Triângulo retângulo e Trapézios resumo e exercícios resolvidos

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Geometria
Triângulo retângulo e Trapézios
Resumo e exercícios resolvidos
Sumário
1. Triângulo Retângulo 1
2. Trapézios 3
3. Exercícios resolvidos 7
Referências 18
1. Triângulo Retângulo
Definição 1. Um triângulo ABC é retângulo quando possui um de seus ângulos internos, digamos
A, reto. Os lados c = AB e b = AC são chamados catetos, b oposto a B̂ e c oposto a Ĉ e o lado
BC hipotenusa oposto ao ângulo reto Â.
Figura 1.1. Definição 1
Definição 2. O segmento h que liga o vértice A perpendicularmente a hipotenusa no ponto H é
denominado altura do triângulo retângulo (as outras duas alturas coincidem com os catetos).
Figura 1.2. Definição 2
1
2
Teorema 3. (Pitágoras) Um triângulo é retângulo se, e somente se, o quadrado da hipotenusa é
igual a soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2.
Teorema 4. Relações métricas no triângulo retângulo.
Figura 1.3. Teorema 3
(1) ah = bc . O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos;
(2) b2 = am . O quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção sobre
ela;
(3) c2 = an . O quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção sobre
ela;
(4) h2 = mn . O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa;
(5) 1
h2 = 1
b2
+ 1
c2
. O inverso do quadrado da altura é igual a soma dos inversos quadrados dos
catetos;
Teorema 5. Sejam x− r, x e x+ r com r > 0 os lados de um triângulo retângulo. Então x = 4r
e seus lados são, portanto, 3r, 4r e 5r.
Demonstração. Como o triângulo é retângulo temos pelo Teorema 3 que (x+r)2 = (x−r)2+x2 ⇐⇒
x2 + 2xr + r2 = x2 − 2xr + r2 + x2 ⇐⇒ x2 − 4xr = 0 ⇐⇒ x(x− 4r) = 0, como x ̸= 0, temos que
x− 4r = 0 ⇐⇒ x = 4r. Portanto seus lados são 3r, 4r e 5r.
Tabela 1. Lados do triângulo retângulo em PA
r 3r 4r 5r
1 3 4 5
2 6 8 10
3 9 12 15
4 12 16 20
□
3
2. Trapézios
Definição 6. Trapézio é o quadrilátero que possui somente dois lados paralelos chamados de bases.
Figura 2.1. Definição 5
Definição 7. Trapézio isósceles é o trapézio que possui os lados não paralelos congruentes.
Figura 2.2. Definição 6
Definição 8. Se existe um círculo tangente aos quatro lados de um quadrilátero dado, dizemos
que o quadrilátero é circunscritível.
Figura 2.3. Definição 7
4
Teorema 9. (Pilot)) Um quadrilátero ABCD de lados AB, BC, CD e DA é circunscritível se, e
somente se, AB + CD = BC + AD, isto é, a soma das medidas dos lados opostos são iguais.
Teorema 10. A altura h de um trapézio isósceles ABCD de bases b e B é:
(2.1) h =
√
B × b
Figura 2.4. Teorema 9
Demonstração. Como o trapézio é isósceles:
(2.2) 2x = B − b ⇐⇒ x =
B − b
2
Pelo Teorema 9 temos que:
(2.3) 2a = b+B ⇐⇒ a =
b+B
2
Mas no triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos h e x vale pelo Teorema 3:
(2.4) a2 = h2 + x2
Substituindo as expressões (2.2) e (2.3) em (2.4) temos:(
B + b
2
)2
= h2 +
(
B − b
2
)2
B2 + 2Bb+ b2
4
= h2 +
B2 − 2Bb+ b2
4
B2 + 2Bb+ b2 = 4h2 +B2 − 2Bb+ b2
4h2 = 4Bb
h =
√
B × b
□
5
Teorema 11. (Tangente comum a círculos tangentes) Se dois círculos de raios r e R são tangentes
exteriormente o segmento de tangente comum externa t a eles é dado por:
(2.5) t = 2
√
R× r
Figura 2.5. Teorema 10
Demonstração. Vamos analisar a figura abaixo.
Figura 2.6
Aplicando o Teorema 3 ao triângulo retângulo CDE:
(R + r)2 = t2 + (R− r)2
R2 + 2Rr + r2 = t2 +R2 − 2Rr + r2
t2 = 4Rr
t = 2
√
R× r
□
6
Teorema 12. Teorema das medianas de um triângulo. Em todo triângulo suas medianas encontram-
se num ponto G tal que este ponto divide cada uma delas na razão de 2 : 1 a partir de seus vértices.
Figura 2.7
7
3. Exercícios resolvidos
(1) Em um círculo de raio 13cm, considere uma tangente t e uma corda DE paralela a t,
distando 8cm desta tangente. Calcule o comprimento da corda DE.
Solução: Observe a figura abaixo.
Figura 3.1
Aplicando o Teorema 4 temos:
h2 = 8× 18
h2 = 144
h = 12
DE = 24
8
(2) Seja ABC um triângulo isósceles de base AB = 12cm circunscrito a um círculo de raio 3cm.
Uma paralela a base BC tangente ao círculo determina nos lados congruentes os ponto D
e E. Determine a medida do segmento DE.
