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CONCEITO E PROPRIEDADES 
DE DERIVAÇÃO
RAFAEL DE MOURA MOREIRA
Sumário
INTRODUÇÃO ������������������������������������������������� 3
CONCEITO E PROPRIEDADES DE 
DERIVADAS ���������������������������������������������������� 4
Taxa de variação ������������������������������������������������������������������� 4
Taxa de variação instantânea ���������������������������������������������� 5
Derivada de uma função������������������������������������������������������� 7
Notações de derivada ����������������������������������������������������������� 9
Derivada de algumas funções �������������������������������������������� 11
Propriedades da derivada��������������������������������������������������� 15
Regra de L’Hôpital ��������������������������������������������������������������� 18
INTERPRETAÇÃO DE DERIVADAS ���������������20
PONTOS CRÍTICOS ��������������������������������������24
Análise da primeira derivada ���������������������������������������������� 24
Análise da segunda derivada ��������������������������������������������� 25
Exemplos práticos �������������������������������������������������������������� 26
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������������34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & 
CONSULTADAS ��������������������������������������������35
2
INTRODUÇÃO
Neste e-book vamos aprender as técnicas do cál-
culo diferencial� Iremos aprender o que é derivada, 
como calculá-la e como ela representa a taxa de 
variação de uma grandeza – ou seja, como a va-
riação de uma grandeza impacta outra grandeza�
Estudaremos também diversas propriedades úteis 
para nos auxiliar no cálculo da derivada de funções 
mais complexas, uma interpretação geométrica para 
a derivada que nos ajudará a visualizar soluções 
para problemas de otimização, e finalizaremos 
ensinando como calcular algebricamente pontos 
relevantes em problemas de otimização, os cha-
mados pontos críticos de uma função�
3
CONCEITO E 
PROPRIEDADES DE 
DERIVADAS
TAXA DE VARIAÇÃO
Um problema recorrente em diversas áreas do 
conhecimento humano é compreender como a 
variação de uma certa grandeza impacta em outra 
grandeza� Por exemplo, considere uma função 
matemática que determina a posição de um objeto 
em função do tempo� Para cada valor de tempo, 
teremos uma posição diferente�
Vamos fazer uma pergunta diferente para essa 
função: se o tempo variar em “x” unidades, em 
quantas unidades a posição irá variar? Existe uma 
grandeza que responde a essa pergunta para nós: 
a velocidade� A velocidade descreve exatamente 
quantas unidades de posição irão variar para cada 
unidade de tempo� Não à toa, unidades de veloci-
dade normalmente são expressas em unidades 
de posição divididas por unidades de tempo: m/s, 
km/h etc�
Assim, podemos dizer que a velocidade é a taxa 
de variação da posição em relação ao tempo�
Mas como poderíamos calcular a velocidade? 
Uma primeira abordagem que muitos com certe-
4
za já realizaram de maneira intuitiva é calcular a 
velocidade média� Se o seu trajeto de 200 quilô-
metros durou 2 horas e meia, você poderia aplicar 
a seguinte relação:
𝑣𝑣𝑚𝑚 = 	
Δ𝑠𝑠
Δ	𝑡𝑡 = 	
𝑠𝑠𝑓𝑓 − 𝑠𝑠𝑖𝑖
𝑡𝑡𝑓𝑓 − 𝑡𝑡𝑖𝑖
= 	
200𝑘𝑘𝑚𝑚
2,5ℎ
portanto:
𝑣𝑣𝑚𝑚 = 8	0	 𝑘𝑘𝑚𝑚 ℎ⁄
onde “s” representa a posição, “t” representa o 
tempo, o símbolo Δ (delta) representa variação e 
as letras “f” e “i” indicam, respectivamente, “final” 
e “inicial”�
Note, porém, que essa velocidade é a velocidade 
média� Em seu trajeto, você pode ter se mantido 
em velocidade constante a 80 quilômetros por hora 
do início ao fim para atingir essa velocidade média. 
