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**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \), a integral se 
torna \( \frac{3\pi}{8} \). 
 
22. **Problema 22:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 
1 \). 
 
23. **Problema 23:** Encontre a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 c) \( e^{x^3} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x^3} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), \( du = 3x^2 dx \), obtemos \( 
\frac{1}{3} e^{u} + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C \). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
25. **Problema 25:** Determine a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
26. **Problema 26:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{3\cos(3x)}{1} 
= 3 \). 
 
27. **Problema 27:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{5}{6} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( 1 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + 1 = 1 
\). 
 
28. **Problema 28:** Calcule \( \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 d) \( -\frac{1}{6} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = e^{2x} \), obtemos \( du = 2e^{2x} dx \), e a 
integral é resolvida. 
 
29. **Problema 29:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \). 
 
30. **Problema 30:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 \). 
 
31. **Problema 31:** Determine a integral \( \int \sin^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 b) \( -\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 d) \( -\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \). 
 
32. **Problema 32:** Calcule a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \). 
 a) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2} \) 
 d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)