VW equilibrio

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d) \( y = Ce^{-x} + e^{x} \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}e^{-x} \) 
 **Explicação:** Usando o fator integrante \( e^{\int 1 \, dx} = e^x \), obtemos a solução. 
 
21. **Problema 21:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{4}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(t) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\pi/2} \cos^3(t) \, dt \). 
 
22. **Problema 22:** Determine a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \ln(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), obtemos \( \int \frac{1}{u} du = 
\ln(u) + C \). 
 
23. **Problema 23:** Qual é a integral de \( \int \sec^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \sin(x) + C \) 
 d) \( -\cos(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é \( \tan(x) + C \). 
 
24. **Problema 24:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, onde \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \) e 
\( \frac{d}{dx}(x) = 1 \). 
 
25. **Problema 25:** Determine a integral \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 
= 0 \). 
 
26. **Problema 26:** Calcule o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 b) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 c) \( \frac{1}{2}(e^{1} - 1) \) 
 d) \( \frac{1}{2}(e^{0} - 1) \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), onde \( du = 2x \, dx \). 
 
27. **Problema 27:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 b) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 d) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2}(x^3 + 1)^{-1/2} \cdot 3x^2 
\). 
 
28. **Problema 28:** Calcule a integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \ln(e) \) 
 c) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 d) \( \ln(2) \) 
 **Resposta:** c) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \ln(x) \right]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
29. **Problema 29:** Qual é a integral de \( \int x \cos(x^2) \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 b) \( -\frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 c) \( \cos(x^2) + C \) 
 d) \( \sin(x^2) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), onde \( du = 2x \, dx \). 
 
30. **Problema 30:** Calcule o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** b) \( 1 \) 
 **Explicação:** A integral é a soma dos termos que resulta em \( 1 \). 
 
31. **Problema 31:** Determine a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) 
até o termo de \( x^5 \). 
 a) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) 
 b) \( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{120} \) 
 c) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{60} \) 
 d) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{30} \)