Mas você também pode ter atingido 120 quilôme-
tros por hora em alguns trechos, 60 quilômetros 
por hora em outros e talvez até ter ficado parado 
em um congestionamento por alguns minutos�
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
No problema da velocidade descrito anteriormen-
te determinamos a velocidade média, mas ainda 
somos incapazes de determinar a chamada velo-
5
cidade instantânea� Para determiná-la, poderíamos 
calcular diversas velocidades médias�
Poderíamos, por exemplo, subdividir nosso trajeto 
original de 2 horas e meia e calcular a velocidade 
média para cada um desses blocos, anotando a 
posição que nos encontramos na estrada ao final 
de cada um dos blocos� Isso daria uma noção um 
pouco melhor sobre quais trechos foram mais 
rápidos e quais foram mais lentos�
Poderíamos melhorar progressivamente nosso 
cálculo de velocidade se reduzirmos ainda mais 
os intervalos: poderíamos, por exemplo, anotar a 
posição de minuto em minuto� Ou de segundo em 
segundo�
A chamada taxa de variação instantânea de uma 
função é o que nos daria a informação que gostarí-
amos: a velocidade em qualquer ponto específico.
Para atingirmos essa taxa, devemos tomar intervalos 
cada vez menores em nosso eixo x para estudar o 
quanto esses intervalos impactam no valor de y� 
Mais especificamente, gostaríamos de pegar um 
intervalo infinitesimal. Podemos descrever isso 
por meio de um limite:
lim
ℎ→0
𝑓𝑓 𝑎𝑎+ℎ −	𝑓𝑓(𝑎𝑎)
ℎ
6
onde “a” é uma constante real pertencente ao 
domínio função 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Caso o limite descrito acima exista, dizemos que a 
função é diferenciável e chamamos aquele limite 
de derivada da função�
Outra notação possível para o limite é a seguinte:
lim
𝑥𝑥→ℎ
𝑓𝑓 𝑥𝑥 	− 𝑓𝑓(ℎ)
𝑥𝑥 − ℎ 
Ambas são equivalentes e levarão ao mesmo 
resultado�
Função diferenciável
Dizemos que uma função é diferenciável em um 
intervalo I caso seja possível calcular sua derivada 
em qualquer ponto desse intervalo.
O primeiro critério para que uma função seja dife-
renciável é que ela deve ser contínua. Toda função 
diferenciável é, necessariamente, contínua. Porém, 
nem toda função contínua é diferenciável.
Um exemplo é a função módulo de x: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = |𝑥𝑥|. 
Observe o seu gráfico:
7
Figura 1: gráfico da função módulo.
3.0
2.0
1.0
2.5
1.5
0.5
0.0
0 1 2 3-1-2-3
Fonte: elaboração própria�
Na maior parte do intervalo dos reais, a função é 
diferenciável. Porém, especificamente no ponto x 
= 0, onde há uma mudança brusca de direção, a 
derivada não existe� Uma regrinha “informal” muito 
utilizada por estudantes de cálculo para determinar 
se uma função é diferenciável é: se a função “faz 
bico” (ou seja, se possui algum tipo de “quina”), ela 
não é diferenciável�
8
NOTAÇÕES DE DERIVADA
Temos formas diferentes de representar a derivada 
de uma função� Estudaremos as três mais comuns, 
mas utilizaremos apenas duas delas no restante 
deste e-book�
Notação de Lagrange
Uma das notações é a notação de Lagrange� Ela 
consiste em adicionar um apóstrofo à função� A 
derivada de uma função f(x) qualquer seria repre-
sentada, portanto, por f(x).
Para derivadas de ordem superior (derivar a mesma 
função 2 ou mais vezes seguidas), adicionamos 
mais apóstrofos: f''(x) seria a derivada de segunda 
ordem, e f'''(x)seria a derivada de terceira ordem. 
