 50% das notas distribuidas igualmente para cada lado. Assim, a
nota média corresponde a 50% das notas dos candidatos. Sendo assim, devemos
observar Zc da curva normal que contempla 30% restantes, totalizando 80% das
notas (os 50% já estão inclusos a partir da média). Como a área total é 50000 e
corresponde aos 50% restantes, buscamos Zc correspondente a 30%, ou seja:
p =
50000× 0, 3
0, 5
= 30000
Pela tabela, temos Zc = 0, 85, que fornece a p = 30234. Como sabemos que
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789.976.407-63
789.976.407-63
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uma unidade de Zc equivale a um desvio padrão, a nota mínima será:
N = N̄ + (0, 85σ)
N = 5, 5 + 0, 85× 3
N = 8, 05 ≈ 8, 0
�� ��Alternativa (C)
Questão 11
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2008)27
A tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações
de três empresas dos setores de petróleo e química.
Os dados referem-se às últimas 80 semanas.
Considere as afirmações derivadas das estatísticas acima.
I - O coeficiente de variação das ações da empresa A é o
mesmo que o das ações da empresa C.
II - A rentabilidade média das ações da empresa B é maior
do que das demais e apresenta menor dispersão
relativa, ou seja, menor risco.
III - A rentabilidade média das ações da empresa C é menor
do que das demais e apresenta menor dispersão
relativa, ou seja, menor risco.
Estão corretas as afirmações
(A) I, apenas. (B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Rentabilidade média semanal
Desvio padrão
Rentabilidade mínima
Rentabilidade máxima
0,5
3,5
-7,6
11,9
0,6
3,9
-9,2
10,3
0,4
2,8
-5,1
8,2
Medidas estatísticas
Empresas
A
(%)
B
(%)
C
(%)
Resolução:
Vamos justificar as afirmativas, baseado nas informações estatísticas forne-
cidas no enunciado.
I - Verdadeiro. O coeficiente de variação é dado pela razão entre o desvio pa-
drão e a média. Este valor para a empresa A vale: 3,5
0,5
= 7, e para a empresa
C: 2,8
0,4
= 7. Sendo assim, são iguais.
II - Verdadeiro. Olhando a primeira linha da tabela, temos que a rentabilidade
média da empresa B (0,6) é maior do que das empresas A (0,5) e C (0,4).
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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3 
 
 
 
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Quanto à dispersão relativa, esta é dada pelo coeficiente de variação de uma
amostra. Quanto maior for este coeficiente, mais dispersos são os dados. A
empresa B possui um coeficiente de variação de 3,9
0,6
= 6, 5. Sendo assim,
esta empresa apresenta menor dispersão relativa do que as empresas A e
C, cujo coeficiente é igual a 7.
III - Falso. A rentabilidade média da empresa C é a menor entre as 3 empresas,
como pode ser visto na primeira linha da tabela mostrada no enunciado. Po-
rém, o seu coeficiente de variação (7,0) é maior do que o da empresa B (6,5),
o que caracteriza uma maior dispersão relativa.
�� ��Alternativa (B)
Questão 12
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2008)28
Uma pesquisa foi feita com alguns moradores de uma cida-
de brasileira sobre a confiança em três redes de postos de
gasolina (A, B e C) e gerou as seguintes informações:
• 400 pessoas confiam na rede A, das quais 150 confiam
somente na rede A;
• 400pessoas confiam na rede B, mas 450, não;
• 430 pessoas não confiam na rede C;
• 500 pessoas confiam em apenas uma das três redes;
• 300 pessoas confiam em exatamente duas das três
redes, das quais 110 não confiam na rede B;
• 40 pessoas confiam nas três redes.
Com base nestas informações, analise as afirmativas a
seguir.
I - Foram entrevistadas 850 pessoas e a quantidade de
pessoas que não confiam na rede A é maior do que a
quantidade de pessoas que confiam.
II - A quantidade de pessoas que confia na rede C é maior
do que a quantidade de pessoas que confia na rede B
que é maior do que a quantidade de pessoas que confia
na rede A.
III - Apenas 20 pessoas não confiam em nenhuma das três
redes ou 150 pessoas confiam simultaneamente nas
redes A e C.
