12 TRIÂNGULOS

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TEOREMA DE TALES
&
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
	
Teorema de Tales
	
QUESTÕES
Teorema de Tales & Semelhança de Triângulos
01. Observando o mapa de uma cidade, percebe-se que quatro ruas, A, B, C e D, são tais que as ruas A e B são paralelas e as ruas C e D cortam as ruas A e B, segundo a figura a seguir:
Se as distâncias na rua C compreendidas entre as ruas A e B e entre a rua B e o ponto de cruzamento entre as ruas C e D são, respectivamente, 10 m e 8 m, e a distância entre as ruas A e B é 6 m, então, a distância entre a rua B e o ponto de cruzamento das ruas C e D é
A) 4 m.
B) 4,5 m.
C) 4,8 m.
D) 5 m.
E) 5,2 m.
02. Dentre as várias formas utilizadas para a estrutura de um telhado, uma das mais comuns é a tesoura, ilustrada na figura a seguir:
A razão entre a altura H e o vão L é chamada ponto.
Disponível em: .Acesso em: 17 abr. 2015. (Adapt.).
Como se pode observar, há 5 estacas verticais igualmente espaçadas, uma maior ao centro, duas pequenas e duas médias. Se o ponto da tesoura é 1/3, a altura das estacas médias é
03.O esquema a seguir representa uma parte do mapa de uma cidade, em que os pontos A, B, C, D e E indicam cruzamentos entre ruas e avenidas. Sabe-se que a distância entre os cruzamentos A e E é de 750 m, entre A e D é de 600 m, entre D e B é de 500 m e entre D e E é de 450 m.
Sabendo que são paralelas entre si a rua que passa pelos cruzamentos D e E, simultaneamente, e a que passa pelos cruzamentos B e C, simultaneamente, pode-se afirmar, corretamente, que as distâncias entre os cruzamentos C e E e entre os cruzamentos C e B são, respectivamente, de
A) 625 m e 600 m.
B) 625 m e 825 m.
C) 650 m e 550 m.
D) 650 m e 600 m.
E) 650 m e 825 m.
04.A figura representa um jardim no formato de triângulo retângulo ABC, reto em B, dividido em duas regiões: uma triangular BDE, com flores variadas, e outra em forma de trapézio ADEC, com grama. 
 
Sabendo que as medidas dos lados DB, BC e AB são, respectivamente, 3, 10 e 7,5 metros, e que a divisória DE das regiões é paralela ao lado AC do jardim, o perímetro, em metros, da região com flores variadas, desse jardim, é igual a
A) 10.
B) 11.
C) 12.
D) 13.
E) 14.
05. A HOMOTETIA é um processo utilizado para ampliar figuras, que se baseia na semelhança de triângulos. Para que o triângulo ABC da figura a seguir pudesse ser ampliado, pôde-se escolher um ponto O qualquer, externo a esse triângulo, e traçar retas que passassem por O e por cada vértice de ABC.
Sabendo que BC = 4 cm e que a distância entre os pontos B e E é o quádruplo da medida OB, a medida do segmento EF é
A) 8 cm
B) 12 cm
C) 16 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
Leitura Complementar
Transformações Isométricas
Transformações isométricas ocorrem quando, na figura original e na figura transformada, há uma correspondência, um a um, entre pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes. Podemos dizer ainda que uma figura B, por isometria, é uma figura B’ congruente a B. E ainda, que a figura obtida ao aplicar uma transformação isométrica em certa figura recebe o nome de imagem da figura inicial.
Os polígonos ABCDE e FGHIJ são congruentes, pois possuem lados e ângulos correspondentes congruentes.
Observação
I - Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem a mesma medida de comprimento.
II - Dois ângulos são considerados congruentes quando possuem a mesma medida.
III - Dois ou mais polígonos são congruentes quando os lados correspondentes são congruentes e os ângulos internos correspondentes também são congruentes.
Transformação de reflexão
Se dobrarmos essa figura ao longo do eixo, as duas partes obtidas vão se sobrepor. Quando isso ocorre, dizemos que a figura possui simetria de reflexão e o eixo que a divide é o eixo de simetria.
 