Figura 3.2
Solução: Observe a figura a seguir:
Figura 3.3
No quadrilátero CEFG tem-se que Ĉ+ Ê+90+90 = 360 =⇒ Ĉ+ Ê = 180 =⇒ Ĉ
2
+ Ê
2
=
90, portanto, o triângulo CEO é retângulo em O. Aplicando o Teorema 4
32 = 6x
6x = 9
x =
9
6
= 1, 5
DE = 3
9
Solução: Uma outra solução seria considerar o Trapézio BCED circunscritível e aplicar
o Teorema 10.
GF = h = 6
BC = B = 12
DE = b
h =
√
Bb
6 =
√
12b
62 = 12b
12b = 36
b =
36
12
b = 3
10
(3) Em um triângulo ABC as medianas que partem de A e B são perpendiculares. Se BC = 8
e AC = 6 calcule AB.
Figura 3.4
Solução: Sabemos que o ponto de encontro das medianas de um triângulo divide as
medianas na razão de 2 : 1 a partir do vértice, Teorema 12, portanto nossa figura fica
assim:
Figura 3.5
No triângulo retângulo ADM aplicando o Teorema 3:
(2a)2 + b2 = 32 =⇒ 4a2 + b2 = 9
No triângulo BDM temos também aplicando o Teorema 3:
(2b)2 + a2 = 42 =⇒ 4b2 + a2 = 16
Somando-se estas equações:
5a2 + 5b2 = 25 =⇒ a2 + b2 = 5
Já no triângulo ABD pelo Teorema 3:
(2a)2+(2b)2 = AB2 =⇒ 4a2+4b2 = AB2 =⇒ 4
(
a2 + b2
)
= AB2 =⇒ 4×5 = AB2 =⇒ AB = 2
√
5
11
(4) É dado um quadrado ABCD de lado l. Traça-se um círculo tangente ao lado BC passando
por A e D. Determine o raio deste círculo em função de l.
Figura 3.6
Solução: Vamos completar a figura com o raio do círculo tangente:
Figura 3.7
Aplicando o Teorema 3 ao triângulo OHD tem-se:
r2 =
(
l
2
)2
+ (l − r)2
r2 =
l2
4
+ l2 − 2lr + r2
r2 − r2 + 2lr =
l2 + 4l2
4
2lr =
5l2
4
r =
5l2
4× 2l
r =
5
8
l
12
(5) Calcule a hipotenusa a de um triângulo retângulo conhecendo-se a medida 3 de um dos
seus catetos e também a medida √ da bissetriz do ângulo reto.
Figura 3.8
Solução: Vamos construir o triângulo retângulo isósceles ADE, com E ∈ AB.
Figura 3.9
Aplicando o Teorema 4 ao triângulo ADE temos:
√
2
2
= x2 + x2
2 = 2x2
x2 =
2
2
x =
√
1
x = 1
Figura 3.10
13
Os triângulos ABC e BDE são semelhantes, então, se AC = b:
BE
AB
=
DE
AC
2
3
=
1
AC
2AC = 3
AC =
3
2
Figura 3.11
Aplicando agora o Teorema 3, obtemos:
a2 = 32 +
(
3
2
)2
a2 = 9 +
9
4
a2 =
45
4
a =
√
45
4
a =
√
9× 5
2
a =
3
2
√
5
14
(6) Calcule o lado a de um triângulo acutângulo sabendo que os lados b e c medem, respecti-
vamente, 5 e 7 e que a projeção de b sobre c mede 3.
Figura 3.12
Solução: Como o triângulo é acutângulo, temos que Âas duas primeiras equações tem-se:
a2 + c2 = m2+n2+p2+q2
a2 + c2 =
(
n2 + p2
)
+
(
m2 + q2
)
a2 + c2 = b2 + d2
(9) Os catetos de um triângulo retângulo medem 15 e 20. Determine a medida da altura
relativa a hipotenusa deste triângulo.
Figura 3.18
Solução: Aplicando o Teorema 3 denominando a hipotenusa BC = a temos:
a2 = 152 + 202
a2 = 225 + 400
a2 = 625
a =
√
625
a = 25
Agora vamos aplicar o Teorema 4:
15× 20 = 25h
300 = 25h
h =
300
25
h = 12
18
(10) Calcule o perímetro do trapézio retângulo abaixo:
Figura 3.19
Solução: Para determinarmos o perímetro do trapézio retângulo devemos determinar
as medidas h e l indicadas na figura. Como as bases do trapézio são paralelas, temos que
os triângulos retângulos BCD e ABD são semelhantes.
Figura 3.20
24
c
=
c
50
c2 = 24× 50
c2 = 1200
Aos triângulos retângulos BCD e ABD podemos aplicar o Teorema 3:{
c2 = h2 + 242
502 = c2 + l2
Como c2 = 1200, substituindo na equações acima:{
1200 = h2 + 576 =⇒ h2 = 1200− 576 = 624 =⇒ h =
√
624 =
√
24 × 39 =⇒ h = 4
√
39
2500 = 1200 + l2 =⇒ l2 = 2500− 1200 = 1300 =⇒ l =
√
1300 =
√
102 × 13 =⇒ l = 10
√
13
O perímetro deste trapézio é P = 50 + 24 + 4
√
39 + 10
√
13 = 74 + 4
√
39 + 10
√
13.
Referências
[1] aMORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M.. Geometria II. Rio de Janeiro: F C & Z Livros, 2002. 285 p.