IV - A quantidade de pessoas que confia exclusivamente
na rede A é igual à quantidade de pessoas que confia
exclusivamente na rede B.
É(São) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s)
(A) I (B) I e II
(C) I e III (D) II e III
(E) II e IV
Resolução:
Para auxiliar na resolução da questão, podemos representar o universo de
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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todos os moradores da seguinte maneira:
Com base neste gráfico e nas afirmativas presentes no enunciado, vamos
julgar os itens:
I - Verdadeiro. Pela segunda informação, temos que o universo total corres-
ponde a 850 pessoas (400 compõem as parcelas B, B+A, B+C e A+B+C, e
450 as parcelas A, C, A+C e nenhum). Pela primeira informação, 400 pes-
soas confiam na rede A. Como o total é 850, 450 não confiam.
II - Falso. Pela terceira informação, temos que 850 - 430 = 420 pessoas confiam
na rede C, que é maior do que a quantidade de pessoas que confiam na rede
B (400 moradores, pela segunda informação). Porém, este número é igual à
quantidade de moradores que confia na rede A, pela primeira informação.
III - Falso. As três últimas informações indicam que, 500 pessoas confiam em
apenas uma rede (A, B e C), 300 pessoas confiam em duas das três redes
(B+C, B+A e C+A) e 40 pessoas confiam nas três redes (A+B+C). Sendo
assim, 850 - 500 - 300 - 40 = 10 pessoas não confiam em nenhuma rede.
Pela quinta informação, as 110 pessoas que não confiam em B pertencem à
parcela C+A, ou seja, 110 pessoas confiam simultaneamente em A e C.
IV - Falso. Pela primeira informação, 150 pessoas confiam exclusivamente em A.
Com relação a C, temos que 420 confiam em C, onde entram C, C+A, C+B e
A+B+C. Temos que 40 pessoas confiam ao mesmo tempo em A+B+C. Como
mostrado no item III, a parcela A+C é composta por 110 pessoas. Portanto,
sobram 270 pessoas nas parcelas C, C+B. Utilizando a primeira e a quinta
informação, chegamos que a parcela C+B vale 190 - 100 = 90. Portanto: 270
- 90 = 180 pessoas confiam somente em C.
�� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 13
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - Petrobras 2008)
34
Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de
refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de
refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada
marca, pode escolhê-las de N formas. O valor de N é
(A) 3 (B) 10 (C) 15 (D) 35 (E) 125
Resolução:
Vamos analisar as possibilidades que temos para a resolução da questão.
Chamaremos as marcas de A, B, C, D e E. Devemos notar que a questão possibilita
que haja a repetição das marcas. Sendo assim, temos 3 possibilidades: as três
latas da mesma marca (chamaremos de P1), duas latas da mesma marca e uma
diferente (P2) e as três latas de marcas diferentes (P3). O número de possibilidades
total (N ) será igual a soma de P1, P2 e P3. Vamos tratar cada uma separadamente.
P1: Como neste caso as três latas serão da mesma marca, o número de possibili-
dades será igual ao número de marcas disponíveis, que é 5. Teremos os arranjos
(A, A, A), (B, B, B), (C, C, C), (D, D, D) e (E, E, E).
P1 = 5
P2: Neste caso, teremos 5 duplas de marcas que poderão ser arranjadas com as 4
marcas restantes. Assim, teremos 5× 4 = 20 possibilidades. Teremos os arranjos
(A, A, B), (A, A, C), (A, A, D), (A, A, E), (B, B, A), (B, B, C), (B, B, D), (B, B, E), (C,
C, A), (C, C, B), (C, C, D), (C, C, E), (D, D, A), (D, D, B), (D, D, C), (D, D, E), (E, E,
A), (E, E, B), (E, E, C) e (E, E, D).
P2 = 20
P3: Neste último caso, não temos a repetição das marcas. Como a ordem das
latas não interessa, o número de possibilidades será dado pela combinação das 5
marcas, tomadas 3 a 3.
P3 = C3
5 =
5!
2!3!
=
5× 4× 3× 2!