Para ordens superiores, é comum colocar o número 
entre parênteses no lugar dos apóstrofos: 𝑓𝑓(#) 𝑥𝑥 
seria a derivada de sétima ordem�
Notação de Leibniz
A notação de Leibniz é bastante popular porque 
evoca a origem da derivada como um quociente 
entre uma variação da função e uma variação de 
sua variável independente. A derivada de uma 
função f(x) seria representada como:
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(	𝑑𝑑) ou 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
9
Para tornar a notação mais simples, é frequente 
que f(x) seja simplesmente representado como y:
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑑𝑑
Derivadas de ordem superior, nessa notação, 
são representadas da seguinte maneira: o “d” do 
numerador recebe o “expoente” correspondente, 
enquanto no denominador é o “dx” que irá recebê-
-lo� Isso vem da ideia de se aplicar uma derivada 
sobre a primeira derivada:
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥	
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 =
𝑑𝑑2𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥2 
Como estudaremos a diante, ela simplifica a escrita 
de algumas regras também�
Notação de Newton
Uma terceira notação aparece em algumas áreas 
da física e da geometria e em algumas equações 
diferenciais, masé bem menos popular que as 
duas anteriores: a notação de Newton�
Ela é caracterizada por um ponto em cima da função:
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 	= 	
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 = 	 �̇�𝑑 
Para derivadas de ordem superior, acrescentamos 
mais pontos:
10
𝑓𝑓′′ 𝑥𝑥 	= 	
𝑑𝑑2𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥2 = �̈�𝑦 
Essa notação é mais utilizada, especificamente, em 
funções onde a variável independente representa 
tempo ou comprimentos de arco�
DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES
A princípio, podemos deduzir a derivada de qualquer 
função aplicando o limite explicado anteriormente� 
Porém, para manter este material breve e focado 
em aplicação, não o faremos� Ao invés disso, apre-
sentaremos logo de cara as regras de derivação 
utilizadas com maior frequência�
Caso você tenha interesse, não deixe de consultar 
as referências bibliográficas para verificar como 
chegamos a cada uma dessas fórmulas a partir 
do limite�
Potências
Uma das regras mais famosas de derivação é a 
regra dos expoentes, informalmente conhecida 
como “regra do tombo”� Sempre que sua função 
for uma variável elevada a um expoente constante, 
subtrairemos 1 do expoente e multiplicaremos a 
variável pelo expoente original:
11
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑛𝑛 = 	𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 
Graças a algumas propriedades que já estudaremos, 
você verá que é fácil aplicar essa regra para cada 
termo de um polinômio para se obter a derivada 
do polinômio inteiro�
Funções trigonométricas
As derivadas das funções trigonométricas mais 
comuns são:
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑 = 	cos(𝑑𝑑) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑 = −sen(𝑑𝑑) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑 	= 	
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(𝑑𝑑) = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2 𝑑𝑑 = 1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡2(𝑑𝑑) 
Para a tangente, foram apresentadas diversas for-
mas, pois todas essas expressões trigonométricas 
são equivalentes entre si, e você pode se deparar 
com diferentes variações desse resultado�
Para obter a derivada de outras funções trigono-
métricas, como secante e cossecante, é possível 
utilizar os resultados apresentados aqui e aplicar 
a regra do quociente, que também será abordada�
12
Funções trigonométricas inversas
Nas funções trigonométricas convencionais, a va-
riável é um ângulo e o resultado da função é uma 
das medidas na circunferência trigonométrica� Nas 
funções trigonométricas inversas, temos o oposto�
Por exemplo, na função arcsen(x), o “x” representa 
um valor de seno, e o resultado da função será o 
ângulo cujo seno é igual a “x”� Leia essa função 
como “arco cujo seno é x”�
Para as principais funções trigonométricas inversas 
temos as seguintes regras de derivação:
