CONHECIMENTOS LÓGICOS DE MATEMATICA

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CONHECIMENTOS LÓGICOS-MATEMÁTICOS 
1. Proposições
2. Operações e Propriedades
3. Números Conjuntos Numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais
4. Complexos (Forma Algébrica e Trigonométrica)
5. Operações, Propriedades e Aplicações
6. Sequências Numéricas, Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
7. Funções Elementares: 1° Grau, 2° Grau, Modular, Exponencial e Logarítmica, Gráficos, Equações
8. Geometria Plana: Figuras Geométricas, Congruência, Semelhança, Perímetro e Área
9. Geometria Espacial: Paralelismo, Perpendicularismo entre Retas e Planos
10. Áreas e Volumes dos Sólidos Geométricos Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera
11. Geometria Analítica no Plano: Retas, Circunferência e Distâncias
12. Proporcionalidade e Finanças
13. Porcentagem. Acréscimos e Descontos
14. Gráficos Estatísticos
15. As Quatro Operações
16. Juros Simples
17. Regra de Três Simples
18. Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
19. Equação de 1º E 2º Graus
20. Sistemas De Equações
CONHECIMENTOS LÓGICOS-MATEMÁTICOS 
1. Proposições
Em matemática, o conceito de proposição é fundamental para estabelecer teoremas, demonstrações e argumentos lógicos. Vamos explorar o significado e as características das proposições:
1. Definição de Proposição:
· Uma proposição é uma sentença completa que pode ser considerada verdadeira ou falsa.
· Ela expressa um pensamento ou afirmação sobre a realidade.
· As proposições podem ser afirmativas ou negativas.
2. Exemplos de Proposições:
· Afirmativas:
· “A matemática é muito fácil.”
· “Ana passou no concurso.”
· Negativas:
· “Lucas não trabalha.”
3. Princípios Importantes:
· Princípio de Identidade: Se um enunciado é verdadeiro, ele deve ser assumido como verdadeiro, e vice-versa.
· Princípio do Terceiro Excluído: Não existe outra possibilidade além de verdadeiro ou falso.
· Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
4. Classificação das Proposições:
· Proposição Simples: Representa apenas um pensamento. Exemplo: “Ana passou no concurso.”
· Proposição Composta: Expressa mais de um pensamento, ligados por conectivos lógicos. Exemplo: “Paulo tem um carro e Lucas tem uma moto.”
5. Representação:
· Para facilitar o estudo, usamos letras (geralmente minúsculas) para representar proposições.
· Exemplos:
· (p): “A matemática é muito fácil.”
· (q): “Todos os brasileiros gostam de futebol.”
· (p \land q): “A matemática é muito fácil e todos os brasileiros gostam de futebol.”
Lembre-se de que as proposições são a base para o raciocínio lógico e a construção de argumentos matemáticos.
2. Operações e Propriedades
Vamos explorar algumas operações e propriedades matemáticas:
1. Adição (Soma):
· A adição é uma operação fundamental na matemática.
· Propriedade Comutativa: A ordem dos números não afeta o resultado da adição. Ou seja, (a + b = b + a).
2. Subtração:
· A subtração é a operação inversa da adição.
· Propriedade Associativa: A ordem dos números não afeta o resultado da subtração. Ou seja, ((a - b) - c = a - (b + c))
3. Multiplicação:
· A multiplicação é uma operação que combina dois ou mais números para obter um produto.
· Propriedade Comutativa: A ordem dos números não afeta o resultado da multiplicação. Ou seja, (a \cdot b = b \cdot a).
· Propriedade Distributiva: A multiplicação distribui sobre a adição. Ou seja, (a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c).
4. Divisão:
· A divisão é a operação inversa da multiplicação.
· Propriedade da Divisão: Se (a) é divisível por (b), então (\frac{a}{b}) é um número inteiro.
5. Potenciação:
· A potenciação envolve elevar um número à potência de outro número.
· (a^n) representa (a) elevado à potência de (n).
· Propriedade das Potências com Expoente Zero: (a^0 = 1) (exceto quando (a = 0)).
· Propriedade das Potências com Expoente Negativo: (a^{-n} = \frac{1}{a^n}).
6. Radiciação:
· A radiciação envolve encontrar a raiz quadrada, cúbica ou outras raízes de um número.
· (\sqrt[n]{a}) representa a raiz (n)-ésima de (a).
7. Propriedade da Igualdade:
· Se (a = b), então podemos substituir (a) por (b) (e vice-versa) em qualquer expressão matemática.
Lembre-se de que essas operações e propriedades são essenciais para resolver problemas matemáticos e construir argumentos sólidos.
3. Números
Números são conceitos matemáticos fundamentais que caracterizam a contagem, a ordenação ou a medição. Eles nos permitem expressar quantidades, identificar posições e representar grandezas. Vamos explorar mais sobre os números:
1. Números Naturais (ℕ):
· Os números naturais são aqueles usados para contar objetos ou representar quantidades inteiras positivas.
· Exemplos: 1, 2, 3, 4, 5, …
2. Números Inteiros (ℤ):
· Os números inteiros incluem os naturais e seus opostos (negativos).
· Exemplos: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
3. Números Racionais (ℚ):
· Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração (a/b), onde (a) e (b) são inteiros e (b \neq 0).
· Exemplos: (\frac{1}{2}), (\frac{3}{4}), (\frac{-5}{7}), …
4. Números Irracionais:
· Os números irracionais não podem ser expressos como frações exatas.
· Exemplos famosos: (\pi), (e), (\sqrt{2}).
5. Números Reais (ℝ):
· Os números reais incluem todos os racionais e irracionais.
· Representam pontos em uma reta numérica.
· Exemplos: 0, 1, -3.14, (\sqrt{5}), …
6. Números Complexos (ℂ):
· Os números complexos incluem uma parte real e uma parte imaginária.
· São expressos na forma (a + bi), onde (a) e (b) são números reais e (i) é a unidade imaginária ((i^2 = -1)).
