lista 1

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Cálculo III
Licenciatura em Fı́sica - 2024.2
Profª. Franciane
Aluno(a):
Lista 1
Funções de Várias Variáveis
Q1. Determine o domı́nio das funções abaixo e faça um esboço do domı́nio.
(a) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)
(b) f(x, y) =
√
1− x2 −
√
1− y2
(c) f(x, y) =
√
y +
√
25− x2 − y2
(d) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
(e) f(x, y, z) = ln(16− 4x2 − 4y2 − z2)
Q2. Use o GEOGEBRA para desenhar o gráfico das funções abaixo.
(a) f(x, y) = y2 + 1
(b) f(x, y) = 3− x2 − y2
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2
Limite e Continuidade
Q3. Calcule os limites abaixo.
(a) lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
Q4. Mostre que os limites abaixo não existem.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
y4
x4 + 3y4
(b) lim
(x,y)→(0,0)
6x3y
2x4 + y4
1
Q5. Determine o valor de L para que a função
f(x, y) =

3x2y
x2 + y2
, se (x, y) ̸= (0, 0) ,
L se (x, y) = (0, 0) ,
seja contı́nua.
Derivadas Parciais
Q6. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
(a) f(x, y) = x4y3 + 8x2y
(b) f(x, t) =
√
x ln(t)
(c) f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z)
Q7. Enuncie o Teorema de Clairaut.
Q8. Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para as funções abaixo.
(a) f(x, y) = x4y3 − y4
(b) f(x, t) = cos(x2y)
Diferenciabilidade, Plano Tangente e Diferencial
Q9. Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto (0, 0).
f(x, y) =

x3
x2 + y2
, se (x, y) ̸= (0, 0) ,
0 se (x, y) = (0, 0) ,
Q10. Verifique se a função dada é diferenciável.
(a) f(x, y) = ex−y2
(b) f(x, y) = x2y
(c) f(x, y) = ln(1 + c2 + y2)
Q11. Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1))
(b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1))
Q12. Determine o plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = xy sabendo que esse plano passa pelos
pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1).
Q13. Calcule a diferencial de z = x2y.
2
Regra da Cadeia
Q14. Use a Regra da Cadeia para achar a derivada dz/dt em cada item abaixo.
(a) z = x2 + y2 + xy, com x = sen(t) e y = et.
(b) w = ln(x2 + y2 + w2), com x = sen(t), y = cos(t) e w = tg(t).
Q15. Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais ∂z/∂t e ∂z/∂s em cada item abaixo.
(a) z = x2y3, com x = s cos(t) e y = s sen(t).
(b) z = er cos(θ), com r = st, θ =
√
s2 + t2.
Derivada Direcional e Gradiente
Q16. Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função f . Determine também a derivada
direcional de f no ponto e na direção dados.
(a) f(x, y) =
y2
x
, P (1, 2), v =
1
3
(2i+
√
5j).
(b) f(x, y) = ex sen(y), P (0, π/3), v = −6i+ 8j.
3