fazendo o circuito KG

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c) \( 1 \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: a) \( 0 \). Explicação: Avaliando \( f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 
1 = 0 \). 
 
39. Qual é a série de Taylor para \( f(z) = e^z \) em torno de \( z = 0 \)? 
 a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \) 
 b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \) 
 c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n+1}}{(n+1)!} \) 
 d) \( \sum_{n=0}^{\infty} z^n \) 
 Resposta: a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \). Explicação: A série de Taylor para \( 
e^z \) em torno de \( z = 0 \) é a soma dos termos \( \frac{z^n}{n!} \) a partir de \( n=0 \). 
 
40. Se \( f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} \), quais são os polos da função? 
 a) \( 1 \) e \( -1 \) 
 b) \( i \) e \( -i \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: b) \( i \) e \( -i \). Explicação: Os polos de \( f(z) \) ocorrem quando o 
denominador é zero, ou seja, \( z^2 + 1 = 0 \), resultando em \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
41. Qual é o valor de \( \lim_{z \to \infty} \frac{z^2 + 3z + 2}{z^2 - z + 1} \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: a) \( 1 \). Explicação: Dividindo todos os termos por \( z^2 \), obtemos \( \frac{1 
+ \frac{3}{z} + \frac{2}{z^2}}{1 - \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2}} \). À medida que \( z \to \infty \), os 
termos \( \frac{3}{z} \) e \( \frac{2}{z^2} \) se aproximam de zero, resultando em \( \frac{1}{1} 
= 1 \). 
 
42. Se \( f(z) = z^2 - 2z + 2 \), qual é a forma canônica da função? 
 a) \( (z - 1)^2 + 1 \) 
 b) \( (z - 1)^2 - 1 \) 
 c) \( (z - 1)^2 + 2 \) 
 d) \( (z + 1)^2 + 1 \) 
 Resposta: a) \( (z - 1)^2 + 1 \). Explicação: A função pode ser reescrita como \( f(z) = (z - 
1)^2 + 1 \), completando o quadrado. 
 
43. O que é a integral de Cauchy? 
 a) Uma integral que envolve funções reais 
 b) Uma integral que envolve funções complexas e seus resíduos 
 c) Uma integral que sempre converge 
 d) Uma integral que não pode ser calculada 
 Resposta: b) Uma integral que envolve funções complexas e seus resíduos. Explicação: 
A integral de Cauchy é uma ferramenta fundamental na análise complexa que utiliza o 
teorema dos resíduos para calcular integrais ao longo de contornos fechados. 
 
44. Qual é a condição de Cauchy-Riemann? 
 a) \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) 
 b) \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \) 
 c) Ambas a) e b) 
 d) Nenhuma das anteriores 
 Resposta: c) Ambas a) e b). Explicação: As condições de Cauchy-Riemann são 
necessárias para que uma função seja holomorfa, envolvendo as derivadas das partes 
real \( u(x, y) \) e imaginária \( v(x, y) \). 
 
45. Qual é o valor de \( \int_0^1 x^2 dx \)? 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: a) \( \frac{1}{3} \). Explicação: A integral de \( x^2 \) de \( 0 \) a \( 1 \) é \( \left[ 
\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3} \). 
 
46. Se \( f(z) = z^4 \), qual é a derivada de \( f \) em \( z = i \)? 
 a) \( 4i^3 \) 
 b) \( 4i^4 \) 
 c) \( 4i^2 \) 
 d) \( 4i \) 
 Resposta: a) \( 4i^3 \). Explicação: A derivada é \( f'(z) = 4z^3 \). Avaliando em \( z = i \), 
temos \( f'(i) = 4(i^3) = 4(-i) = -4i \). 
 
47. Qual é o valor de \( \int_C \frac{1}{(z - 1)^2} dz \) ao longo de um círculo de raio 1 
centrado em \( z = 1 \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2\pi i \) 
 c) \( -2\pi i \) 
 d) Não existe 
 Resposta: c) \( -2\pi i \). Explicação: O resíduo de \( \frac{1}{(z - 1)^2} \) em \( z = 1 \) é \( 0 
\), mas a integral de uma função que tem uma singularidade de ordem 2 resulta em \( -2\pi 
i \). 
 
48. Se \( f(z) = z^2 \), qual é a imagem do círculo unitário \( |z| = 1 \) sob \( f \)? 
 a) \( |f(z)| = 1 \) 
 b) \( |f(z)| = 2 \) 
 c) \( |f(z)| = 0 \) 
 d) \( |f(z)| = 4 \) 
 Resposta: b) \( |f(z)| = 1 \). Explicação: Quando \( z \) está no círculo unitário, \( |z| = 1 \) 
implica que \( |f(z)| = |z^2| = |z|^2 = 1 \). 
 
49. O que é um ponto de singularidade removível? 
 a) Um ponto onde a função não é definida 
 b) Um ponto que faz com que a função seja não contínua 
 c) Um ponto onde a função pode ser estendida de forma contínua 
 d) Um ponto onde a função diverge 
 Resposta: c) Um ponto onde a função pode ser estendida de forma contínua. 
Explicação: Um ponto de singularidade removível é aquele onde a função não está 
definida, mas pode ser estendida de forma que se torne contínua.