· Exemplos: (3 + 2i), (-1 - 4i), …
Lembre-se de que esses conceitos são fundamentais na matemática e têm aplicações em várias áreas, como álgebra, geometria, cálculo e física. 
1. Importância dos Números:
· Os números são essenciais para resolver problemas matemáticos, construir argumentos lógicos e entender o mundo ao nosso redor.
4. Complexos (Forma Algébrica e Trigonométrica)
Os números complexos são uma extensão dos números reais que inclui uma parte imaginária. Eles são representados na forma algébrica e na forma trigonométrica. Vamos explorar essas duas representações:
1. Forma Algébrica:
· Um número complexo é expresso como (z = a + bi), onde (a) é a parte real e (b) é a parte imaginária.
· Aqui, (a) e (b) são números reais, e (i) é a unidade imaginária, definida como (\sqrt{-1}).
· A forma algébrica é útil para operações aritméticas com números complexos.
2. Forma Trigonométrica:
· Na forma trigonométrica, um número complexo é representado como (z = \rho \cos(\alpha) + i \sin(\alpha)).
· Aqui, (\rho) é o módulo (ou magnitude) do número complexo, e (\alpha) é o argumento (ângulo) medido em relação ao eixo positivo do eixo real.
· As fórmulas de transformação entre as formas algébrica e trigonométrica são:
· (a = \rho \cos(\alpha))
· (b = \rho \sin(\alpha))
Vamos ver alguns exemplos:
1. Dado um número complexo na forma algébrica, como (z = \frac{2}{3} + 2i):
· Calculamos o módulo:
· (\rho = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2^2} = \frac{4}{3})
· Calculamos o ângulo:
· (\cos(\alpha) = \frac{2}{\rho} = \frac{2}{4/3} = \frac{3}{2})
· (\sin(\alpha) = \frac{2}{\rho} = \frac{2}{4/3} = \frac{3}{2})
· Portanto, (\alpha = 30^\circ)
· O número complexo na forma trigonométrica é:
· (z = \frac{4}{3} \cos(30^\circ) + i \frac{4}{3} \sin(30^\circ))
2. Transformando um número complexo da forma trigonométrica para a forma algébrica, como (z = \frac{5}{2} \cos\left(\frac{315}{15}\right) + i \sin\left(\frac{315}{15}\right)):
· Calculamos (\cos\left(\frac{315}{15}\right)) e (\sin\left(\frac{315}{15}\right)).
· Multiplicamos pelos valores de (\rho):
· (a = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 5 - 5i)
Em resumo, a forma trigonométrica nos permite visualizar números complexos como pontos no plano complexo, combinando magnitude e ângulo. Essa representação é especialmente útil em problemas envolvendo rotações e oscilações.
5. Operações, Propriedades e Aplicações
Operações matemáticas são os processos mais elementaresrealizados entre números. Elas incluem adição, subtração, multiplicação e divisão. Além dessas operações básicas, existem outras, como potenciação e radiciação, que são estudadas em níveis mais avançados.
Vamos explorar algumas informações sobre números reais, suas operações e propriedades:
1. Números Reais:
· O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais (que podem ser representados como frações) e dos números irracionais (que não podem ser expressos como frações).
· Os números racionais incluem os números naturais e os números inteiros.
· Os números reais são amplamente utilizados no cotidiano, em medições, cálculos matemáticos, estudo de grandezas físicas e químicas, entre outras situações1.
2. Operações com Números Reais:
· Podemos realizar as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) com números reais.
· Propriedades específicas dos números reais incluem:
· Elemento neutro na adição e na multiplicação.
· Comutatividade (a ordem das operações não altera o resultado).
· Associatividade (a forma como agrupamos os números não afeta o resultado).
· Distributividade (a multiplicação distribui sobre a adição).
· Existência de inverso na multiplicação.
· Fechamento para adição e multiplicação1.
3. Representação na Reta Numérica:
· Os números reais podem ser ordenadamente representados na reta real.
Propriedades das operações matemáticas são características importantes que nos ajudam a entender como as operações funcionam e a simplificar cálculos. Vamos explorar algumas propriedades dos números reais e suas operações:
1. Existência de um elemento neutro na adição e na multiplicação:
· Na adição, o elemento neutro é o zero. Qualquer número somado a zero permanece inalterado.
· Na multiplicação, o elemento neutro é o um. Qualquer número multiplicado por um resulta no próprio número.
2. Propriedade comutativa:
· A adição é comutativa: a ordem dos números não afeta o resultado. Ou seja, (a + b = b + a).
· A multiplicação também é comutativa: (a \cdot b = b \cdot a).
3. Propriedade associativa:
· A adição é associativa: a forma como agrupamos os números não altera o resultado. Ou seja, ((a + b) + c = a + (b + c)).
· A multiplicação também é associativa: ((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)).
4. Propriedade distributiva:
· A multiplicação distribui sobre a adição: (a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c).
5. Existência de um inverso na multiplicação:
· Para cada número real (a \neq 0), existe um número real (b) tal que (a \cdot b = 1). Esse número (b) é chamado de inverso multiplicativo de (a).
6. Fechamento para a adição e para a multiplicação:
· Quando somamos ou multiplicamos dois números reais, o resultado também é um número real.
6. Sequências Numéricas, Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Sequências numéricas são conjuntos ordenados de números que seguem um padrão específico. Duas das sequências mais estudadas são a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG).
1. Progressão Aritmética (PA):
· Uma PA é uma sequência de números reais em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Essa diferença constante é chamada de razão.
· Os termos de uma PA podem ser encontrados somando essa razão ao termo anterior.
· A fórmula geral para o n-ésimo termo de uma PA é: 
an​=a1​+(n−1)⋅r
· Exemplos de PAs: 
· PA constante: (2, 2, 2, 2, …)
· PA crescente: (2, 4, 6, 8, 10, …)
· PA decrescente: (4, 2, 0, -2, -4, …)
2. Soma dos termos de uma PA:
· A soma dos termos de uma PA finita pode ser calculada pela fórmula: 
Sn​=2n​⋅(a1​+an​)
· Quando dados o primeiro termo (a1​), a razão (r) e o número de termos (n), podemos usar a fórmula: 
Sn​=2n​⋅(2a1​+(n−1)⋅r)
3. Progressão Geométrica (PG):
· Uma PG é uma sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão comum.