𝑑𝑑
	𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑 =
1
1 − 𝑑𝑑2
, −1 0 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 log𝑎𝑎 𝑑𝑑 	= 	
1
𝑑𝑑 ln 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 > 0, 𝑎𝑎 > 0 
Por fim, temos a própria derivada do logaritmo 
natural:
14
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑑𝑑 	=
1
𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 > 0 
PROPRIEDADES DA DERIVADA
As derivadas também possuem algumas proprie-
dades que nos ajudarão a expandir as regras vistas 
anteriormente para funções mais complexas, com 
múltiplos termos combinando diferentes tipos de 
função�
Função constante
A derivada de uma função constante sempre será 
0� Isso faz sentido quando nos lembramos que a 
derivada é uma taxa de variação� Se a função é 
constante, ela nunca varia, portanto, sua taxa de 
variação é zero�
Soma de funções
Considere uma função que pode ser decomposta 
como uma soma de outras funções� Sua deriva-
da será igual à soma das derivadas das funções 
individuais�
𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 ′ = 		𝛼𝛼𝛼𝛼′ + 𝛽𝛽𝛽𝛽′
onde α (alfa) e β (beta) são constantes reais e f e 
g são funções�
15
Regra do produto
Considere agora uma função que pode ser decom-
posta em um produto entre funções� Teremos uma 
regrinha um pouco mais elaborada para calcular 
a derivada dessa função:
𝑓𝑓𝑓𝑓 ′ = 𝑓𝑓′𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑓𝑓′ 
Por meio dessa regra, se adotarmos g como sendo 
uma função constante, podemos deduzir também 
como derivar o produto entre uma função e um 
número real:
𝛼𝛼𝛼𝛼 ′ 	= 	𝛼𝛼𝛼𝛼′ 
Caso queira deduzir essa regra, lembre-se que a 
derivada de uma função constante é zero e aplique 
a regra geral�
Regra do quociente
Considere, de maneira análoga ao caso anterior, que 
nossa função pode ser decomposta no quociente 
de duas funções� Esse caso também possuirá sua 
própria regra:
𝑓𝑓
𝑔𝑔
′
=
𝑓𝑓′𝑔𝑔 − 𝑓𝑓𝑔𝑔′
𝑔𝑔2 , 𝑔𝑔	 ≠ 0 
Regra da cadeia
A regra da cadeia se aplica quando temos funções 
compostas� Nesse caso, devemos derivar a função 
16
mais externa e multiplicar o resultado pela derivada 
da função mais interna�
Portanto, se 𝑓𝑓 𝑥𝑥 	= 𝑔𝑔(ℎ 𝑥𝑥 ) então:
𝑓𝑓(𝑥𝑥)% = 𝑔𝑔% ℎ 𝑥𝑥 ℎ′(𝑥𝑥)
Vejamos um exemplo para ficar mais claro. Con-
sidere a seguinte função:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥 + 1) 
Nesse caso, nossa função mais externa é 
𝑔𝑔 ℎ	(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥 + 1) , e nossa função interna é 
ℎ 𝑥𝑥 = 	2𝑥𝑥 + 1 .
Vamos começar calculando a derivada de g:
𝑔𝑔′ ℎ(𝑥𝑥) = 	cos(2𝑥𝑥 + 1)
Precisamos também calcular a derivada da função 
interna, h:
ℎ′ 𝑥𝑥 	= 2 
Agora, basta aplicar a regra da cadeia:
𝑓𝑓(𝑥𝑥)′ = 𝑔𝑔	′ ℎ 𝑥𝑥 ℎ′(𝑥𝑥) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)′ = 2	cos 2𝑥𝑥 + 1 
17
REGRA DE L’HÔPITAL
A regra de L’Hôpital (escrito em algumas literaturas 
como “L’Hôspital”) é uma aplicação bastante útil de 
derivada para auxiliar no cálculo de alguns limites 
indeterminados específicos.
Considere que você tenha uma função f(x) que 
pode ser escrita na forma de um quociente:
𝑓𝑓 x = 	
𝑝𝑝(𝑥𝑥)
𝑞𝑞(𝑥𝑥) 
Agora considere que os seguintes limites sejam 
iguais e possuam um dos valores abaixo:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 	0 𝑜𝑜𝑜𝑜	 ± ∞
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑞𝑞 𝑥𝑥 = 0 	𝑜𝑜𝑜𝑜	 ± ∞ 
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑞𝑞 𝑥𝑥 = 0 	𝑜𝑜𝑜𝑜	 ± ∞ 
Uma consequência natural é que o limite de f(x)
para x tendendo a zero será uma indeterminação:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 x =
0
0 𝑜𝑜𝑜𝑜	 ±
∞
∞ 
É possível sair dessa indeterminação e calcular 
o limite dado, contanto que algumas condições 
sejam respeitadas:
 y p e q são diferenciáveis no intervalo.
 y q’(x) é diferente de zero.
18
 y
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑝𝑝	′(𝑥𝑥)
𝑞𝑞′(𝑥𝑥) existe.
Respeitadas todas essas condições, a relação 
abaixo é verdadeira:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑝𝑝	(𝑥𝑥)
𝑞𝑞(𝑥𝑥) =	 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑝𝑝𝑝(𝑥𝑥)
𝑞𝑞𝑝(𝑥𝑥)	
19
INTERPRETAÇÃO DE 
DERIVADAS
Conforme já estudamos, a operação derivada nos 
informa a taxa de variação de uma função, isto é, 
o quanto uma mudança na variável irá impactar 
na função.
