RMII_stress_concentration

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Resistência dos Materiais II:
Concentração das Tensões
Prof. Jorge A. R. Durán
Enga. Mecânica UFF – Volta Redonda
duran@vm.uff.br
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Objetivos
• Análise de soluções elásticas e elastoplásticas
para quantificar o efeito da concentração das 
tensões em carregamento estático.
• Aplicações ao projeto mecânico.
Bibliografia Principal
• Hibeler RC, (2008) “Resistência dos Materiais”. 
Thomson Learning Ltda., 5a Ed., Brasil.
• Budynas, R.G., Young, W.C. (2002), “Roark’s 
Formulas for Stress and Strain”, MGraw-Hill, 7ed., 
New York, USA.
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• Entalhes são descontinuidades geométricas 
que provocam o incremento local das tensões 
e deformações.
September 11 3©2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under 
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Fig. 3-47
Stepped 
shaft in 
torsion.
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September 11 5
A tensão máxima é 
sq=3s em r=a e q=90
o. 
O gradiente das tensões 
é alto nas bordas 
superior e inferior do 
furo, e daí o termo 
“concentração das 
tensões”.
Note também que há 
compressão em q=0o.
Alguns Gráficos de Kt *
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* SHIGLEY, J.E. MISCHKE, C.R. (2001). “Mechanical Engineering Design”. McGraw-Hill Book 
Company, 6ed., New York
Alguns Gráficos de Kt *
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* SHIGLEY, J.E. MISCHKE, C.R. (2001). “Mechanical Engineering Design”. McGraw-Hill Book 
Company, 6ed., New York
Alguns Gráficos de Kt *
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* SHIGLEY, J.E. MISCHKE, C.R. (2001). “Mechanical Engineering Design”. McGraw-Hill Book 
Company, 6ed., New York
Problema 5.112 pág. 194 Hibbeler 5a ed. O eixo 
transmite 9 hp a 600 rpm e o segmento de solda 
tem r=0.15 polegadas. Calcule o tmax.
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Problema 6.144 pág. 267 Hibbeler 5ª ed. 
Determine o comprimento L da parte central da 
barra de modo que a tensão de flexão máxima 
nas seções A, B e C seja a mesma. A barra tem 
espessura de 10 mm.
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Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
• Pelo efeito da concentração das tensões, os 
valores de s e e (locais) podem ser bem 
maiores do que os valores nominais. Em 
alguns casos estes valores ultrapassam o sy e 
ey e uma análise puramente elástica (baseada 
no Kt) torna-se em excesso conservadora.
• Definindo por separado os fatores de 
concentração das tensões e das deformações:
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e
K
S
K
es
es 
Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
• Onde (s,e) são os valores locais e (S,e) os 
nominais.
• Alguns métodos analíticos (aproximados) tem 
sido propostos para calcular os valores locais de 
(s, e). Entre eles destaca-se pela aceitação e uso 
a chamada regra de Neuber*.
• De acordo com Neuber, durante a deformação 
plástica Kt é a média geométrica dos fatores Ks e 
Ke:
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esKKKt 
*NEUBER,H. (1961). “Theory of Stress Concentration for shear-strained prismatical bodies with 
nonlinear stress-strain law”. Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, Series E, vol. 
28, No. 4, pp. 544-550.
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Se r não for 
pequeno em 
comparação 
a t, a tensão 
na direção 
transversal 
pode ser 
desprezada 
sz<<sy.
Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
• A relação e=s/E se aplica desde que o estado 
das tensões no fundo do entalhe seja uniaxial 
e considerando que a seção resistente não 
escoe. Substituindo na regra de Neuber tem-
se:
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 
E
SK
ESSeS
KKK
t
t
2
/


es
eses
es
Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
• Como o membro direito da equação anterior é 
constante, em coordenadas se esta equação é 
uma hipérbole cuja intercepção com a curva 
do modelo constitutivo do material fornece os 
valores locais das tensões e deformações de 
acordo com a regra de Neuber.
• Se o modelo constitutivo for de encruamento
parabólico é possível obter uma solução 
fechada:
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Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
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Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
• Caso contrário uma solução gráfica (como a 
mostrada na próxima figura) ou analítica, se faz 
necessária.
 
    n
n
nt
n
nt
ntnn
EH
K
H
EH
K
E
K
HH















121
1
2
2
s
s
s
e
seees
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Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
• É importante lembrar que as se elastoplásticas
calculadas por Neuber são válidas apenas na 
ponta (já que o Kt disponível refere-se à ponta) de 
entalhes pouco afiados onde o estado das 
tensões è considerado uniaxial.
• A regra de Neuber pode ser utilizada também 
para carregamento de torção. Neste caso 
utilizam-se as tensões e deformações cisalhantes 
no lugar das normais, bem como os 
correspondentes fatores de concentração das 
tensões.
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Análise Elasto-Plástica. Regra de Neuber.
Exemplo
• Considere a viga do exemplo anterior como 
sendo de aço para estruturas ASTM A514 T1 
com Sy=724MPa, H=1103MPa e n=0.088. Para 
80% do L calculado naquele exemplo 
determine o qmin que provoca o escoamento. 
Para q=1.2qmin calcule as máximas tensões e 
deformações normais.
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Exercícios
• Concentração das Tensões em Torção e Flexão, 
p. 183 e 261 do Hibbeler 5a ed.
• Ver exemplos resolvidos p. 775 Roark’s.
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