· Os termos de uma PG podem ser encontrados multiplicando essa razão pelo termo anterior.
· Exemplo de PG: (2, 6, 18, 54, …)
Em resumo, as PAs e PGs são importantes em matemática e têm aplicações em diversas áreas, como cálculos financeiros, crescimento populacional, física e muito mais
7. Funções Elementares: 1° Grau, 2° Grau, Modular, Exponencial E Logarítmica, Gráficos, Equações
Funções Elementares: 1° Grau
Uma função do primeiro grau, também conhecida como função linear, é um tipo de função matemática que possui uma relação direta e proporcional entre a variável independente (x) e a variável dependente (y)1. Essas funções são escritas na forma geral (y = ax + b), em que (a) e (b) são números reais, com (a) diferente de zero. Vamos explorar mais sobre as funções do primeiro grau:
1. Definição: Uma função do primeiro grau relaciona cada elemento de um conjunto (A) a um único elemento de outro conjunto (B), em que (x) é a variável independente e (y) é a variável dependente. O grau da função é dado pelo maior expoente da variável independente, e no caso das funções do primeiro grau, esse expoente é 1.
2. Exemplos:
· (y = 2x + 9): Essa é uma função afim, com (a = 2) e (b = 9).
· (y = -x - 7): Também é uma função do primeiro grau, com (a = -1) e (b = -7).
· (f(x) = 0.2x): Essa função afim tem (a = 0.2) e (b = 0).
3. Gráfico: O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta. O coeficiente (a) determina a inclinação da reta, enquanto o termo constante (b) define o ponto onde a reta intercepta o eixo (y).
Em resumo, as funções do primeiro grau são essenciais para entender as relações lineares entre variáveis e têm aplicações em diversas áreas da matemática e ciências
Funções Elementares: 2° Grau
Vamos falar sobre funções do segundo grau. Essas funções são também conhecidas como funções quadráticas e têm uma forma específica de lei de formação.
1. Definição: Uma função do segundo grau é uma regra que associa cada elemento de um conjunto (A) a um único elemento de um conjunto (B). Esses conjuntos são chamados de domínio e contradomínio da função. A lei de formação de uma função do segundo grau pode ser escrita da seguinte forma:
[ f(x) = ax^2 + bx + c ]
 
Onde:
· (a), (b), e (c) são constantes reais.
· (x) é a variável independente.
2. Gráfico:
· O gráfico de uma função do segundo grau é sempre uma parábola.
· A parábola pode abrir para cima (se (a > 0)) ou para baixo (se (ae diferente de um. Essas restrições são necessárias, pois (1) elevado a qualquer número resulta em (1). Portanto, em vez de uma função exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Aqui estão alguns pontos importantes sobre funções exponenciais:
1. Definição: Uma função exponencial é aquela em que a variável (x) está no expoente de uma potência cuja base é um número constante maior que zero e diferente de um. Exemplos incluem:
· (f(x) = 4^x)
· (f(x) = (0.1)^x)
· (f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x)
Nos exemplos acima, (4), (0.1) e (\frac{2}{3}) são as bases, enquanto (x) é o expoente.
2. Gráfico da Função Exponencial: O gráfico da função exponencial passa pelo ponto ((0,1)), pois todo número elevado a zero é igual a (1). Além disso, a curva exponencial não toca no eixo (x). A função exponencial tem sempre imagem positiva, pois a base é maior que zero. Portanto, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa). Abaixo, representamos o gráfico dessa função:
 
!Gráfico da função exponencial
3. Função Crescente ou Decrescente:
· A função exponencial é crescente quando a base é maior que (1). Por exemplo, a função (y = 2^x) é uma função crescente. Quando aumentamos o valor de (x), a imagem também aumenta.
· Por outro lado, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que (1) são decrescentes. Por exemplo, (f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x) é uma função decrescente. À medida que os valores de (x) aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem.
!Gráfico da função exponencial crescente e decrescente
4. Função Logarítmica:
· A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como (f(x) = \log_a(x)), com (a) real positivo e (a \neq 1). O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base (a) para obter o número (x), ou seja, (y = \log_a(x) \Leftrightarrow a^y = x).
No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.
Funções Elementares: Logarítmica
A função logarítmica é aquela em que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um. Essas restrições são necessárias, pois (1) elevado a qualquer número resulta em (1). Portanto, em vez de uma função exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Aqui estão alguns pontos importantes sobre funções logarítmicas:
1. Definição: Uma função logarítmica é aquela em que a variável (x) está no expoente de uma potência cuja base é um número constante maior que zero e diferente de um. Exemplos incluem:
· (f(x) = \log_a(x))
· (g(x) = \log_{10}(x))
· (h(x) = \log_e(x)) (também conhecido como logaritmo natural)
Nos exemplos acima, (a), (10), e (e) são as bases, enquanto (x) é o expoente.
2. Domínio da Função Logarítmica: O domínio de uma função logarítmica consiste em todos os valores de (x) onde a função é definida. Devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo. Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de um.
3. Gráfico da Função Logarítmica:
· O gráfico da função (y = \log_a(x)) está localizado nos quadrantes I e IV, pois a função só é definida para (x > 0).
· A curva da função logarítmica não toca o eixo (y) e corta o eixo (x) no ponto de abscissa igual a (1), pois (y = \log_a(1) = 0), para qualquer valor de (a).
4. Função Crescente ou Decrescente:
· A função logarítmica será crescente quando a base (a) for maior que (1). Por exemplo, (f(x) = \log_2(x)) é uma função crescente.
· Por outro lado, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que (1) são decrescentes. Por exemplo, (h(x) = \log_{10}(x)) é uma função decrescente.
5. Função Exponencial:
· A inversa da função logarítmica é a função exponencial. A função exponencial é definida como (f(x) = a^x), com (a) real positivo e diferente de (1).