Existe uma interpretação geométrica para derivada. 
Ela é a expressão que dará o valor da inclinação 
da reta tangente à função no ponto desejado.
Essa interpretação pode ser combinada com a 
ideia do limite discutida anteriormente. Consi-
dere o gráfico da função abaixo, com uma reta 
secante cortando a curva nos pontos (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) e 
(𝑎𝑎 + ℎ,𝑓𝑓	(𝑎𝑎 + ℎ)).
20
Figura 2: reta secante a uma função�
a
f(a)
a+h
f(a+h)
Fonte: elaboração própria�
Com esse gráfico em mente, vamos relembrar o 
limite que utilizamos na função de derivada:
lim
ℎ→0
𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 	ℎ − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
ℎ
21
Tente observar, pelo gráfico, o que acontece con-
forme h tende a zero. Quando h tende a zero, a + 
h irá se aproximar cada vez mais de “a”. O mesmo 
acontece no eixo y, fazendo com que f(a + h) se 
aproxime de f(a).
Com isso, a reta irá se deslocar cada vez mais 
para baixo, encurtando a distância entre os pontos 
de interceptação. No limite, quando h converge 
para zero, os pontos (a, h(a)) e (a + h, f(a + h))
(𝑎𝑎 + 	ℎ, 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ)) irão se sobrepor. Na prática, isso 
significa que a reta não intercepta mais a função 
em 2 pontos distintos, mas em apenas 1. Isso 
significa que a reta se tornou uma tangente.
22
Figura 3: reta tangente a uma função�
a+h h→0
f(a+h), h→0
Fonte: elaboração própria�
23
PONTOS CRÍTICOS
Uma aplicação muito importante de derivada é no 
cálculo dos pontos críticos de uma função� Pontos 
críticos podem ser:
 y Ponto de máximo local: um ponto cujo valor é 
superior a toda sua vizinhança por ambos os lados;
 y Ponto de mínimo local: um ponto cujo valor é 
inferior a toda sua vizinhança por ambos os lados;
 y Ponto de inflexão: um ponto onde a concavi-
dade do gráfico da função muda: se era para cima, 
passa a ser para baixo, e vice-versa�
Para analisar um ponto crítico, devemos analisar 
duas derivadas: a derivada de primeira ordem da 
função (ou seja, derivar uma vez) e a de segunda 
ordem (ou seja, derivar duas vezes).
ANÁLISE DA PRIMEIRA DERIVADA
Para localizar pontos críticos, a primeira operação 
que deveremos fazer será derivar a função e igua-
lar a função derivada a zero� Isso nos permitirá 
encontrar os valores de x para os quais a derivada 
vale zero�
Por que isso funciona? Porque para os 3 casos 
possíveis (ponto de máximo, ponto de mínimo ou 
ponto de inflexão) a tangente torna-se horizontal. A 
tangente tornar-se horizontal implica em inclinação 
24
igual a zero� Como já estudamos, a derivada nos 
dá a inclinação da reta tangente à função�
Figura 4: pontos críticos de uma função: ponto de máxi-
mo, ponto de mínimo e ponto de inflexão.