2!(3× 2× 1)
= 10
Portanto: N = P1 + P2 + P3 = 5 + 20 + 10 = 35
�� ��Alternativa (D)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 14
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cespe - Petrobras 2008)
����������
Um município é composto por uma região urbana e por uma região de
entorno, a região rural. Na região urbana vivem, hoje, 700 mil pessoas,
e 300 mil na região rural. A cada ano, 10% dos moradores da região
urbana se mudam para a região rural, e 15% das pessoas que vivem na
região rural se mudam para a região urbana. Represente por ReUrb o
número de habitantes na região urbana e por ReRur o número de
habitantes da região rural. Nessas condições o número de habitantes
A da região urbana aumentará em 10% a cada ano.
B da região rural aumentará em mais de 20% a cada ano.
C de cada uma dessas regiões poderá ser determinado pelo produto de
matrizes da forma
.
D do município diminuirá.
E de cada uma dessas regiões poderá ser determinado pelo produto de
matrizes da forma 
.
Resolução:
Vamos calcular qual será a população em cada uma destas regiões no ano
seguinte, para que possamos ter uma idéia da tendência de crescimento (ou dimi-
nuição) de ambas. Na região urbana, 10% da população migra a cada ano para a
região rural, e esta recebe 15% da população proveniente da região rural. Pode-
mos escrever isto como:
Un+1 = 0, 9Un + 0, 15Rn
Da mesma maneira, teremos na região rural:
Rn+1 = 0, 85Rn + 0, 1Un
Para o primeiro ano, teremos então:
U1 = 0, 9U0 + 0, 15R0
U1 = 0, 9× 700.000 + 0, 15× 300.000
U1 = 675.000
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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E
R1 = 0, 85R0 + 0, 1U0
R1 = 0, 85× 300.000 + 0, 1× 700.000
R1 = 325.000
Com isto, podemos analisar as alternativas:
(A) INCORRETA. O crescimento da região urbana será igual a:
%a.a =
(
U1
U0
− 1
)
× 100
%a.a =
(
675.000
700.000
− 1
)
× 100
%a.a ≈ −4%
(B) INCORRETA. O crescimento da região rural será igual a:
%a.a =
(
R1
R0
− 1
)
× 100
%a.a =
(
325.000
300.000
− 1
)
× 100
%a.a ≈ 8%
(C) INCORRETA. O formato da matriz está correto para representar o crescimento
no número de habitantes de cada região (se for feito o produto entre as ma-
trizes, a equação do valor futuro fica no formato que foi mostrado acima).
Porém, o índice 2 que aparece na matriz com os percentuais faz com que o
produto entre as matrizes indique o número de habitantes apenas no segundo
ano, e não em qualquer ano. Para indicar a população em um ano n, a matriz
deveria ser elevada na ordem n.
(D) INCORRETA. O número de habitantes total do município permanece cons-
tante.
(E) INCORRETA. O formato correto das matrizes é o apresentado na letra (C),
desconsiderando o índice 2 como já foi comentado.
�� ��Questão Anulada
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 15
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cespe - Petrobras 2008)
����������
Considere que a porosidade de uma rocha reservatório seja uma
variável aleatória contínua — X — que se distribui de acordo com a
função de distribuição acumulada A partir dessas
informações, assinale a opção incorreta.
A A média de X é igual a 20.
B O desvio-padrão de X é superior a 3.
C A probabilidade P(X > 20) é igual a 0,5.
D A função de densidade de probabilidade de X é 
E Se Y é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída
no intervalo (0, 1), então .
Resolução:
A função que representa a distribuição acumulada F (X) é do tipo logística.
O formato acumulado padrão desta funções é do tipo:
F (X) =
1
1 + e
µ−X
s
Onde, no nosso caso µ = 20 e s = 2. Analisando esta função e com base
nos conhecimentos acerca da mesma, vamos verificar as alternativas de resposta.
(A) CORRETA. A média deste tipo de funções é igual a µ = 20. Substituindo este
valor na função F (X), vemos que temos exatamente a probabilidade de 50%.
(B) CORRETA. A variância deste tipo de funções vale:
σ2 =
π2s2
3
Fazendo π ≈ 3,
σ2 =
32 × 22
3
σ2 = 12
σ =
√
12 > 3
(C) CORRETA. A função de distribuição acumulada é dada por:
F (X) = P (X 20), necessitamos de:
P (X > 20) = 1− F (20)
P (X > 20) = 1− 1
1 + e
20−20
2
P (X > 20) = 1− 1
1 + 1
P (X > 20) = 1− 0, 5
P (X > 20) = 0, 5
(D) INCORRETA. A função de densidade de probabilidade será dada pela deri-
vada da função acumulada, em relação a X.
f(X) =
d(F (X))
dX
f(X) =
d
(
1
1+e
20−X
2
)
dX
f(X) =
− 1(
1 + e
20−X
2
)2
× d
dx
(
1 + e
20−X
2
)
f(X) =
− 1(
1 + e
20−X
2
)2
× (− 1
2e
20−X
2
)
f(X) =
e
20−X
2
2×
(
1 + e
20−X
2
)2
(E) INCORRETA. Substituindo F (X) por Y , temos:
Y =
1
1 + e
20−X
2
1 + e
20−X
2 =
1
Y
e
20−X
2 =
1
Y
− 1
e
20−X
2 =
1
Y
− Y
Y
e
20−X
2 =
1− Y
Y
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789.976.407-63
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20−X
2
= ln
(
1− Y
Y
)
20−X = 2 ln
(
1− Y
Y
)
X = 20− 2 ln
(
1− Y
Y
)
�� ��Questão Anulada
Questão 16
(Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - Cesgranrio - INEA 2008)37
Dadas, na tabela acima, as probabilidades de ocorrência dos
cinco fatores em cada prospecto, quais os prospectos com
maior e com menor probabilidade de sucesso, respectiva-
mente?
(A) I, II
(B) II, I
(C) II, III
(D) III, I
(E) III, II
 Fatores
Prospectos Gerador Reservatório Selo Trapa Sincronismo
60%
70%
60%
(I) Tupi
(II) Aimoré
(III) Tamoio
80%
70%
80%
70%
80%
80%
80%
80%
80%
60%
70%
60%
Resolução:
Considerando que os cinco fatores são independentes, a probabilidade de
os prospectos terem sucesso é dado pelo produto entre as probabilidades de cada
fator.
PI = 0, 6× 0, 8× 0, 7× 0, 8× 0, 6 = 0, 16
PII = 0, 7× 0, 7× 0, 8× 0, 8× 0, 7 = 0, 22
PIII = 0, 6× 0, 8× 0, 8× 0, 8× 0, 6 = 0, 18
Assim, a maior probabilidade de sucesso é do prospecto II, e a menor do
prospecto I.
�� ��Alternativa (B)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 17
(Engenheiro(a) de Petróleo - CEPERJ - DRM-RJ 2011)
22.
 O lançamento de uma moeda três vezes consecutivamente ao ar 
gerou quatro sequências distintas de resultados: 3 caras, 2 caras e 1 co-
roa, 2 coroas e 1 cara, e 3 coroas, respectivamente. As probabilidades de 
ocorrência destas sequências são representadas, respectivamente, por:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
8
3
8
1,
8
3,
8
3 e
8
1
8
3,
16
3,
16
3 e
8
1
8
3,
8
3,
8
1 e
8
3
8
1,
16
3,
16
1 e
16
3
16
3,
8
3,
16
1 e
Resolução:
No lançamento de três moedas, a probabilidade de termos cada uma daque-
las sequências é dada pelo número de eventos favoráveis dividido pelo universo
(composto pelo número totalde resultados), visto que a probabilidade de a moeda
ser cara é igual a de ser coroa. Considerando C como cara e K como coroa, os
resultados possíveis são: (C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (C, K, K), (K, C, C), (K, C,
K), (K, K, C), (K, K, K). Vamos analisar cada sequência.
• Três caras: Temos apenas um evento favorável, (C, C, C), dentre os oito.
Assim, a probabilidade é igual a 1
8
.
• Duas caras e uma coroa: Temos três eventos favoráveis, (C, C, K), (C, K, C),
(K, C, C), dentre os oito. Assim, a probabilidade é igual a 3
8
.
• Duas coroas e uma cara: Temos três eventos favoráveis, (C, K, K), (K, C, K),
(K, K, C) , dentre os oito. Assim, a probabilidade é igual a 3
8
.
• Três coroas: Temos apenas um evento favorável, (K, K, K) entre os oito. As-
sim, a probabilidade é igual a 1
8
.
Assim, a sequência é: 1
8
, 3
8
, 3
8
e 1
8
.
�� ��Alternativa (C)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 18
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2014/2)
Analisando-se o relatório de ensaios de tração de diver-
sos lotes de aço AISI 1020, deseja-se determinar o valor 
de limite de escoamento que aparece com maior frequên-
cia nos ensaios. 
Para tal, utiliza-se como parâmetro estatístico a(o)
(A) média aritmética
(B) moda
(C) mediana
(D) média ponderada
(E) ponto médio
Resolução:P4-19-Q67
(A) INCORRETA. A média aritmética é definida como a soma das observações
dividida pelo número de observações. Portanto, através da sua determinação
não é possível determinar qual o valor que aparece com maior frequência em
uma determinada amostragem.
(B) CORRETA. A moda é um parâmetro estatístico que determina o valor que
aparece mais vezes em um conjunto de dados. Utilizando como exemplo os
valores de limite de escoamento abaixo, o candidato poderá verificar como é
simples a determinação da moda de uma amostra.
Amostra: 300 Mpa; 350 MPa; 350 MPa; 250 MPa e 350 MPa.
Moda = 350 MPa.
(C) INCORRETA. A mediana é o valor (pertencente ou não ao conjunto de da-
dos) que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos de mesmo tama-
nho. Para determinar a mediana de uma determinada amostra, é necessário
primeiro ordená-la de forma crescente ou decrescente.
(D) INCORRETA. A média ponderada atribui “pesos” aos valores da amostra.
Para entender melhor, será utilizado um exemplo. Uma empresa é constituída
de 40 funcionários, sendo os seus salários representados pela tabela a seguir:
Número de funcionários Salário (R$)
20 R$ 465,00
15 R$ 930,00
5 R$ 1.395,00
A média salarial da empresa, é feita através da seguinte ponderação:
Média =
(20× 465) + (15× 930) + (5× 1395)
20 + 15 + 5
= R$ 755, 62
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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(E) INCORRETA. O ponto médio é representado pela media aritmética entre o
limite superior e limite inferior de uma amostra.
�� ��Alternativa (B)
Questão 19
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2014/2)
O ensaio Charpy de três materiais, M, N e P, encontrou 
como resultado os valores de média e desvio padrão 
100 ± 20J, 80 ± 20J e 100 ± 25J, respectivamente. 
O(s) material(ais) cujo(s) resultado(s) apresenta(m) os va-
lores com a menor dispersão, em termos relativos ao seu 
valor médio, é(são)
(A) somente o material M
(B) somente o material N
(C) somente o material P
(D) os materiais M e N
(E) os materiais M e P
Resolução:P4-19-Q68
A medida de dispersão relativa ou coeficiente de variação de Pearson (CVP)
pode ser definido como a razão entre o desvio padrão (σ) e a média dos dados da
série (M ).
CV P =
σ
M
Material M:
M = 100 e σ = 20
CVP =
20
100
= 0, 2
Material N:
M = 80 e σ = 20
CV P =
20
80
= 0, 25
Material P:
M = 100 e σ = 25
CV P =
25
100
= 0, 25
Portanto, aquele que apresenta os valores com menor CVP é o material M.
�� ��Alternativa (A)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 20
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2012/1)
60
Um engenheiro mecânico oferece determinado equipa-
mento desenvolvido por ele para duas empresas, que 
estipulam um prazo de uma semana para uma decisão. 
A probabilidade de o engenheiro receber uma oferta da 
empresa 1 é de 0,5, e da empresa 2 é de 0,7, e de ambas 
as empresas é de 0,4. 
A probabilidade de que o engenheiro consiga uma oferta 
de pelo menos uma das empresas é de 
(A) 0,3
(B) 0,5
(C) 0,8
(D) 1,4
(E) 1,6
Resolução:
Conforme o enunciado do problema, o engenheiro possui três possibilidades
venda desse equipamento:
• Evento 1: de somente a empresa 1 requisitar o equipamento. Tendo 50% de
chance de ocorrer e sendo chamado de P (1).
• Evento 2: de somente a empresa 2 solicitar o equipamento. Tendo 70% de
chance de ocorrer e sendo chamado de P (2).
• Evento 3: ou das duas empresas solicitarem simultaneamente o equipamento.
Tendo 40% de chance de ocorrer e sendo chamado P (1 ∩ 2).
Então, para se calcular somente a possibilidade da empresa 1 ou da em-
presa 2 solicitar o equipamento é necessário excluir a probabilidade de que as
duas empresas comprem o equipamento. Sendo este, um caso onde se deseja
saber a probabilidade de ocorrer o evento 1 ou o evento 2, sem que ocorra o os
dois eventos ao mesmo tempo.
Para resolver a questão, o candidato precisa aplicar a seguinte equação:
P (1 ∪ 2) = P (1) + P (2)− P (1 ∩ 2)
P (1 ∪ 2) = 0, 5 + 0, 7− 0, 4
P (1 ∪ 2) = 0, 8
�� ��Alternativa (C)
789.976.407-63
789.976.407-63
789.976.407-63
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Questão 21
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2012/1)61
Um departamentode uma empresa tem dois caminhões 
à sua disposição para o transporte de equipamentos. 
A probabilidade de o caminhão 1 estar disponível quando 
necessário é de 0,84, e a do caminhão 2 é de 0,92. 
A probabilidade de os caminhões 1 e 2 estarem disponí-
veis para uma determinada solicitação é de 
(A) 0,36
(B) 0,77
(C) 0,85 
(D) 1,4
(E) 1,7
Resolução:
Este é um clássico problema de eventos independentes, pois a disponibili-
dade do caminhão 1 não está atrelada a do caminhão 2 e vice-versa. Pela defini-
ção, dois eventos, no nosso caso 1 e 2, são ditos independentes quando o produto
de suas probabilidades é igual a probabilidade da interseção (P (1 ∩ 2)) de seus
eventos.
Então, chamando a probabilidade de disponibilidade do caminhão 1 de P (1)
e a do caminhão 2 de P (2), a resolução pode ser descrita da seguinte forma:
P (1 ∩ 2) = P (1)P (2)
P (1 ∩ 2) = 0, 84× 0, 92
P (1 ∩ 2) = 0, 77
�� ��Alternativa (B)
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Questão 22
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2011)59
Uma fábrica está investindo na produção de uma nova 
bomba altamente sofisticada. Uma pesquisa que consi-
dera as duas maiores empresas da região mostrou que 
a probabilidade da empresa 1 comprar tal bomba é de 
0,7, e a da empresa 2 é de 0,5. Já a probabilidade de a 
compra ser efetuada pelas duas empresas corresponde a 
0,4. Nessa perspectiva, a probabilidade de a bomba ser 
comprada por pelo menos uma das empresas é 
(A) 0,5
(B) 0,6
(C) 0,7
(D) 0,8
(E) 0,9
Resolução:
Simplificando o enunciado do problema, o candidato percebe que há três
possibilidades de venda da bomba mencionada:
• Evento 1: de somente a empresa 1 comprá-la. Tendo 70% de chance de
ocorrer e sendo chamado de P (1).
• Evento 2: de somente a empresa 2 requisitar a bomba. Tendo 50% de chance
de ocorrer e sendo chamado de P (2).
• Evento 3: ou das duas empresas comprarem simultaneamente este equipa-
mento. Tendo 40% de chance de ocorrer e sendo chamado P (1 ∩ 2).
Então, para se calcular somente a possibilidade da empresa 1 ou da em-
presa 2 comprar a bomba é necessário excluir a probabilidade de que as duas
empresas comprem o equipamento. Sendo este, um caso onde se deseja saber a
probabilidade de ocorrer o evento 1 ou o evento 2, sem que ocorra os dois eventos
ao mesmo tempo.
Para resolver a questão, o candidato precisa aplicar a seguinte equação:
P (1 ∪ 2) = P (1) + P (2)− P (1 ∩ 2)
P (1 ∪ 2) = 0, 5 + 0, 7− 0, 4
P (1 ∪ 2) = 0, 8
�� ��Alternativa (D)
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 É vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.
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Questão 23
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2011)
60
No estoque de uma empresa, há trinta compressores do 
mesmo tipo. Seis deles, no entanto, são defeituosos. Um 
funcionário seleciona aleatoriamente dois desses com-
pressores. Considerando-se que, uma vez selecionados, 
não há reposição de qualquer dos equipamentos, qual a 
probabilidade de ambos serem defeituosos? 
(A) 1/36 (B) 1/29 (C) 1/25 (D) 1/5 (E) 2/5
Resolução:
Para resolvermos essa questão podemos dividir as probabilidades em duas
etapas, 1 e 2:
• Etapa 1:momento em que o funcionário escolhe o primeiro compressor. A
possibilidade de ele tirar esse equipamento defeituoso é de 6 chances em
30, pois são 6 compressores defeituosos e 30 compressores no total. Então,
a probabilidade do funcionário selecionar o compressor defeituoso é de 6
30
.
Nesse caso podemos equacionar como: P (1) = 6
30
• Etapa 2: para a escolha do segundo compressor, o funcionário possui a dis-
posição 29 compressores no total e, assumindo que na primeira escolha ele
selecionou um compressor com defeito, restam 5 compressores defeituosos
no estoque. Dessa forma, a probabilidade do funcionário retirar outro com-
pressor defeituoso é de 5
29
. Podemos escrever que P (2) = 5
29
. Neste momento
é importante que o candidato relembre da frase apresentada no enunciado da
resolução, pois ela afirma que o funcionário não devolve o compressor defei-
tuoso após ter feito a primeira escolha.
Então, como se trata de um problema de eventos independentes, tem-se a
definição: os dois eventos, no nosso caso 1 e 2, são ditos independentes quando
o produto de suas probabilidades é igual a probabilidade da interseção (P (1 ∩ 2))
de seus eventos. Podemos equacionar da seguinte forma:
P (1 ∩ 2) = P (1)P (2)
P (1 ∩ 2) =
6
30
× 5
29
P (1 ∩ 2) =
1
29 �� ��Alternativa (B)
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Questão 24
(Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior - Mecânica - Petrobras 2010/1)
19
A distribuição normal é uma das mais utilizadas para
inferência estatística da probabilidade de ocorrência de di-
versos fenômenos em engenharia. Nela, qualquer variável
aleatória normal X é convertida em uma variável normal
padronizada Z, tal que 
X
Z
ˆ
� �
�
�
, onde �̂ é o desvio
padrão e � é a média aritmética. Na distribuição normal
padronizada,
(A) a variável Z é contínua e representa o número de des-
vios em relação à média.
(B) a variável Z possui média não nula e desvio padrão
igual a 1.
(C) um ponto da curva da distribuição indica a probabilidade
da variável aleatória assumir um valor real entre 0 e 1.
(D) valores idênticos acima e abaixo da média têm proba-
bilidades complementares, pois a curva é simétrica.
(E) as médias amostrais terão distribuição diferente da
normal para qualquer tamanho amostral n.
Resolução:
É importante que o candidato saiba os conceitos de distribuição normal e
distribuição normal padronizada. Na distribuição normal padronizada, os cálculos
de probabilidade são facilitados, pois se projeta qualquer análise mediante o uso
da variável padronizada Z. Cada par de parâmetros (µ e σ) define uma distribuição
distinta, sendo que as medidas de tendência central: média, mediana e moda são
todas idênticas, pois a curva é simétrica. Utilizando a fórmula de transformação
abaixo é possível converter qualquer variável aleatória normal χ em na variável
padronizada Z:
Z =
χ− µ
σ
A estimativa de probabilidades ligadas a variáveis aleatórias contínuas leva
em consideração o cálculo de área sob a curva da densidade. Este ponto