· O gráfico de duas funções inversas é simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes I e III. Portanto, conhecendo o gráfico da função logarítmica de mesma base, podemos construir o gráfico da função exponencial.
!Gráfico da função logarítmica
Lembre-se de que a função logarítmica e a função exponencial estão intrinsecamente relacionadas e desempenham papéis essenciais em várias áreas da matemática e ciências naturais.
Funções Elementares: Gráficos
Vamos falar sobre funções e seus gráficos.
1. O que é uma função?
· Uma função é uma associação entre elementos de dois conjuntos não vazios, geralmente denotados como domínio e contradomínio.
· No contexto de uma função, cada elemento do domínio está relacionado a um único elemento no contradomínio.
· Por exemplo, pense em uma corrida de táxi: para cada distância percorrida, há um preço específico e único. Isso é análogo a uma função, onde cada entrada (distância) tem uma saída (preço).
2. Domínio, Contradomínio e Imagem:
· O domínio é o conjunto de valores de entrada para os quais a função está definida.
· O contradomínio é o conjunto de valores possíveis para as saídas da função.
· A imagem é o conjunto real de valores de saída que a função realmente assume.
3. Tipos de Funções e Seus Gráficos:
· Existem vários tipos de funções, cada um com características específicas:
· Linear: Gráfico de uma linha reta.
· Quadrática: Gráfico de uma parábola.
· Exponencial: Crescimento ou decaimento exponencial.
· Logarítmica: Gráfico de uma curva logarítmica.
· Polinomial: Pode ter várias formas, dependendo do grau do polinômio.
· Racional: Frações polinomiais.
· Sinusoidal: Funções seno e cosseno.
· Potência: Funções com expoentes variáveis.
4. Representação Gráfica:
· O gráfico de uma função mostra como os elementos do domínio se relacionam com os elementos do contradomínio.
· Cada ponto no gráfico corresponde a um par ordenado (x, y), onde x é a entrada e y é a saída da função.
· A forma do gráfico depende do tipo de função.
Em resumo, os gráficos das funções nos ajudam a visualizar como as grandezas se relacionam e como elas variam em relação umas às outras
Funções Elementares: Equações
Vamos falar sobre funções e equações.
1. Funções Elementares:
· As funções elementares são aquelas que podem ser expressas por fórmulas explícitas, envolvendo apenas as operações básicas (soma, subtração, multiplicação, divisão e raiz) e um conjunto limitado de funções elementares.
· Alguns exemplos de funções elementares incluem:
· Função Afim (do 1º grau): Representada como (f(x) = ax + b), onde (a) e (b) são números reais. Exemplos: (f(x) = x + 5), (g(x) = 3\sqrt{3}x - 8), (h(x) = 2x).
· Função Exponencial: A variável está no expoente, e a base é sempre maior que zero e diferente de um. Representada como (f(x) = ax), onde (a) é um número real positivo.
· Função Quadrática (polinomial de 2º grau): Representada como (f(x) = ax^2 + bx + c), com (a), (b) e (c) números reais e (a \neq 0). Descreve parábolas e é amplamente utilizada em física e engenharia.
· Funções Trigonométricas: Relacionadas com as voltas no ciclo trigonométrico (seno, cosseno, tangente, etc.).
· Função Logarítmica: Representada como (f(x) = \log_a x), com (a) real, positivo e (a \neq 1). É a função inversa da função exponencial.
2. Equações Elementares:
· As equações elementares são aquelas que fundamentam toda a lógica estrutural dos estudos que envolvem todas as equações matemáticas.
· Incluem as equações de primeiro grau (afim) e as equações de segundo grau (quadráticas).
· Por exemplo, uma equação de primeiro grau é (ax + b = 0), e uma equação de segundo grau é (ax^2 + bx + c = 0).
Essas funções e equações desempenham papéis essenciais na matemática e têm aplicações em diversas áreas
8. Geometria Plana: Figuras Geométricas, Congruência, Semelhança, Perímetro e Área
A geometria plana, também conhecida como geometria euclidiana, é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. Ela se concentra em objetos bidimensionais, como pontos, retas, polígonos e superfícies planas. Vamos exploraralguns conceitos importantes dessa área:
1. Ponto: É uma localização adimensional, sem dimensões. Os pontos são indicados por letras maiúsculas.
2. Reta: Uma linha ilimitada unidimensional, representada por uma letra minúscula. As retas podem ser horizontais, verticais ou inclinadas. Quando duas retas se cruzam em um ponto comum, chamamos de retas concorrentes; se não possuem ponto em comum, são retas paralelas.
3. Segmento de Reta: Diferente de uma reta, o segmento de reta é limitado, correspondendo a uma parte entre dois pontos distintos. A semirreta é limitada em apenas um sentido, possuindo início, mas não fim.
4. Plano: Uma superfície plana bidimensional com comprimento e largura. É nesse plano que se formam as figuras geométricas.
5. Ângulos: São formados pela união de dois segmentos de reta a partir de um ponto comum (vértice do ângulo). Alguns tipos de ângulos incluem:
· Ângulo reto (90°)
· Ângulo agudo (menor que 90°)
· Ângulo obtuso (maior que 90°)
6. Área: Expressa o tamanho de uma superfície. Quanto maior a figura, maior será sua área.
7. Perímetro: A soma de todos os lados de uma figura geométrica.
8. Figuras da Geometria Plana:
· Triângulo: Polígono de três lados. Pode ser classificado como equilátero (todos os lados e ângulos iguais), isósceles (dois lados e ângulos congruentes) ou escaleno (todos os lados e ângulos diferentes).
· Quadrado: Um polígono com quatro lados iguais e ângulos retos.
· Retângulo: Também possui quatro lados, mas nem todos os ângulos são retos.
· Círculo: Uma figura plana com todos os pontos equidistantes do centro.
A geometria plana é fundamental para entender as formas e estruturas que nos cercam. Ela tem raízes na Grécia Antiga e é uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria.
1. Congruência: Dois objetos geométricos são congruentes quando têm a mesma forma e tamanho. Por exemplo, dois triângulos são congruentes se seus lados e ângulos correspondentes forem iguais.
2. Semelhança: Dois objetos são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Por exemplo, triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais.
3. Perímetro: O perímetro é a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Por exemplo, o perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o comprimento de um de seus lados.
4. Área: A área expressa o tamanho de uma superfície. Quanto maior a figura, maior será sua área. Por exemplo, a área de um retângulo é dada pelo produto de sua base (comprimento) pela altura.
9. Geometria Espacial: Paralelismo, Perpendicularismo entre Retas e Planos
Vamos explorar alguns conceitos importantes da geometria espacial relacionados ao paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos.
1. Paralelismo entre Retas:
· Duas retas são consideradas paralelas se possuem a mesma direção. Isso significa que elas não se cruzam e estão contidas no mesmo plano.
· Por exemplo, se temos duas retas (r) e (s) com a mesma direção, elas são paralelas.
· Retas paralelas são importantes em várias aplicações, como na construção de figuras geométricas e na resolução de problemas envolvendo ângulos e distâncias.
2. Paralelismo entre Planos:
· Dois planos são considerados paralelos se não se intersectam. Isso significa que eles não têm pontos em comum.
· Por exemplo, se temos dois planos (\alpha) e (\beta) que não se cruzam, eles são paralelos.
· O paralelismo entre planos é relevante em áreas como arquitetura, engenharia e design.
3. Perpendicularismo entre Reta e Plano:
· Uma reta (r) é perpendicular a um plano se, e somente se, ela é perpendicular a todas as retas que passam pelo ponto de intersecção de (r) com o plano.
· Isso significa que a reta (r) forma um ângulo de 90 graus com todas as retas que estão contidas no plano.
· Observe que, para que uma reta (r) seja perpendicular a um plano, basta ser perpendicular a duas retas concorrentes contidas no plano.
· No entanto, não é suficiente que (r) seja perpendicular a apenas uma reta (t) do plano para que seja perpendicular ao plano.
4. Posições Relativas entre Reta e Plano:
· Quando uma reta não toca o plano em nenhum ponto, dizemos que ela é paralela ao plano.
· A propriedade responsável pelo paralelismo entre retas e planos é a seguinte: se uma reta (s) não é secante nem está contida em um plano (\beta), e existe outra reta paralela a ela contida no mesmo plano, então a reta (s) e o plano (\beta) são paralelos12.
Espero que essas informações sejam úteis para o seu estudo de geometria espacial!
10. Áreas e Volumes dos Sólidos Geométricos Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera
Os sólidos geométricos são figuras tridimensionais que ocupam espaço no espaço. Eles podem ser classificados em poliedros (que possuem faces planas) e não-poliedros. Vamos explorar as fórmulas para calcular áreas e volumes desses sólidos:
1. Prismas:
· Um prisma é um sólido com duas bases iguais e faces laterais formadas por paralelepípedos (como caixas de sapato ou prédios).
· O volume do prisma é dado pela fórmula: [ V = A_b \cdot h ] Onde:
· (V) é o volume do prisma.
· (A_b) é a área da base.
· (h) é a altura do prisma.
2. Pirâmides:
· Uma pirâmide tem uma base poligonal e faces triangulares que se encontram em um vértice.
· O volume da pirâmide pode ser calculado usando a fórmula: [ V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h ] Onde:
· (V) é o volume da pirâmide.
· (A_b) é a área da base.
· (h) é a altura da pirâmide.
3. Cilindros:
· Um cilindro tem duas bases circulares e uma superfície lateral curva.
· O volume do cilindro é dado por: [ V = \pi r^2 \cdot h ] Onde:
· (V) é o volume do cilindro.
· (r) é o raio da base circular.
· (h) é a altura do cilindro.
4. Cones:
· Um cone tem uma base circular e uma superfície lateral cônica.
· O volume do cone é calculado usando a fórmula: [ V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h ] Onde:
· (V) é o volume do cone.
· (r) é o raio da base circular.
· (h) é a altura do cone.
5. Esferas:
· Uma esfera é uma figura completamente arredondada.
· O volume da esfera é dado por: [ V = \frac{4}{3} \cdot \pi r^3 ] Onde:
· (V) é o volume da esfera.
· (r) é o raio da esfera.
Lembre-se de que o volume é medido em unidades cúbicas, como metros cúbicos (m³), centímetros cúbicos (cm³) etc. Essas fórmulas nos ajudam a entender e calcular o espaço ocupado por esses sólidos geométricos em nosso cotidiano.
11. Geometria Analítica no Plano: Retas, Circunferência e Distâncias
A Geometria Analítica é uma área da matemática que estuda elementos geométricos em um sistema de coordenadas num plano. Vamos explorar alguns conceitos importantes:
1. Sistema Cartesiano Ortogonal:
· É constituído por dois eixos perpendiculares entre si: o eixo x (abscissas) e o eixo y (ordenadas).
· A origem O (0,0) é a intersecção desses eixos.
· Convenciona-se a orientação anti-horária dos quatro quadrantes.
2. Par Ordenado:
· Um ponto qualquer no plano possui a coordenada P (x, y).
· x é a abscissa do ponto P e representa a distância entre sua projeção ortogonal no eixo x até a origem.
· y é a ordenada do ponto P e representa a distância entre sua projeção ortogonal no eixo y até a origem.
3. Distância entre Dois Pontos:
· A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que os une.
· A fórmula para a distância entre dois pontos quaisquer é dada por:
d(P1​,P2​)=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​
4. Ponto Médio:
· O ponto médio divide um segmento em duas partes de mesma medida.
· Suas coordenadas são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas dos pontos extremos.
5. Equação Geral da Reta:
· Dada por: 
ax+by+c=0
· Onde a, b e c são números reais constantes, e a e b não são simultaneamente nulos.
6. Coeficiente Angular de uma Reta:
· O coeficiente angular de uma reta é a tangente de sua inclinação em relação ao eixo x.
· Se m > 0, a reta é ascendente; caso contrário, se m(onde r é o raio).
· A equação da circunferência na forma reduzida é dada por:
(x−a)2+(y−b)2=r2
12. Proporcionalidade e Finanças
Proporcionalidade é uma relação que pode existir entre duas grandezas, quando o aumento de uma leva ao aumento ou ao decréscimo da outra. Vamos entender alguns conceitos relacionados:
1. Grandeza: Tudo aquilo que pode ser contabilizado, como tempo, velocidade, altura, peso, preço, volume, área, etc.
2. Razão: A divisão de um número a por um número b, diferente de zero. Razões são frequentemente usadas para comparar dois valores de uma grandeza.
3. Proporção: Uma igualdade entre duas razões. Lê-se: a está para b, assim como c está para d. Por exemplo, considere que 1 kg de uma torta de chocolate custa R$ 30,00. O peso e o preço da torta são duas grandezas e há uma relação entre elas: o preço aumenta ou diminui conforme a quantidade de torta. Um exemplo de proporção nesse caso é: 1 está para 2 assim como 30 está para 60; o que significa que, ao dobrar o peso, o preço também dobra de valor. Por outro lado, se reduzirmos o peso pela metade, o preço também reduz pela metade.
A proporcionalidade de taxas é especialmente relevante no contexto financeiro. Ela se refere à relação direta entre duas grandezas, indicando como uma variação em uma delas afeta a outra de maneira proporcional. Isso é fundamental ao analisar investimentos, juros, inflação e até mesmo taxas de câmbio1.
Além disso, na área das finanças públicas, a proporcionalidade também é um princípio importante. Ele estabelece a relação de equivalência entre o tributo devido e o benefício recebido pelo contribuinte. Em outras palavras, o valor cobrado deve estar de acordo com o serviço prestado23.
Em resumo, a proporcionalidade desempenha um papel crucial tanto nas finanças pessoais quanto nas questões tributárias e econômicas.
13. Porcentagem. Acréscimos e descontos
Acréscimos e Descontos são conceitos importantes relacionados à porcentagem. Vamos explorar como calculá-los e onde aplicá-los no dia a dia.
1. Acréscimos Simples:
· Um acréscimo simples envolve um único aumento. Por exemplo, se temos uma planta com 20 cm de altura e esperamos um acréscimo de 15% na próxima semana, podemos calcular:
· Acréscimo = 20 × 0,15 = 3 cm
· Altura esperada = 20 + 3 = 23 cm
· A equação geral para um acréscimo simples é:
· (V_f = V_i + (V_i \cdot i))
· Onde:
· (V_f) é o valor final
· (V_i) é o valor inicial
· (i) é a taxa percentual
2. Acréscimos Simultâneos:
· Acontecem quando acrescentamos valores diferentes ao mesmo tempo com base em um valor inicial. Por exemplo:
· José deve receber 15% de Lucas e 10% de Pedro com base no valor que ele juntou. Se ele juntou R$ 200,00, ele ficará com:
· (200 + 0,15 \cdot 200 + 0,10 \cdot 200 = 250)
3. Acréscimos Sucessivos:
· Ocorrem quando cada acréscimo acontece em momentos diferentes. Por exemplo:
· O preço de um produto é R$ 50,00 em 2021. Espera-se que o preço aumente 25% este ano, 13% no próximo e mais 10% daqui a 3 anos. O preço após esse período será aproximadamente R$ 77,70.
4. Descontos Simples:
· Seguem a mesma lógica dos acréscimos simples. Por exemplo:
· Se uma planta de 20 cm murcha e perde 15% de sua altura na próxima semana, sua altura será de 17 cm.
5. Descontos Simultâneos:
· Ocorrem quando descontamos valores diferentes ao mesmo tempo com base em um valor inicial. Por exemplo:
· José deve pagar 15% a Lucas e 10% a Pedro com base no valor que ele juntou. Ele ficará com R$ 250,00.
Lembre-se de que esses conceitos são fundamentais para entender juros compostos e aplicam-se em várias situações cotidianas
14. Gráficos Estatísticos
Gráficos estatísticos têm um papel fundamental na organização de dados na área da estatística. Eles facilitam a interpretação desses dados, tornando-a mais eficiente. Quando realizamos pesquisas estatísticas, os dados costumam ser dispostos em tabelas, mas os gráficos trazem praticidade, especialmente quando os dados não são discretos, ou seja, quando são números consideravelmente grandes1.
Aqui estão alguns tipos comuns de gráficos utilizados na estatística:
1. Gráfico de Pontos (Dotplot):
· Utilizado quando temos uma tabela de distribuição de frequência, seja ela absoluta ou relativa.
· O objetivo é apresentar os dados de forma resumida e possibilitar a análise das distribuições.
· Exemplo: Suponha uma pesquisa em uma escola de educação infantil, onde foram coletadas as idades das crianças. Organizando os dados em um Dotplot, podemos visualizar a frequência de cada idade1.
· !Exemplo de Dotplot.
2. Gráfico de Linha:
· Usado para analisar dados ao longo do tempo, comum em análises financeiras.
· O eixo das abscissas (eixo x) representa o tempo (anos, meses, dias, horas etc.), enquanto o eixo das ordenadas (eixo y) representa o outro dado em questão.
· Vantagem: Permite a análise de mais de uma tabela.
· !Exemplo de Gráfico de Linha
3. Gráfico de Barras:
· Representa categorias ou grupos.
· As barras podem ser horizontais ou verticais.
· Exemplo: Comparação de vendas de diferentes produtos em um mês.
· !Exemplo de Gráfico de Barras
4. Gráfico de Colunas:
· Similar ao gráfico de barras, mas as colunas são verticais.
· Também usado para comparar categorias ou grupos.
· !Exemplo de Gráfico de Colunas.
5. Gráfico de Setor (Pizza ou Torta):
· Divide um todo em partes proporcionais.
· Útil para mostrar a distribuição percentual de um conjunto de dados.
· Exemplo: Distribuição de gastos em um orçamento familiar.
· !Exemplo de Gráfico de Setor.
Lembre-se de que a escolha do tipo de gráfico depende da natureza dos dados e do objetivo da análise. Cada gráfico tem suas vantagens e limitações, e é importante selecionar o mais adequado para representar os dados de forma clara e objetiva.
15. As Quatro Operações
As quatro operações matemáticas básicas são essenciais para o aprendizado da Matemática. Elas incluem:
1. Adição: A operação de adição envolve somar, acrescentar ou juntar. É indicada pelo símbolo +. A estrutura da adição é: 
a+b=c
, onde 
c
é a soma das parcelas 
a
e 
b
. Por exemplo:
· 1+2=3
· 24+30=54
· −1+7=6
2. Subtração: A operação inversa da adição. É indicada pelo símbolo -. A estrutura da subtração é: 
a−b=c
, onde 
c
é a diferença entre 
a
e 
b
. Exemplos:
· 10−3=7
· 24−10=14
3. Multiplicação: Envolve o produto de dois números. É indicada pelo símbolo × ou ·. A estrutura da multiplicação é: 
a⋅b=c
, onde 
c
é o produto de 
a
e 
b
. Por exemplo:
· 2⋅3=6
· 5⋅8=40
4. Divisão: A operação inversa da multiplicação. É indicada pelo símbolo ÷. A estrutura da divisão é: 
ba​=c
, onde 
c
é o quociente de 
a
dividido por 
b
. Exemplos:
· 10÷2=5
· 20÷4=5
Lembrando que essas operações possuem propriedades específicas, como a comutatividade e a associatividade, que facilitam os cálculos.
16. Juros Simples
Juros simples é um conceito fundamental em Matemática Financeira. Ele representa o acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de uma compra feita a crédito. Vamos explorar como calcular os juros simples e entender sua fórmula.
Fórmula do Juros Simples
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por:
J=C⋅i⋅t
Onde:
· J: representa os juros.
· C: é o capital inicial (ou valor inicial).
· i: é a taxa de juros (expressa em forma decimal).
· t: é o tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado.
Para calcular os juros simples, basta substituir os valores na fórmula e realizar o cálculo.
Exemplo 1: Compra Parcelada
Suponha que um cliente queira comprar uma televisão que custa 1000 reais à vista, mas opta por parcelar em 5 parcelas iguais. A loja cobra uma taxa de juros de 6% na compra. Vamos calcular o valor de cada parcela e o total que o cliente pagará:
1. Sem juros, cada parcela seria de 200 reais (1000 divididos por 5).
2. Com a taxa de juros de 6%, temos um acréscimo de 12 reais por mês.
3. Portanto, cada prestação será de 212 reais.
4. O valor total da televisão, considerando os juros, será de 1060 reais.
Exemplo 2: Rendimento de Investimento
Suponha que você investiu R$1200,00 a juros simples com uma taxa de 2% ao mês. Quanto rendeu esse investimento após 1 ano e 3 meses?
1. Transformando o tempo para meses: 1 ano e 3 meses = 15 meses.
2. Calculando os juros: 
J=C⋅i⋅t=1200⋅0,02⋅15=360
.
3. O rendimento no final do período será de R$ 360,00.
Exemplo 3: Tempo de Aplicação
Se um capital de R$ 400,00 aplicado a juros simples resultou em um montante de R$ 480,00, qual foi o tempo da aplicação? Considerando uma taxa de 4% ao mês:
1. Calculando os juros: 
J=M−C=480−400=80
.
2. Usando a fórmula dos juros simples: 
J=C⋅i⋅t
.
3. Substituindo os valores: 
80=400⋅0,04⋅t
.
4. Resolvendo para t: 
t=1680​=5
.
5. O tempo da aplicação foi de 5 meses.
Lembre-se de que o juro simples não se altera ao longo dos meses, sendo uma característica importante desse tipo de cálculo financeiro.
17. Regra de Três Simples
A regra de três simples é um método utilizado para encontrar valores desconhecidos em problemas envolvendo grandezas direta ou inversamente proporcionais. Vamos explorar como resolver esses tipos de situações:
1. Grandezas Diretamente Proporcionais:
· Nesse caso, à medida que uma das grandezas aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção. Por exemplo, a relação entre preço e peso na compra de uma determinada verdura: quanto menor a quantidade, menor o preço, e quanto maior a quantidade, maior o preço.
· Para resolver problemas com grandezas diretamente proporcionais, siga estes passos:
1. Identifique as grandezas e construa uma tabela.
2. Analise se as grandezas são diretamente proporcionais.
3. Aplique o método de resolução correto para cada caso e, por fim, resolva a equação.
2. Grandezas Inversamente Proporcionais:
· Nesse cenário, à medida que uma das grandezas aumenta, a outra diminui na mesma proporção. Por exemplo, a relação entre velocidade e tempo: quanto maior a velocidade para percorrer um determinado percurso, menor será o tempo.
· Para resolver problemas com grandezas inversamente proporcionais, siga os mesmos passos mencionados acima.
A regra de três simples tem aplicações não apenas na matemática, mas também na física, química e em situações cotidianas. Lembre-se de identificar as grandezas que se relacionam de forma direta ou inversa para aplicar corretamente esse método de resolução1.
Vamos explorar um exemplo de regra de três simples :
Suponha que você esteja comprando maçãs no mercado e deseja saber quanto pagaria por um determinado número de maçãs. Aqui estão os detalhes:
· O preço de 3 maçãs é R$ 6,00.
Agora, queremos descobrir quanto custariam 10 maçãs. Vamos aplicar a regra de três simples:
1. Identifique as grandezas:
· Quantidade de maçãs (x) e preço (R$ 6,00).
2. Construa uma tabela:
Tabela
	Quantidade de Maçãs (x)
	Preço (R$)
	3
	6,00
	10
	?
3. Analise se as grandezas são diretamente proporcionais:
· Neste caso, estamos tratando de grandezas diretamente proporcionais, pois à medida que a quantidade de maçãs aumenta, o preço também aumenta na mesma proporção.
4. Aplique o método de resolução correto:
· Vamos usar a regra de três simples:
· (3 \times \text{{Preço}} = 10 \times 6,00)
· (\text{{Preço}} = \frac{{10 \times 6,00}}{{3}})
· (\text{{Preço}} = 20,00)
Portanto, o preço de 10 maçãs seria R$ 20,00.
Lembre-se de que a regra de três simples é uma ferramenta útil para resolver problemas envolvendo grandezas proporcionais. 
18. Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais são conceitos importantes na matemática. Vamos explorá-los:
1. Proporcionalidade Direta:
· Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação da outra na mesma proporção.
· Por exemplo, se dobrarmos o tempo de trabalho de uma impressora, a quantidade de páginas impressas também dobra. Da mesma forma, se pararmos a impressora na metade de um minuto, teremos a metade do número de impressões esperadas1.
· Graficamente, a variação diretamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma reta que passa pela origem. A equação que descreve essa relação é y = kx, onde k é uma constante.
Exemplo:
· Em uma gráfica, são feitas impressões de livros escolares. Em 2 horas, são realizadas 40 impressões. Em 3 horas, a mesma máquina produz mais 60 impressões, em 4 horas, 80 impressões e, em 5 horas, 100 impressões.
· Tempo (horas): 2, 3, 4, 5
· Impressões (número): 40, 60, 80, 100
· A constante de proporcionalidade entre as grandezas é encontrada pela razão entre o tempo de trabalho da máquina e o número de cópias realizadas. O quociente dessa sequência (1/20) recebe o nome de constante de proporcionalidade (k). O tempo de trabalho é diretamente proporcional ao número de cópias, pois ao dobrar o tempo de trabalho, o número de cópias também dobra1.
2. Proporcionalidade Inversa:
· Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a mudança em uma grandeza produz uma alteração oposta na outra.
· Por exemplo, quanto maior é a quantidade de farinha em uma padaria, maior é a quantidade produzida de pão. Nesse caso, quantidade de farinha e número de pães são grandezas diretamente proporcionais. No entanto, se a quantidade de farinha diminuir, o número de pães também diminuirá, e vice-versa2.
Em resumo, a proporcionalidade direta ocorre quando as grandezas variam na mesma proporção, enquanto a proporcionalidade inversa ocorre quando as variações são opostas. Esses conceitos são fundamentais para resolver problemas envolvendo relações entre quantidades em diferentes situações.
19. Equação de 1º e 2º Graus
Vamos falar sobre equações de 1º e 2º graus.
1. Equações de 1º Grau:
· Também conhecidas como equações lineares, são aquelas em que a maior potência da incógnita (variável) é 1.
· Exemplos:
· (2x = 4)
· (9x + 3y = 2)
· (5 = 20a + b)
2. Equações de 2º Grau:
· Também chamadas de equações quadráticas, envolvem a incógnita elevada ao quadrado (potência 2).
· Exemplos:
· (3x^2 + 5x - 3 = 0)
· (x^3 + 5y = 9)
20. Sistemas de Equações
· Um sistema de equações envolve mais de uma variável e pelo menos duas equações.
· Se as equações envolverem apenas adição e subtração das incógnitas, é um sistema de equações do 1º grau.
· Podemos resolver sistemas de equações de duas formas:
· Representação gráfica: Plotando as retas correspondentes a cada equação e encontrando o ponto de interseção.
· Forma algébrica: Usando os métodos da adição ou da substituição.
· Se houver multiplicação entre as incógnitas ou uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, temos também equações de 2º grau no sistema.
· Exemplos de resolução de sistemas:
· 1º Exemplo:
· Equações: (x \cdot y = 15) e (2x - 4y = -14)
· Soluções: ((3, 5)) e ((-10, -\frac{3}{2}))
· 2º Exemplo:
· Equações: (x^2 + 2y^2 = 89) e (-2x^2 - 7y^2 = -28)
· Soluções: ((9, 2)), ((-9, 2)), ((9, -2)) e ((-9, -2))
Lembre-se de que esses exemplos são apenas ilustrativos, e a matemática oferece muitas outras possibilidades de sistemas de equações!
Existem diferentes métodos para resolver sistemas de equações. 
1. Método da Substituição:
· Escolha uma das equações e isole uma das incógnitas, determinando seu valor em relação à outra incógnita.
· Substitua esse valor na outra equação, reduzindo-a a uma única incógnita.
· Encontre o valor final dessa incógnita.
· Substitua esse valor na primeira equação para obter o valor da outra incógnita.
· Exemplo:
· Considere o sistema: [ \begin{align*} 3x - 2y &= 12 \ 2x + y &= 20 \end{align*} ]
· Isolamos (x) na primeira equação: [ 3x = 12 + 2y ] [ x = 4 + \frac{2}{3}y ]
· Substituímos esse valor na segunda equação: [ 2\left(4 + \frac{2}{3}y\right) + y = 20 ] [ 8 + \frac{4}{3}y + y = 20 ] [ \frac{7}{3}y = 12 ] [ y = 12 \cdot \frac{3}{7} = 4 ]
· Agora, substituímos o valor de (y) na primeira equação: [ 3x - 2 \cdot 4 = 12 ] [ 3x - 8 = 12 ] [ 3x = 20 ] [ x = \frac{20}{3} = 6.\overline{6} ]
· A solução é o par ordenado ((x, y) = \left(\frac{20}{3}, 4\right)).
2. Método da Adição:
· Junte as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas.
· Oscoeficientes de uma das incógnitas devem ser opostos (mesmo valor, sinais contrários).
· Exemplo:
· Considere o mesmo sistema anterior.
· As equações são: [ \begin{align*} 3x - 2y &= 12 \ 2x + y &= 20 \end{align*} ]
· Os coeficientes de (y) são opostos (1 e -1).
· Somamos as duas equações: [ 3x - 2y + 2x + y = 12 + 20 ] [ 5x = 32 ] [ x = \frac{32}{5} = 6.4 ]
· Substituímos o valor de (x) em uma das equações: [ 2x + y = 20 ] [ 2 \cdot 6.4 + y = 20 ] [ 12.8 + y = 20 ] [ y = 20 - 12.8 = 7.2 ]
· A solução é o mesmo par ordenado ((x, y) = \left(\frac{32}{5}, 7.2\right)).