Geometria Espacial: Poliedros, Prismas e Pirâmides

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Geometria Espacial
Poliedros, Prismas e Pirâmides
Prof. Dra. Debora C. B. Kirnev
• Unidade de Ensino: 2
• Competência da Unidade: Conhecer os conceitos, definições e
aplicações a respeito de poliedros, prismas e pirâmides.
• Resumo: Apresentamos os elementos pertinentes a cada tipo de
sólido: poliedros, prismas e pirâmides. Juntamente com exemplos
de aplicações deles.
• Palavras-chave: Poliedros. Prismas. Pirâmides.
• Título da Teleaula: Poliedros, prismas e pirâmides.
• Teleaula nº:2
CONTEXTUALIZAÇÃO
O que são sólidos geométricos ? Quais são as suas
características?
• Disponível em:
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941 . Acesso em ago.
2021.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada
por uma superfície fechada. Há dois tipos de sólidos
geométricos: Os Poliedros e os Não Poliedros.
Exemplificando!
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/TdAeqB9w . Acesso em ago. 2021.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/T
dAeqB9w . Acesso em ago.
2021.
Exemplificando!
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/T
dAeqB9w . Acesso em ago.
2021.
Situação geradora de aprendizagem
Diariamente utilizamos produtos que possuem os mais
diversos modelos de embalagens .
 Que tipos embalagens podem ser confeccionadas em
papel?
 Quais são os modelos mais frequentes?
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-vector/cartoon-
thinking-man-question-mark-
think-780908719 . Acesso em
ago.2021.
Exemplificando!
 Sacolas • Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-illustration/white-
package-on-background-mock-
304399295 . Acesso em
ago.2021.
Exemplificando!
 Caixas • Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-illustration/blank-
package-box-set-isolated-on-
749057164 . Acesso em ago.
2021.
Exemplificando!
 Caixas • Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-vector/high-white-
cardboard-box-mockup-set-
1114412363 . Acesso em
ago.2021.
Conceitos
Definições e
elementos de
poliedros
Quais são as principais características dos poliedros?
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941 . Acesso em ago.
2021.
Poliedro é um sólido geométrico, cuja superfície é
composta por um número finito de faces e cujos vértices
são formados por três ou mais arestas em três
dimensões em cada uma das faces de um polígono. Ou
simplificando, um poliedro é um sólido geométrico
limitado só por superfícies planas.
Exemplificando!
• Disponível em:
https://image.shutterstock.com
/image-vector/set-100-
geometric-shapes-mega-
260nw-1693125049.jpg .
Acesso em ago. 2021.
Não Poliedro é um sólido geométrico limitado por
superfícies curvas ou superfícies planas e curvas. Neste
grupo temos objetos que são chamados de corpos
redondos.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/X
VnsrvmZ . Acesso em ago.
2021.
Etimologia da palavra Poliedro
A palavra “poli” vem do grego polys, que significa
“muito” ou “vários”, e “edro” também vem do grego
hedra, que quer dizer “face”.
Poliedro é, então, a figura de muitas faces.
Os poliedros são classificados pelo número de faces.
CATEGORIZAÇÃO DOS SÓLIDOS
Sólidos
Geométricos
Poliedros
Côncavo
Convexo
Irregulares
Regulares
Não poliedros
(Corpos
redondos)
Definição de uma superfície poliédrica
Uma superfície poliédrica convexa é formada por um
número finito de polígonos planos e convexos, de forma
que:
a) Dois polígonos não estão no mesmo plano.
b) Cada lado de polígono não está em mais que dois
polígonos.
c) Havendo lados de polígonos que estão em um só
polígono, eles devem formar uma única poligonal
fechada, plana ou não, chamada contorno.
d) O plano de cada polígono deixa os demais num
mesmo semiespaço (condição de convexidade).
DIFERENCIAÇÃO DOS POLIEDROS
Poliedros
Pirâmides Uma base oposta
a um vértice
Prismas Duas bases
opostas paralelas
Número de faces Nomenclatura
Tetraedro
5 Pentaedro
6 Hexaedro
7 Heptaedro
8 Octaedro
9 Eneaedro
10 Decaedro
11 Undecaedro
12 Dodecaedro⋮ ⋮
20 Icosaedro
Planificação de um poliedro
Temos que a superfície de um poliedro, composta por
polígonos, pode ser projetada sobre um plano, sendo
que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos
um lado em comum com outra face.
Link: https://www.geogebra.org/m/kVeRMJNA
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/kVeRMJNA . Acesso em ago. 2021.
Conceitos
Caracterização de
poliedros e prismas
Elementos dos sólidos
Aresta: é a intersecção de dois planos, ou seja, é a
união de dois lados de um poliedro.
Vértice: lugar onde se encontram as arestas, ou seja, é
um ponto comum entre lados consecutivos de uma
figura geométrica.
Face: formada por um polígono qualquer.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/g
4p6WBbr . Acesso em set.
2020.
Poliedros convexos
Se cada plano que possui uma face de um poliedro
dispõe as demais faces em um mesmo semiespaço,
então o poliedro é convexo; caso contrário, é não
convexo (ou côncavo).
Poliedros convexos: são aqueles que seccionados por
uma reta, tem apenas duas de suas faces
interceptadas. São aqueles te possuem todos os seus
vértices posicionadas para fora.
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/tnYyByTX . Acesso em ago. 2021.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/t
nYyByTX . Acesso em ago.
2021.
Poliedros côncavos (não convexos ): são aqueles que
seccionados por uma reta, tem mais de duas de suas
faces interceptadas. São aqueles que possui vértices
direcionados para o interior da figura.
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/tnYyByTX . Acesso em ago. 2021.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/t
nYyByTX . Acesso em ago.
2021.
Casos de congruência
Há a congruência entre poliedros, se e somente se, for
possível estabelecer correspondências entre seus
elementos, de maneira que as faces e os ângulos de
um poliedro sejam congruentes ao do outro.
Poliedros regulares
Todas as faces poligonais são regulares e congruentes
entre si.
Link: https://www.geogebra.org/m/PJFknUbd
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/PJFknUbd . Acesso em ago. 2021.
Observações:
1º) Uma superfície poligonal plana é regular se o
polígono que a constitui é regular;
2º) Um polígono é regular se possui todos os lados e
os ângulos internos congruentes.
Conceitos
Poliedros, prismas e a
relação de Euler
Relação de Euler
V + F - 2 = A
V – A + F = 2
V – A + F = 2
• Disponível em :
https://image.shutterstock.com
/image-photo/switzerland-
circa-2007-stamp-printed-
600w-110172818.jpg . Acesso
em ago. 2021.
Prismas
Consideremos um polígono convexo ABC situado em
um plano α e uma reta r secante ao plano α. Para cada
ponto pertencente ao polígono ABC, existe um
segmento de reta saindo do ponto P, paralelo à reta r,
que encontra um plano β em um ponto P’. O conjunto
de todos esses segmentos denomina-se prisma.
Prismas
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Elementos do Prisma
• Todo prisma possui 2 bases congruentes;
• n faces laterais;
• n + 2 faces, quando consideramos as bases;
• n arestas laterais.
• 3n arestas, 3n diedros, 2n vértices e 2n triedros;
• altura, distância entre os planos que contêm
as duas bases.
Obs.: é válida a Relação de Euler.
Seção reta do Prisma
Trata-se da interseção do prisma com um plano
perpendicular à aresta da base que intercepta todas as
suas arestas laterais.
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Seção transversal do Prisma
Trata-se da interseção do prisma com um plano paralelo
as bases intercepta todas as suas arestas laterais.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/J
Sr8pPEY . Acesso em ago.
2021.
Classificação dos Prismas
Prisma reto: quando suas arestas formam um ângulo
reto com a base.
Prisma oblíquo: quando suas arestas formam um
ângulo diferente do reto com a base.Prisma regular: quando for reto e os polígonos das
bases são regulares.
Exemplificando!
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Nomenclatura
A nomenclatura é de acordo com o tipo de polígono da
base.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/k
fDTShbS . Acesso em ago.
2021.
Diagonal do prisma
Para n vértices da base temos d= n(n-3) diagonais,
vejamos o exemplo para o prisma de base
quadrangular.
d= 4.(4-3) = 4
Ou seja, ao todo temos 4 diagonais.
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Planificação do prisma
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/gpwh4h6t . Acesso em ago. 2021.
Link: https://www.geogebra.org/m/gpwh4h6t
Resolução da SP
Aplicação da Relação
de Euler
Exemplo da Relação de Euler
Arestas
Faces
(8)
Vértices
(12)
(18)
V + F - 2 = A
V – A + F = 2
V + F = A + 2
12 + 8 = 18 + 2
20 = 20
Situação Problema
Na fabricação de embalagens são realizados diferentes
design para atender as demandas de mercados.
Sabendo que uma embalagem possui um formato de
um poliedro convexo formado por 4 faces hexagonais
e 4 triangulares. Quantos vértices e arestas tem essa
embalagem?
Disponível em : https://image.shutterstock.com/image-vector/food-package-icons-meal-packaging-260nw-
1357220753.jpg . Acesso em ago. 2021.
Resolvendo a situação Problema
No poliedro convexo temos um total:
 = 4 + 4 = 8
 = 4.6 = 24
 = 4.3 = 12
 = = = 18
 + = + 2 → + 8 = 18 + 2 → = 12
Portanto, a embalagem possui 18 arestas e 12 vértices.
Interação
Explorando a
geometria dinâmica
Sólidos de Platão
• São aqueles compostos por faces com o mesmo
número inteiro de arestas;
• Todos os vértices concorre o mesmo número inteiro
de arestas;
• São convexos e satisfazem a relação de Euler.
Acesse o link e veja os sólidos de Platão, utilize o
recurso da geometria dinâmica para explorar a
visualização no geogebra.
LINK: https://www.geogebra.org/m/CJpV6AeS#material/kB8Zapm5
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/CJpV6AeS#material/kB8Zapm5 . Acesso em ago. 2021.
Conceitos
Prismas especiais
Tipos de primas
Romboedro: trata-se de um paralelepípedo que possui as
doze arestas congruentes entre si. Neste caso, sempre
será formado por losangos ou quadrados.
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Medida de diagonal
Adotamos diagonal d como a diagonal do paralelepípedo
retângulo, e db como a diagonal da base. Assim temos:
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Dedução da fórmula da diagonal do prisma
= += +
= ( + ) += + +
Diagonal do cubo
• MOREIRA, L. A.; et al.
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Londrina : Editora e
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2018.
Dedução da fórmula da diagonal do cubo
= + = 2 = 2
= + = ( 2) += 2 + = 3= 3
Exemplificando!
Considere o paralelepípedo a seguir:
Qual a medida da diagonal?
SOLUÇÃO: = + += 5 + 4 + 3= 25 + 16 + 9= 50= 5 2
Áreas e volumes de prismas
ÁREA TOTAL ( At )
At = 2 Ab + Al
At = área total
Ab = área da base
Al = soma das áreas de cada face
VOLUME ( V )
É o produto da área da base pela
altura do prisma
V = Ab .h
Exemplificando!
Num prisma regular hexagonal a altura é igual a 15 cm e
a aresta da base mede 2 cm. Determine:
a) a área da base
b) a área lateral
c) a área total
d) o volume
Resolvendo o exemplo
Considerando a altura do prisma de 15 cm e a aresta da
base de 2 cm temos:
a) = 6. = 6 3
b) = 6.15.2 = 180
c) = 2.6 3 + 180 ≅ 200,7
d) = . ℎ = 6 3. 15 ≅ 155,9
Conceitos
Casos especiais de
prismas e Elementos
da pirâmide
Casos especiais de volumes de prismas
Paralelepípedo:
Cubo:
Área total do paralelepípedo
A área total ( ) do paralelepípedo reto é dada por:= + += 2 ( + + )
Pirâmides
A união de todas as semirretas com origem no ponto V
que interceptam o polígono em um plano α é
denominada de pirâmide, em que V é o vértice da
pirâmide.
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Elementos da Pirâmide
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/g
pwh4h6t . Acesso em ago.
2021.
• O polígono contido no plano é denominado base da
pirâmide. Para cada vértice da base, há 1 aresta da
pirâmide, portanto:
• Há 1 base com n vértices, assim a pirâmide apresenta
n + 1 vértices.
• Para n vértices da base, existem n arestas laterais e
2n arestas totais.
• Há n faces laterais triangulares.
• Há 2n diedros, n triedros e n + 1 ângulos poliédricos.
Classificação das pirâmides
Pirâmide reta: quando a projeção ortogonal do vértice
(V) sobre o plano da base for coincidente do centro do
polígono.
Pirâmide oblíqua: quando a projeção ortogonal do vértice
(V) sobre o plano da base for divergente do
centro do polígono.
Pirâmide regular: quando for reta e os polígonos
das bases são regulares.
Exemplificando!
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Nomenclatura
A nomenclatura é de acordo com o tipo de polígono da
base.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/F
4eejv5X. Acesso em ago. 2021.
•
Pirâmide regular
A altura de cada uma das faces laterais é denominada de
apótema da pirâmide. Sendo a base um polígono regular,
esta também possuí uma apótema, a apótema da base.
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Seção transversal da pirâmide
Observamos que a altura é sempre perpendicular ao
plano da base da pirâmide.
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Planificação da pirâmide
Exemplo: • Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/F
4eejv5X. Acesso em ago. 2021.
Conceitos
Áreas e Volumes de
Pirâmides
Área total da pirâmide
Área da base (Ab): área da superfície poligonal que
forma base.
Área lateral (Al): soma das áreas das faces laterais,
composta por superfícies triangulares.
Área total (At): soma da área lateral com a área da
base.
At = Ab + Al
Área e seção de uma pirâmide triangular
A razão entre as áreas da seção e da base é igual ao
quadrado da razão de suas distâncias ao vértice,
conforme a ilustração. =
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Exemplificando!
Link: pirâmides semelhantes
https://www.geogebra.org/m/CP3ZeKvW
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/CP3ZeKvW . Acesso em ago. 2021.
Volume da Pirâmide
Temos que:
V = volume
Ab= área da base
h = altura
• MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Casos especiais de volumes de pirâmides
Pirâmide (base triangular regular): • MOREIRA, L. A.; et al.
Geometria espacial.
Londrina : Editora e
Distribuidora Educacional S.A.,
2018.
Resolução da SP
Volumes de pirâmides
Situação problema
(adaptado de UEL-PR) As maiores pirâmides egípcias são
conhecidas pelo nome de Pirâmides de Gizé e estão
situadas às margens do Nilo. [...] A maior e mais antiga é
a de Quéops, que tem a forma aproximada de uma
pirâmide de base quadrada com 230 m de lado e faces
laterais que se aproximam de triângulos equiláteros. Em
Matemática, pirâmide é um sólido geométrico. Qual
volume de um sólido com as dimensões da pirâmide de
Quéops?
Interação
Comparação de
volumes
Qual a relação da do volume das pirâmides com o
volume dos prismas?
• Disponível em :
https://www.shutterstock.com/
pt/image-photo/question-mark-
sign-symbol-gold-color-
1517058941 . Acesso em ago.
2021.
Comparação do volume de prisma e pirâmide
Um prisma pode ser subdividido em três pirâmides de
mesmo volume, desde que possua a mesma base e
altura. Dessa forma, o volume da pirâmide é igual à 1/3
do volume do prisma.
• Disponível em:
https://www.geogebra.org/m/u
f3rwemd. Acesso em ago. 2021
Exemplificando!Link:
https://www.geogebra.or
g/m/qSj8NWjr
Exemplificando!
Link: área total de pirâmides
https://www.geogebra.org/m/kbBZqYWr
Exemplificando!
Link: https://www.geogebra.org/m/gznw3dum
Recapitulando!
Sólidos geométricos Diferenciar poliedros de não poliedros e conhecer os conceitos e
propriedades dos poliedros.
Prismas Definir prismas, verificar os casos especiais de prismas, calcular
áreas de superfície e volumes.
Pirâmides Definir pirâmides, calcular áreas de superfícies e volumes e
comparar com os prismas.
REFERÊNCIAS
MOREIRA, L. A.; et al. Geometria espacial. Londrina : Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2018.