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Matrizes M A TE M Á TI C A 39Bernoulli Sistema de Ensino OBSERVAÇÃO Convém ressaltar que uma matriz A pode não possuir inversa. Caso possua, A é dita inversível (ou investível), e sua inversa é única. Caso contrário, a matriz A é chamada singular. Obtenção da matriz inversa Exemplo: Calcular a inversa da matriz A = 2 1 0 3 . Seja a matriz inversa dada por A–1 = x z y t . Assim, temos: A.A–1 = I ⇒ 2 1 0 3 1 0 0 1 = . x z y t ⇒ 2 2 3 3 1 0 0 1 x y z t y t + + = Igualando termo a termo, obtemos os seguintes sistemas: 2 1 3 0 x y y + = = ⇔ x e y = = 1 2 0 e 2 0 3 1 z t t + = = ⇔ z e t = − = 1 6 1 3 Portanto, A–1 = 1 2 1 6 0 1 3 − . Unicidade da matriz inversa Se a matriz A é inversível, então a sua inversa é única. Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que exista uma outra matriz B, tal que A.B = B.A = I. Sabemos que A.A–1 = I. Multiplicando-se, à esquerda, ambos os membros da equação anterior, temos: B.(A.A–1) = B.I ⇒ (B.A).A–1 = B.I Mas, B.A = I. Logo, I.A–1 = B.I e, portanto, A–1 = B. Portanto, a matriz inversa de A é única. Propriedades da matriz inversa Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Assim, temos: i) A A− −( ) =1 1 ii) A At t( ) = ( )− − 1 1 iii) AB B A. .( ) = − − −1 1 1 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. (IFAL–2016) A matriz Aij(2×3) tem elementos definidos pela expressão aij = i3 – j2. Portanto, a matriz A é: A) − − − 0 3 8 7 4 1 B) − 0 7 26 3 4 23 C) − 0 3 7 4 26 23 D) − − − 0 7 3 4 8 1 E) − − − 0 1 2 1 0 1 02. (UFOP-MG) Dadas as matrizes A = a b a 1 1 1− e B = 1 1 0 0 1 0 − , sabe-se que A.Bt = 3 4 2 1− . O valor de a + b é A) 3. B) 7. C) 10. D) 11. 03. (FGV–2018) Seja A = (aij)2x2 uma matriz tal que = = ≠ a –j ,se i j (–i) ,se i j –2 1 2 1 – 1 2 –2 1 2 –1 1 2 –1 6 – 2 3 1 6 – 2 3 –1 6 – 2 3 1 6 2 3 –2 3 –1 6 1 3 – 1 6 ij ii J . A inversa da matriz A, denotada por A–1, é a matriz: A) = = ≠ a –j ,se i j (–i) ,se i j –2 1 2 1 – 1 2 –2 1 2 –1 1 2 –1 6 – 2 3 1 6 – 2 3 –1 6 – 2 3 1 6 2 3 –2 3 –1 6 1 3 – 1 6 ij ii J B) = = ≠ a –j ,se i j (–i) ,se i j –2 1 2 1 – 1 2 –2 1 2 –1 1 2 –1 6 – 2 3 1 6 – 2 3 –1 6 – 2 3 1 6 2 3 –2 3 –1 6 1 3 – 1 6 ij ii J C) = = ≠ a –j ,se i j (–i) ,se i j –2 1 2 1 – 1 2 –2 1 2 –1 1 2 –1 6 – 2 3 1 6 – 2 3 –1 6 – 2 3 1 6 2 3 –2 3 –1 6 1 3 – 1 6 ij ii J D) = = ≠ a –j ,se i j (–i) ,se i j –2 1 2 1 – 1 2 –2 1 2 –1 1 2 –1 6 – 2 3 1 6 – 2 3 –1 6 – 2 3 1 6 2 3 –2 3 –1 6 1 3 – 1 6 ij ii J E) = = ≠ a –j ,se i j (–i) ,se i j –2 1 2 1 – 1 2 –2 1 2 –1 1 2 –1 6 – 2 3 1 6 – 2 3 –1 6 – 2 3 1 6 2 3 –2 3 –1 6 1 3 – 1 6 ij ii J 04. (PUC RS–2015) Dada a matriz = A 1 1 1 1 e a função f, definida no conjunto das matrizes 2 × 2 por f(x) = x2 – 2x, então f(A) é: A) − − − − 1 1 1 1 B) 0 0 0 0 C) 1 1 1 1 D) 2 2 2 2 E) 3 3 3 3 05. (Unicamp-SP–2016) Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a A) 12. B) 15. C) 16. D) 20. https://youtu.be/s9CDL1Y-hpE https://youtu.be/zwDtEU3KPLc https://youtu.be/O0p3HQI3HAc Frente B Módulo 22 40 Coleção 6V 06. (ESPM-SP) Duas matrizes quadradas de mesma ordem são inversas se o seu produto é igual à matriz identidade daquela ordem. Sendo = − A 2 1 0 1 e = B x y z w matrizes inversas, o valor de x + y + z + w é A) 0. B) 1 . C) –2. D) 3. E) –4. 07. (UEA-AM–2016) Considere as matrizes = − A 1 a 2 2 3 1 , = − − B 1 b 1 2 e = − − − C b 4 2 a 1 1 b , tais que A.B = 2.C. O valor de ba é A) 28. B) 30. C) 32. D) 34. E) 36. 08. (Unifor-CE) A matriz inversa da matriz a b c d é a matriz − − 1 0 2c 3 1 . Calcule o valor de a + b + c + d. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (Insper-SP) Considere as matrizes = A 3 0 0 1 , = B 0 3 8 0 , = X x y e = Y x y 2 2 . Se x e y são as soluções não nulas da equação + = A.Y B.X 0 0 , então x.y é igual a A) 6. B) 7. C) 8. D) 9. E) 10. 02. (UFRGS-RS) A = (aij) é uma matriz de ordem 2 × 2 com aij = 2–i se i = j e aij = 0 se i ≠ j. A inversa de A é: A) 1 2 0 0 1 4 B) − − 1 2 0 0 1 4 C) 2 0 0 4 D) − − 2 0 0 4 E) 2 0 0 212 03. (Uncisal) Dadas as matrizes = + − A x y x y 3 1 e = B 10 0 0 10 , os valores de x e y de modo que A.At = B são: A) x = y = –1 B) x = –2, y = 1 C) x = 1, y = –2 D) x = y = –2 E) x = y = 2 04. (UEG-GO–2016) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 × 2, em que cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por exemplo, se a resolução de A.B for igual a 1 13 15 18 , logo, a mensagem recebida é amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz = − B 1 1 2 1 , então a matriz A é A) − − 8 7 8 10 B) − − 6 6 7 11 C) − − 8 5 7 11 D) − − 6 7 6 11 05. (UFG-GO) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareados e sextavados, que são vendidos em caixas grandes, com 2 000 parafusos, e pequenas, com 900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo, contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo, produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano. Tabela 1 Parafusos / caixas Pequena Grande Soft 200 500 Escareado 400 800 Sextavado 300 700 Tabela 2 Caixas / mês Jan Fev Mar Pequena 1 500 2 200 1 300 Grande 1 200 1 500 1 800 Associando as matrizes = = A 200 500 400 800 300 700 e B 1 500 2 200 1 300 1 200 1 500 1 800 https://youtu.be/8GOkKXv8ldEhttps://youtu.be/lZWiBwYiZxk https://youtu.be/UCL7aFYwk4o https://youtu.be/EVKu6Fawchg https://youtu.be/VfqkwwmebMU https://youtu.be/Rb8dO8-b3RA https://youtu.be/ZusNRA_OQsc
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- Dadas as matrizes abaixo: encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1. Questão 13Escolha uma opção: a. b. c. d. e.
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- Dado o sistema de equações lineares abaixo a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente:
- João tinha 408 tijolos e gastou 102. Com quantos tijolos ele ficou?
A. 299
B. 306
C. 326
D. 279
- Roberto tinha 955 dólares e gastou 191. Com quantos dólares ele ficou?
A. 462
B. 754
C. 254
D. 764