Uma figura pode ter mais do que um eixo de simetria.
Por outro lado, podemos aplicar uma transformação de reflexão em uma figura qualquer obtendo outra figura, a qual chamaremos imagem da figura original.
Transformação de rotação
A transformação de rotação ocorre ao girar uma figura em torno de um ponto (chamado ponto de rotação), dado o ângulo (chamado ângulo de rotação) e o sentido de rotação (horário ou anti-horário), mantendo-se o formato e o tamanho da figura após a rotação.
Podemos rotacionar a figura
 
Tratando-se do plano cartesiano, geralmente utilizamos o ponto (0, 0), ou seja, o ponto de origem, como ponto de rotação.
Transformação de translação
A transformação de translação ocorre quando cada ponto de uma figura é deslocado na mesma direção, no mesmo sentido e à mesma distância.
Na imagem ao lado, o polígono K’L’M’N’ é imagem do polígono KLMN obtido por meio da transformação de translação, deslocando- o 3 unidades para baixo, na direção vertical.
Nesse caso, as figuras são congruentes e a distância entre cada ponto da figura original e seu correspondente é sempre a mesma.
Composição de transformações: reflexão e rotação
A figura F’’ é imagem da figura F, obtida por meio de uma transformação de rotação de 180º no sentido anti-horário em relação ao ponto O, seguida de uma transformação de reflexão em relação ao eixo e.
Observação
Em outras palavras, aplicando à figura F a transformação de rotação de 180° no sentido anti-horário em relação ao ponto O, obtemos a figura F’ e, aplicando a essa figura uma transformação de reflexão em relação ao eixo e, obtemos a figura F’’.
Composição de transformações: reflexão e translação
A figura A’’ é imagem da figura A, obtida por meio de uma transformação de translação deslocando-a 8 unidades para a direita na direção horizontal, seguida de uma transformação de reflexão em relação ao eixo e.
Aplicando à figura A a transformação de translação que a desloca 8 unidades para a direita na direção horizontal, obtemos a figura A’ e, aplicando a essa figura uma transformação de reflexão em relação ao eixo e, obtemos a figura A’’.
Composição de transformações: rotação e translação
Na imagem abaixo, a figura A’’ é imagem da figura A, obtida por meio de uma transformação de rotação de 90º no sentido horário em relação ao ponto O, seguida de uma transformação de translação deslocando-a 6 unidades para a direita na direção horizontal.
Em outras palavras, aplicando à figura A a transformação de rotação de 90° no sentido horário em relação ao ponto O, obtemos a figura A’ e, aplicando a essa figura uma transformação de translação deslocando-a 6 unidades para a direita na direção horizontal, obtemos a figura A’’.
06. A figura a seguir representa a área de plantação de uma fazenda, a qual foi dividida em três lotes (A, B e C).
Os pontos P, Q, R, S, T, U, V e W representam portões posicionados de modo que P, Q, R e S são colineares, assim como T, U, V e W. Além disso, os segmentos PT, QU, RV e SW, que delimitam os lotes, são todos paralelos entre si, e o segmento TW mede 1 152 m. A distância, em metro, entre os portões U e V é de
A) 480.
B) 408.
C) 404.
D) 384.
E) 264.
07. Um holofote foi colocado no chão de uma sala a 5 m de distância de uma das paredes. Em seguida, um homem de 1,70 m de altura se posicionou a 2 m de distância do holofote e teve sua sombra projetada nessa parede, conforme ilustra a figura a seguir.
A altura, em metro, da sombra projetada na parede é
A) 2,55.
B) 3,40.
C) 3,70.
D) 4,25.
E) 4,70.
08.Na casa de Letícia, há uma piscina rente ao muro, conforme o modelo da vista lateral a seguir:
Ela quer aumentar o muro para que, com a mesma incidência do Sol da figura, a sombra do muro fique exatamente no meio do espelho-d’água da piscina. Para realizar o desejado, ela deve aumentar o muro em
A) 3,25 m.
B) 2,50 m.
C) 1,75 m.
D) 1,05 m.
E) 0,45 m.
09. Uma pessoa estava organizando o seu escritório e, para aproveitar o espaço embaixo da escada, colocou três caixas nessa área. As faces laterais das caixas são quadradas, sendo que o lado da caixa maior mede 12 dm e o lado da caixa menor mede 3 dm. Sabe-se que a escada toca em uma arestade cada caixa de maneira que, na visão lateral, são formados dois triângulos A e B semelhantes, como mostra a imagem a seguir fora de escala
De acordo com as informações, a medida x do lado da caixa média é
A) 4 dm.
B) 6 dm.
C) 7 dm.
D) 9 dm.
E) 10 dm.
10. Um colecionador de skates e rampas de skates em miniaturas decidiu produzir uma rampa para compor sua coleção, baseada na rampa original ilustrada a seguir, em que ABC é uma face triangular dessa rampa.
Sabe-se que, ao confeccionar a rampa, ele seguiu a seguinte disposição:
Para que a face triangular MNP da miniatura seja semelhante
à face ABC da rampa original, as medidas MN e NP, em centímetro, devem ser, respectivamente,
A) 8,0 e 9,0.
B) 9,0 e 8,0.
C) 14,0 e 18,0.
D) 14,0 e 16,5.
E) 18,0 e 14,0.
Polígonos semelhantes
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. A razão entre as medidas do comprimento dos lados correspondentes é a razão de semelhança.
Considerando os dois hexágonos regulares ao lado, a razão de qualquer lado do primeiro hexágono pelo seu correspondente do segundo é sempre a mesma, ou seja,
Além disso, como os hexágonos são regulares, os ângulos correspondentes são congruentes. Portanto, concluímos que esses hexágonos regulares são semelhantes.
Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os seus lados congruentes e também todos os seus ângulos internos congruentes.
Homotetia
Ampliar e reduzir figuras é um processo muito útil no cotidiano. Desde a edição de fotografias nos smartphones até a produção de maquetes e modelos complexos, é importante que as
ampliações e reduções sejam feitas de maneira correta para não gerar distorções ou modificações indevidas.
Um dos processos para a ampliação ou redução de uma figura mantendo as proporções e evitando distorções é uma transformação geométrica chamada HOMOTETIA. Esse processo utiliza um ponto O e uma constante de proporção, que chamaremos de razão de semelhança k.
Uma homotetia de centro O e razão de semelhança k é a transformação que a cada ponto A faz corresponder o ponto A’ tal que:
· Uma homotetia será uma transformação de translação quando k = 1 . 
· Caso k 1 , a homotetia muda o tamanho do desenho original, mas não o seu formato. 
· Se k > 1, essa transformação aumenta o tamanho da figura original sendo, então, chamada ampliação. 
· No caso em que ko segmento AB em dois segmentos de medidas x e 14 – x. Em seguida, representa-se por h a medida da altura.
Então, aplica – se o Teorema de Pitagoras em cada triângulo retângulo formado:
Subtraindo as equações:
Substituindo em II,
03. Alternativa: C
Sendo x a medida, em cm, da base do triângulo que dá forma à estrutura de madeira, concluise que a altura medirá (x – 10) cm, enquanto os lados congruentes medirão (x + 10) cm. Como o triângulo é isósceles, a altura em relação à base é também mediana, portanto o triângulo de lados x – 10,x/2 e x + 10 é um triângulo retângulo, sendo x + 10 a medida da hipotenusa, conforme indica a figura a seguir.
Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtémse:
Como x representa uma medida de comprimento, temse x > 0, e, assim, encontrase x = 160 cm. Logo, se a base do triângulo mede 160 cm, concluise que a sua altura deve ser igual a 160 – 10 = 150 cm.
10. Alternativa C
A distância d percorrida durante a decolagem é soma dos comprimentos de AB e BC. Calculam-se esses dois comprimentos pelo teorema de Pitágoras. O triângulo ABG é retângulo; aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se:
O triângulo BFC é retângulo; aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se:
Logo, a distância solicitada é 2,6 + 7,4 = 10 km.
01.Considere a figura em que r // s // t .
 O valor de x é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6.
e) 7
02. Assinale a alternativa que apresenta o valor de X no Teorema de Tales abaixo.
A) 5
B) 7
C) 6
D) 8
03.O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais. O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença: “a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.” De acordo com esse teorema, calcule o valor de “x” na figura abaixo:
A) 0,20.
B) 0,25.
C) 0,30.
D) 0,35.
E) 0,40.
04.Utilizando a Teorema de Tales, encontre os valores de x, sabendo que as retas a, b e c são paralelas.
a) - 2, 4
b) 2, -4
c) 2, 4
d) -1, -4
05.Na figura abaixo, determine o valor de x, utilizando o Teorema de Tales.
a) 0
b) -1
c) 2 
d) -4
Parte inferior do formulário
	GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	B
	B
	B
	B
	D
01.No retângulo OYZW, E é um ponto do lado ZW equidistante de O e Z. Se a medida do ângulo WÔE é sete vezes a medida do ângulo ZÔY, então, a medida, em graus, do ângulo EÔZ é
A) 20.
B) 15.
C) 10.
D) 5.
02.Considere um trapézio isósceles cuja medida de cada um dos lados não paralelos é igual a 5 m e cuja medida de sua área é igual a 60 m2. Se o trapézio é circunscrito a uma circunferência, então, a medida, em metros, do raio desta circunferência é igual a
A) 6,0.
B) 5,5.
C) 7,5.
D) 7,0.
03.Considere MXYZW um pentágono regular e XYO um triângulo equilátero em seu interior (o vértice O está no interior do pentágono). Nessas condições, a medida, em graus, do ângulo XÔZ é
A) 116.
B) 96.
C) 126.
D) 106.
04.José somou as medidas de três dos lados de um retângulo e obteve 40 cm. João somou as medidas de três dos lados do mesmo retângulo e obteve 44 cm. Com essas informações, pode-se afirmar corretamente que a medida, em cm, do perímetro do retângulo é
A) 48.
B) 52.
C) 46.
D) 56.
05.Em um triângulo, a medida do comprimento de um dos lados é o dobro da medida do comprimento de um dos outros dois lados. Além disso, o quadrado da medida do terceiro lado é igual à diferença entre os quadrados das medidas dos dois primeiros lados. Nessas condições, a diferença entre a medida do maior dos ângulos internos e a medida do menor dos ângulos internos desse triângulo é
A) 20°.
B) 60°.
C) 30°.
D) 50°.
06.Se os pontos M, P e Q são vértices consecutivos de um octógono regular que está inscrito em uma circunferência cuja medida do diâmetro é igual a 12 cm, então, a medida do maior lado do triângulo MPQ é igual a
A) 6
B) 6
C) 2
D) 3
07.Se a base de um triângulo é aumentada de 10% e a altura diminuída de 10%, então, em relação à área do triângulo alterado, comparada com a área do triângulo inicial, é correto afirmar que ela
A) diminui 1%.
B) permanece a mesma.
C) aumenta 0,01%.
D) diminui 0,1%.
08.No triângulo XYZ o ponto D, no lado YZ, pertence à mediatriz do lado XZ. Se XD é a bissetriz do ângulo interno no vértice X e se a medida do ângulo interno em Y é 105 graus, então, a medida, em graus, do ângulo interno em Z é
A) 30.
B) 20.
C) 35.
D) 25.
09.Considere um decágono regular com centro no ponto O cuja medida do lado é igual a 2 m. Se U e V são dois vértices consecutivos deste decágono e se a bissetriz do ângulo OÛV intercepta o segmento OV no ponto W, então, a medida do perímetro do triângulo UVW é
A) (3 + cm
B) (3 + cm 
C) (2 + cm 
D) (2 + cm
10.Seja YOZ um triângulo cuja medida da altura OH relativa ao lado YZ é igual a 6 m. Se as medidas dos segmentos YH e HZ determinados por H no lado YZ são respectivamente 2 m e 3 m, então, a medida do ângulo YÔZ é igual a
A) 90°.
B) 30°.
C) 60°.
D) 45°.
11.No plano, seja XYZW um quadrado e E um ponto exterior a esse quadrado tal que o triângulo YZE seja equilátero. Assim, é correto afirmar que a medida do ângulo XÊW é
A) 45°.
B) 40°.
C) 35°.
D) 30°.
12.Sejam UVW um triângulo isósceles com base VW; E e F dois pontos nos lados UV; e UW, respectivamente, tais que as medidas dos segmentos de reta VW, WE, EF e FU são iguais. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo VÛW é
A) menor do que 21°.
B) maior do que 21° e menor do que 25°.
C) maior do que 25° e menor do que 27°.
D) maior do que 27° e menor do que 32°.
13.No triângulo MPQ, seja PH a altura relativa ao vértice P. O ponto H, no lado MQ, divide-o em dois segmentos cujas medidas são respectivamente 3cm e 2cm. Se a medida da altura (segmento PH) é 6cm, então, a medida do ângulo interno do vértice P é igual a
A) 45°.
B) 30°.
C) 60°.
D) 50°.
14.Enquanto aprendia a arte do origami, Bruna pegou um pedaço de papel retangular todo dobrado em forma de um triângulo retângulo e, ao abri-lo, verificou que as dobraduras determinavam seis triângulos congruentes.
Tais triângulos estavam dispostos de modo a preencher completamente e sem sobreposição o pedaço de papel, conforme mostra a figura a seguir, na qual as linhas pontilhadas representam os vincos das dobraduras:
Nessas condições, uma relação correta entre as medidas
x e y dos ângulos indicados na figura é:
A) x + y = 180°
B) 2x + y = 180°
C) 2x + y = 90°
D) x – y = 60°
E) x – y = 30°
15.Com a proximidade do Natal, um lojista resolveu montar um triângulo decorado com pisca-piscas. Para isso, ele dispunha de cinco varetas cujos comprimentos eram 1 metro, 2 metros, 4 metros, 5 metros e 6 metros, respectivamente, e que não poderiam ser cortadas.
Considerando que o triângulo teria lados de medidas diferentes, qual seria o menor perímetro possível?
A) 7 metros.
B) 8 metros.
C) 9 metros.
D) 11 metros.
E) 12 metros.
16.No final do século XII, Leonardo Pisa, também conhecido como Fibonacci, descobriu uma misteriosa sequência relacionada a muitos fenômenos naturais. A sequência começava com 1, seguido de outro 1; e os demais termos eram determinados pela soma dos dois anteriores. Assim, o próximo número dessa sequência seria 1 + 1 = 2, depois 2 + 1 = 3, em seguida 3 + 2 = 5, e 5 + 3 = 8, e 8 + 5 = 13, e assim sucessivamente. Geometricamente, se fossem dispostos dois quadrados contíguos de aresta igual a 1 unidade, e se fosse traçado outro quadrado contíguo e com aresta igual à soma das duas arestas anteriores, e assim sucessivamente, a sequência de Fibonacci se apresentaria conforme a figura a seguir:
Considerando-se a sequência de Fibonacci da figura,
o próximo quadrado teria um perímetro (em unidades)
igual a
A) 21.
B) 42.
C) 63.
D) 84.
E) 95.
17.Em um livro de Desenho Geométrico, o autor desenhou cinco triângulos, sem se preocupar com a escala ou com os valores reais das medidas:
Com base nas medidas informadas, o único triângulo que pode ser construído é o
A) T1.
B) T2.
C) T3.
D) T4.
E) T5.
18.Tangram é um quebra-cabeça milenar originário da China. É composto de 7 peças formadas a partir docorte
de um quadrado e que são capazes de criar diversas formas geométricas quando arranjadas. O jogo é conhecido em todo o mundo e muito utilizado, especialmente, por professores no ensino da geometria plana.
Para construir um tangram:
1. A partir de um quadrado, ABCD, traça-se a sua diagonal DB.
2. Marca-se o seu ponto médio O.
3. Traça-se uma perpendicular a DB em O passando por A.
4. Marcam-se os pontos médios, M de DO e N de OB.
5. Marcam-se os pontos médios, P de DC e Q de CB.
6. Traça-se o segmento PQ e marca-se o seu ponto médio R.
Ivany Aparecida Rodrigues da Motta. Tangram. Disponível em: . Acesso em: 16 abr. 2015. (Adapt.).
Se o quadrado ABCD tiver 20 cm de aresta, então, considerando √2 ≈ 1,4, o perímetro do triângulo OMR será de
A) 24 cm.
B) 20 cm.
C) 14 cm.
D) 12 cm.
E) 10 cm.
19. No triângulo isósceles XOZ, cuja base é o segmento XZ, considere os pontos E e U respectivamente nos lados OZ e XZ, tais que os segmentos OE e OU sejam congruentes. Se a medida do ângulo XÔU é 48 graus, então, a medida do ângulo ZÛE, é igual a
A) 24°.
B) 22°.
C) 28°.
D) 26°.
20. Seja AEC um triangulo isósceles (as medidas dos lados AE e AC são iguais) e O um ponto do lado AC tal que a medida do angulo EOC e 120 graus. Se existe um ponto B, do lado AE, tal que o segmento OB e perpendicular ao lado AE e a medida do ângulo EOB seja igual a 40 graus, então a medida do ângulo OEC, em graus, e igual a
A) 9.
B) 7.
C) 5.
D) 3.
21. Sejam XY um segmento de reta cujo comprimento é 4 m e Z um ponto da mediatriz do segmento XY cuja distância ao segmento XY é 6 m. Se P é um ponto equidistante de X, Y e Z, então a distância, em metros, de P ao segmento XY é igual a 
a) 8/3
b) 7/3
c) 9/4
d) 7/4
22. No quadrilátero XYZW as medidas dos ângulos internos Z e W são respectivamente 128 graus e 76 graus. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se no ponto O, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo XÔY é igual a
A) 156 graus.
B) 78 graus.
C) 204 graus.
D) 102 graus.
	GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	C
	A
	C
	D
	B
	A
	A
	D
	A
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	D
	D
	C
	A
	E
	D
	D
	D
	A
	19
	20
	21
	22
	
	
	
	
	
	A
	C
	A
	D
	
	
	
	
	
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