8
6
4
2
0
0 1
1 2
-5
1 0
0
23
-10
-10
-1 0
0
-2-3 1
10
20
30
32
-20
-15
-20
-25
-30
-35
3
1 22 33
Fonte: elaboração própria�
Os valores de x que resultem em derivada igual a 
zero são os nossos pontos críticos, mas ainda não 
sabemos que tipo de ponto eles são�
ANÁLISE DA SEGUNDA DERIVADA
Para determinar o tipo de ponto crítico, devemos 
derivar a função original uma segunda vez – isto 
é, derivar sua derivada� Uma vez obtida a segunda 
derivada, devemos aplicar os valores de x obtidos 
na primeira análise e verificar o sinal da segunda 
derivada:
25
 y
𝑓𝑓′′ 	𝑥𝑥 > 0 
 – ponto de mínimo�
 y 𝑓𝑓′′ xprodução e quantidade de produtos fabricados, 
até em problemas de inteligência artificial, onde 
algoritmos como o gradiente descendente buscam 
pontos de mínimo no erro das respostas dadas 
pelo computador�
Um cuidado importante que deve ser tomado ao se 
utilizar esse tipo de método é que não temos como 
31
diferenciar máximos ou mínimos locais (valores 
máximos ou mínimos em relação à vizinhança 
de um ponto) de máximos ou mínimos globais (o 
maior ou menor valor de toda a função). Observe 
o gráfico abaixo:
Figura 5: função com diversos máximos e mínimos locais�
0.100
0.750
0.050
0.025
-0.025
-0.050
-0.075
-0.100
0.000
0 10 20 30 40 50
Fonte: elaboração própria�
Note que há uma série de pontos onde a tangente 
seria horizontal (derivada igual a 0), e eles são 
32
pontos de máximo ou mínimo locais: picos ou 
vales em relação à sua vizinhança. Um algoritmo 
buscando minimizar um erro, por exemplo, poderia 
erroneamente identificar o ponto próximo de 𝑥𝑥	 = 	30
como valor mínimo. Mas note que na região entre 
0 e 10 existe um mínimo muito mais pronunciado.
33
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Estudamos como derivadas se relacionam intima-
mente com taxa de variação, utilizando inclusive 
um exemplo da física� Em seguida, aprendemos a 
calcular as derivadas de diferentes funções�
Aprendemos também algumas propriedades que nos 
permitem utilizar as derivadas das funções mais básicas 
para calcular a derivada de funções mais extensas�
Estudamos também uma interpretação geométrica 
para derivadas e utilizamos essa interpretação para 
resolver problemas envolvendo pontos críticos: pontos 
de máximo, pontos de mínimo e pontos de inflexão.
Para finalizar, discutimos brevemente como essas 
técnicas podem ser utilizadas em problemas de 
otimização e as limitações que podemos encontrar 
ao empregar essa técnica�
E é bom reforçar pela última vez: matemática é 
uma disciplina extremamente prática� Nós aqui 
abordamos brevemente os conceitos, apresen-
tamos fórmulas, discutimos interpretações, mas 
você só irá dominar o cálculo das derivadas e suas 
aplicações praticando e resolvendo problemas� 
Então, não deixe de consultar o livro de sua prefe-
rência para estudar mais alguns exemplos e fazer 
as listas de exercícios propostos, a bibliografia já 
sugere diversos livros consagrados�
34
Referências Bibliográficas 
& Consultadas
AXLER, S� Pré-cálculo: uma preparação para 
o cálculo com manual de soluções para o 
estudante� 2� ed� Rio de Janeiro: GEN/LTC, 2016� 
[Minha Biblioteca]�
GERSTING, J� L� Fundamentos matemáticos 
para a Ciência da Computação: Matemática 
Discreta e suas aplicações� 7� ed� Rio de Janeiro: 
GEN/LTC, 2017� [Minha Biblioteca]�
GUIDORIZZI, H� L� Um curso de Cálculo, Vol� 1� 
6� ed� Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018� [Minha 
Biblioteca]�
GUIDORIZZI, H� L� Um Curso de Cálculo, Vol� 2� 
6� ed� Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018� [Minha 
Biblioteca]�
MORETTIN, P� A�; HAZZAN, S�; BUSSAB, W� O� 
Introdução ao Cálculo para Administração, 
Economia e Contabilidade� 2� ed� São Paulo: 
Saraiva, 2018� [Minha Biblioteca]�
RODRIGUES, A� C� D�; SILVA, A� R� H� S� Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis� Curitiba: 
InterSaberes, 2016� [Biblioteca Virtual Pearson]�
ROGAWSKI, J�; COLIN, A� Cálculo� 3� ed� Porto 
Alegre: Bookman, 2018� [Minha Biblioteca]�
SILVA, P� S� D� Cálculo Diferencial e Integral� 1� 
ed� Rio de Janeiro: LTC, 2017� [Minha Biblioteca]�
	Introdução
	Conceito e propriedades de derivadas
	Taxa de variação
	Taxa de variação instantânea
	Derivada de uma função
	Notações de derivada
	Derivada de algumas funções
	Propriedades da derivada
	Regra de L’Hôpital
	Interpretação de derivadas
	Pontos críticos
	Análise da primeira derivada
	Análise da segunda derivada
	Exemplos práticos
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadas