livro didatica da matematica

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DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
Programa de Pós-Graduação EAD
UNIASSELVI-PÓS
Autoria: Henriette Damm
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, no 1.040, Bairro Benedito
Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SC
Fone Fax: (47) 3281-9000/3281-9090
Reitor: Prof. Hermínio Kloch
Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol
Coordenação da Pós-Graduação EAD: Prof: Ivan Tesck
Equipe Multidisciplinar da 
Pós-Graduação EAD: Prof.ª Bárbara Pricila Franz
Prof.ª Tathyane Lucas Simão
Prof.ª Kelly Luana Molinari Corrêa
Prof. Ivan Tesck
Revisão de Conteúdo: Grazielle Jenske
Revisão Gramatical: Sandra Pottmeier
Revisão Pedagógica: Bárbara Pricila Franz
Diagramação e Capa: 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Copyright © UNIASSELVI 2017
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
 UNIASSELVI – Indaial.
510.7
D162d Damm, Henriette 
Didática da matemática / Henriette Damm. 
Indaial : UNIASSELVI, 2017.
108 p. : il.
ISBN 978-85-69910-39-8
1. Matemática – Estudo e Ensino.
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci
Impresso por:
Henriette Damm
Possui graduação em Matemática pela 
Fundação Universidade Regional de Blumenau 
(1993), especialização em Gestão Universitária pela 
Fundação Universidade Regional de Blumenau (2015) 
e mestrado em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (1998), 
dissertando sobre “Educação Matemática e Educação 
Ambiental: uma Proposta de Trabalho Interdisciplinar como 
Possibilidade às Generalizações Construídas Socialmente”. 
Atualmente, é professora do quadro da Universidade de 
Blumenau (FURB), Chefe do departamento de Matemática, 
Membro da CAPEX (Comissão de Avaliação de Projetos de 
Extensão), Presidente da Comissão Permanente de Estágio 
Probatório e Coordenadora do Estágio das Licenciaturas. 
Atuou como Chefe da Divisão de Modalidades de Ensino 
por um ano, como Coordenadora do curso de Matemática, 
Coordenadora de TCC em cursos de Especialização na 
EaD por três anos, foi Tesoureira do SINSEPES (Sindicato 
dos Servidores Públicos do Ensino Superior de Blumenau, 
membro do CONSUNI (Conselho Universitário), professora 
coordenadora do PIBID/FURB, docente em cursos de pós-
graduação e Vice-Presidente da APROF (Associação 
dos Professores da FURB). Tem coordenado um 
projeto de extensão voltado para pesquisas de 
mercado e satisfação junto ao Núcleo de Pesquisas 
do Departamento de Matemática. Atua nas áreas 
de Estatística, Estágio e Educação Matemática.
Sumário
APRESENTAÇÃO ......................................................................7
CAPÍTULO 1
Conceitos de Didática da Matemática ..................................9
CAPÍTULO 2
Referências da Didática da Matemática .............................35
CAPÍTULO 3
A Especificidade da Matemática e
da Didática da Matemática .....................................................61
CAPÍTULO 4
Questões Metodológicas e a Engenharia Didática ..........87
APRESENTAÇÃO
Caro(a) pós-graduando(a)! A Didática da Matemática é uma das tendências 
teóricas da Educação Matemática, e para entender melhor o trabalho da Didática 
da Matemática, precisamos contextualizar a Educação Matemática, ou seja, 
entender esta como uma grande área de pesquisa educacional, sendo sua 
consolidação relativamente recente. 
O objeto de estudo da Educação Matemática é a compreensão, a 
interpretação e a descrição de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem 
da Matemática, nos diversos níveis de ensino, tanto na dimensão teórica, quanto 
na dimensão prática. 
A Educação Matemática vem ganhando cada vez mais espaço nas 
discussões acadêmicas e profissionais do ensino. Rico, Sierra e Castro (2000 
apud GODINO 2003) consideram a Educação Matemática como o sistema de 
conhecimentos, intuições, planos de formação e finalidades formativas quanto ao 
processo ensino-aprendizagem da Matemática. 
A consolidação da Educação Matemática como área de pesquisa é 
relativamente recente, quando comparada à história da Matemática, e seu 
desenvolvimento recebeu um grande impulso nas últimas décadas, dando origem 
às várias tendências teóricas, cada qual valorizando determinadas temáticas 
educacionais do ensino da Matemática. 
Entre as várias tendências teóricas que compõem a Educação Matemática 
no Brasil, a Didática da Matemática é uma delas e se caracteriza pela influência 
de autores franceses, conforme veremos nos capítulos deste material.
Segundo Régine Douady (apud PAIS, 2002b, p. 10-11), “A Didática da 
Matemática estuda os processos de transmissão e de aquisição dos diferentes 
conteúdos desta ciência, particularmente numa situação escolar ou universitária. 
Ela se propõe a descrever e explicar os fenômenos relativos às relações entre seu 
ensino e sua aprendizagem. Ela não se reduz a pesquisar uma boa maneira de 
ensinar uma determinada noção particular.”.
Assim, podemos entender que a Didática da Matemática, busca a elaboração 
de conceitos e teorias que sejam compatíveis com a especificidade educacional 
do saber escolar matemático, mantendo vínculos com a formação de conceitos 
matemáticos, tanto da prática pedagógica, como no campo teórico da pesquisa 
acadêmica.
A Didática da Matemática teve forte influência de autores franceses, 
pois foi na França que teve surgimento este referencial teórico, para após se 
espalhar por diversos países. São estas teorias e seus autores: A Teoria da 
“Transposição Didática” de Chevallard; A Teoria dos “Obstáculos epistemológicos” 
de Bachellard; A Teoria dos “Campos Conceituais” de Vergnaud; A Teoria das 
“Situações Didáticas” e a Teoria do “Contrato Didático” de Brousseau; A Teoria da 
“Engenharia Didática” de Artigue.
Os capítulos que seguem buscam trabalhar especificamente cada um dos 
pontos destacados, ou seja:
No primeiro capítulo, serão apresentados os Conceitos de Didática da 
Matemática buscando defini-los, discutindo as implicações dos conceitos na 
práxis do professor, bem como, trabalhando a importância do conhecimento 
dos conceitos básicos de Didática da Matemática em relação à autoavaliação 
profissional.
No segundo capítulo, teremos as Referências da Didática da Matemática 
a partir da apresentação do saber matemático e suas particularidades, da 
discussão do trabalho do professor de matemática, da definição de obstáculos 
epistemológicos e didáticos no ensino da matemática, da articulação do trabalho 
do professor de matemática com os obstáculos epistemológicos e didáticos, e da 
análise da formação de conceitos e dos campos conceituais.
No capítulo três, o objeto de estudo será a Especificidade da Matemática 
e da Didática da Matemática, através da discussão de situações didáticas e 
a-didáticas da Matemática, da definição de contrato didático, da avaliação de 
situações de ruptura do contrato didático, e da análise do cotidiano escolar e os 
efeitos didáticos.
No capítulo quatro, teremos as Questões Metodológicas e a Engenharia 
Didática, buscando identificar e organizar as fases da Engenharia Didática 
e analisar a dimensão teórica e experimental da pesquisa em Didática da 
Matemática.
Assim, buscamos com este material, analisar conceitos criados por autores 
que atuam no campo da Educação Matemática, especificamente, da Didática da 
Matemática e passar a questionar se o ensino da Matemática pode se resumir à 
apresentação de uma sequência de axiomas, definições e teoremas.
 
A autora.
CAPÍTULO 1
Conceitos de Didática da Matemática
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Defi nir os conceitos de Didática da Matemática.
 Discutir as implicações dos conceitos na práxis do professor.
 Explicar e aplicar a importância do conhecimento dos conceitos básicos de 
Didática da Matemática em relação à autoavaliação profi ssional.
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 Didática da Matemática
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CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
ConteXtualiZaÇÃo
O homem sempre se encontrouenvolvido com Matemática. Procurando 
atender às necessidades de suas condições de vida, ele conta, mede e calcula. 
Agindo sobre o meio em que vive, o homem faz sua própria Matemática ao buscar 
soluções para os problemas do cotidiano, produzindo novos conhecimentos e 
aplicando-os, refi nando e sofi sticando os conceitos matemáticos.
A escola se organiza levando em consideração saberes 
historicamente acumulados e construídos, acrescentando saberes 
formados e adquiridos no presente. Estamos na era da tecnologia e 
globalização, onde os saberes são dinâmicos e complexos, e esses 
se transformam e/ou evoluem constantemente. Aprendemosa todo o 
momento e de diferentes maneiras. E, neste contexto, é imprescindível 
fornecermos oportunidades aos alunos para desenvolverem um 
pensamento crítico, com o intuito de que informações sejam analisadas 
e refl etidas, para então, permitir e promover a construção do conhecimento.
Os alunos, na contemporaneidade, chegam à sala de aula com muitos 
conhecimentos adquiridos nesse mundo cibernético e, muitas vezes, não têm 
esse conhecimento organizado ou estruturado, ou seja, às vezes, mesmo que 
possuam o conhecimento, os alunos não têm consciência que podem usá-lo sob 
outras circunstâncias diferentes àquelas nas que eles aprenderam. O professor 
pode auxiliar ao estudante se sentir um cidadão em pleno crescimento com 
todas as capacidades para se desenvolver seu papel na sociedade. No caso do 
professor de Matemática, tem sua inserção em muitas áreas do conhecimento 
que é útil para o estudante. Todas estas questões dizem respeito à Educação 
Matemática também. Mas então? O que é a Educação Matemática? Do que trata? 
Vamos descobrir adiante!
EducaÇÃo matemática
Assim como em diversas áreas do conhecimento, também na área da 
Matemática os alunos têm um caminho percorrido e é justamente o professor 
quemtem a função de mediar esse passo do conhecimento construído num 
ambiente diferente ao da escola e o vai conectar ao que ele encontra na escola. 
Com a organização desses conhecimentos no sistema educativo se entende que 
tudo que ele aprendeu é válido e vai se moldurando para ser falado de um jeito 
particular no meio escolar. Essa ideia vem ao encontro do que afi rma Freire.
Fornecermos 
oportunidades 
aos alunos para 
desenvolverem um 
pensamento crítico, 
permitir e promover 
a construção do 
conhecimento.
12
 Didática da Matemática
O que tenho dito sem cansar, e redito, é que não podemos deixar 
de lado, desprezado como elo imprestável, o que educandos, 
sejam crianças chegando à escola ou jovens e adultos a 
centros de educação popular, traz consigo de compreensão do 
mundo, nas mais variadas dimensões de sua prática na prática 
social de que fazem parte. Sua fala, sua forma de contar, de 
calcular, seus saberes em torno do chamado outro mundo, 
sua religiosidade, seus saberes em torno da saúde, do corpo, 
da sexualidade, da vida, da morte, da força dos santos, dos 
conjuros (FREIRE, 2003, p.85-86).
Caminhando essa discussão para o ensino da Matemática, parece haver 
um consenso de que uma Educação Matemática básica deve contribuir com a 
preparaçãodo cidadão no exercício da cidadania tanto no domínio individual 
quanto no coletivo. Nesse sentido, podemos possibilitar novas atitudes e 
comportamentos no viver em sociedade, tendo por referência os direitos humanos, 
os valores humanos e a justiça social. Além de ensinar Matemática, também é 
preciso formar valores. Em primeiro lugar fazermos uma ligação entre o mundo 
real e a Matemática da escola, como se menciona nos Parâmetros Curriculares 
Nacionais - PCN através de projetos relacionados à realidade dos estudantes.
Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade 
e a possibilidade de organizar os conteúdos de forma a lhes 
conferir signifi cado. É importante identifi car que tipos de 
projetos exploram problemas cuja abordagem pressupõe 
a intervenção da Matemática, e em que medida ela oferece 
subsídios para a compreensão dos temas envolvidos (BRASIL, 
PCN, 1997, p.26).
Um dos desafi os atuais da aula de Matemática é o professor entender e 
aceitar que precisa além de ensinar Matemática, também contribuir na formação 
daquele ser humano. A sociedade hoje é diferente da sociedade a qual nós 
nascemos e, obviamente, faz-se necessário um novo olhar sobre a formação da 
educação básica, o que inclui a formação Matemática.
Partindo deste contexto, é preciso expor dois importantes pontos. 
De um lado, ter a Matemática como uma ferramenta para atender 
as necessidades da vida cotidiana e, por outra, ter ela com as suas 
concepções. Assim, podemos introduzir o termo “Etnomatemática”, 
como foi defi nido pelo professor e pesquisador Ubiratan D’Ambrósio, 
como a arte ou técnica de explicar, conhecer e entender conceitos 
matemáticos vinculados a diversos contextos culturais. Outro ponto é, 
em meio aos conteúdos específi cos matemáticos, trabalhar questões de 
cidadania, em que a aula de Matemática pode tornar-se um fórum de debate e 
negociação de concepções e representações da realidade. Assim, questionamos, 
em quais contextos usar esses conhecimentos?
Não podemos 
deixar de lado o 
que educandos 
traz consigo de 
compreensão do 
mundo.
Ter a Matemática 
como uma 
ferramenta 
para atender as 
necessidades da 
vida cotidiana e, por 
outra, ter ela com as 
suas concepções.
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CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Em jornais, por exemplo, onde alunos e professores trabalham conteúdos de 
ensino, atitudes, métodos e procedimentos. Criam um espaço de conhecimento 
compartilhado, refl etindo sobre suas aprendizagens e difi culdades a superar. 
Encontramos notícias ou informações que vêm argumentadas com gráfi cos, ou 
com porcentagens ou com curvas que seguem determinada função. 
Esses são casos em que o ensino da Matemática propicia a construção de 
um conhecimento com posicionamento crítico do cidadão, aí tanto o professor 
de Matemática quanto o aluno têm oportunidade de desenvolver assuntos 
paralelos que competem à formação, à ética, proporcionando um momento de 
discussão com respeito às opiniões diferentes entre colegas. Algumas dessas 
diferenças até podem servir para completar uma ideia ou conhecimento e, ainda, 
podemos fomentar e estimular a solidariedade entre os alunos solicitando um 
trabalho em grupos para eles mesmos serem mediadores entre eles e propiciar 
mais um momento de construção de conhecimento e de formação cidadã. Cabe 
lembrarmos que um trabalho em grupo pode revelar várias situações, positivas e 
negativas. O professor deve ter certos cuidados para que um trabalho em grupo 
se revele algo positivo, o grupo não deveria ser imposto, poderia se sugerir a 
participação daqueles que já aprenderam para servir de mediadores, mas com o 
consenso dos mesmos.
Outro tema transversal, mencionado nos PCN (BRASIL, 1997), que podemos 
explorar é o meio ambiente, porque além de trazer muitas concepções na 
Matemática, é um assunto que podemos trabalhar na interdisciplinaridade com 
outras matérias como: ciências, geografi a, história, artes, sociologia e, assim, 
por diante. É o meio onde acontece um incontável número de situações,nas 
quaispodemos mergulhar para aprofundar e vincular os conhecimentos e formar 
cidadãos críticos e solidários. Alguns desses conceitos na Matemática poderiam 
ser médias, áreas, volumes, proporcionalidade, assim como procedimentos 
matemáticos,como formulação de hipóteses, realização de cálculos, coleta, 
organização e interpretação de dados estatísticos, prática da argumentação, 
assim como, é indicado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
Nessa base também podemos usar temas como saúde, já fazendo relação 
com meio ambiente e avançando para outro patamar e, depois, seguindo superar 
o preconceito que se tem com a Matemática tanto com a sua difi culdade de 
aprendizagem quanto ser exclusiva de áreas específi cas do conhecimento e 
limitada a algumas classes sociais, especificamente.
Com a evolução da humanidade, a Matemática passa a ganhar caráter 
científi co, adquirindo forma e estrutura interna própria. Não se desenvolve 
apenas em função de necessidades externas, mas também, passa a avançar a 
partir dos problemas que surgem em sua estrutura interna. Caberia aqui usar o 
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 Didática da Matemática
desenho animado do Pato Donald, da Disney, no episódio chamado “Donald no 
mundo da matemágica” no qual surge a fi gura de Pitágoras, ideias platônicas, o 
qual fala sobre o símbolo do pentagramae aparece o número áureo, também se 
vincula proporções arquitetônicas do Parthenon atrelada às da Catedral de Notre-
Dame (Paris) e, assim, muitos outros exemplos de dimensões e de proporções 
na natureza. Trata-se de um episódio para explorar o aspecto multidisciplinar e 
desenvolver a ideia da estrutura interna da Matemática.
Figura 1 – Donald no mundo da matemágica
Fonte: Disponível em: <http://www.mdig.com.br/index.
php?itemid=29136>. Acesso em: 15 maio 2016.
Em sua origem, a Matemática se constitui a partir de uma coleção 
de regras isoladas, decorrentes de experiênciasda vida diária, e se 
converteu gradativamente em um sistema de variadas disciplinas. 
Nesse contexto, podemos conferir à Matemática dois aspectos distintos: 
o formalista e o prático.
Estes aspectos se infl uenciam mutuamente. Assim como as descobertas dos 
matemáticos puros revelam valor prático, ao serem aplicadas as propriedades 
Matemáticas em acontecimentos específi cos, podem levar ao desenvolvimento 
teórico da Matemática. A Matemática, ao longo da história da humanidade, 
mostra-se uma ciência viva, dinâmica, em constante evolução e que interage com 
a realidade. 
A matemática transforma-se por fi m na ciência que estuda 
todas as possíveis relações e interdependências quantitativas 
entre grandezas, comportando um vasto campo de teorias, 
modelos e procedimentos de análise, metodologias próprias 
de pesquisa, formas de coletar e interpretar dados (BRASIL, 
PCN, 1997, p. 24).
Podemos conferir 
à Matemática dois 
aspectos distintos: 
o formalista e o 
prático.
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CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Além de refl etir sobre o caráter do conhecimento matemático, 
temos por objetivo refl etir sobre o caráter pedagógico da Matemática, 
ou seja, sobre como ensinar Matemática. A princípio, buscamos reunir 
aqui alguns elementos que possam ser tomados como referência 
para o estabelecimento de uma didática para o ensino da Matemática, 
assim, precisamos saber o que é a didática. Didática é um conjunto 
de princípios, crenças e valores do ensino e do método, que dialogam 
entre si, formando um conjunto de preceitos que servem de base para 
a perfeita execução da tarefa de ensina (PAIS, 2008). Assim, a didática 
do ensino da Matemática agrega o conjunto de princípios; crenças; 
opinião de autores; textos de obras escritas, entre outras ferramentas, 
adotados pelo professor de Matemática que servem de base para o 
seu sistema de ensino e para a organização da disciplina. Pensar uma 
didática da Matemática é pensar sobre as relações no processo ensino-
aprendizagem de Matemática (PAIS, 2008).
De um lado temos o problema da formação dos conceitos 
matemáticos, por outro, a formação dos conceitos didáticos referentes 
ao fenômeno da aprendizagem da Matemática. Mas seja qual for ao que fazemos 
referência, é fundamental usar o método construtivista, inspirado nas ideias do 
suíço Jean Piaget, que propõe que o aluno no seu aprendizado participe ativamente 
mediante experimentação, trabalhos ou atividades em grupo possibilitando 
a mediação entre colegas, estimulação à dúvida e ao desenvolvimento do 
raciocínio, entre outros procedimentos. A partir da própria ação, o estudante vai 
estabelecendo as propriedades dos objetos e construindo os conhecimentos e 
as características do mundo.Simultaneamente, o professor de Matemática adapta 
os conceitos científi cos para trazê-los à sala de aula adequando-os às diversas 
realidades.
A educação Matemática vem ganhando cada vez mais espaço nas 
discussões acadêmicas e profi ssionais do ensino. Rico, Sierra e Castro (2000 
apud GODINO 2003) consideram a educação Matemática como o sistema de 
conhecimentos, intuições, planos de formação e fi nalidades formativas 
quanto ao processo ensino-aprendizagem da Matemática. 
Simultaneamente, caracterizam a Didática da Matemática como a 
disciplina que estuda e investiga os problemas surgidos na Educação 
Matemática.
Conforme Pais(2008, p. 10),
A educação matemática é uma grande área de 
pesquisa educacional, cujo objeto de estudo 
é a compreensão, interpretação e descrição 
Didática é um 
conjunto de 
princípios, crenças 
e valores do ensino 
e do método, que 
dialogam entre 
si, formando 
um conjunto de 
preceitos que 
servem de base para 
a perfeita execução 
da tarefa de ensina 
(PAIS, 2008). Pensar 
uma didática da 
Matemática é pensar 
sobre as relações no 
processo ensino-
aprendizagem de 
Matemática
A educação 
matemática 
objeto de estudo 
é a compreensão, 
interpretação 
e descrição 
de fenômenos 
referentes ao ensino 
e à aprendizagem 
da matemática, nos 
diversos níveis de 
escolaridade
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 Didática da Matemática
de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem da 
matemática, nos diversos níveis de escolaridade, quer seja em 
uma dimensão teórica ou prática.
A consolidação da Educação Matemática como área de pesquisa é 
relativamente recente, quando comparada à história da Matemática, em que seu 
desenvolvimento recebeu um grande impulso nas últimas décadas, dando origem 
às várias tendências teóricas, cada qual valorizando determinadas temáticas 
educacionais do ensino da Matemática.
A expressão tendência teórica é utilizada para representar 
a existência de um coletivo de pesquisadores em Educação 
Matemática, que compartilha de um mesmo referencial teórico. 
Por exemplo: Etnomatemática, Modelagem Matemática, Filosofi a 
da Educação Matemática, História da Matemática, Didática da 
Matemática, entre outros.
Entre as várias tendências teóricas que compõem a Educação Matemática 
no Brasil, a Didática da Matemática se caracteriza pela infl uencia de autores 
franceses, conforme veremos neste material.Devemos nos perguntar então:
- O que é Didática da Matemática?
Vamos desvendar essa pergunta juntos!
Didática da Matemática
Quando preparamos uma aula de Matemática, além dos objetivos, 
habilidades e competências que queremos desenvolver, fazemos a proposta de 
como essa aula irá acontecer, quais os exemplos que iremos fornecer, quais as 
realidades que iremos abordar para trazer o conceito em estudo à tona e tudo isso 
forma parte da didática pedagógica da aula que será ministrada.
A expressão Didática da Matemática é diferente do que conhecemos como a 
disciplina pedagógica de didática aplicada ao ensino.
Conforme Pais(2008, p.11):
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CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
A didática da matemática é uma das tendências da 
grande área da educação matemática, cujo objeto 
de estudo é a elaboração de conceitos e teorias 
que sejam compatíveis com a especifi cidade 
educacional do saber escolar matemático, 
procurando manter fortes vínculos com a formação 
de conceitos matemáticos, tanto em nível 
experimental da prática pedagógica, como no 
território teórico da pesquisa acadêmica.
A Didática da Matemática objetiva compreender as condições de 
produção, registro e comunicação do conteúdo escolar da Matemática 
e de suas consequências didáticas. Assim sendo, todos os conceitos 
didáticos se destinam a favorecer a compreensão das múltiplas 
conexões entre a teoria e a prática.
A dimensão teórica é entendida como as principais ideias 
resultantes da pesquisa e a dimensão prática como sendo a condução 
do fazer pedagógico. Nesse contexto, os elementos do sistema 
didático, devem ser fortemente integrados entre si.Tema este que abordaremos 
a seguir.
A Didática da 
Matemática objetiva 
compreenderas 
condições de 
produção, registro 
e comunicação do 
conteúdo escolar 
da Matemática e de 
suas consequências 
didáticas. Assim 
sendo, todos os 
conceitos didáticos 
se destinam 
a favorecer a 
compreensão das 
múltiplas conexões 
entre a teoria e a 
prática.
Atividade de Estudos:
1) Na compreensão do signifi cado da Didática da Matemática no 
texto, podemos afi rmar que:
 Assinale a alternativa correta:
 a) A Didática da Matemática está vinculada ao jeito de apresentar 
a disciplina aos alunos de uma maneira que estimule seu 
aprendizado.
 b) A Didática da Matemática está vinculada aos materiais que 
o professor providencia para o processo ensino-aprendizagem 
indicando explicitamente os conteúdos e não deixando lugar a 
dúvidas.
 c) A Didática da Matemática está vinculada a trabalhar a disciplina 
em conjunto com outras disciplinas, mesmo que o contexto seja 
estranho para o aluno, porque ele precisa construir um mundo 
global.
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 Didática da Matemática
 d) A Didática da Matemática está vinculada à elaboração 
de conceitos e teorias compatíveis com o saber matemático 
específi co da escola atrelado tanto à pesquisa acadêmica quanto 
à formação dos próprios conceitos matemáticos na prática 
pedagógica.
Sistema Didático
O Sistema Didático é uma estrutura composta de nove elementos 
(PAIS, 2008) principais: professor, aluno, conhecimento, planejamento, 
objetivos, recursos didáticos, instrumentos de avaliação, uma concepção 
de aprendizagem e metodologia de ensino. A interação entre esses 
elementos é extremamente necessária para a condução da prática 
pedagógica. O professor é o maestro dessa orquestra, é por isso, que 
ele é o responsável por fazer acontecer tanto à comunicação dele com 
seus alunos quanto fornecer exercícios e momentos de discussão 
entre os alunos sobre o assunto estudado para que venha a ocorrer à 
mediação entre os próprios colegas.
 Muitos desses elementos são trabalhados prévio às aulas 
como o planejamento, relacionado a cada aula que vai ser ministrada 
relacionando os conteúdos que serão estudados com o objetivo de 
aprendizagem e sua contextualização. A escolha da metodologia está intimamente 
ligada aos recursos didáticos como o quadro, o livro didático, os recursos 
audiovisuais,que o professor possa utilizar ou que possa recrear no caso tenha 
carência de alguns recursos na instituição educativa onde trabalhe. O professor 
com tempo introduz também os recursos de contexto da realidade dos alunos em 
que pode ser aplicado o conteúdo e as novas concepções de aprendizagem, o 
diálogo com outras disciplinas, o próprio conhecimento e uma sequência didática 
que leve a obter o sucesso do objetivo alcançado.
As relações entre professor, aluno e saber estão atreladas ao Sistema 
Didático, como detalhamos. O rigor e o formalismo são características do 
pensamento matemático e, na relação pedagógica entre professor e aluno, o 
ensino da Matemática pode estar infl uenciado por aspectos relativos ao próprio 
pensamento matemático, mas que na verdade não pertencem à natureza do 
trabalho didático. Na próxima fi gura podemos observar o esquema do Sistema 
Didático proposto por Brousseau (1986).
O Sistema 
Didático é uma 
estrutura composta 
professor, aluno, 
conhecimento, 
planejamento, 
objetivos, recursos 
didáticos, 
instrumentos de 
avaliação, uma 
concepção de 
aprendizagem e 
metodologia de 
ensino.
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CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Figura 2 – Sistema Didático
Fonte: Disponível em: <http://docslide.com.br/documents/1-universidade-federal-do-
para-especializacao-em-didatica-da-matematica.html>. Acesso em: 08 ago. 2016.
Assim, podemos nos fazer algumas perguntas:
- O que infl uencia na formação do saber matemático previsto na educação 
escolar?
- Quem participa do processo seletivo dos conceitos matemáticos ensinados 
na escola?
Para responder estas questões sob o olhar da Didática da Matemática, 
recorremos ao conceito de transposição didática.
Atividade de Estudos:
1) Vamos imaginar que estamos na sala de aula explicando um 
conceito e logo deixamos alguns exercícios para os alunos 
aplicarem o tal conceito. A atitude do professor que vem ao 
encontro da discussão nesse capítulo qual seria?
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 Didática da Matemática
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TransposiÇÃo Didática
A transposição didática se revela uma ideia centralizadora da Educação 
Matemática ao estar associada a vários outros conceitos. Lembramos que 
a transposição nos leva a uma ideia de deslocamento e alteração. Assim, a 
transposição didática permite, por exemplo, interpretar as diferenças que ocorrem 
entre a origem de um conceito da Matemática, como ele encontra-se proposto 
nos livros didáticos, e a intenção de ensino do professor e os resultados obtidos 
em sala de aula. E nesse movimento acontece uma transposição. Aprofundamos 
mais um pouco com base em Chevallard.
Segundo defi nição de Chevallard (1991 apud PAIS, 2008, p.19):
Um conteúdo de saber que tenha sido defi nido como saber a 
ensinar, sofre, a partir de então, um conjunto de transformações 
adaptativas que irão torná-lo apto a ocupar um lugar entre os 
objetos de ensino. O ‘trabalho’ que faz de um objeto de saber 
a ensinar, um objeto de ensino, é chamado de transposição 
didática.
Chevallard (1991) conceitua Transposição Didática como o trabalho 
de produção necessário para chegar a um objeto de ensino, a partir do saber 
gerado pelo cientista.Essa transformação vai muito além da simplifi cação de 
códigos científi cos. Estuda a seleção que ocorre através de uma extensa rede de 
infl uências, envolvendo diversos segmentos do sistema educacional.
O termo “Transposição Didática” foi introduzido pelo sociólogo Michel Verret 
na França em 1975, e discutido novamente por Yves Chevallard, em seu livro 
La Transposition Didactique, de 1985, empenhando-se em tornar evidentes as 
transformações pelas quais passa o saber ao transpor o campo científi co para o 
âmbito escolar (PERRELLI, 1999).
21
CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Assim, de maneira ampla, podemos considerar que a transposição 
didática é o conjunto de adaptações que o saber científi co sofre 
para transformar-se em saber escolar. Podemos exemplifi car isso 
começando pela linguagem utilizada na sala de aula, escolhemos uma 
variedade linguística mais apropriada à compreensão dos estudantes. 
Os exemplos que se formulam são aqueles de menor complexidade e 
vai se incrementando a difi culdade na medida em que os alunos vão 
compreendendo os conceitos trabalhados na sala.
A transposição 
didática é o conjunto 
de adaptações que o 
saber científi co sofre 
para transformar-se 
em saber escolar.
Yves Chevallardé um didata francês do campo do ensino das 
matemáticas. E seu trabalho internacionalmente conhecido é “A 
Transposição Didática”. Sua publicação mais difundida no Brasil 
é a tradução para o espanhol e o original em francês do livro La 
Transposition Didactique, uma versão ampliada da primeira edição 
francesa de 1985.
Na discussão entre a dimensão prática e teórica, Gastão Bachelard (1884-
1961), na França, é uma importante referência na interpretação do problema da 
conciliação entre essas duas dimensões. Para Bachelard, toda análise teórica 
deve passar por uma análise prática, da mesma forma que toda experiência deve 
passar pelo controle de uma posição racional. 
Nesse contexto, Bachelard (2003),trabalhou o conceito de obstáculos 
epistemológicos. No que diz respeito principalmente às ciências exatas e, destaca 
que é necessário superar ou haver uma transposição de uma série de obstáculos 
à aprendizagem,para que a construção do espírito científi co se efetive.
No campo da Matemática, particularmente a respeito da aprendizagem 
escolar, abordamos a questão específi ca de obstáculos didáticos, a qual 
defi niremos a seguir.
Gaston Bachelard (1884-1962) fi lósofo e ensaísta francês que se 
licencia em matemática no ano de 1912. A teoria da relatividade deita 
por terra as suas ideias sobre física, o que o terá levado a estudar 
fi losofi a, obtendo uma segunda licenciatura em letras em 1920. Tendo-
se doutorado em 1927 com a tese Ensaio sobre o Conhecimento 
aproximado e Estudo sobre a Evolução de um problema da física, 
22
 Didática da Matemática
a propagação térmica nos sólidos. Em 1930, iniciou uma carreira 
regular de professor universitário, especifi camente nas universidades 
de Dijon (1930-1940) e, depois na Sorbonne (Paris).
Atividade de Estudos:
1) Enquanto profi ssional atuante no âmbito escolar, como você se 
percebe utilizando a transposição didática?
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OBstáculos Didáticos
Quando pensamos em obstáculo, logo fazemos uma ligação com a ideia de 
alguma coisa que difi culta, impede ou simplesmente atrapalha a execução de uma 
ação desejada. Assim, Bachelard (2003) discute o tema obstáculos, no sentido de 
obstáculos epistemológicos, que são obstáculos que os professores devem evitar, 
de maneira a garantir o sucesso do ensino-aprendizagem. Para isso, é necessário 
estar atento e identifi car esses obstáculos sem seu modo de ensinar, no ambiente 
da sala de aula e nos recursos didáticos usados. O professor precisa estar ciente 
do que cada um trata, pois somente assim, poderá desvendá-los e superá-los, ou 
ainda, ajudar os seus alunos a vencê-los.
Bachelard (2003) observou que a evolução de um conhecimento pré-científi co 
para um nível de reconhecimento científi co passa, quase sempre, pela rejeição de 
conhecimentos anteriores e se defronta com obstáculos. Esses obstáculos não 
estão atrelados à falta de conhecimento, mas sim, a conhecimentos antigos que 
resistem à instalação de novas concepções. Da mesma maneira, acontece com 
os obstáculos no ensino-aprendizagem da Matemática.
23
CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Como a Matemática apresenta certa regularidade em se tratando 
de sua evolução histórica, ao invés de trabalhar na concepção dos 
obstáculos epistemológicos, Pais (2008) admite a existência de 
obstáculos didáticos, ou seja, noção motivada pela comparação entre a 
evolução dos conceitos, no plano histórico dos saberes científi cos, e o 
fenômeno cognitivo, no plano subjetivo da elaboração do conhecimento. 
Com essa refl exão nos questionamos sobre como a superação 
dos obstáculos didáticos pode facilitar a investigação da formação de 
conceitos? Que elementos precedentes entram na construção de um 
novo conceito?
É fundamental que as aulas de matemática lancem 
um novo olhar para a construção de conceitos ou 
signifi cados matemáticos. E esse novo olhar traga 
a realidade em que a escola e seus estudantes 
encontra-se inserida. Dessa maneira os conceitos 
que serão construídos podem se constituir na 
realidade, num mundo concreto e com exemplos 
vinculados e aplicados a situações que tanto o aluno 
quanto seu professor de matemática conhecem 
e lidam no seu dia-dia ou em circunstâncias 
específi cas em que o aluno possa se visualizar e 
perceber o tal conceito. Assim como Freire nos faz 
analisarmos [...].
Não seria, porém, com essa educação desvinculada da 
vida, centrada na palavra, em que é altamente rica, mas na 
palavra “milagrosamente” esvaziada da realidade que deveria 
representar, pobre de atividades com que o educando ganhe 
a experiência do fazer, que desenvolveríamos no brasileiro 
a criticidade de sua consciência, indispensável à nossa 
democratização (FREIRE, 2006, p.102). 
Conceber o ensino da Matemática voltado para a problematização e análise 
de situações diversas do cotidiano, permite que o aluno faça deduções levando 
em conta suas experiências de vida e, consequentemente, levando-o à construção 
de conceitos matemáticos.
Nesse contexto, podemos nos questionar pela aplicação prática dos 
conceitos matemáticos, considerando o espaço vivo de uma sala de aula. Quais 
as competências necessárias para o exercicio docente? Brousseu (1996) nos dá 
um dos possíveis caminhos: o estudo das situações didáticas.
Obstáculos 
didáticos, ou seja, 
noção motivada 
pela comparação 
entre a evolução dos 
conceitos, no plano 
histórico dos saberes 
científi cos, e o 
fenômeno cognitivo, 
no plano subjetivo 
da elaboração do 
conhecimento.
É fundamental 
que as aulas de 
matemática lancem 
um novo olhar 
para a construção 
de conceitos 
ou signifi cados 
matemáticos.
24
 Didática da Matemática
Guy Brousseau nasceu em 4 de fevereiro de 1933, em Taza, 
no Marrocos. Passou a lecionar na Universidade de Bordeaux, 
no fi m dos anos de 1960, sendo mais tarde diretor do Laboratório 
de Didática das Ciências e das Tecnologias e professor emérito. 
Em 1991, tornou-se docente do Instituto Normal Superior local. 
Brousseau investiu em uma teoria que compreendia as interações 
sociais entre os alunos, os professores e o conhecimento.
SituaÇões Didáticas
A teoria de Brousseau (1996) sobre as situações didáticas busca estudar as 
relações epistemológicas, cognitivas e sociais do ensino da matemática, ou seja, 
Brousseau (1996) se preocupa além da relação professor-aluno, em entender 
também o contexto em que essa relação ocorre. A Teoria das Situações Didáticas 
desenvolvida por ele se baseia no princípio de que "cada conhecimento ou saber 
pode ser determinado por uma situação", entendida como uma ação entre duas 
ou mais pessoas. 
Na Teoria das Situações Didáticas, o professor propõe problemas 
para que os alunos possam interagir, discutir e construir os conceitos 
matemáticos de forma ativa e participativa. Sendo assim, o aluno 
participa do processo e tem condições de usar o conhecimento 
construído no âmbito escolar, fora deste, de forma natural e espontânea. 
Para representar a teoria das Situações Didáticas, Brousseau 
(1996) propõe o triângulo didático (fi gura 1) que relaciona o aluno, o 
professor e o saber, constituindo uma relação dinâmica e complexa.
Situações Didáticas, 
o professor propõe 
problemas para 
que os alunos 
possam interagir, 
discutir e construir 
os conceitos 
matemáticos de 
forma ativa e 
participativa.
25
CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Figura 3 – Triângulo didático
Fonte: Adaptado de Almouloud (2007, p. 32).
As situações didáticas são ocorrências elaboradas intencionalmente pelo 
professor para defrontar os alunos com contextos que exijam dele a busca de 
conhecimentos para a análise e resolução das situações. 
Para Brousseau (1996) as situações didáticas são classifi cadas em etapas: 
ação, formulação, validação e institucionalização. 
a) Ação: Na fase da ação, o professor cede ao aluno a responsabilidade pela 
aprendizagem. No momento em que propõe ao aluno uma situação didática, 
o aluno realiza uma primeira análise e traz uma devolutiva ao professor que, 
contra-argumenta buscando possibilidades de ação por parte do aluno. O aluno 
refl ete sobre as possíveis soluções, elegendo um procedimento de resolução. 
b) Formulação: Já na fase da formulação ocorre a troca de informação, através 
de uma linguagem Matemática formal. Nesta fase os alunos procuram 
transcrever o compreendido, o coloquial, para o formal que devem comunicar. 
Isto é, tem que se transcrever a linguagem falada, onde é comum ser coloquial, 
para a linguagem escrita, a qual deve serformal. 
c) Validação: Junto à fase da validação, através de linguagem Matemática 
apropriada, buscam convencer os interlocutores da veracidade da informação. 
Importante observar que, durante todas essas fases, o professor encontra-
se como mediador, levando os alunos a trilhar o caminho da construção do 
conhecimento matemático. Pois ser mediador é uma postura do professor 
26
 Didática da Matemática
que pode e deve ocorrer durante toda a aula, durante todo o período letivo. 
Devemos estar atentos nesse aspecto e em nossas atitudes durante nossas 
aulas, pois muitos professores consideram que essa prática só é possível 
quando trabalhamos com projetos, mas não. Ela é possível também em 
aulas tradicionais, pois o que torna um professor mediador, é ele não dar as 
respostas prontas, mas sim, proporcionar ao aluno situações que lhe permitam 
construir conceitos.
Figura 4 –Cuidado com a postura no processo ensino-aprendizagem
Fonte: Quino (2003, p.16).
Por fi m, temos a fase da institucionalização, onde a intenção do professor é 
socializada e onde retoma sua responsabilidade (cedida até então aos alunos), 
formalizando os objetos e objetivos de estudo.
Com a Teoria das Situações Didáticas, o erro deixa de ser um desvio 
imprevisível para se tornar um obstáculo valioso e parte da aquisição de saber. 
Há uma teoria específi ca que estuda a função do erro na aprendizagem. É visto 
como o efeito de um conhecimento anterior, que já teve sua utilidade, mas agora 
se revela inadequado ou falso. 
27
CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Um educador, sob a ótica de Piaget (1982), que considera o erro 
parte do processo construtivo da aprendizagem, deve ser paciente e 
competente para avaliar, segundo a teoria de ensino-aprendizagem 
que utiliza. Isto, pois o processo de construção do conhecimento do 
seu estudante, a reformulação dos procedimentos de ensino, de maneira que 
esse consiga chegar aos objetivos da escolarização são fundamentais, ou seja: 
que sejam alunos formados numa perspectiva integral e com criticidade, que 
sejam bem informados, que raciocinem com independência e que sejam capazes 
de se posicionar. Isto só será possível sabendo aproveitar o papel do erro no meio 
escolar.
Esse deve ser tomado como sinal de que o processo ensino-
aprendizagem já iniciou e que nesse caminho ele não é considerado 
derrotado/fracassado, não há porque punir o aluno e ele não deve 
temer ou evitar cometê-lo. Ao contrário, deve ser utilizado como parte 
da construção do conhecimento, uma peça que vai em outro lugar 
e não onde está sendo colocado, se deve encorajar e parabenizar 
aquele estudante que mostrou o erro, porque isso ajuda a ele próprio 
e aos seus colegas avançar na construção dos novos conceitos. Cabe 
então, ao professor, ajudar seus alunos a analisarem a adequação do 
procedimento selecionado, encaminhando-os na busca de condutas 
mais ricas, complexas e diversifi cadas.
No caso da fi gura 5 sobre ensino-aprendizagem aparecem os passos pelos 
quais o aluno passa para atingir a aprendizagem, no caso do exemplo é sobre 
sistema de escrita, esse seria o assunto, que no nosso caso é a Matemática. 
Qualquer conceito matemático também passará pelos passos indicados na fi gura. 
E o erro que o estudante cometer durante esse processo nos mostra seu raciocínio 
e, com isso, o professor pode auxiliá-lo a elaborar melhor o conhecimento até 
chegar na aprendizagem.
Aproveitar o papel 
do erro no meio 
escolar.
Esse deve ser 
tomado como 
sinal de que o 
processo ensino-
aprendizagem já 
iniciou e que nesse 
caminho ele não 
é considerado 
derrotado/
fracassado, não há 
porque punir o aluno 
e ele não deve temer 
ou evitar cometê-lo.
28
 Didática da Matemática
Figura 5 –Ensino-aprendizagem
Fonte: Disponível em: <http://pt.slideshare.net/brunarbraga9/
psicognese-da-lngua-escrita>. Acesso em: 15 maio 2016.
Para saber mais sobre o erro na construção do conhecimento, 
acesse o artigo Aprendizagem infantil: o erro na visão 
construtivista, disponível no site: <http://www.webartigos.com/artigos/
aprendizagem-infantil-o-erro-na-visao-construtivista/93152/#ixzz49V
QqVqlL>.
O trabalho, nessa concepção, leva os alunos a buscar por si mesmos as 
soluções, chegando aos conhecimentos necessários para isso. No desenvolver do 
processo ensino-aprendizagem, uma parte é a cargo do professor e outra parte, a 
cargo do aluno. Essas responsabilidades de ambos os envolvidos, tanto professor 
quanto aluno, devem fi car claras, ou seja, qual parte corresponde a cada um. E 
isso, geralmente, o faz o professor através do contrato didático que apresentamos 
a seguir.
29
CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Atividade de Estudos:
1) Explique num pequeno texto dissertativo qual é a atitude mais 
adequada do professor frente ao erro cognitivo do aluno quando 
ele o comete na sala de aula, em concordância com o tratado 
nesse capítulo?
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Contrato Didático
Proposta por Guy Brousseau (2006), no início da década de 1980, a ideia 
de contrato didático pretende estabelecer um conjunto de fatores referentes à 
relação didática entre professor e aluno, que procura defi nir as responsabilidades 
e os comportamentos que cada sujeito deve ter perante o outro nas práticas que 
possibilitam a construção do saber. 
Estas responsabilidades/comportamentos, por sua vez, são legitimadas por 
meio de regras implícitas, que estão envolvidas, mas não de modo claro e, sim, 
subentendido e regras explícitas, aquelas expressas formalmente e de maneira 
clara, desenvolvida e bem explicadas. O contrato didático pretende descrever 
comportamentos determinados referentes ao professor e que os alunos esperam 
desse, assim como um conjunto de comportamentos por parte dos alunos que o 
professor deseja desses em vista do seu melhor aproveitamento nas atividades 
que acontecem durante as salas de aula.
Assim, a função do contrato didático é equilibrar questões implícitas e 
explícitas, buscando criar um espaço de diálogo e troca entre professor e 
alunos, tendo em vista que a comunicação tem sentido diferente para ambos 
os atores. Deve haver um espaço de signifi cações em relação ao saber, onde 
nada é comum ou preestabelecido. Na escola, o contrato didático é fundamental, 
pois dá responsabilidade ao aluno também do sucesso das aulas e do melhor 
30
 Didática da Matemática
aproveitamento da matéria estudada. Esse contrato chama o aluno 
para ser protagonista junto com o professor. No contrato didático, o 
aluno também assume tarefas que deve desempenhar para que a 
aprendizagem ocorra. Assim, como o compromisso do professor de 
levar aulas bem preparadas e desenvolvidas e possibilitar atividades 
que motivem a aprendizagem.
Segundo Régine Douady (apud PAIS, 2002b, p. 10-11):
A Didática da Matemática estuda os processos de transmissão 
e de aquisição dos diferentes conteúdos desta ciência, 
particularmente numa situação escolar ou universitária. Ela 
se propõe a descrever e explicar os fenômenos relativos 
às relações entre seu ensino e sua aprendizagem. Ela não 
se reduz a pesquisar uma boa maneira de ensinar uma 
determinada noção particular.
Deste conceito podemos apreender que a Didática da Matemática “não 
visa simplesmente recomendar modelos ou receitas de solução a determinados 
problemas de aprendizagem” (PAIS, 2002b, p. 11). Em Pais (2002a, p. 11), 
obtemos uma defi nição da Didática da Matemática relativa ao contexto brasileiro, 
ou seja, uma tendência da grande área da Educação Matemática, que tem por 
objeto de estudo,
[...] a elaboração de conceitos eteorias que sejam compatíveis 
com a especifi cidade educacional do saber escolar matemático, 
procurando manter fortes vínculos com a formação de 
conceitos matemáticos, tanto em nível experimental da prática 
pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica.
Assim, essa é uma ferramenta valiosa utilizada em vários momentos do 
período letivo e para diferentes tipos de atividades que se realizam no percorrer 
das aulas e do processo ensino-aprendizagem, a qual sempre tem que estar 
presente nas palavras do professor para ter o tempo todo seus alunos vinculados 
e comprometidos com o conhecimento.
Atividades de Estudos:
1) Enquanto sua atuação como professor, você traz conceitos através 
de situações didáticas objetivando com que seus alunos precisem 
raciocinar na resolução de situações que podem acontecer na sua 
realidade, aproximando assim, o conceito à vida do estudante. De 
que maneira acontece esse processo no seu caso?
A função do contrato 
didático é equilibrar 
questões implícitas 
e explícitas, 
buscando criar um 
espaço de diálogo e 
troca entre professor 
e alunos, tendo 
em vista que a 
comunicação tem 
sentido diferente 
para ambos os 
atores.
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CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
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2) Qual é o objetivo de fazer uso de um contrato didático entre 
professor e alunos?
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3) Enquanto profi ssional atuante no âmbito escolar, como você se 
percebe utilizando a transposição didática?
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Algumas ConsideraÇões
A Didática da Matemática, é uma das tendências teóricas da Educação 
Matemática. No Brasil, esta tendência teve forte infl uência dos autores franceses, 
alguns dos quais, apresentamos e apresentaremos nos próximos capítulos 
as teorias que têm sido utilizadas como suporte em diversos trabalhos de 
pesquisadores matemáticos brasileiros.
A partir da década de 1960, foram implementadas algumas mudanças no 
ensino da Matemática, com proposição de novos programas, metodologias de 
ensino, conteúdos e currículos para a formação de professores. Estas mudanças 
32
 Didática da Matemática
coincidem com o impulso que teve a Educação Matemática no Brasil e que se 
identifi cou com a grande diversidade de tendências teóricas que surgiram.
Foram concebidas lógicas de organização no ensino da Matemática, 
operações realizadas no referente a conjuntos numéricos atrelados a teoremas, 
fórmulas, axiomas e demonstrações que são característicos do conhecimento 
matemático e as mudanças abarcaram a didática utilizada para essa nova maneira 
de ensinar Matemática, Matemática moderna.
A existência deste considerável movimento educacional, que trabalha 
na estruturação de um saber pedagógico voltado ao ensino da Matemática, 
teve justifi cativa, em nível social, na necessidade de responder a uma crise 
generalizada que atinge toda a educação escolar.
Essas novas tendências revelam variadas concepções da própria educação, 
desde as mais tradicionais às mais libertadoras sobre a prática escolar. Neste 
contexto, surge a Didática da Matemática como uma forma particular de descrever 
e compreender os fenômenos da prática educativa.
Todos os conceitos didáticos visam favorecer a compreensão das múltiplas 
conexões entre a teoria e a prática, propiciando compreender as condições de 
produção, registro e comunicação do conteúdo escolar da Matemática e suas 
consequências didáticas. Deste modo, entende-se a dimensão teórica como o 
ideário resultante da pesquisa e a prática como a condução do fazer pedagógico.
Referências
BACHELARD, G. (1928). Ensaio sobre o conhecimento aproximado. Rio de 
Janeiro, RJ: Contraponto, 2004, 316p.
______. (1938). A formação do espírito científi co. Rio de Janeiro, RJ: 
Contraponto, 2003, 316p.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares 
nacionais: matemática.Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/
SEF, 1997. 142p. 
BROUSSEAU, G. A Teoria das Situações Didáticas e a Formação do 
Professor. Palestra. São Paulo: PUC, 2006.
33
CONCEITOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
______. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: BRUN, J. 
Didática das Matemáticas. Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto 
Piaget, 1996a. Cap. 1. p. 35-113.
______. Os diferentes papéis doprofessor. In: PARRA, C.; SAIZ, I. (org). Didática 
da Matemática: Refl exões Psicológicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996b. 
Cap. 4. p. 48-72.
CHEVALLARD, Y., BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo 
perdido entre o ensino e a aprendizagem. Tradução: Daisy Vaz de Moraes. Porto 
Alegre: Artmed, 2001.
______. Educação como prática da liberdade. 29. ed. Rio de Janeiro: Paz e 
Terra, 2006. 
D’AMBRÓSIO, U. Etnomatemática - elo entre as tradições e a modernidade. 
Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
FREIRE, P. Pedagogia da Esperança: um reencontro com a Pedagogia do 
Oprimido. 11. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2003.
GODINO, J. Perspectiva de la Didática de lãs Matemática como disciplina 
científi ca. Un. Granada: Programa de doctorado “Teoria de la educación 
Matemática”, 2003. 
PAIS, L. C. Didática da matemática: uma análise da infl uência francesa. 2. 
ed. 2. Reimp. -Belo Horizonte: Autêntica, 2008. 128p. (Coleção Tendências em 
Educação Matemática, 3).
______. Transposição Didática. In: ALCÂNTARA, S. D. (Org). Educação 
Matemática: uma introdução. p. 13-42. São Paulo: EDUC, 1999. 
______. Introdução. In: MACHADO, Silvia Dias A. Educação Matemática: uma 
introdução. 2. ed. São Paulo: EDUC, 2002a, 9-12. 
______. Transposição Didática. In: MACHADO, Silvia Dias A. Educação 
Matemática: uma introdução. 2. ed. São Paulo: EDUC, 2002b, 13-42.
PERRELLI, M. A. S. Uma epistemologia dos conteúdos das disciplinas 
científi cas: as contribuições da transposição didática. In: Série-Estudos. 
Periódico do Mestrado em Educação da Universidade Católica Dom Bosco. n.7, 
p. 76-113, abr. Campo Grande, MS: 1999.
34
 Didática da Matemática
CAPÍTULO 2
Referências da Didática da 
Matemática
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Apresentar o saber matemático e suas particularidades.
 Discutir o trabalho do professor de matemática.
 Conhecer obstáculos epistemológicos e didáticos no ensino da matemática.
 Articular o trabalho do professor de matemática com os obstáculos epistemológicos 
e didáticos.
 Analisar a formação de conceitos e os campos conceituais.
36
 Didática da Matemática
37
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
ConteXtualiZaÇÃo
Quando falamos em referências, poderíamos pensar em autores ou diretrizes 
sobre o estudo da Didática da Matemática, no entanto, o que desejamos fazer é 
tornar claras as referências fundamentais que servem para compor uma didática 
mais relevante no âmbito educacional e científi co. Nesse sentido,abordamos 
as questões das escolhas que realizam os professores no seu trabalho, 
cuja abrangência é a partir de seus conhecimentos e propostas de ensino, os 
conteúdos que terão que trabalhar vinculados ao saber, aos tipos de obstáculos 
que podem enfrentar no processo ensino-aprendizagem envolvendo tanto o 
próprio professor quanto o aluno com sua intelectualidade e com a valorização do 
seu contexto. Além disso, o professor não só trabalha os signifi cados do próprio 
conceito, mas leva essas variáveis mencionadas conjugadas no fazer do professor 
na realidade escolar. Nesse capítulo, abordamos as referências da Didática da 
Matemática, dialogamos com Brousseau (1986a) e realizamos uma análise do 
saber matemático levado à esfera escolar.
O SaBer Matemático
Ao pensar em saber matemático, as primeiras ideias que ocorrem são 
abstratas, características próprias da matemática. Consideramos, aqui, que a 
natureza do saber matemático procedente de um lugar acadêmico irá afetar a 
prática na escola desse professor, levando sua concepção das ideias matemáticas 
à sala de aula. Cada professor terá sua própria concepção de acordo com a 
formação que teve e da sua história pessoal e acadêmica. Lembramos que existe 
diversidade de concepções fi losófi cas e isso traz diferentes práticas educativas.
A criação de conceitos, descobertas de teoremas e demonstrações são 
traços característicos do trabalho do matemático, que são básicos no ensino 
da matemática, e que posto em prática vem atrelado à aprendizagem dessa 
disciplina. Nessa atrelagem se faz necessária tanto à atuação pedagógica quanto 
às tarefas realizadas pelos alunos para obter, de fato, o sucesso na aprendizagem 
da disciplina e, para isso, se deve considerar o conteúdo estudado relacionado ao 
contexto em que o aluno se encontra inserido.
Nesse contexto, a Etnomatemática é uma tendência dentro da 
educação matemática que, conforme Ubiratan D’Ambrosio (1990, p.5-
6), é:
[...] a arte ou técnica de explicar, de conhecer, de entender-
nos diversos contextos culturais. [...] é um programa que visa 
Etnomatemática 
é uma tendência 
dentro da educação 
matemática.
38
 Didática da Matemática
explicar os processos de geração, organização e transmissão 
de conhecimento em diversos sistemas culturais e as forças 
interativas que agem nos e entre os três processos [...].
A Etnomatemática pode ser empregada no processo ensino-aprendizagem 
da Matemática com o intuito de compreender as diferentes sociedades culturais, 
tais como grupos urbanos, grupos rurais, trabalhadores, classes profi ssionais, 
grupos indígenas, entre outros. Não é aprendida dentro de uma escola, e sim, 
através do convívio entre colegas de profi ssão, amigos, familiares e, em geral, 
através da vida cotidiana.
Para Ubiratan D’Ambrosio (1990, p.5):
[...] etno é hoje aceito como algo muito amplo, referente ao 
contexto cultural, e portanto inclui considerações como 
linguagem, jargão, códigos de comportamento, mitos e 
símbolos; matema é uma raiz difícil, que vai na direção de 
explicar, de conhecer, de entender; e tica vem sem dúvida de 
techne, que é a mesma raiz de arte e de técnica.
A Etnomatemática é um dos caminhos para o resgate da função social 
da escola, no intuito dessa se constituir em mais um elemento preocupado em 
promover aos alunos o questionamento das razões da vida em sociedade. A 
escola deve ser tomada como o lugar onde o aluno entra em contato com uma 
série de conhecimentos, que ele pode não vivenciar diretamente, mas que lhe 
possibilitem uma compreensão mais ampla do mundo que o rodeia. E, nesse 
sentido, o saber matemático pode ser socializado e contribuir para elevar o nível 
cultural da população, que hoje se encontra alienada dos processos decisórios, 
em nome da ignorância. Nesse contexto, a prática pedagógica da 
Matemática, pode se tornar um meio para a construção/reconstrução 
social.
Faz-se necessário buscar como fonte para a construção do 
conhecimento matemático, as questões que emergem da realidade 
social do aluno, ou seja, transformar o ensino em atividade signifi cativa, 
o que certamente trará mais motivação e, frequentemente, um 
aprofundamento do signifi cado dessas questões.
Faz-se necessário 
buscar como fonte 
para a construção 
do conhecimento 
matemático, as 
questões que 
emergem da 
realidade social 
do aluno, ou seja, 
transformar o 
ensino em atividade 
signifi cativa, o que 
certamente trará 
mais motivação e, 
frequentemente, um 
aprofundamento do 
signifi cado dessas 
questões.
39
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
Conheça um produto educacional envolvendo a Etnomatemática 
em um dos trabalhos de Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e 
Matemática.
TIRONI, Cristiano Rodolfo. As contribuições do Laboratório de 
educação matemática Isaac Newton para o ensino de matemática 
na educação básica na perspectiva da etnomatemática. 2015. 
86 + 61 f., il. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade 
Regional de Blumenau, Centro de Ciências Exatas e Naturais, 
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e 
Matemática, Blumenau, 2015. Disponível em: <http://www.bc.furb.br/
docs/DS/2015/360424_1_1.pdf>. Acesso em: 23 mai. 2016.
Para compreendermos melhor a matemática, no quesito sobre 
a sua natureza fi losófi ca Davis e Hersh (1985) assinalam que há 
historicamente três tendências, o platonismo, o formalismo e o 
construtivismo. A explicitação dos fundamentos dessas tendências, 
permite a discussão dos objetos de estudo da Matemática a partir de 
concepções que se fazem presentes nas práticas pedagógicas com a 
disciplina.
a) Platonismo
A tendência mais antiga ,considera que existe um mundo que não 
é matéria e, portanto, os objetos são ideias acabadas, assim como os 
conceitos também são acabados, já existem previamente aos esforços 
intelectuais de cientistas,o que nos leva a pensar que eles não são inventados, 
mas descobertos. Nesta concepção, a Matemática existe independente dos 
homens, pois está em alguma parte, no mundo das ideias platônicas. Essa 
concepção é “O Platonismo”. Davis e Hersh, (1985, p. 359) afi rmam que,
[...] os objetos matemáticos são reais. Sua existência é um 
fato objetivo, totalmente independente de nosso conhecimento 
sobre eles. Conjuntos fi nitos, conjuntos infi nitos não numeráveis, 
variedade de dimensão infi nita, curvas que enchem o espaço 
– todos os membros do zoológico matemático são objetos 
defi nidos, com propriedades defi nidas, algumas conhecidas, 
muitas desconhecidas. 
Nesta perspectiva, os objetos são entes ideais, não são físicos ou materiais, 
Para 
compreendermos 
melhor a 
matemática, no 
quesito sobre a sua 
natureza fi losófi ca 
Davis e Hersh (1985) 
assinalam que há 
historicamente 
três tendências, 
o platonismo, o 
formalismo e o 
construtivismo.
40
 Didática da Matemática
existem desligados de um espaço e tempo, portanto são imutáveis e, o papel do 
matemático é o de descobrir o que já existe, está pré-determinado no mundo. 
b) Formalismo
Já na segunda tendência, entram em jogo elementos conhecidos como 
axiomas, defi nições e teoremas que dialogam entre eles através de regras que, 
por sua vez, conduzem a deduções e sequências lógicas traduzindo isso em 
atividade matemática. Colocando em prática os conceitos daí derivados, podem 
se inventar fórmulas que sejam aplicadas na resolução de problemas numa 
realidade específi ca. Esta tendência tem suas raízes em Kant, que considera 
que a lógica desempenha na Matemática o mesmo papel do que em qualquer 
outra ciência e, conforme Machado (1994, p. 29): “Considera que, sem dúvida, 
em Matemática os teoremas decorrem dos axiomas de acordo com as leis da 
Lógica. “Nega, no entanto, que os axiomas sejam eles mesmos, princípios lógicos 
ou consequências de tais princípios.””.
Nessa concepção, denominada “Formalismo” não existem objetos 
matemáticos, “a matemática consiste em axiomas, defi nições e teoremas – em 
outraspalavras fórmulas.” (DAVIS; HERSH, 1985, p. 360). O formalismo, criado 
em 1910 por Hilbert (1861-1943), defende a linguagem formal em detrimento 
da linguagem cotidiana, natural, pois acredita que a linguagem formal utiliza 
raciocínios absolutamente seguros, acima de qualquer suspeita ou contradição. 
Para a formação de professores de matemática é fundamental contar com a 
amplitude de conhecimentos e opções na sua prática pedagógica, ter acesso ao 
objeto didático, o trabalho do matemático e suas concepções. As duas tendências 
explicadas são válidas e mesmo parecendo dicotômicas é conveniente considerá-
las para o entendimento de uma noção científi ca. 
c) Construtivismo
Por volta de 1908, surge a corrente construtivista, que admite a existência de 
entidades abstratas, mas somente na medida em que são construídas pela mente 
do sujeito. O idealizador desta escola foi Brower, que admite um modelo kantiano 
de conhecimento a priori, que o homem tem uma intuição particular que lhe 
permite construções mentais a partir de uma percepção imediata. A Matemática é 
entendida como construção mental e não como um conjunto de teoremas. 
Nesta corrente, considera-se que “os objetos matemáticos não podem ser 
considerados existentes, se não forem dados por uma construção, em número 
fi nito de procedimentos, partindo dos números naturais. Não é sufi ciente mostrar 
41
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
que a hipótese de não-existência conduziria a uma contradição.” (DAVIS; HERSH, 
1985, p. 375).
Quanto a esta tendência, existem algumas limitantes ligadas à amplitude 
das concepções matemáticas que essa tendência aceita. O autor Davis (1985) 
se refere às concepções matemáticas com base no “Construtivismo” como 
concepções limitadas que só expressam o que pode ser obtido como uma 
construção fi nita, deixando de lado teorias que trabalham com números reais. 
Essa natureza fi losófi ca do construtivismo, na área da matemática fi ca pouco 
expressiva quando comparada com as de maior preponderância como são o 
Platonismo e o Formalismo. Assim, essas duas últimas tendências são as que 
sobressaem na atuação científi ca. 
Aprofunde seus conhecimentos sobre concepções fi losófi cas, 
realizando a leitura do artigo:
MENEGHETTI, R. C. G.; TREVISANI, F. de M. Futuros 
matemáticos e suas concepções sobre o conhecimento matemático 
e seu ensino e aprendizagem. In: EMP. Educação Matemática 
Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em 
Educação Matemática. São Paulo, v.15, n.1, pp.147-178, 2013.
A tendência platônica está baseada nas ideias de Platão, que valorizava o 
trabalho intelectual em detrimento do trabalho manual. A Matemática se encontrava 
em um mundo ideal, tendo supremacia em relação às outras ciências. Baraldi 
(1999, p. 85) considera que esta concepção está presente quando consideramos 
a Matemática “contextualizada nela mesma, abstrata, pronta e acabada, que 
somente pode ser aprendida intelectualmente.”.
A tendência formalista considera o conhecimento matemático como detentor 
de verdades absolutas, que podem ser provadas pelo método dedutivo e que não 
podem ser validadas por métodos experimentais. Conforme Baraldi (1999, p. 
86): “Os absolutistas aceitam, sem demonstrações, um conjunto de afi rmações 
básicas, a partir da qual deduzem logicamente outros resultados.”.
E, fi nalizando, na tendência construtivista, os conhecimentos matemáticos 
são construídos e reconstruídos, não sendo separados, conforme Baraldi (1999, 
p. 90), “do conhecimento empírico, da física e de outras crenças”. A Matemática 
42
 Didática da Matemática
é considerada uma construção humana e social. Nesta tendência, privilegia-se 
o debate em sala de aula na atuação de professor e alunos, que elaboram uma 
Matemática também viva, rejeitando o formalismo, com o seu modelo dedutivo.
Finalmente, percebemos que o saber matemático se constitui de concepções 
de conhecimento objetivos, mas sendo feito pelas ideias do homem em que 
estão implícitas a intermediação da subjetividade e historicidade na produção 
desse saber. Assim, a subjetividade serve de suporte à objetividade que a sua 
vez concretiza a descoberta de novas ideias através de demonstração, ou seja, 
conhecemos uma coisa de maneira absoluta, quando sabemos qual é a causa 
que a produz e o motivo porque não pode ser de outro modo, caracterizando o 
saber por demonstração.
Os trabalhos na linha da Etnomatemática, destacada acima, apresentam 
múltiplas possibilidades, ou seja, podem ser desenvolvidos junto à matemática 
escolar e não escolar, a matemática de grupos profi ssionais, a matemática 
praticada em comunidades das mais diversas. Esses trabalhos envolvem 
diferentes abordagens e, o caminho escolhido pelo professor e ou pesquisador, 
depende, por exemplo, da percepção e compreensão que tem da matemática e 
do conhecimento em geral. 
A mais conhecida caracterização da Etnomatemática foi feita por D’Ambrosio 
(2011). Seu entendimento se apresenta a partir de uma análise estrutural do termo 
“Etno + Matema + Tica” como sendo os diferentes modos, estilos e técnicas de 
explicar, aprender, conhecer de cada grupo culturalmente determinado. 
Assim, podemos observar que o discurso etnomatemático busca 
adotar uma postura crítica diante dos discursos de neutralidade e 
universalidade da produção do conhecimento matemático. 
Podemos, então entender, que a partir do olhar fi losófi co sobre a 
natureza do conhecimento matemático, acreditamos que os professores 
podem rever as suas concepções e optar por posturas com perspectiva 
crítica de abordagem do conhecimento, do ensinar e aprender, da 
relação entre professor e aluno.
Faz-se necessário refl etir sobre os currículos de Matemática dentro 
das escolas, considerando o lugar de atuação dos professores, o objeto 
ou objetos de estudo da Matemática, os aspectos internos a esta ciência 
e os aspectos externos à Matemática, que são os possibilitadores para 
pensarmos em Educação Matemática. Conforme Davis e Hersh (1985, 
p. 49):
Podemos, então 
entender, que a 
partir do olhar 
fi losófi co sobre 
a natureza do 
conhecimento 
matemático, 
acreditamos que os 
professores podem 
rever as suas 
concepções e optar 
por posturas com 
perspectiva crítica 
de abordagem do 
conhecimento, do 
ensinar e aprender, 
da relação entre 
professor e aluno.
43
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
O que é conhecer algo em matemática? Que tipo de sentido 
é transmitido por afi rmativas matemáticas? Assim, problemas 
inadiáveis da prática diária da matemática conduzem a 
problemas fundamentais de epistemologia e ontologia, mas 
quase todos os profi ssionais aprenderam a evitar estes 
problemas, julgando-os irrelevantes. 
Assim, entendemos que o professor de Matemática deva conhecer sobre a 
natureza do conhecimento matemático, para que possa rever as suas concepções 
e optar por posturas condizentes com uma perspectiva crítica de abordagem do 
conhecimento. 
Apesar do grande movimento em prol da utilização das novas 
propostas de ensino em sala de aula, ainda muitos professores, até 
por desconhecimento, se baseiam em tendências do platonismo e do 
formalismo.
A exemplo da tendência formalista, podemos citar o ensino 
da tabuada. Vemos que muitos professores não se preocupam em 
trabalhar com os alunos o signifi cado da mesma, apenas querem 
que os mesmos a “decorem”. Também podemos citar como exemplo, 
o que acontece em muitas salas de aula de matemática, onde 
o algoritmo é muito mais importante do que o entendimento do 
processo envolvido. 
Você conhece algum exemplo de professor que trabalha desta 
forma? Como é a sua atuação como professor (a)?
Atividades de Estudos:
1) O que diferencia as três tendências fi losófi cas na matemática?
 ____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
44
 Didática da Matemática
2) Qual sua experiência com a Etnomatemática? Descreva uma 
atividade já vivenciada (ou somente conhecida) e identifi que 
qual a contribuição desta área de pesquisa para a construção de 
conceitos matemáticos.
 ____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
O TraBalho do Professor de 
Matemática
Iniciamos diferenciando o papel do matemático em relação ao papel 
do professor de matemática. O matemático tem como objeto de estudo o 
próprio saber matemático, mas para o professor de matemática, o aluno 
é prioridade no que diz respeito à matemática quanto saber escolar 
que serve para a educação do mesmo. O primeiro, o pesquisador, 
precisa eliminar as variáveis relacionadas ao contexto do objeto de 
pesquisa, enquanto o professor deve considerar todo o contexto 
em que o aluno se encontra inserido para precisamente viabilizar o 
melhor entendimento dos conceitos matemáticos em estudo e manter 
contextualizando os conteúdos associados ao ensino-aprendizagem. 
Para melhor compreendermos o trabalho do professor de matemática 
se faz necessário conhecer sobre a epistemologia do docente.
Falar de epistemologia é falar de alguma maneira em teoria do 
conhecimento, ela aborda o saber no estudo da evolução das ideias 
que a formam e a correspondente metodologia aplicada para a ciência 
em estudo com seus valores e objetos que a formam. A noção de 
epistemologia se remete, segundo Émile Meyerson (1859-1933), a 
ressaltar a compreensão sobre a evolução da ideia científi ca enquanto 
estudo da ideia central da fi losofi a das ciências dedicado à formação 
de conceitos. Assim, a epistemologia da matemática trata do estudo do 
progresso de seus conceitos da disciplina científi ca matemática.
O matemático 
tem como objeto 
de estudo o 
próprio saber 
matemático, mas 
para o professor 
de matemática, o 
aluno é prioridade 
no que diz respeito 
à matemática 
quanto saber 
escolar que serve 
para a educação do 
mesmo.
Epistemologia 
da matemática 
trata do estudo 
do progresso de 
seus conceitos da 
disciplina científi ca 
matemática.
45
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
Com a compreensão do que trata a epistemologia da matemática e, 
vinculando-a ao docente chegamos à epistemologia do professor sendo esta, 
as concepções que ele tem, referentes à disciplina, originárias do plano estrito 
da compreensão do professor e que são aplicadas no contexto educacional. 
Neste caso, a epistemologia está relacionada à matemática, mas em geral a 
epistemologia se vincula a cada ciência e se pode considerar que representa a 
evolução das ideias fundamentais de uma disciplina científi ca. O que é diferente 
às concepções relativas a métodos, valores e objeto da ciência em questão, 
assim como sua subjetividade ao aplicar a objetividade do ensino-aprendizagem 
no âmbito educacional.
Em se tratando da didática das ciências, existe um esclarecimento oportuno, 
ou seja, a epistemologia do professor com certeza está atrelada à epistemologia 
da ciência com a que ele trabalha, mas nunca essas duas epistemologias serão 
a mesma. Isso, podemos, confi rmar em Astofoli e Develey (1990) que ainda 
completam que mesmo com a existência de um esforço para que a compreensão 
do professor esteja imbuída da essência objetiva do conceito, mesmo assim, 
pode até acontecer divergências. Essas divergências e o distanciamento que 
naturalmente acontece entre o cientista e o professor, levam a perceber, pela 
experiência, que há um “espaço” entre o saber científi co e o saber escolar 
evidenciado nas próprias práticas pedagógicas dos professores. 
Havendo diferenciado a epistemologia do professor e a epistemologia da 
ciência (matemática), a matemática que está em mãos do professor continua 
ligada à matemática do saber científi co e de alguma maneira através da atuação 
pedagógica o professor orienta e medeia o processo ensino-aprendizagem da 
matemática e enfrenta junto ao aluno os obstáculos que podem ocorrer tanto de 
um lado do processo como do outro.
O papel do professor de Matemática deve motivar os alunos para 
aprender, promover o enriquecimento técnico-científi co-social com 
vistas à formação da sua personalidade com a fi nalidade de exercer 
a sua cidadania e preparação para o mercado formal de trabalho e 
para a vida. Nesse contexto, o professor deve procurar atuar como 
um mediador entre a disciplina e as nuances do processo de ensino-
aprendizagem, buscando formas de trabalho mais amplas, mais 
motivadoras e mais efi cientes quanto ao desenvolvimento epistêmico 
dos alunos e da efi cácia do trabalho do docente. Assim, o papel do 
professor que atua como docente da disciplina de matemática deixa 
de ser o de um mero repetidor de fórmulas sem sentido algum para 
o aluno e sem a menor função social para ser alguém que ajuda a 
construir fórmulas a partir do cotidiano dos mesmos.
O professor deve 
procurar atuar 
como um mediador 
entre a disciplina 
e as nuances do 
processo de ensino-
aprendizagem, 
buscando formas 
de trabalho mais 
amplas, mais 
motivadoras e mais 
efi cientes quanto 
ao desenvolvimento 
epistêmico dos 
alunos e da efi cácia 
do trabalho do 
docente.
46
 Didática da Matemática
Para buscar mais informações sobre o Papel do Professor de 
Matemática acesse o artigo intitulado Guy Brousseau: referência 
na didática da Matemática. Disponível em: <http://revistaescola.abril.
com.br/matematica/fundamentos/pai-didatica-matematica-427127.
shtml>.
Temos, então, o saber matemático e o trabalho do professor de matemática. 
Nesse contexto, podemos ter obstáculos. Mas então? O que são obstáculos? Do 
que tratam? Vamos descobrir adiante!
Os OBstáculos e a Matemática
No Capítulo 1 deste caderno, já falamos genericamente dos obstáculos 
didáticos e, neste momento, retomaremos a temática de forma mais aprofundada 
bem como, buscaremos interligar esta ao processo ensino-aprendizagem da 
matemática.
A matemática apresenta uma evolução histórica regular no seu 
desenvolvimento, mesmo que com algumas pausas no tempo, mas sem 
rompimento da sua linha histórica contínua, e que em ciências 
experimentais podem e têm acontecido rupturas no processo de 
evolução das mesmas. Na matemática, entre a descoberta do 
conhecimento e sua sistematização, por meio de uma demonstração, 
ocorre a regularidade do saber quando acontece à formulação fi nal do 
conceito matemático, por isso, não fi cam registradas as não linearidades 
e os confl itos que acontecem na formulação de ideias e construção de 
conceitos, na história da evolução dessa ciência.
A formulação das ideias em qualquer ciência inicia com um 
movimento prévio de fl uxo de ideias que passam por um processo de 
maturação para serem conectadas e, uma vez superados os confl itos 
que causam o fato de romper pré noções, as novas ideias devem ser 
colocadas num texto para serem compreendidas.
No caso específi co da matemática, justamente pela sua natureza, 
os obstáculos surgem quando acontece a criação dos conceitos, 
nessa trilha que perpassa pelos conceitos adjacentes e intrínsecos 
No caso específi co 
da matemática, 
justamente pela 
sua natureza, os 
obstáculos surgem 
quando acontece 
a criação dos 
conceitos, nessa 
trilha que perpassa 
pelos conceitos 
adjacentes e 
intrínsecos da 
matemática para 
criar os novos 
conceitos emergidos 
das novas ideias 
e que harmonizam 
com os paradigmas 
dessa área 
científi ca.
47
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2da matemática para criar os novos conceitos emergidos das novas ideias e que 
harmonizam com os paradigmas dessa área científi ca. Pais (2008) observa 
que os obstáculos são mais evidenciados na fase de aprendizagem e síntese 
do conhecimento. Isso nos permite perceber que no processo de ensino-
aprendizagem levamos a vantagem de que aqueles obstáculos que apareceram 
na formulação dos conceitos como erros, dúvidas, avanços e retrocesso, foram 
superados a partir do momento em que encontramos o texto pronto para ser 
estudado.
Os obstáculos, pela própria semântica da palavra, podem ser considerados 
elementos ruins dentro da área do conhecimento. Contudo, no caso da 
matemática, em que conceitos, teoremas e demonstrações exigem se submeter 
a provas e refutações, esses obstáculos vêm a ser a alavanca da elaboração 
de argumentos para a validação da matemática e para a formação de novos 
conceitos e ao mesmo tempo, ajudam a forjar as bases para a continuidade na 
evolução desta ciência.
Da mesma maneira, esse fenômeno cognitivo acontece na 
escola durante o processo ensino-aprendizagem da matemática. 
Os obstáculos servem para a construção do conhecimento e para 
constituir uma aproximação entre o professor e o aluno, porque com 
os obstáculos o professor serve de mediador, orientando para, a 
partir desse, fazer acontecer à evolução do conhecimento do aluno, 
aproveitando ainda esta oportunidade para contextualizar na realidade 
do aluno e fazer a ponte com suas próprias experiências.
Ao encontro dessa realidade dos obstáculos e a matemática, 
percebemos que nessa última ciência os maiores obstáculos se 
apresentam antes sequer da elaboração do texto que a posteriori
será estudado. Esses obstáculos (erros, dúvidas, avanços, retrocesso 
entre outros) anteriores à formulação do texto fi nal são os obstáculos 
epistemológicos. No entanto, existem também os referentes ao ensino 
da matemática, nesse sentido, é fundamental a atuação do professor 
conjugando conteúdo e didática. Saber envolver os alunos tanto no 
conteúdo teórico quanto no prático lembrando sempre de contextualizar, 
para o aluno ter uma ideia mais concreta dos assuntos estudados e 
sua relação e/ou aplicação no seu entorno, viabilizando a compreensão 
matemática de cada aluno levando em consideração sua bagagem 
de conhecimento. Dessa maneira, os obstáculos poderão ser minimizados, na 
aplicação da matemática em experiências práticas na vida do aluno.
Nesse contexto, podemos então diferenciar os obstáculos? Quais seriam 
estes e como defi ni-los?
Os obstáculos 
servem para a 
construção do 
conhecimento e 
para constituir uma 
aproximação entre 
o professor e o 
aluno, porque com 
os obstáculos o 
professor serve de 
mediador, orientando 
para, a partir desse, 
fazer acontecer 
à evolução do 
conhecimento do 
aluno, aproveitando 
ainda esta 
oportunidade para 
contextualizar na 
realidade do aluno 
e fazer a ponte 
com suas próprias 
experiências.
48
 Didática da Matemática
Os OBstáculos Epistemológicos e 
Didáticos
Temos dialogado sobre obstáculos e acabamos de mencionar os obstáculos 
epistemológicos. Um dos primeiros estudiosos a trazer a noção de “obstáculo 
epistemológico” foi Bachelard na sua obra publicada em 1938. Ele explica que 
na evolução histórica dos conceitos, há toda uma área de estudos e de ideias 
que se manifestam para formar conceitos e que esse grupo de ideias passa pela 
fi na peneira do saber científi co antes mesmo de escrever a primeira palavra 
sobre um conceito, um teorema ou uma demonstração. Todo esse estudo, 
discussões, análises de ideias são os obstáculos epistemológicos que se opõem 
à desconstrução de conceitos de determinada ciência. Todo esse processo fi ca 
velado após os novos conceitos evolutivos a serem aceitos. 
Esse tipo de obstáculo, Lakatos (1978), aborda fazendo uma descrição de 
análise epistemológica relativa à evolução conceitual da matemática que se faz 
com provas e demonstrações. O desenvolvimento das provas, ele explica, é 
feito procurando manter um seguimento contínuo do problema, resolvendo uma 
sequência de rupturas parciais dos argumentos. Com isso, Lakatos manifesta que, 
de fato, os problemas de obstáculos epistemológicos, na matemática, acontecem 
no período da demonstração em si, mais do que a posteriori que o texto de uma 
demonstração esteja pronto.
Assim, todo o processo que antecede à elaboração de conceitos, teoremas e 
demonstrações, todas as refutações que sofrem e questionamentos fi cam ocultos 
nas experiências dos cientistas que não deixam registrados esses fatos nos textos 
formais, limpos e bem elaborados sobre conceitos, teoremas e demonstrações. 
Podemos encontrar mais detalhes em Balacheff (1988). Os alunos recebem o texto 
formal trabalhado pelo professor de matemática e, é a partir desse contato com 
os saberes matemáticos, que o professor necessita atentar à questão pedagógica 
que permita explorar meios para que o aluno tenha acesso à compreensão dos 
conceitos que perpassam o material.
Vamos exemplifi car obstáculos epistemológicos:
49
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
EXEMPLO 1. OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS
A compreensão dos números naturais exige, por exemplo, 
certa maneira de conceber esses números e suas operações: um 
número natural como 4 tem um sucessivo e, seu produto por outro 
número natural (N) será maior que esse número. Algumas dessas 
propriedades falham quando 4 é entendido como um número racional 
(Q), ou seja, não tem mais sucessivo. 
O aluno não se dá conta dessa passagem e continua aplicando 
as propriedades de N também em Q. Assim, encontram-se estudantes 
que afi rmam, em Q, que 2,33 é o sucessivo de 2,32, ajudados nisso 
até por alguns livros textos. 
Além disso, por exemplo, 0,7 × 0,8 = 0,56 é menor do que cada 
um dos fatores. O professor chama de “multiplicação” ou “divisão” 
novas operações e gostaria que os estudantes as “reconhecessem” 
e assimilassem às anteriores. 
O conhecimento dos números naturais é indispensável para 
adquirir o conhecimento dos racionais, mas ao mesmo tempo, é um 
obstáculo para essa aquisição. Esse fenômeno gera equívocos e 
difi culdades importantes e invisíveis, porque o obstáculo se esconde 
no interior de um saber que funciona, mas que é “local” e que não pode 
ser generalizado para o objeto matemático que deveria ser aprendido. 
Este é o sentido da ideia de obstáculo epistemológico.
Esse fenômeno 
gera equívocos 
e difi culdades 
importantes e 
invisíveis, porque 
o obstáculo se 
esconde no interior 
de um saber que 
funciona, mas 
que é “local” e 
que não pode ser 
generalizado para o 
objeto matemático 
que deveria ser 
aprendido. Este 
é o sentido da 
ideia de obstáculo 
epistemológico.
50
 Didática da Matemática
EXEMPLO 2. OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS
Alunos que concluíram o Ensino Fundamental, muitas vezes 
se atrapalham com divisão entre números naturais, apesar de 
saberem questões de geometria e trabalhar com álgebra, conteúdos 
mais complexos. Em divisões como 1236 / 12, que resulta em 103, 
frequentemente aparece o número 13, pois os alunos se atrapalham 
com o algoritmo e não se preocupam com o valor posicional dos 
números, bem como não tem noção da ordem de grandeza dos 
números envolvidos.
Figura 6 - Divisão de Números Naturais
Fonte: A autora.
O signifi cado de cada passo do algoritmo quase nunca é justifi cado, levando 
ao problema acima constatado.
Em sala de aula, os professores utilizam conhecimentos, métodos, 
convicções sobre a maneira de encontrar, aprender ou organizar um saber. Essa 
bagagem de conhecimento é construída de forma empírica, buscando satisfazer 
as necessidades didáticas. 
O professor propõe aos seus alunos, por exemplo, um problema que 
considera análogo a um problema que havia proposto anteriormente, mas no qual 
muitos haviam fracassado. Com esse processo, espera que os alunos reconheçam 
51
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2a semelhança e que utilizem a correção e as explicações que havia dado para 
reproduzir o mesmo método de resolução, a fi m de enfrentar com sucesso a nova 
situação. Indica, então, que os alunos procurem utilizar essa analogia.
Esse procedimento leva ao sucesso segundo o professor. Mas, na realidade, 
o aluno produz uma resposta correta, mas não porque tenha entendido a sua 
necessidade matemática ou lógica a partir do enunciado, não porque tenha 
“compreendido e resolvido o problema”, não porque tenha aprendido um objeto 
matemático, mas simplesmente porque estabeleceu uma semelhança com outro 
exercício. O aluno apenas reproduziu uma solução já feita por outros para ele, e o 
professor, “acreditará” que o aluno compreendeu a questão matemática em jogo, 
enquanto na verdade só interpretou uma intenção didática.
Atividade de Estudos:
1) De que forma os obstáculos no ensino da matemática interferem 
na construção de conceitos matemáticos?
 ____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
É em matemática que os alunos entram em contato com 
sistemas de conceitos que permitem resolver problemas e fazer 
novas deduções; em que a coerência e a precisão do raciocínio 
conferem legitimidade às ideias e às conclusões obtidas, segundo 
a necessidade lógica, de premissas defi nidas (por outros) (BICUDO, 
1999, p.163).
52
 Didática da Matemática
Podemos nos perguntar, então, qual o signifi cado dos conceitos, esquemas e 
defi nições na matemática?
Conceitos, esquemas e defi nições
Até aqui temos discursado sobre a formação dos conceitos, a evolução 
histórica dos saberes da matemática em forma geral e dos obstáculos que 
precisa o aluno passar para formulação dos novos saberes, conceitos, teoremas 
e demonstrações. Mas agora queremos abordar o signifi cado dos conceitos, 
esquemas e defi nições, além do aspecto cognitivo, epistemológico, também 
escolar no que diz respeito ao processo ensino-aprendizagem proporcionando 
meios para facilitar o entendimento na aprendizagem conceitual por parte dos 
alunos.
Uma das vias que estudamos para refl etir as condições de como acontece 
e como se facilita a aprendizagem conceitual por parte do aluno é a teoria dos 
Campos Conceituais, trazida e defi nida por Vergnaud (1994, p. 75), como: “um 
conjunto de situações cujo tratamento implica esquemas, conceitos e teoremas 
em estreita relação, assim como representações linguísticas e simbólicas que 
podem utilizar-se para simbolizá-los”.
O autor delimita essa teoria indicando que ela respeita a estrutura progressiva 
da elaboração de conceitos e sua aplicação vai além da Educação Matemática. 
Uma das características da teoria dos Campos Conceituais é que dá um realce ao 
tratamento do saber escolar de uma maneira diferente àquela do saber científi co 
e, aqui, encontra lugar o saber escolar visualizando-o entre o saber cotidiano 
e o saber científi co. Nesse sentido, entra o importante papel da didática para 
proporcionar ao aluno a oportunidade de elaborar os conceitos, que geralmente 
não vêm sozinhos, mas atrelados a outras noções que, dada a situação problema, 
o aluno resolve o problema passando por uma sucessão de adaptações até a 
compreensão dos conceitos e vinculação com as experiências do seu contexto. 
Pais (2008, p.53) afi rma que,
No caso ideal em que a aprendizagem acontece com sucesso, 
os conhecimentos anteriores são adicionados uns aos outros 
e incorporados à nova situação. Assim ocorre uma parte do 
processo cognitivo que consiste no conjunto de procedimentos 
de raciocínio desenvolvidos pelo sujeito para coordenar as 
adaptações necessárias para que informações precedentes 
sejam incorporadas em uma situação de aprendizagem, 
sintetizando o novo conhecimento.
A Teoria dos Campos Conceituais nos ajuda a entender como os alunos 
constroem os conceitos. De acordo com Vergnaud (1996), o conhecimento 
emerge de resolução de problemas, a partir da ação do aluno sobre a situação. 
53
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
Essa ação necessita de uma refl exão para que se direcione para a formação e 
desenvolvimento. Para a formação de um conceito, faz-se necessário interagir 
com ele numa variedade de situações, entendendo que o conhecimento é fruto 
de uma maturação do indivíduo, de sua experiência e de sua prática. A teoria 
dos campos conceituais permite a análise de competências e difi culdades dos 
alunos, pois o processo cognitivo envolvido não tem nenhum vínculo com o uso 
de aprendizagem mecânica ou memorizadora de repetição seja de modelos, 
fórmulas ou qualquer outra maneira de automatizar uma aprendizagem.
Conforme Vergnaud (1993), uma das formas de veicular a aprendizagem 
de um conceito é aplicando a noção de esquema. Vergnaud (1993, p. 2) defi ne 
esquema como “[...] a organização invariante do comportamento para uma classe 
de situações dada.”.
O esquema serve para decompor um conceito em classes de situações que, 
por sua vez, tem certa organização ou forma que permite uma melhor visualização 
por parte do aluno e que o leva através de situações experimentais e racionais 
conhecidas pelo aluno até a conceitualização desejada.
Quando o aluno aprende um conceito, isso é uma conquista para sua 
aprendizagem. É isso que fornece bases para a construção de conhecimentos 
mais amplos e o que lhe permite fazer ligações entre outros conceitos e chegar a 
um saber mais aprofundado. Por isso, é fundamental, não confundir conceito com 
defi nição. A defi nição seria o texto que procede da formalização de um conceito. 
É o conceito posto em palavras, palavras essas que não conseguem abranger a 
amplitude de um conceito, seja este qual for.
Para Vergnaud (1993) um conceito não pode ser reduzido à sua defi nição 
quando a prioridade é o ensino e a aprendizagem signifi cativa, pois um conceito 
somente adquire signifi cado para o aluno, através da linguagem e dos símbolos 
envolvidos. 
Como exemplo, podemos citar o conceito de adição. A adição é uma operação 
matemática que corresponde às ideias de juntar quantidades e de acrescentar 
uma quantidade à outra. A sentença 3 + 4 = 7 indica uma adição cujas parcelas 
são 3 e 4 e cujo resultado ou soma é 7. O aluno pode saber a defi nição de adição, 
mas não compreender seu signifi cado ou ainda não conseguir transferi-lo para 
uma situação diferente daquela em que aprendeu. 
Assim, Vergnaud (1994, p. 8) defi ne um conceito “ao conjunto das situações 
que constituem a referência de suas diversas propriedades, e ao conjunto dos 
esquemas utilizados pelos sujeitos nessas situações”, ou seja, um conceito 
abrange a uma combinação de três conjuntos: 1) conjunto de situações que dão 
54
 Didática da Matemática
sentido ao conceito (referência); 2) conjunto de invariantes operatórios que são 
utilizadas para analisar e dominar as situações (o signifi cado) e; 3) conjunto de 
representações simbólicas que são utilizadas para representar os invariantes (o 
signifi cante).
Para melhor entendermos ao que se refere um conceito de alguma coisa, 
precisamos entender que este está relacionado a um signifi cado, mas vai 
ainda mais fundo porque o conceito deve também incluir aspectos que lhe são 
fundamentais e intrínsecos. Segundo Pais (2008, p. 55) “[...] o conceito é algo 
em permanente processo de devir, estamos sempre nos aproximando a sua 
objetividade, generalidade e universalidade [...]” sendo nessa citação, “devir”, 
referente à formação de conceito relativo ao fenômeno de aprendizagem.
Observe assituações abaixo:
Situação 1 - João tinha 12 carrinhos e ganhou 7. Com quantos fi cou?
- É de mais ou de menos? 
- Se ele ganhou, só pode ser de mais!
Situação 2 - Maria tem9 bonecas. Quando ela mudou de casa, 3 sumiram. 
Com quantas bonecas ela fi cou? 
- Esse é de menos porque ela perdeu as bonecas que tinha...
Quantas vezes você já ouviu comentários como esse ao formular um problema 
matemático para a turma? Os alunos fi cam afl itos para saber qual operação usar 
e chegar ao resultado fi nal e você, muitas vezes, precisa domar a tentação de dar 
a dica. Quando as operações são assim apresentadas, há a tendência de a turma 
acreditar equivocadamente que ambas são opostas e confl itantes, mas é possível 
resolver o mesmo problema usando uma ou outra, porque há vários caminhos 
que levam à resolução. 
Podemos utilizar a teoria do Campo Conceitual, para melhor organizar as 
práticas em sala de aula. Ao apresentar problemas, devemos observar se os 
signifi cados envolvidos estão sendo explorados para que os alunos percebam 
que diferentes situações podem ser resolvidas pelo uso de uma mesma operação. 
Entendemos, assim, que a maioria dos conhecimentos são competências, e 
a análise dos esquemas revela que eles não consistem somente em maneiras de 
agir, mas também em conceitualizações implícitas. Os conhecimentos modifi cam, 
porque o aluno enfrenta situações cada vez mais complexas. À medida que 
existe uma apropriação do conhecimento, o aluno tem contato com a dimensão 
conceitual o que lhe permite navegar entre saberes passando do escolar ao 
científi co.
55
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
Para buscar mais informações sobre a Teoria dos Campos 
Conceituais acesse o material abaixo:
JENSKE, Grazielle. A teoria de Gérard Vergnaud como 
aporte para a superação da defasagem de aprendizagem de 
conteúdos básicos da matemática: um estudo de caso. 2011. 131f. 
Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) — 
Faculdade de Física, PUC-RS, Porto Alegre (RS). Orientador: João 
Batista Siqueira Harres. Disponível em: <http://tede2.pucrs.br/tede2/
bitstream/tede/3412/1/434027.pdf>. Acesso em: 10 mai. 2016.
Atividades de Estudos:
1. Com base na visão sociocultural de inteligência propõe-se 
que a escola participe do processo de desenvolvimento da 
inteligência da criança ao lhe oferecer acesso a instrumentos 
e objetos simbólicos, como sistemas de numeração, que 
amplifi cam sua capacidade de registrar quantidades, lembrar e 
solucionar problemas. Essa perspectiva está vinculada à Teoria 
dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1996), segundo a qual 
os conceitos são desenvolvidos num longo período de tempo por 
meio da experiência, maturação e aprendizagem, expressas por 
esquemas.
 NUNES, T. et al. Educação Matemática: números e operações 
matemáticas. São Paulo: Cortez, 2005 (adaptado).
A partir do texto acima, avalie as afi rmações a seguir.
I. Os conceitos de adição e subtração tem origem nos esquemas de 
ação de juntar, separar e colocar em correspondência um-a-um.
II. Os conceitos de multiplicação e divisão têm origem nos esquemas 
de ação de correspondência um-a-muitos e de distribuir.
III. O raciocínio aditivo implica a existência de uma relação fi xa entre 
duas variáveis, e o raciocínio multiplicativo, da relação parte-todo.
IV. A criança consegue ordenar sua atividade teórica com a contagem, 
quando se torna capaz de resolver problemas simples de adição 
e subtração.
56
 Didática da Matemática
 É correto apenas o que se afi rma em
 A - I e II.
 B - I e IV.
 C - III e IV.
 D - I, II e III.
 E - II, III e IV.
2. Qual a diferença entre Defi nição e Conceito, segundo Vergnaud 
(1993)?
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Algumas ConsideraÇões
O professor de matemática que se forma nesse século XXI já não é mais 
aquele teórico dedicado exclusivamente ao saber matemático, nem mesmo 
aquele que tinha que escrever tudo o que sabia no quadro da sala de aula sem 
mesmo nem saber sobre a natureza e contexto social de seus alunos. 
É necessário entender que, além de ensinar o conteúdo, o professor é um 
transformador de conceitos e produtor dos mesmos, como afi rma Freire (1996, 
p. 69), “[...] saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as 
possibilidades para a sua própria produção ou a sua construção”.
Com a Didática da Matemática, o aluno passa a estar num foco 
importante como alvo de difundir o saber, de providenciar através da didática a 
contextualização de suas vivências e com a aplicação do saber cotidiano chegar 
ao saber escolar e a partir desse, uma vez atingido as conceitualizações e se 
apropriado dos conhecimentos, tenha o acesso ao saber científi co.
É uma missão signifi cativa para o professor de matemática levar seus alunos 
para a construção de conceitos, através da sua prática pedagógica e fazer a 
diferença. Para tanto, precisa se preparar para, por meio de métodos e criando 
situações que viabilizem atividades em que se manifestem situações reais, 
possa aplicar esquemas que levem o aluno, ao alcance das conceitualizações e 
57
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
pelo conhecimento chegar a ter sentido mais concreto nas aplicações do saber 
matemático.
Referências
ALMOULOUD, S. A. (2007). Fundamentos da Didática da Matemática. 
Curitiba: UFPR, 2007. 
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Fundação Nacional de Material 
Escolar (1973). Desenho 2: plano – espaço. Brasília: MEC.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares 
nacionais: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília : 
MEC/SEF, 1997. 142p.
BACHELARD, G. (1928). Ensaio sobre o conhecimento aproximado. Rio de 
Janeiro: Contraponto, 2004, 316p.
______. (1938). A formação do espírito científi co. Rio de Janeiro: Contraponto, 
2003, 316p.
BARALDI, I.M. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru: Edusc, 1999.
BICUDO, M. (Org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e 
perspectivas / São Paulo: Editora UNESP, 1999, 311p.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São 
Paulo: Edgard Blücher, 1996.
BROUSSEAU, G. A Teoria das Situações Didáticas e a Formação do 
Professor. Palestra. São Paulo: PUC, 2006.
______. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: BRUN, J. 
Didática das Matemáticas. Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto 
Piaget, 1996a. Cap. 1. p. 35-113.
______. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, C.; SAIZ, I. (org). 
Didática da Matemática: Refl exões Psicológicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 
1996b. Cap. 4. p. 48-72.
CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo 
perdido entre o ensino e a aprendizagem. Tradução: Daisy Vaz de Moraes. Porto 
Alegre: Artmed, 2001.
58
 Didática da Matemática
______. Educação como prática da liberdade. 29. ed. Rio de Janeiro: Paz e 
Terra, 2006. 
DAVIS, P.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco 
Alves, 1985.
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática – Arte ou técnica de explicar e conhecer. São 
Paulo: Editora Ática, 1990.
______. Etnomatemática: Elo Entre as Tradições e a Modernidade. Coleção 
tendências em Educação Matemática. (4ª ed.). Belo Horizonte: Ed. Autêntica, 
2011.
FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários a prática educativa. 
São Paulo: Paz e Terra, 1996.
______. Pedagogia da Esperança: um reencontro com a Pedagogia do 
Oprimido. 11. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2003.
GODINO, J. Perspectiva de la Didática de lãs Matemática como disciplina 
científi ca. Un. Granada: Programa de doctorado “Teoria de la educación 
Matemática”, 2003. 
MACHADO, N. J. Matemática e Realidade: análise dos pressupostos fi losófi cos 
que fundamentam o ensino da matemática. São Paulo: Cortez, 1994.
PAIS, L. C. Didática da matemática: uma análise da infl uência francesa. 2.ed. 
2. Reimpressão. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. 128p. (Coleção Tendências em 
Educação Matemática, 3).
______. Transposição Didática. In: ALCÂNTARA, S. D. (Org.). Educação 
Matemática: uma introdução. p. 13-42. São Paulo: EDUC, 1999. 
______. Introdução. In: MACHADO, S. D. A. Educação Matemática: uma 
introdução. 2. ed. São Paulo: EDUC, 2002b, 9-12. 
______. Transposição Didática. In: MACHADO, S. D. A. Educação Matemática: 
uma introdução. 2. ed. São Paulo: EDUC, 2002c, 13-42.
PERRELLI, M. A. S. Uma epistemologia dos conteúdos das disciplinas científi cas: 
as contribuições da transposição didática. In: UCDB.Série-Estudos. Periódico do 
Mestrado em Educação da Universidade Católica Dom Bosco. n.7, p. 76-113, abr. 
Campo Grande, MS: 1999.
59
REFERÊNCIAS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA Capítulo 2 
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VERGNAUD, G. “La théorie dês champs conceptuels”.In: Brun J. (org.) 
Didactique de Mathématiques. Lausanne-Paris: Delachaux, 1996.
VERGNAUD, G. El aprendizaje y la enseñanza de la matemática: teoría 
e conceptos fundamentales. In: VERGNAUD, G. (Erg). Aprendizajes y 
didácticas: que hay de nuevo?Buenos Aires: Edicial, 1994.
VERGNAUD, G. (org.). El aprendizaje y la enseñanza de la matemática: teoría 
e conceptos fundamentales. In: VERGNAUD, G. (org.). Aprendizajes y 
didácticas: que hay de nuevo?.Buenos Aires: Edicial, 1994.
VERGNAUD, G. Teoria dos campos conceituais. 1º Seminário Internacional de 
Educação Matemática do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro/RJ, 1993. Anais… p 
1-26.
60
 Didática da Matemática
CAPÍTULO 3
A Especificidade da Matemática e da 
Didática da Matemática
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
Constatar a especifi cidade da matemática e da Didática da Matemática.
Discutir situações didáticas e a-didáticas da Matemática.
Defi nir contrato didático.
Avaliar situações de ruptura do contrato didático.
Analisar o cotidiano escolar e os efeitos didáticos.
62
 Didática da Matemática
63
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
ConteXtualiZaÇÃo
No processo da construção do saber, este é concebido, validado e 
comunicado. À Didática cabe analisar e discutir as variações, no processo ensino-
aprendizagem, desses três aspectos. 
Quando o saber é concebido lhe precede um processo de elaboração de tal 
saber, assim, primeiro temos o contato com os conceitos, sua origem, sua causa 
e suas aplicações e, em muitos, casos as aplicações auxiliam na compreensão do 
conceito que a posteriori será concebido. O saber está relacionado com o mundo 
exterior, isto é, ele existe e sabemos disso, mas ainda não nos apropriamos dele. 
Quando o saber passa pelo processo ensino-aprendizagem, por uma construção 
e vira conhecimento porque a pessoa se apropriou do saber, então, podemos 
passar ao seguinte estágio.
Assim que nos apropriarmos de um conhecimento, procuramos as diversas 
situações em que podemos testar ele e procuramos pelos meios conhecidos de 
validar tal aquisição. Tentamos buscar experiências para a não validação do saber 
para de uma maneira indireta desconstruir o tal saber, e isso auxilia na validação 
do saber aprendido, quando o resultado demonstra as propriedades do saber em 
questão.
Uma vez que o saber foi concebido e validado, é a vez de ser comunicado. 
Enquanto professores, sabemos que ao preparar um assunto, que implica a 
explicação de um saber, o fato de ser comunicado passa antes por um estágio 
de assentamento. Esse assentamento do saber permite o encontro de estratégias 
para que seja comunicado, questionarmos de que maneira seria mais efetiva 
a estratégia da comunicação, além de sobrepor às prenoções dos saberes já 
adquiridos que em muitos casos atrapalham para o novo saber ser aceito. 
O trabalho pedagógico necessita de uma análise dessas 
variações no processo ensino-aprendizagem e, para estudar as formas 
de elaboração e apresentação do saber escolar, recorremos à teoria 
das situações didáticas, elaborada por Brousseau (2006), a qual 
discutiremos neste capítulo e, também das situações a-didáticas que 
também apresentaremos.
NoÇões de SituaÇões Didáticas
Na educação nos deparamos inevitavelmente com diversos tipos de 
situações que envolvem tanto ensino quanto aprendizagem, e a maneira como 
Para estudar 
as formas de 
elaboração e 
apresentação do 
saber escolar, 
recorremos à teoria 
das situações 
didáticas.
64
 Didática da Matemática
fazemos para que esse processo seja bem-sucedido, tanto para o estudante 
quanto para o educador. Temos o que se apresenta como conjunturas didáticas, 
que se refere a circunstâncias dentro do momento em que acontece a construção 
do conhecimento que vincula, de alguma maneira, os fatores que estão no meio 
do acontecer desse processo e que chamamos de situação didática. Pais (2008) 
explica como Brousseau (1988) diferencia conhecimento de saber e que isso é 
explicado com a teoria das situações didáticas e aponta que segundo o tipo da 
situação didática será mais apropriado ou falar em conhecimento ou em saber. 
Nesse quesito, acudimos a lembrarmos do que trata a teoria das situações 
didáticas.
Conforme Pais (2008, p. 65): [...] uma situação didática é formada 
pelas múltiplas relações pedagógicas estabelecidas entre o professor, 
os alunos e o saber, com a fi nalidade de desenvolver atividades voltadas 
para o ensino e para a aprendizagem de um conteúdo específi co.
Professor, aluno e saber, componentes de uma situação didática, 
esses três elementos formam o chamado triângulo didático e eles são a 
essência da sala de aula, mas não são sufi cientes para que possamos 
entender/analisar a complexidade do processo cognitivo. Além desses três fatores, 
temos o ambiente em que esta situação didática acontece o que formaria o quarto 
membro do que infl uencia numa situação didática quando está em execução, o 
processo ensino-aprendizagem. 
Podemos ver como esclarece Brousseau (1988), que falou sobre polígonos 
da didática e além dos elementos citados professor, aluno e saber, acrescentou o 
que ele chamou de “milieu” nome dado ao ambiente em que acontece o processo 
de ensino-aprendizagem. Contudo, esse autor ainda achou que não estaria sendo 
considerada a variável referente à bagagem de conhecimento que traz cada 
aluno, mesmo assim, considerando entre as variáveis o ambiente ou “milieu” já 
fi caria mais próximo a um ajuste da realidade contextualizada no espaço escolar, 
chamado por Brousseau (1988) como quadrilátero da didática.
O processo cognitivo se efetiva na associação dos elementos professor/
aluno/saber a outros elementos do sistema didático, ou seja, objetivos, métodos, 
posições teóricas, recursos didáticos, entre outros. E, nesse contexto, a 
especifi cidade de cada conteúdo trabalhado, infl uencia diretamente no processo 
ensino-aprendizagem do aluno e na pedagogia da didática usada pelo professor, 
e ainda, considerando o quarto vértice daquele primeiro polígono professor, aluno, 
saber mais o ambiente em questão. 
Lembramos ainda que mesmo levando em conta essas variáveis, ainda 
não conseguimos diferenciar nele os saberes escolares dos conhecimentos 
Uma situação 
didática é 
formada pelas 
múltiplas relações 
pedagógicas 
estabelecidas entre 
o professor, os 
alunos e o saber.
65
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
já adquiridos no sistema apresentado. Juntando todas essas variáveis, o autor 
Brousseau (1988), nos leva a estudar as situações didáticas através de um 
hexágono da didática e apresenta a seguinte estrutura:
Figura 7 - Hexágono da Didática
Fonte: D’Amore (2007, p.7).
Figura 8 - Situação didática
Fonte: Disponível em: <http://www.submarino.com.br/produto/116521086/livro-numeros-e-
matematica-colecao-atividades-educativas-turma-da-monica>. Acessoem: 15 jul. 2016.
66
 Didática da Matemática
As relações entre esses fatores ou variáveis deverão ser consideradas para 
fazer acontecer o processo de ensino-aprendizagem e as relações entre esses 
fatores serão as situações didáticas que se apresentam, e que deveremos avaliar 
para obter o nosso objetivo que é o aprendizado. Trazemos a fi gura da Turma 
da Mônica para ter presente às diversas bagagens de conhecimentos que cada 
aluno traz pelas diferentes características históricas, culturais, sociais, familiares e 
experienciais que eles carregam.
Na educação matemática, esse hexágono da didática tem aplicação no 
próprio saber matemático e suas características. O saber fazer, o entendemos com 
dois aspectos que precisam ser considerados no processo ensino-aprendizagem, 
que descrevemos a seguir:
- A possível infl uência da natureza do saber matemático nas relações 
pedagógicas estabelecidas entre professor-aluno e,
- A infl uência da natureza do trabalho do matemático, sobretudo na forma 
textual em que o saber é apresentado, sobre o professor.
Assim, na análise didática é preciso ponderar as especifi cidades das relações 
referentes ao conteúdo matemático.
Nas situações didáticas outro aspecto a ser analisado é a 
contextualização, signifi cativa para o aluno, do conteúdo matemático, 
afi nal, neste ponto, encontramos a dimensão de seus valores educativos. 
Sem este vínculo, como alcançar as transformações formativas do 
saber científi co?
A teoria das situações didáticas fundamenta-se, então, na forma de 
apresentação do conteúdo, buscando um signifi cado do saber, para o 
aluno. O saber matemático escolar deve ser elaborado em sintonia com 
a situação didática e a relação dos fatores mostrados e que apresentam 
alguma relação no entorno escolar e a sua realidade. Trabalhamos os 
conteúdos, e as atividades propostas aos alunos, defi nem o tipo de 
situação didática relativa a situações reais em que esse saber passa 
a ser conhecimento com a aplicação de uma situação próxima do seu 
cotidiano em que pode ser aplicado.
Depois de discursarmos sobre as situações didáticas, podemos inferir 
que são situações que acontecem em todas as áreas do saber, mas será que 
existe alguma especifi cidade educacional do saber matemático? Existe diferença 
quando falarmos em situações didáticas aplicadas no saber matemático. Vamos 
prosseguir para compreendermos melhor esse processo.
Nas situações 
didáticas outro 
aspecto a ser 
analisado é a 
contextualização.
Situações reais 
em que esse 
saber passa a ser 
conhecimento com 
a aplicação de uma 
situação próxima 
do seu cotidiano 
em que pode ser 
aplicado.
67
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
Atividades de Estudos:
1) Uma situação didática tem vários elementos que devem ser 
considerados, mas os fundamentais são três. Eles são:
a) Conhecimento, saber, escola.
b) Professor, saber, aprendiz.
c) Aprendiz, conhecimento, pedagogia.
d) Metodologia, saber, professor.
e) Aluno, escola, ensino.
2) Explique quais você considera, em situações didáticas, as 
especifi cidades da matemática. Qual a diferencia entre as outras 
disciplinas do currículo escolar?
 ____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
A Especificidade Educacional do 
SaBer Matemático
A maior parte da sociedade, especialmente a escola, considera o saber 
matemático como um conhecimento imutável e verdadeiro, que o aluno deve 
assimilar. O professor “ensina” e o aluno “aprende”. Contudo, não há uma só 
concepção sobre as ideias matemáticas e suas práticas educativas.
Precisamos considerar o saber matemático como uma ferramenta para 
melhor compreender e atuar sobre o dia a dia. Seu conhecimento não é imutável, 
mas sim, fruto da construção humana no processo de interação com o meio, 
considerado aqui natural, social e cultural. É fundamental que para o aluno, faça 
sentido aquilo que se explica e aplica no saber matemático, para ele conseguir 
levar o abstrato para o concreto. É natural que o conceito matemático possa 
parecer abstrato, mas é importante ter presente que ele é construído para ser 
aplicado aos fenômenos do mundo real. Observar isso é muito importante 
para trazer para a sala de aula situações reais e não irreais. Dessa maneira, os 
68
 Didática da Matemática
exemplos e situações que se apresentam nas explicações aos alunos tem que ter 
contextualização de situações reais.
A didática da matemática permite interpretar a prática pedagógica escolar, 
que busca desenvolver o saber matemático, envolvendo professor, aluno e saber, 
como mencionado no item anterior e acrescentando as variáveis do hexágono 
da didática. E, essa interpretação, nos permite fundamentar uma prática 
educativa mais signifi cativa, proporcionando um saber escolar comprometido 
com o desenvolvimento de um aluno crítico e participativo. Conceber o ensino da 
matemática voltado para a problematização e análise de situações diversas do 
cotidiano, permite que o aluno faça deduções levando em conta suas experiências 
de vida e, consequentemente, levando-o à construção de conceitos matemáticos 
do saber matemático.
Figura 9 - Exemplo de compreensão
Fonte: Disponível em: <www.nanihumor.
com+matemáticas&espv>. Acesso em: 08 ago. 2016.
A fi gura 9 do “exemplo de compreensão” mostra nos diálogos que nem 
sempre o que está sendo mostrado fi ca compreensível. Na fi gura existe dúvida 
em cada informação que é dada pelo adulto. Dessa mesma maneira acontece 
na sala de aula quando nós professores de Matemática explicamos e, por isso, 
é bem importante garantir e verifi car que os estudantes estão compreendendo o 
assunto que está sendo tratado e a contextualização a que fazemos referências. 
É claro que na fi gura podemos perceber que não se trata somente de 
matemática. Assim, é na vida real que notamos que não se trata de uma 
69
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
matemática abstrata isolada do mundo em que estamos inseridos, pois junto a 
ela coexiste um mundo social, a qual conforme apresentada na charge, envolve 
Línguas, Geografi a, História para mencionar algumas áreas do conhecimento, 
mas que envolve, na verdade, qualquer uma. Percebemos assim, que para 
falarmos de qualquer área do conhecimento, é preciso ter domínio de uma 
linguagem própria, dessa maneira, não é diferente com a Matemática.
As especifi cidades do saber matemático nos trazem em primeiro 
lugar, a linguagem alfanumérica explícita desta disciplina, que precisa 
de uma competência determinada num aluno para saber que ele se 
apropriou da decodifi cação dessa linguagem para a continuação do 
processo de ensino-aprendizagem. Na matemática, o aluno constrói 
ou edifi ca os conhecimentos partindo de bases que não consegue 
em outra área do saber que não seja a matemática. Posteriormente, 
todas as tarefas solicitadas pelo professor requerem de uma sequência 
de aprendizagem para evoluir no saber matemático e no fazer da 
matemática, mesmo que seja considerado, e devemos fazê-lo, o que 
traz o aluno do seu cotidiano. Nesse sentido, precisa que exista gestão 
de representações próprias da matemática e suas aplicações com 
experiências e relações dos conceitos com as práticas. Todas essas 
ações de colocar os conceitos na prática junto com as linguagens 
e simbologias próprias têm que ser dominadas pelos aprendizes e levadas na 
comprovação pelas explicações do professor de matemática.
Nesse contexto, identifi camos mais uma vez a necessidade da elaboração 
do signifi cado do saber escolar para levar à refl exão sobre a criação e as formas 
de apresentação do conteúdo no meio de situações que propiciam ao aluno fazermatemática, isso veremos na continuação.
NoÇões de SituaÇões A-Didáticas
A educação matemática busca contribuir para o desenvolvimento de um 
aluno autônomo, e que o saber escolar aprendido lhe possibilite a intervenção 
sobre o meio em que vive.
Nesse contexto, precisamos considerar que muitas situações, apesar de 
contribuírem para a formação de conceitos, não estão no controle pedagógico 
do professor. O espaço e tempo escolar são somente uma parte dos momentos 
de aprendizagem dos alunos. Assim, o desafi o da didática está em equilibrar e 
conciliar os elementos indicativos de uma possível progressão da aprendizagem 
Linguagem 
alfanumérica 
explícita desta 
disciplina, que 
precisa de uma 
competência 
determinada num 
aluno para saber que 
ele se apropriou da 
decodifi cação dessa 
linguagem para 
a continuação do 
processo de ensino-
aprendizagem.
70
 Didática da Matemática
escolar, tanto em situações onde encontramos o controle direto do professor, 
como nos demais.
As noções das situações a-didáticas perseguem defi nir de que maneira o 
estudante pode ser conduzido a elaborar a apropriação do conhecimento do 
saber matemático, como de fato o fazer matemática e com ela, saber utilizá-la ou 
recriá-la sem mesmo contar com a mediação do professor. Isso é mais profundo 
do que acontece numa sala de aula, e refere-se ao saber científi co, aquele que 
pode ser capaz de, a partir de saberes, chegar a criar e montar conceitos e teorias 
matemáticas com a resolução de problemas e, para isso, o aluno precisa contar 
com conhecimento prévio para conseguir a elaboração dos novos conhecimentos. 
Nessa situação existiria uma auto-didática em que o professor não infl uenciaria 
além das paredes da escola.
Essas situações que Brousseau (2003) discute e chama de a-didáticas, 
permitem compreender a interação entre o ambiente escolar e o espaço maior 
da vida, incluindo o imaginário do sujeito cognitivo. Entender a relação entre o 
didático e o a-didático é um dos grandes desafi os da didática da matemática. Um 
exemplo de situação a-didática é quando o aluno fora da sala de aula consegue 
relacionar aprendizagem do saber matemático em situações reais no seu 
contexto de vida. Continuando o exemplo da Charge do item anterior, do “exemplo 
de compreensão” e, o aluno já tivesse aprendido as frações, saberia quanto é a 
terceira parte das metas da Educação, uma situação que pode acontecer na rua, 
com os amigos ou em casa com os familiares. O conhecimento não é só uma 
questão de sala de aula, ele tem que chegar além e ser utilizado pelos nossos 
estudantes.
É muito conhecida a história de Albert Einstein como aluno 
medíocre que, posteriormente, se tornou quem nós conhecemos 
hoje, mas você já leu sobre a carta de Thomas Edison. Procure em 
https://mensagensavellar.wordpress.com/2015/11/26/a-carta-de-
thomas-edison/
Os casos mencionados no Leo mascote, Albert Einstein e Thomas Edison, 
são casos de pessoas brilhantes na sua inteligência e que dentro da sala de aula 
foram considerados medíocres, mas que levaram o conhecimento além da sala 
de aula para suas realidades e sem limitações para projetar o conhecimento que 
conseguiram ter e conseguir novidades no mundo do conhecimento. Leia e verá.
71
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
Considerar as situações a-didáticas, claramente nos demonstra que a função 
do professor está muito além de ser um mero transmissor de conhecimentos.
Segundo defi nição de Brousseau (1986 apud PAIS, 2008, p. 68):
Quando o aluno torna-se capaz de colocar em funcionamento e 
utilizar por ele mesmo o conhecimento que ele está construindo, 
em situação não prevista de qualquer contexto de ensino e 
também na ausência de qualquer professor, está ocorrendo 
então o que pode ser chamado de situação adidática.
Assim, em determinados momentos do processo de aprendizagem, o aluno 
trabalha de forma independente, não havendo uma intencionalidade pedagógica 
direta ou um controle didático por parte do professor. Mas, a intenção pedagógica 
caracteriza todas as etapas do sistema didático, uma vez que o trabalho do 
professor é determinado por objetivos, métodos e noções conceituais.
Voltando ao contexto da sala de aula, é no ambiente escolar que o professor 
exerce sua liderança no processo de ensino-aprendizagem, considerando 
as condições em que o aluno seja mentalmente e emocionalmente saudável 
e, justamente por causa dessa responsabilidade, é o professor que deverá 
estabelecer as regras do jogo para quando o conhecimento a partir do saber 
acontece. Essas regras do jogo são o assunto que abordaremos a seguir.
Atividade de Estudos:
1) Uma situação a-didática da matemática pode até não ser muito 
frequente encontrar, mas ela se identifi ca quando:
a) O aluno, fora da sala de aula, consegue copiar e repetir aquilo 
que o professor ministrou na sala de aula.
b) O aluno através do conhecimento que está construindo consegue 
colocar em funcionamento o tal conhecimento sem qualquer 
auxilio de professor.
c) O aluno não consegue com mediação ou sem mediação do 
professor conseguir fazer aplicar um conhecimento dado.
d) O aluno não é capaz de colocar em funcionamento um 
conhecimento que ele está construindo, a menos que conte com 
a ajuda do professor.
72
 Didática da Matemática
e) O aluno em situação não prevista de qualquer contexto de ensino 
é capaz de construir um conhecimento com a intervenção de um 
professor.
NoÇões de Contrato Didático
Quando um professor no ambiente escolar propõe a planifi cação do ensino 
da sua disciplina, também considera que os alunos terão sua participação ativa 
nela, bem como que depende do processo ensino-aprendizagem e do tempo que 
os estudantes levarão para o sucesso desse processo, o fato de cumprir esse 
planejamento. O professor deve levar e explicar, e de alguma maneira, fazer com 
que os alunos concordem com a maneira como esse processo irá acontecer, 
permitindo assim, que o processo se efetive.
No caso particular da matemática, o professor pode usar o método de 
indução, raciocínio cujas premissas têm caráter menos geral que a conclusão, 
ou de dedução, raciocínio que parte de uma ou mais premissas gerais e chega 
a uma ou mais de umas conclusões particulares, ou qualquer outro método e 
uma grande variedade de metodologias e recursos para usar nas suas aulas. No 
decorrer do período letivo, os alunos assimilam essa maneira de acontecer em 
que fi ca implícito, muitas vezes, o contrato didático.
No campo específi co do ensino da matemática, a prática pedagógica é 
caracterizada especialmente por quatro situações didáticas, segundo Brousseau 
(2003), ou seja, situação de ação, situação de formulação, situação de validação 
e situação institucionalização. Quase sempre estas situações encontram-se 
fortemente entrelaçadas entre si, mas analisadas separadamente permitem 
operacionalizar uma análise didática. Assim, cada uma das situações articula 
diferentes regras de contrato, pois as tarefas do professor e dos alunos se 
diferenciam em cada uma delas.
Dessa forma, a noção de contrato didático passa a ser essencial, tendo 
em vista os diferentes caminhos e olhares que as situações didáticas podem 
proporcionar.
Para Brousseau (1986 apud PAIS, 2008, p.77):
73
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
Contrato didático refere-se ao estudo das regras e 
das condições que condicionam o funcionamento 
da educação escolar, quer seja no contexto de uma 
sala de aula, no espaço intermediário da instituição 
escolar quer seja na dimensão mais ampla do 
sistema educativo. 
A noção de contrato didático está associada a dois conceitos: 
conceito de contrato social, segundo Jean-Jacques Rousseau (1712-
1778) e ao conceito de contrato pedagógico, segundo Filloux (1974).
Jean-Jacques Rousseau (1712-1778), através do conceito de 
contrato social “propõe uma forma de compreender as regras defuncionamento da sociedade e suas aplicações na educação” (PAIS, 
2008, p. 78). Suas ideias levaram a distinguir três diferentes estados 
no transcorrer do desenvolvimento intelectual: o natural, o social e o 
contratual. No estado natural prevaleciam a liberdade e a igualdade. 
Já, no estado social, o ser humano estaria condicionado por um conjunto de 
regras e compromissos e, o estado contratual, deveria representar uma evolução 
para combater as injustiças do estado social, onde deveria prevalecer a vontade 
da coletividade.
Contrato didático 
refere-se ao estudo 
das regras e das 
condições que 
condicionam o 
funcionamento da 
educação escolar, 
quer seja no 
contexto de uma 
sala de aula, no 
espaço intermediário 
da instituição 
escolar quer seja 
na dimensão mais 
ampla do sistema 
educativo.
Jean-Jacques Rousseau (1712-1778) foi um fi lósofo social, 
teórico político e escritor suíço. Em sua obra mais importante “O 
Contrato Social” desenvolveu sua concepção de que a soberania 
reside no povo.
Filloux (1974), através do conceito de contrato pedagógico “destaca 
inconveniência de predominar indevidamente, no sistema didático, uma certa 
superioridade do professor em relação ao aluno” (PAIS, 2008, p. 79). Essa 
situação permite a imposição de um poder – o professor -, a uma inferioridade – 
os alunos.
Assim, tanto o contrato social como o contrato pedagógico, reproduzem as 
relações de poder e, o sentido proposto por Brousseau (2003), leva a necessidade 
de considerar o contrato didático sob três perspectivas – professor, aluno e 
conhecimento, sempre acompanhado pelas regras da educação escolar.
74
 Didática da Matemática
Importante destacar ainda, que a diferença entre as regras de um 
contrato didático e um contrato jurídico reside nas condições exigidas no 
meio escolar de forma implícita, aumentando a complexidade do sistema 
educativo. O professor deve conhecer a especifi cidade educacional de 
sua disciplina e saber como a consciência desta pode infl uenciar no 
sucesso ou fracasso em se tratando da dimensão didática.
Nesse contexto, podemos nos questionar sobre possíveis rupturas em um 
contrato didático, dessa maneira estaremos preparados para resolver situações 
relativas a essas circunstâncias. Como trabalhar esta questão? Vejamos a seguir.
Leia mais sobre contrato didático no arquivo disponível em: 
<http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/12/o-contrato-
didatico-e-a-resolucao-de-problemas-matematicos-em-sala-de-aula.
pdf>.
Condições exigidas 
no meio escolar 
de forma implícita, 
aumentando a 
complexidade do 
sistema educativo.
Ruptura do Contrato Didático
Para Brousseau (2003) mais importante que explicitar todas as regras que 
compõem um contrato didático, é delinear possíveis pontos de ruptura. Em 
ambas as situações, nos defrontamos com uma difícil situação, ou seja, tratar 
com questões implícitas, subjetivas, que não são totalmente previsíveis.
Apesar desta difi culdade, é possível e viável estudar/analisar 
possíveis situações vulneráveis na atividade pedagógica escolar. Estas 
situações vulneráveis exigem do professor um conhecimento amplo e 
aprofundado quanto ao grupo com o qual está trabalhando, o espaço 
escolar, a estrutura pedagógica e o conteúdo a ser trabalhado.
Podemos exemplifi car situações de ruptura do contrato pedagógico, segundo 
Pais (2008) quando:
- O aluno mostra desinteresse pela atividade proposta
É possível e viável 
estudar/analisar 
possíveis situações 
vulneráveis 
na atividade 
pedagógica escolar.
75
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
Figura 10 - Desinteresse do aluno
Fonte: Disponível em: <vaniagenarioggenario.blogspot.com>. Acesso em: 08 ago. 2016.
 - A atividade proposta está além do nível intelectual e cognitivo do aluno;
Figura 11 - Atividade proposta está além do nível intelectual e cognitivo do aluno
Fonte: Disponível em: <portaldoprofessor.mec.gov.br>. Acesso em: 02 mai. 2016.
- O professor perde a paciência com o aluno e passa a aplicar retaliações ao 
aluno que se comportou de forma inadequada;
76
 Didática da Matemática
Figura 12 - Punição verbal do professor para o aluno
Fonte: Disponível em: <tvweb-brasilia-barreiras.blogspot.com>. Acesso em: 2 mai. 2016.
- Punição indireta do professor para com o aluno
Figura 13 - Punição indireta do professor para com o aluno
Fonte: Disponível em: <fucxic0.blogspot.com>. Acesso em: 02 mai. 2016.
Assim, não podemos deixar de destacar que o conjunto de regras 
do contrato didático é resultado de uma ampla fonte de infl uências, ou 
seja, o cotidiano, o espaço da sala de aula, a instituição escolar, os 
alunos, bibliografi as, entre outros.
Cabe ao professor planejar sua ação e verifi car em que condições 
as situações didáticas foram efetivadas pelos alunos. Avaliar se 
a aprendizagem ocorreu e, em caso de negativa, redirecionar as 
atividades de forma adequada ao nível cognitivo dos alunos. Não 
havendo esse processo, o contrato didático se rompe e implica na 
Cabe ao professor 
planejar sua ação 
e verifi car em 
que condições as 
situações didáticas 
foram efetivadas 
pelos alunos. O 
contrato didático 
se rompe e implica 
na desistência de 
engajamento no 
processo de ensino.
77
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
desistência de engajamento no processo de ensino e, portanto, no abandono do 
objetivo da atividade profi ssional docente. Mas é fundamental compreendermos 
as relações que se sucedem no ambiente escolar e as condições que estão 
atreladas a efeitos didáticos como veremos a seguir.
Atividades de Estudos:
1) Numa situação de ruptura de contrato didático, qual deverá ser a 
postura do professor? O que ele deve propor aos seus alunos? 
 ____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
2) No caso de ruptura de contrato pedagógico cabe ao professor 
planejar sua ação para validar esse contrato, mas o que faria 
você na situação exemplifi cada no capítulo referente à quando o 
aluno mostra desinteresse pela atividade proposta?
 ____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Cotidiano Escolar e os Efeitos 
Didáticos
Ao pensar em contrato didático não podemos deixar de equilibrar duas 
condições presentes em sala de aula – negociações e expectativas. Estas 
necessitam ser trabalhadas no contexto do professor, do aluno e do saber, a 
princípio com os elementos principais, sem tirar a importância de outros elementos 
que fazem parte do composto escolar, mas que não são protagonistas desse 
contrato.
78
 Didática da Matemática
Silva (2008) destaca que muitas das difi culdades dos alunos têm sua causa 
em contratos didáticos que podem ser considerados como mal dimensionados 
(quanto à comunicação e entendimento). Tanto professor quanto alunos têm 
objetivos e expectativas que precisam se encontrar para que ocorra o processo 
ensino-aprendizagem. E ambos deverão estar cientes no transcurso do período 
letivo sobre as características e os assuntos vinculados no contrato didático.
A teoria das situações didáticas e a noção de contrato didático 
buscam contribuir para a especifi cidade do ensino da matemática, mas 
tendo em vista cada realidade educacional, o cotidiano escolar pode 
apresentar surpresas que difi cultam a aprendizagem.
Assim, Brousseau (2003) descreveu alguns efeitos didáticos, que 
conforme Pais (2008, p. 89) são “[...] situações que podem acontecer 
em sala de aula e que se caracterizam como momentos cruciais para a 
continuidade do processo ensino-aprendizagem”.
Situações que 
podem acontecer 
em sala de aula e 
que se caracterizamcomo momentos 
cruciais para a 
continuidade do 
processo ensino-
aprendizagem”.
Figura 14 - Professora remeta-se ao site
Fonte: Disponível em: <educaacaovv.blogspot.com>. Acesso em: 02 mai. 2016.
Tais situações não podem ser consideradas determinantes quanto ao 
resultado fi nal da ação educativa, mas sim, dizem respeito a momentos 
localizados, cuja superação depende tanto do aluno como do professor. Por 
exemplo, na fi gura “professora remeta-se ao site” é um momento localizado, mas 
que o professor pode aproveitar para falar em autoria, na importância de cada 
pessoa fazer suas atividades como parte da construção do conhecimento e como 
parte do seu esforço para aprender esse ou aquele conceito. 
79
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
É verdade que nos dias de hoje encontra-se tudo na Internet, mas nem 
tudo é verdade e nem tudo é transformado em conhecimento para o aluno. Aqui 
se pode também ressaltar que o professor também tem que estar atento nas 
facilidades que hoje se têm na Internet e nas redes sociais e que têm de ser bem 
administradas no entorno educativo.
São consequência de vários aspectos vinculados ao processo ensino-
aprendizagem, tais como: metodologia de ensino, obstáculos, formação do 
professor, nível dos alunos, conceitos, entre outros, que farão a diferença 
para cada aluno nesse processo. E, quanto aos efeitos didáticos, o autor que 
abordamos é o autor Guy Brousseau. 
Para Brousseau (2003), são cinco os efeitos didáticos: efeito Topázio, efeito 
Jourdain, efeito da Analogia, deslize metacognitivo e efeito Dienes. Mas o que 
determina e diferencia cada um deles? É o que passaremos a estudar agora.
Figura 15 - Relacionamento dos fenômenos didáticos e seus efeitos
Fonte: Disponível em: <pt.slideshare.net>. Acesso em: 02 mai. 2016.
80
 Didática da Matemática
a) Efeito Topázio
No processo ensino-aprendizagem, durante a prática pedagógica da 
matemática, muitas vezes, o aluno sente-se bloqueado diante da difi culdade 
em resolver certo problema. Como professores podemos não atentar para a 
situação e buscar resolver a situação acelerando a aprendizagem e antecipando o 
resultado que deveria ser alcançado pelo aluno.
Brousseau (2003) identifi cou este efeito como Topázio, ao traçar uma 
analogia com uma passagem do romance Topázio, de Marcel Pagnol, onde o 
professor aplica um ditado junto a sua turma e no momento da correção, junto 
a um aluno que comete erro de concordância, na esperança de ajudá-lo acaba 
dando ênfase ao erro, levando o aluno à correção única e exclusivamente por seu 
estímulo e não pela real consciência do mesmo.
Este efeito caracteriza-se pela tentativa de transferência de 
conhecimento em situações que deveriam envolver a autonomia do 
próprio aluno. Do ponto de vista pedagógico, este efeito é uma ação 
inadequada, pois entende que o conhecimento pode ser transmitido do 
plano intelectual do professor para o aluno. No contexto das situações 
didáticas, sinaliza para a direção oposta da participação ativa do aluno 
no processo ensino-aprendizagem. A situação de aprendizagem fi ca 
esvaziada. Para que isso não aconteça, o professor deve possibilitar 
ao aluno seu próprio momento de aprendizagem, deixá-lo pensar e construir o 
conhecimento, questioná-lo para ser ele próprio quem chega à resposta fi nal e 
não dar a resposta fi nal de graça. Dar autonomia ao aluno é respeitá-lo, tratá-lo 
como ser intelectual e, socialmente valioso.
b) Efeito Jourdain
O efeito Jourdain está no contexto de um fracasso eminente do 
processo de ensino, quando o professor busca para si a responsabilidade 
da tarefa de compreensão que cabia ao aluno. Na ânsia de identifi car 
a existência de algum saber escolar ou científi co, passa a valorizar 
indevidamente, o conhecimento superfi cial manifesto pelo aluno e 
passa a não ter mais o controle pedagógico da situação. Ocorre uma 
desistência, por parte do professor, em aprofundar o diálogo com o 
aluno, pois poderia se ver em uma situação embaraçosa, por não apresentar mais 
nenhuma estratégia didática satisfatória para a situação. 
Para isso o professor deve ser humilde quando não conhece uma situação 
e virar o jogo ao fazer a proposta de uma nova pesquisa no assunto, deixar para 
outra aula em que ele tem tempo de se preparar melhor e os alunos também e, 
desse jeito, existe benefício tanto do aluno quanto do professor.
No contexto das 
situações didáticas, 
sinaliza para a 
direção oposta 
da participação 
ativa do aluno no 
processo ensino-
aprendizagem.
Quando o professor 
busca para si a 
responsabilidade 
da tarefa de 
compreensão que 
cabia ao aluno.
81
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
Em uma situação onde ocorre o efeito Jourdain, o aluno trata de uma situação 
deslocada do signifi cado matemático e o professor admite o fato como sufi ciente 
para considerar a aprendizagem satisfatória.
c) Efeito da Analogia
Em diversos momentos do processo ensino-aprendizagem, a utilização de 
analogias entre um conteúdo já conhecido pelo aluno e os conceitos estudados 
em uma nova situação, é considerada um recurso didático efi ciente.
Para que uma analogia obtenha uma resposta efetiva no processo ensino-
aprendizagem, deve ser acompanhada de uma vigilância criteriosa por parte do 
professor, para ao fi nal não chegar a conclusões reducionistas sobre os conceitos 
envolvidos. Assim, o uso inadequado de analogias, pode desencadear em um 
efeito Topázio, que por sua vez, pode terminar em um efeito Jourdain.
No efeito Analogia, o aluno chega a uma conclusão não porque 
aprendeu realmente, mas porque visualiza indícios com situações 
análogas que o professor propôs que repetisse e, após algumas 
tentativas, reconhece nestas, a melhor solução. Para isso não 
acontecer, é fundamental apresentar exemplos e exercícios de diversas 
maneiras rompendo com as possíveis analogias.
d) Deslize Metacognitivo
Fenômenos didáticos têm origem a partir de difi culdades, que 
podem ser do aluno em compreender certo problema, ou do professor 
que não consegue dar uma continuidade ao processo ensino-
aprendizagem.
Quando uma situação de ensino não chega a um resultado 
satisfatório e o aluno explicita sua difi culdade, o professor na busca 
da continuidade de seu trabalho e, percebendo o esgotamento de 
seus argumentos didáticos, pode passar às explicações baseadas 
unicamente em suas próprias concepções. Nesse caso, é importante 
procurar outros autores e, inclusive, trazer os alunos que já 
compreenderam, que já adquiriram o conhecimento, como mediadores 
e proporcionar outro momento e circunstância para fazer acontecer 
à aprendizagem. Este momento caracteriza-se por um deslize 
metacognitivo, no momento em que quebra o procedimento vinculado 
a um discurso científi co e passa a explicações com origem no saber 
cotidiano do professor.
No efeito Analogia, 
o aluno chega a 
uma conclusão não 
porque aprendeu 
realmente, mas 
porque visualiza 
indícios com 
situações análogas 
que o professor 
propôs.
Ensino não chega 
a um resultado 
satisfatório e o 
aluno explicita 
sua difi culdade, o 
professor na busca 
da continuidade 
de seu trabalho 
e, percebendo o 
esgotamento de 
seus argumentos 
didáticos, 
pode passar 
às explicações 
baseadas 
unicamente em 
suas próprias 
concepções.
82
 Didática da Matemática
Importante destacar que, normalmente a mudança do discurso científi co 
para um discurso baseado no saber cotidiano do professor não é percebida pelos 
alunos, favorecendo a confusão entre o saber escolar e o mundo cotidiano.
e) Efeito Dienes
O efeito Dienes, está baseado, segundo Brousseau (2003), nos trabalhos do 
educador Dienes, no contexto da matemática moderna, na década de 1960. Sua 
proposta era chamada de processo psicodinâmico e, consistia em um modelo de 
aprendizagem que buscava sistematizar certos modelos de ensino, envolvendo 
a repetição de problemasou exemplos semelhantes na busca de respostas 
padronizadas. 
Esta concepção de ensino, baseada em uma visão puramente estruturalista 
da matemática, contribuiu para incorrer em confusões entre o saber científi co e a 
especifi cidade de seus valores educacionais.
Este efeito traz implícito o afastamento do professor no processo ensino-
aprendizagem, pois não necessita mais acompanhar e compreender os processos 
de ensino. Dienes (1975) pretendia construir um modelo didático que fosse 
independente do conteúdo.
Para a superação desse efeito, a relação professor-aluno deve ser 
referência na função educativa do saber. Um exemplo que podemos 
mencionar, é o modelo Kumon, que para alguns alunos funciona bem. 
Esse modelo pretende dar uma base sólida para o aluno para que ele 
possa aprender por si só, em que a relação professor-aluno iria a sua 
mínima expressão. Esse método divulgou uma fama de rapidez em 
cálculos matemáticos e desenvolvimento dos conhecimentos abstratos 
que até em piadas aparece essa fama como mostra a vinheta abaixo. 
Para a superação 
desse efeito, a 
relação professor-
aluno deve ser 
referência na função 
educativa do saber.
Figura 16 - Fama do método Kumon: bom em matemática
Fonte: Disponível em: <piadasdocardosinho.blogspot.com>. Acesso em: 02 mai. 2016.
83
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
Para deixar ainda mais claro, os efeitos dos fenômenos didáticos fi cam 
resumidos no quadro a seguir, que apresenta as características de cada um dos 
fenômenos.
Quadro 1 - Características dos efeitos dos fenômenos didáticos
Efeito Caracterização
Topázio
Apresenta-se uma situação, onde, após um problema proposto, num mo-
mento determinado, o professor percebe a difi culdade do aluno, então, tenta 
acelerar a aprendizagem, antecipando o resultado.
Jourdain Apresenta-se uma situação em que o professor reconhece uma resposta 
simples do aluno como a expressão de um conhecimento científi co.
Da Analogia Acontece quando o professor incorre no uso inadequado de uma analogia.
Deslize
Metagognitivo
Circunstância onde o professor toma suas próprias explicações como objeto 
de estudo no lugar do verdadeiro conhecimento matemático.
Dienes Situação em que o professor com suas concepções (epistemológicas) tenta 
aproximar o saber científi co do saber ensinado.
Fonte: A autora.
Conheça um trabalho exemplifi cando os efeitos didáticos em 
sala de aula. Disponível em: <http://rbep.inep.gov.br/index.php/rbep/
article/viewFile/676/654>.
Atividade de Estudos:
1) Considerando realidades educacionais específi cas do dia a dia,11 
podem acontecer imprevistos que atrapalham a aprendizagem. 
Esses são conhecidos como efeitos didáticos. Aquele efeito 
didático vinculado a tentar passar conhecimento diretamente ao 
aluno sem deixar acontecer o desenvolvimento da autonomia do 
aluno é conhecido como:
 a) Efeito Jourdain.
 b) Efeito Metacognitivo.
84
 Didática da Matemática
 c) Efeito da Analogia.
 d) Efeito Topázio.
 e) Efeito Dienes.
Algumas ConsideraÇões
A sala de aula é um espaço complexo que envolve muitas variáveis, mas 
que se fundamentam na relação professor, aluno e saber. A relação didática 
estabelecida traz consigo negociações e expectativas que necessitam ser 
dialogadas e acordadas, caracterizando a importância do contrato didático no 
processo ensino-aprendizagem.
Por mais que haja planejamento e defi nição clara de objetivos, o processo 
de construção do saber traz consigo variáveis intangíveis que podem emergir na 
relação estabelecida entre o professor, aluno e saber, motivo pelo qual a análise e 
discussão de possíveis obstáculos didáticos se fazem presentes e necessárias no 
fl uxo do processo de ensinar e aprender.
Para Brousseau (2003) mais importante que explicitar todas as regras que 
compõem um contrato didático, é delinear possíveis pontos de ruptura e, em 
ambas as situações nos defrontamos com uma difícil situação, ou seja, tratar com 
questões implícitas, subjetivas, que não são totalmente previsíveis.
A partir da análise dos possíveis problemas encontrados no cotidiano 
escolar, podemos entender e visualizar a dinâmica da sala de aula. Neste 
cotidiano acontecem inúmeras interações e relações, o conhecimento é produzido 
e reproduzido e o meio externo exerce constante infl uência. Assim, precisamos 
observar e repensar a prática pedagógica no dia a dia. A teoria das situações 
didáticas e a noção de contrato didático buscam contribuir para a especifi cidade 
do ensino da matemática, tendo em vista que cada realidade educacional e cada 
cotidiano escolar podem apresentar surpresas que difi cultam a aprendizagem.
Referências
ALMOULOUD, S. A. (2007). Fundamentos da Didática da Matemática. 
Curitiba: UFPR, 2007. Brasil. Ministério da Educação e Cultura. Fundação 
Nacional de Material Escolar (1973). Desenho 2: plano – espaço. Brasília: MEC.
85
A ESPECIFICIDADE DA MATEMÁTICA E
DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
 Capítulo 3 
BACHELARD, G. (1928). Ensaio sobre o conhecimento aproximado. Rio de 
Janeiro, RJ: Contraponto, 2004, 316p.
______. (1938). A formação do espírito científi co. Rio de Janeiro, RJ: 
Contraponto, 2003, 316p.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares 
nacionais: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/
SEF, 1997. 142p. 
BROUSSEAU, G. A Teoria das Situações Didáticas e a Formação do 
Professor. Palestra. São Paulo: PUC, 2006.
______. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: BRUN, J. 
Didática das Matemáticas. Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto 
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CHEVALLARD, Y., BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo 
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Porto Alegre: Artmed, 2001.
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Bolema. Boletim de Educação Matemática. Vol. 20, n° 28, 1179-205. ISSNÇ 
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GODINO, J. Perspectiva de la Didática de lãs Matemática como disciplina 
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PAIS, L. C. Didática da matemática: uma análise da infl uência francesa. 2. 
ed. 2. reimp. - Belo Horizonte: Autêntica, 2008. 128p. (Coleção Tendências em 
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86
 Didática da Matemática
SILVA, B. A. Contrato Didático / Educação Matemática Uma Nova Introdução / 
Anna Franchi... et al; org. Silvia Dias Alcântara Machado – 3. ed. Revista. – São 
Paulo: EDUC, 2008.
CAPÍTULO 4
Questões Metodológicas e a 
Engenharia Didática
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Identifi car e organizar as fases da Engenharia Didática.
 Analisar a dimensão teórica e experimental da pesquisa em Didática da 
Matemática.
88
 Didática da Matemática
89
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
ConteXtualiZaÇÃo
Ao pensarmos sobre a engenharia de qualquer coisa, uma das primeiras 
imagens relacionadas é a do conhecimento científi co aplicado, isto é, o que 
científi camente conhecemos desse “assunto” e o aplicamos na prática. No nosso 
caso, o conhecimento científi co que estudamos é sobre a Didática da Matemática, 
então, passamos a explorar os estudos em que podemos aplicar o conhecimento 
de uma maneira prática e através da metodologia científi ca.
Por outro lado, ao falarmos em engenharia mergulhamos num assunto que 
nos remetea arte de construir uma obra de grande porte, para isso é necessário 
termos conhecimentos teóricos que colocaremos em prática para obtermos essa 
obra. Na didática da matemática não é diferente se utilizarmos a metodologia 
da engenharia, pensamos na aplicação na prática pedagógica do ensino da 
matemática, espaço no qual as teorias dessa disciplina vem à tona. 
Os assuntos que temos discutido até este ponto nos fornecem bases teóricas, 
as quais são, atualmente, utilizadas para estudos de pesquisas e que usam a 
metodologia da Engenharia Didática. Esta tem um procedimento diferenciado cujo 
ponto de partida é a conjugação da dimensão teórica com a dimensão prática. 
Mas, de que forma? Qual o caminho escolhido para tal fi m? Veremos a seguir as 
noções da Engenharia Didática que nos auxiliarão neste quesito.
NoÇões da Engenharia Didática
A educação matemática é sem dúvida uma obra de engenharia de grande 
porte e, no nosso espaço, cabe fazer essa parte da obra no que diz respeito à 
Didática da Matemática. Pesquisas nessa área implicam em domínio de conceitos. 
Em qualquer área do conhecimento isso é fundamental, mas é preciso levar esse 
conhecimento à prática e, para isso, fazemos a ponte com a engenharia que não 
só precisa de conceitos, mas planejamento e execução de um projeto. Aqui, a 
analogia é entre a didática e o trabalho do engenheiro. Na aplicação da didática, é 
necessário considerar os outros elementos da obra, como os alunos. Na didática, 
o professor se apropria do campo das ideias e se utiliza de conceitos, para de 
alguma maneira, usando sua criatividade qualifi cada, lhe dar a forma racional e a 
colocar em prática, destacando que essa prática na maioria dos casos acontece 
na sala de aula.
Conforme, já estudado nos capítulos anteriores, Brousseau (1996a; 1996b) e 
Artigue (1996), dentre outros pesquisadores da linha da Didática da Matemática, 
defendem a utilização de situações de aprendizagem, em que os alunos são 
90
 Didática da Matemática
colocados em ação diante de jogos e situações-problema, mobilizando assim, 
estratégias de resolução e conhecimentos anteriores para que sejam capazes 
de realizar operações de seleção, organização e interpretação de informações. 
Nesse contexto, entendem que o processo de construção do conhecimento 
matemático efetivamente ocorre e, consequentemente a formação passa a fazer 
sentido para o aluno. Essas situações (jogos e situações-problema) acima de tudo 
instrumentalizam o professor para a elaboração de situações, em que o aluno 
tenha um papel dinâmico, social e participativo na própria aprendizagem.
Situações de Aprendizagem permitem que o estudante interaja 
permanentemente no processo ensino-aprendizagem e aprenda a aprender, para 
entender as defi nições e conceitos que se fazem necessários. 
Seu desenvolvimento e aplicação é um desafi o para os docentes e para 
os estudantes, que aprendem através de estratégias de ensino. Este aprender 
fazendo, permite que os alunos produzam, questionem, pesquisem, criem, 
compreendam, interpretem e, até mesmo, descubram novos conhecimentos, 
como cita Prado (2009 apud FREIRE; PRADO, 1995, p. 3):
[...] uma situação de aprendizagem deve propiciar ao aluno a 
vivenciar ações refl exivas, que possa favorecer tanto aprender-
com, como aprender-sobre o pensar. Isto signifi ca que o 
aluno deve aprender-fazendo (colocando a mão na massa) e 
construindo algo que lhe seja signifi cativo, de modo que posso 
envolver-se afetiva e cognitivamente com aquilo que está 
sendo produzido. É importante que o produto seja algo tangível 
e passível de ser feito e compreendido pelo aluno-produtor; 
algo que permita ao aluno reconhecer durante o processo de 
produção, uma utilidade imediata para aquilo que está sendo 
feito e aprendido. 
A seleção do uso de estratégias de ensino adequadas na realização da 
situação de aprendizagem deve permitir ensaios, testes, trabalhos de pesquisa, 
práticas diversas que promovam êxito nos resultados esperados.
Um dos referenciais para viabilizar a intenção de colocar o ensino como 
um projeto social se fortaleceu com a proposta da metodologia da Engenharia 
Didática, delineada por Brousseau (1996a; 1996b) e estruturada nos trabalhos de 
Artigue (1996). A Engenharia Didática foi inicialmente concebida para fomentar 
a criação de recursos e meios para aprimorar o trabalho em sala de aula, mas, 
posteriormente, evoluiu para a estruturação em um quadro teórico mais amplo, de 
modo a possibilitar a concepção de situações de aprendizagem, servindo também 
como referencial metodológico para a posterior análise do material empírico.
91
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
Segundo Artigue (1996), a Engenharia Didática é um processo 
empírico que objetiva conceber, realizar, observar e analisar as 
situações didáticas. A autora pondera que a Engenharia Didática possui 
dupla função, a qual pode ser compreendida como uma produção para 
o ensino tanto como uma metodologia de pesquisa qualitativa.
Assim, a Engenharia Didática deve ser concebida sob dois 
enfoques: pode ser utilizada como metodologia qualitativa de pesquisa 
na área de Matemática, mas também é extremante útil para a 
elaboração de situações didáticas que confi gurem um quadro de aprendizagem 
signifi cativa em sala de aula. 
Pais (2008, p. 99) destaca a engenharia didática como uma metodologia 
que “possibilita uma sistematização metodológica para a realização prática da 
pesquisa, levando em consideração as relações de dependência entre teoria e 
prática”. 
Segundo Artigue (1996), a Engenharia Didática enquanto metodologia de 
pesquisa é um esquema experimental, baseado em realizações didáticas na sala 
de aula, tratando da concepção, realização, observação e análise de sequências 
de ensino. 
Deste modo, a Engenharia Didática se caracteriza por propor:
[...] uma seqüência de aula(s) concebida(s), organizada(s) e 
articulada(s) no tempo, de forma constante, por um professor-
engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para certa 
população de alunos. No decurso das trocas entre professor e 
alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função 
das escolhas e decisões do professor (MACHADO, 2002 apud 
DOUADY, 1993, p. 2).
Podemos distinguir dois níveis de engenharia didática – a 
microengenharia e a macroengenharia, ambos necessários e 
complementares. Na microengenharia, as pesquisas têm por objeto 
de estudo, um determinado assunto. São pesquisas localizadas e 
levam em conta a complexidade dos fenômenos de sala de aula. Já na 
macroengenharia, estão às pesquisas que permitem uma composição 
entre a complexidade das pesquisas da microengenharia e os 
fenômenos ligados à duração nas relações ensino/aprendizagem.
Além dos níveis, a Engenharia Didática, como metodologia 
descrita por Artigue (1996), compreende quatro fases: a 1ª fase, das 
Segundo Artigue 
(1996), a Engenharia 
Didática é um 
processo empírico 
que objetiva 
conceber, realizar, 
observar e analisar 
as situações 
didáticas.
A Engenharia 
Didática, como 
metodologia descrita 
por Artigue (1996), 
compreende 
quatro fases: a 1ª 
fase, das análises 
preliminares, a 2ª 
fase, da concepção 
e da análise a 
priori, a 3ª fase, da 
experimentação e a 
4ª e última fase, da 
análise a posteriori e 
validação.
92
 Didática da Matemática
análises preliminares, a 2ª fase, da concepção e da análise a priori, a 3ª fase, da 
experimentação e a 4ª e última fase, da análise a posteriori e validação, conforme 
expresso na fi gura abaixo.
Figura 17 - As quatro fases ou etapas da Engenharia Didática
Fonte: A autora.
Essas fases permitem prover o professor de referencial propício e motivador 
para conceber, aplicar e, posteriormente, analisar algumas tarefas didáticas, ou 
seja, introduzir um novo conceito e desenvolver diversas estratégias, conforme 
sugere Brousseau (2006).
Cabe salientar que as quatro fases podem não ocorrer de forma linear 
e estanque.A elaboração da Engenharia Didática necessita, em alguns 
momentos, da articulação, da antecipação e até da superposição dos elementos 
caracterizadores destas quatro fases.
Fases da Engenharia Didática
Anteriormente, afi rmamos que a Engenharia Didática se constitui pela teoria 
posta em prática, sendo esta prática sistematizada e organizada por meio de um 
planejamento. Agora, apresentaremos o trabalho realizado através das fases da 
Engenharia Didática.
93
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
1ª fase - Das análises preliminares
 Nesta fase, conforme descreve Machado (2002), são feitas ponderações 
envolvendo o quadro teórico didático geral, bem como sobre conhecimentos mais 
específi cos envolvendo o tema da pesquisa. Como análise preliminar, é feita uma 
revisão bibliográfi ca envolvendo as condições e contextos presentes nos vários 
níveis de produção didática e no ambiente onde ocorrerá a pesquisa. Também se 
desenvolve uma análise geral quanto aos aspectos histórico-epistemológicos dos 
assuntos do ensino a serem trabalhados e dos efeitos por eles provocados, bem 
como, da concepção, das difi culdades e obstáculos encontrados pelos alunos 
dentro deste contexto de ensino. 
Um ponto de apoio das análises preliminares “[...] reside na fi na análise 
prévia das concepções dos alunos, das difi culdades e dos erros tenazes, e a 
engenharia é concebida para provocar, de forma controlada, a evolução 
das concepções” (ARTIGUE, 1996, p. 202). 
Assim, a primeira fase está apoiada em um referencial teórico 
já adquirido e analisa como se encaminha aquele conhecimento no 
aprendiz, como se dá o ensino atual em relação àquele conteúdo/
domínio, as concepções dos alunos, as difi culdades e os obstáculos 
que marcam a evolução desse conhecimento. Deve-se ter presente os 
fundamentos teóricos vinculados com o assunto que será desenvolvido 
pelo professor/pesquisador e as categorias que ele apresenta com o 
intuito de conseguir fazer a montagem de uma sequência didática. 
O objeto de pesquisa/interesse passa por uma análise preliminar, 
primeiro percebendo as concepções dos alunos e o contexto em 
que será inserido. Fazem-se as deduções sobre o levantamento de 
constatações empíricas, as quais serão consideradas explicitamente, 
na medida do possível, dentro do planejamento, mas, em não se 
concretizando, essas constatações empíricas devem ao menos ser consideradas 
na elaboração da proposta da sequência didática. É muito importante termos 
presente, ao constituir o objeto de estudo, suas dimensões com respeito ao vínculo 
com o sistema de ensino, bem como a epistemologia cognitiva e principalmente 
pedagógica. O levantamento das difi culdades e obstáculos permitirá a análise 
dos fatores que permitirão superar os problemas observados na aprendizagem, o 
que viabiliza a etapa seguinte: a concepção da sequência didática. 
2ª fase - Da concepção e da análise a priori
Nesta fase, Machado (2002) ressalta que a pesquisa delimita as variáveis 
microdidáticas (ou locais) e macrodidáticas (ou globais), conforme já destacadas 
A primeira fase 
está apoiada em 
um referencial 
teórico já adquirido 
e analisa como se 
encaminha aquele 
conhecimento no 
aprendiz, como se 
dá o ensino atual 
em relação àquele 
conteúdo/domínio, 
as concepções 
dos alunos, as 
difi culdades e os 
obstáculos que 
marcam a evolução 
desse conhecimento.
94
 Didática da Matemática
anteriormente como níveis, pertinentes ao Sistema Didático (professor/aluno/
saber) que podem ser consideradas pelo pesquisador/professor. A importância 
da determinação dessas variáveis está na fundamentação da construção das 
sequências didáticas, que permitirão o surgimento do conhecimento almejado. 
A delimitação das variáveis microdidáticas (locais) e macrodidáticas (globais), 
permite fazer evoluir os comportamentos dos alunos, através da possibilidade 
de mudanças de estratégia na resolução de problemas. Machado (2002) 
descreve que estas duas modalidades de variáveis (variáveis microdidáticas e 
macrodidáticas), identifi cadas como variáveis de comando são interdependentes. 
A escolha das variáveis globais (macrodidáticas) precede a escolha das variáveis 
locais (microdidáticas), afi nal esta última está ligada a organização do meio mais 
imediato. 
Assim, segundo Artigue (1996, p. 205), na segunda fase da Engenharia 
Didática, a análise a priori:
[...] deve ser concebida como uma análise do controle do 
sentido; muito esquematicamente, se a teoria construtivista 
coloca o princípio do compromisso do aluno na construção 
dos seus conhecimentos por intermédio das interações com 
determinado meio, a teoria das situações didáticas que serve 
de referência à metodologia de engenharia [didática], teve, 
desde sua origem a ambição de se constituir como uma teoria 
de controle das relações entre sentido e situações. 
Artigue (1996, p. 205), ainda destaca, que o objetivo da análise a priori é:
[...] determinar de que forma permitem as escolhas efetuadas 
controlar os comportamentos dos alunos e o sentido desses 
comportamentos. Para isso, ela funda-se em hipóteses; 
será a validação destas hipóteses que estará, em princípio, 
indiretamente em jogo no confronto, operado na quarta fase, 
entre a análise a priori e a análise a posteriori.
Machado (2002) destaca que para alcançar o objetivo da análise a priori, 
esta deve estar vinculada às características da situação a-didática (já discutida 
em capítulos anteriores) desenvolvida e aplicada aos alunos. Para organizar o 
meio, a pesquisa deverá:
• Descrever as variáveis locais ou globais e as características da situação 
a-didática;
• Ponderar qual o grau de investimento que esta situação terá para o aluno em 
decorrência de suas opções de ação, formulação, controle e validação na 
experimentação; 
95
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
• Prever os comportamentos possíveis e como a situação permitirá controlar 
esses comportamentos em prol do desenvolvimento do conhecimento 
almejado. 
Machado (2002) ressalta ainda, que na análise a priori o caráter descritivo e 
o caráter preditivo são pertinentes dentro do papel do aluno. Já com relação ao 
professor, temos apenas a análise descritiva, devido aos papéis assumidos pelo 
professor e aluno na concepção de Brousseau (1996a) para a fase a-didática. 
Assim, o aluno é o ator principal, e o papel do professor é recuperado no 
contrato didático. O aluno refl ete e trabalha com tentativas, de modo a eleger um 
procedimento de resolução, através de uma interação com o ‘milieu’. Os alunos 
tomam as decisões que faltam para organizar a resolução do problema ou do jogo 
proposto. 
Conforme já destacado no capítulo 3, podemos ver como 
esclarece Brousseau (1988), que falou sobre polígonos da didática 
e além dos elementos professor, aluno e saber, acrescentou o que 
ele chamou de “milieu” nome dado ao ambiente em que acontece o 
processo de ensino-aprendizagem.
Podemos, então afi rmar, que esta segunda fase é a da concepção 
e análise a priori das situações didáticas nas quais o professor/
pesquisador defi nirá as variáveis que estarão sob controle e onde o 
comportamento esperado do aluno é o foco principal da análise. É a fase 
em que se realiza uma análise preliminar de variáveis designadas pelo 
professor/pesquisador como aquelas que afetam signifi cativamente 
o objeto de estudo. A partir da identifi cação e escolha das primeiras 
variáveis acontece à análise a priori propriamente dita que determina 
quais dessas variáveis é possível controlar, de alguma maneira, e 
associar atividades com conteúdo trabalhado em sala, através das 
quais se viabilize a apropriação dos conceitos estudados.
Segunda fase é a da 
concepção e análise 
a priori das situações 
didáticas nas 
quais o professor/
pesquisador 
defi nirá as variáveis 
que estarão sob 
controle e onde o 
comportamento 
esperado do aluno 
é o foco principal da 
análise.
O instrumentofundamental para a pesquisa em Didática 
da Matemática é a análise a priori de uma situação didática [...]. 
A análise a priori de uma situação didática, signifi ca a análise 
das representações epistemológica, representações histórico-
96
 Didática da Matemática
epistemológicas e comportamentos, supostos corretos ou não, para 
a solução da situação didática dada (ARAÚJO; IGLIORI, 2012, p. 4).
3ª fase - Da experimentação
Conforme Machado (2002), esta fase, consiste basicamente no 
desenvolvimento da aplicação da Engenharia Didática, concebida a um grupo 
de alunos, objetivando verifi car as ponderações levantadas na análise a priori. 
Portanto, a experimentação pressupõe:
• A explicitação dos objetivos e condições de realização da sequência didática 
aos alunos;
• O estabelecimento do contrato didático;
• A aplicação da sequência didática; 
• O registro das observações feitas durante a sequência didática. 
Segundo Brousseau (1996a), no contrato didático, é essencial a não 
interferência explícita de conhecimentos, evitando explicações ou ‘dicas’ que 
induzam caminhos para a resolução da sequência didática por parte dos alunos. 
É de suma importância para o processo ensino-aprendizagem, condições que 
permitam a mobilização do aluno em enfrentar o problema e em resolvê-lo, 
através da sua lógica e dos conhecimentos anteriores. Assim, é imprescindível o 
entendimento mútuo dos papéis - da não interferência do professor/pesquisador e 
da ação independente do aluno. O respeito a estas condições, garante condições 
para se caracterizar o contrato didático. Importante destacar que a intenção de 
propiciar condições de situar o aluno em confronto com a situação da forma 
mais independente possível, pressupõe o aceite do aluno em enfrentar 
o desafi o intelectual de resolver as situações propostas, como se o 
problema fosse dele. 
Podemos, aqui, observar a importância do contrato didático, sendo 
este um conjunto de normas ou cláusulas, geralmente implícitas, que 
regulam as obrigações recíprocas do professor/pesquisador e dos 
alunos, em relação ao projeto de estudo de ambas as partes, que evolui 
à medida que o processo didático avança. 
Cabe resgatar o conceito de sequência didática. Para Zabala 
(1998, p.18) “sequências didáticas são um conjunto de atividades 
ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos 
objetivos educacionais, que têm um princípio e um fi m conhecidos tanto 
pelos professores como pelos alunos”. 
“Sequências 
didáticas são 
um conjunto 
de atividades 
ordenadas, 
estruturadas e 
articuladas para 
a realização de 
certos objetivos 
educacionais, que 
têm um princípio e 
um fi m conhecidos 
tanto pelos 
professores como 
pelos alunos”.
97
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
Uma sequência didática é constituída por uma série de aulas planejadas e 
analisadas com antecedência em função dos conceitos previstos na pesquisa e o 
processo ensino-aprendizagem que acontece, uma vez elas aplicadas, com foco 
na observação de situações de aprendizagem. Nessas aulas que fazem parte 
da sequência didática, é relevante toda e qualquer informação relacionada ao 
fenômeno investigado para ser registrada e ter um desenvolvimento da pesquisa 
mais completo. Também é fundamental o registro da contextualização das 
características reais sobre a aplicação dessas sequências, através de registros 
escritos em relatórios e, se necessário, através do registro com fi lmagens, 
gravações e fotos.
Quanto ao tipo de registro, está de alguma maneira, enlaçado ao tipo de 
variáveis que foram priorizadas na fase da análise a priori. O importante é que o 
registro tenha a ver com o tipo de variável destacada como principal no fenômeno 
de estudo, porque a descrição da variável tem de ser fi dedigna com o contexto 
em que está envolvida. Se os dados que precisam ser registrados foram defi nidos 
como o discurso do aluno, deverá existir uma gravação e transcrição desses 
dados. Se for um estudo de caso, ou um grupo, talvez o mais apropriado seja 
fi lmagem e, assim, vai se adequando a fonte de registro com as variáveis a que se 
deu prioridade na segunda etapa.
Machado (2002) destaca que na fase da experimentação, em determinados 
momentos torna-se necessário a obtenção de dados complementares, 
em que é possível obter esclarecimentos das respostas e 
comportamentos dos alunos, assim como, efetuar eventuais correções 
nas atividades subsequentes. 
Finalizamos, assim, a terceira fase, entendendo ser esta a fase 
de aplicação da sequência didática com os alunos, registrando as 
observações realizadas durante a mesma.
4ª fase - Da análise a posteriori e validação
De acordo com Artigue (1996), esta fase apoia-se sobre os 
dados obtidos ao longo da experimentação pelas observações do 
professor/pesquisador. Caracteriza-se pelo tratamento dos dados e a 
confrontação com a análise a priori, levando à interpretação e análise 
dos resultados.
Podemos assim, entender que a quarta e última fase, segundo 
Artigue (1988, p. 10):
A terceira fase, 
entendendo ser esta 
a fase de aplicação 
da sequência 
didática com os 
alunos, registrando 
as observações 
realizadas durante a 
mesma.
Caracteriza-se 
pelo tratamento 
dos dados e a 
confrontação 
com a análise a 
priori, levando 
à interpretação 
e análise dos 
resultados.
98
 Didática da Matemática
[...] se apoia no conjunto de dados recolhidos quando da 
experimentação, [...] mas também nas produções dos alunos 
em sala de aula ou fora dela. Esses dados são geralmente 
completados por dados obtidos pela utilização de metodologias 
externas: questionários, entrevistas individuais ou em 
pequenos grupos, realizados em diversos momentos do ensino 
ou a partir dele.
Assim, por meio do confronto das análises a priori, com base no referencial 
teórico constituído, e da análise a posteriori, realizada sobre os dados recolhidos 
quando da ação efetiva dos alunos, é realizada a validação das hipóteses da 
pesquisa. A principal diferença entre as pesquisas realizadas dentro de uma 
Metodologia da Engenharia Didática e outras, é a busca de um confronto das 
análises iniciais com os dados sobre os procedimentos e desempenhos dos 
alunos, analisados posteriormente, validando assim, as hipóteses da pesquisa.
Podemos, então, resumir esta fase como aquela em que nos debruçamos 
sobre os dados registrados, relacionando-os com a teoria para assim, analisar e 
ponderar sobre o objeto de estudo. Além disso, nessa etapa se complementam 
os dados já obtidos com uso de outros recursos como diálogos, gravações 
adicionais, fi lmagens e similares. Com todos os dados armazenados e tratados, 
nos debruçamos sobre a análise para alcançar a realidade de produção dos 
alunos, usando as ferramentas cognitivas e metodológicas com o objetivo de 
conseguir perceber os procedimentos de raciocínio dos alunos.
Nesta última etapa, fazemos o fechamento com a validação dos resultados. 
Essa validação acontece ao confrontarmos os dados da análise a priori com a 
análise a posteriori e, assim, analisamos as hipóteses que foram elaboradas 
ao iniciar a pesquisa. Nesse momento, o cuidado deve ser maior para garantir 
a validade científi ca da pesquisa, além do aspecto epistemológico da pesquisa 
didática. Ressaltamos, entretanto, que o uso da engenharia didática tem maior 
adequação quanto metodologia, especialmente, em registros de estudo de casos, 
por ter uma valorização no contexto em que a pesquisa foi realizada.
 1 - A engenharia didática compreende quatro fases. Identifi que 
e diferencie as mesmas
A Engenharia Didática compreende quatro fases: a 1ª fase, 
das análises preliminares, a 2ª fase, da concepção e da análise a 
priori, a 3ª fase, da experimentação e a 4ª e última fase, da análise a 
posteriori e validação.
99
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
Conheça dois trabalhos que recorrem à Engenharia Didática 
1. http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/31596.Acesso em: 30 
mai. 2016.
2. http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/publicacoes/ENGENHARIA
%20ZETEIKE2005.pdf. Acesso em: 15 de jun. 2016.
Após o estudo da Engenharia Didática e da leitura dos trabalhos destacados 
no “Léo – Sugestão de leitura”, podemos, então, fi nalizar este tópico, destacando 
que a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, concebida como suporte 
teórico, associada a Engenharia Didática, como metodologia, podem contribuir 
signifi cativamente para a construção de conhecimentos em sala de aula. 
Os elementos teóricos apresentados por Brousseau, permitem identifi car 
como e por que transformar os saberes matemáticos em conhecimentos 
matemáticos. Tradicionalmente os modelos de algoritmos são apresentados pelo 
professor, na perspectiva de assimilação pelos alunos. Com a sequência didática, 
A contribuição da 
Engenharia Didática 
para a sala de 
aula, diz respeito 
à possibilidade 
de prover a 
fundamentação 
teórica para que o 
professor conheça 
o signifi cado e 
amplie seu leque 
de possibilidades 
de ações, sempre 
buscando o elo entre 
a teoria e a prática 
de sala de aula.
A contribuição da Engenharia Didática para a sala de aula, diz 
respeito à possibilidade de prover a fundamentação teórica para que 
o professor conheça o signifi cado e amplie seu leque de possibilidades 
de ações, sempre buscando o elo entre a teoria e a prática de sala 
de aula. A Engenharia Didática representa uma forma de análise e 
compreensão da relação entre teoria e prática, estabelecendo um 
vínculo com a questão da formação de conceitos matemáticos. Nesta 
metodologia, a revisão bibliográfi ca com relação ao conhecimento 
(dimensão epistemológica) é de suma importância. A busca das origens 
dos conhecimentos de matemática aprimora a relação com o saber do 
professor, consequentemente incrementando a crítica com relação 
a materiais didáticos disponíveis e fomentando o trabalho criativo e 
dinâmico em sala de aula. Ao conhecer os fundamentos que regem as 
etapas de análise preliminar, concepção e análise a priori, o professor 
obtém um domínio da formulação das situações de aprendizagem, 
aprimorando a construção do conhecimento pelos alunos.
A estrutura proposta pela Engenharia Didática mantém um elo entre o saber 
acadêmico (resultados da pesquisa) e o saber a ser ensinado (constatações 
práticas), permitindo um movimento constante de aproximação da academia com 
as práticas escolares.
100
 Didática da Matemática
o processo passa a ser invertido, ou seja, a partir da estratégia de tentativa e erro, 
os alunos podem desenvolver outras estratégias como recursos para a resolução 
dos problemas. 
Este tipo de proposta pode ser complementada, permitindo ao professor 
explicar a origem do algoritmo de resolução do problema para a busca dos 
possíveis novos caminhos. A utilização de uma sequência didática, onde a atuação 
do aluno se intensifi ca pela possibilidade de autonomia e pelo confronto com as 
situações propostas, possibilita uma evolução de estratégias, potencializando a 
cognição dos alunos. A prioridade e a atenção do processo ensino-aprendizagem 
recaem sobre uma cultura do pensar. 
Assim, podemos entender a importância de possibilitar em sala de aula a 
autonomia da aprendizagem, a participação efetiva dos alunos e a cultura do 
pensar, propiciando aos alunos:
• Uma forma de explicitar estratégias de resolução, tornando-as passíveis de 
compartilhamento;
• Um estímulo ou motivação para pensar, de forma a alcançar decisões 
acertadas; 
• Coragem para enfrentar situações novas e diferenciadas; 
• Transferência de estratégias e conhecimentos gerados em um dado contexto 
para outros, ou seja, a generalização do conhecimento. 
A utilização de contextos práticos, do dia a dia, junto a sequências didáticas, 
permite ainda o desenvolvimento do uso das várias linguagens matemáticas e 
permite articular competências essenciais para a construção do conhecimento, ou 
seja:
• A capacidade de compreensão, ao tomar contato com contextos práticos; 
• A capacidade de argumentação, ao possibilitar o raciocínio e o exame de 
situações matemáticas em diferentes pontos de vista e estratégias; 
• A capacidade de decisão, ao realizar as possíveis análises dos resultados; 
• A capacidade de contextualização, possibilitada pela inserção em situações 
cotidianas e de fácil compreensão, situadas em contextos próximos aos 
alunos.
O uso de sequências didáticas está no contexto da cultura de propostas 
de situações de aprendizagem. Para nós, profi ssionais da educação, que 
nos propusermos a empreender uma jornada na aplicação dos conceitos 
apresentados, inicialmente, deverá ocorrer uma busca das situações-problema e 
jogos que possuam as características adequadas para a aplicação das situações 
fundamentais. Buscaremos uma redução das mediações do professor e a 
101
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
valorização da interação do aluno com o meio em que está inserido bem como, 
de sua autonomia no processo ensino-aprendizagem. Isto requer por parte do 
professor, um trabalho refl exivo e coletivo, em que a dialética da teoria com a 
prática, possa contribuir para formar um cidadão com uma cultura matemática 
mais signifi cativa.
Para introduzir o próximo tópico, assista ao vídeo: Educação 
Brasileira - Ubiratan D’Ambrosio e Nilson José Machado. Disponível 
em: <https://youtu.be/-vRBZYw_wfw>. Acesso em: 30 mai. 2016.
As Bases Atuais Compartilhadas 
Pela PesQuisa em Didática da 
Matemática
A Didática da Matemática é uma das tendências teóricas da Educação 
Matemática. No Brasil, esta tendência teve forte infl uência dos autores franceses, 
com teorias que têm sido utilizadas como bases atuais em diversos trabalhos de 
pesquisadores matemáticos brasileiros em Didática da Matemática.
1 - Quais as funções da Engenharia Didática? Disserte sobre 
elas.
A Engenharia Didática possui dupla função, a qual pode ser 
compreendida como uma produção para o ensino tanto como uma 
metodologia de pesquisa qualitativa. Relato pessoal.
2 - Qual a contribuição da Engenharia Didática para a sala de 
aula?
A contribuição da Engenharia Didática para a sala de aula, 
diz respeito à possibilidade de prover a fundamentação teórica 
para que o professor conheça o signifi cado e amplie seu leque de 
possibilidades de ações, sempre buscando o elo entre a teoria e a 
prática de sala de aula.
102
 Didática da Matemática
Entre os autores franceses, podemos destacar:
• A Teoria da “Transposição Didática” de Chevallard;
• A Teoria dos “Obstáculos epistemológicos” de Bachellard;
• A Teoria dos “Campos Conceituais” de Vergnaud;
• A Teoria das “Situações Didáticas” e a Teoria do “Contrato Didático” de 
Brousseau;
• A Teoria da “Engenharia Didática” de Artigue.
1. Quais os autores e teorias consideradas como bases atuais 
para a pesquisa em Didática da Matemática?
• A Teoria da “Transposição Didática” de Chevallard;
• A Teoria dos “Obstáculos epistemológicos” de Bachellard;
• A Teoria dos “Campos Conceituais” de Vergnaud;
• A Teoria das “Situações Didáticas” e a Teoria do “Contrato 
Didático” de Brousseau;
• A Teoria da “Engenharia Didática” de Artigue.
2. Como você descreve as teorias consideradas como bases 
atuais para a pesquisa em Didática da Matemática?
Descrever as teorias abaixo, conforme compreensão individual
• A Teoria da “Transposição Didática” de Chevallard;
• A Teoria dos “Obstáculos epistemológicos” de Bachellard;
• A Teoria dos “Campos Conceituais” de Vergnaud;
• A Teoria das “Situações Didáticas” e a Teoria do “Contrato 
Didático” de Brousseau;
• A Teoria da “Engenharia Didática” de Artigue.
Após o conhecimento das teorias que têm sido utilizadas como bases atuais 
na pesquisa em Didática da Matemática, podemos analisá-la, segundo três 
dimensões: os valores, os conceitos e as questões metodológicas.
Primeira dimensão – OS VALORES
Quando pensamos no ensino da matemática, entendemos os valores 
educacionais damatemática como argumentos básicos para justifi car a 
importância dessa disciplina no currículo escolar. Questiona-se o seu signifi cado 
real e sua função no currículo escolar, que deste modo, passam a ser pesquisados 
e analisados de forma mais pontual, contextualizada e consciente.
103
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
A Didática da Matemática defende uma estreita relação entre a prática 
pedagógica e o território acadêmico. Desenvolve-se como uma forma particular 
de descrever e compreender os fenômenos da prática educativa.
Segundo Régine Douady (apud PAIS, 2002, p. 10-11),
A Didática da Matemática estuda os processos de transmissão 
e de aquisição dos diferentes conteúdos desta ciência, 
particularmente numa situação escolar ou universitária. Ela 
se propõe a descrever e explicar os fenômenos relativos 
às relações entre seu ensino e sua aprendizagem. Ela não 
se reduz a pesquisar uma boa maneira de ensinar uma 
determinada noção particular. 
Deste conceito podemos apreender que a Didática da Matemática “não 
visa simplesmente recomendar modelos ou receitas de solução a determinados 
problemas de aprendizagem” (PAIS, 2002, p. 11).
Em Pais (2002, p. 11), obtemos uma defi nição da Didática da Matemática 
relativa ao contexto brasileiro, junto a uma tendência da grande área da Educação 
Matemática, que tem por objeto de estudo:
[...] a elaboração de conceitos e teorias que sejam compatíveis 
com a especifi cidade educacional do saber escolar matemático, 
procurando manter fortes vínculos com a formação de 
conceitos matemáticos, tanto em nível experimental da prática 
pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica.
Todos os conceitos didáticos visam “favorecer a compreensão das múltiplas 
conexões entre a teoria e a prática” (PAIS, 2002, p. 11), propiciando “compreender 
as condições de produção, registro e comunicação do conteúdo escolar da 
matemática e suas conseqüências didáticas” (PAIS, 2002, p. 11). Deste modo, 
entende-se a dimensão teórica como o ideário resultante da pesquisa e a prática 
como a condução do fazer pedagógico.
É fato que existe uma especifi cidade educacional no saber matemático, que 
se constitui num campo de pesquisa e, paralelamente, temos uma complexa 
relação estabelecida entre professor, aluno e saber. Assim, para pensar na 
dimensão dos valores da Didática da Matemática, faz-se necessário, o cuidado 
constante na estreita relação entre o saber acadêmico e o saber a ser ensinado – 
o saber da escola.
Mas como pensar nesta relação, sem priorizar conceitos didáticos que 
venham com a fi nalidade maior de fornecer uma fundamentação para a Educação 
Matemática?
104
 Didática da Matemática
Segunda dimensão – OS CONCEITOS
Conceitos como transposição didática, obstáculos didáticos, campos 
conceituais, situações didáticas, efeitos didáticos e contrato didático, tanto em 
nível acadêmico como nas aplicações práticas no cotidiano escolar, constituem o 
corpo da Didática da Matemática.
A transposição didática se revela uma ideia centralizadora da educação 
matemática ao estar associada a vários outros conceitos. Lembramos que 
a transposição nos leva a uma ideia de deslocamento e alteração, assim a 
transposição didática permite, por exemplo, interpretar as diferenças que ocorrem 
entre a origem de um conceito da matemática, como ele encontra-se proposto 
nos livros didáticos, e a intenção de ensino do professor e os resultados obtidos 
em sala de aula. E, nesse movimento, acontece uma transposição. Assim, a 
transposição didática permite uma visão panorâmica das transformações por 
que passa o saber matemático. Parte de sua criação acadêmica, passando 
entre outros, pelas ideias de autores de livros, por responsáveis pela política 
educacional, pelas interpretações do professor, chegando à sala de aula, no 
processo de construção do conhecimento por parte do aluno.
 Os obstáculos didáticos foram descritos por Bachelard. Ele explica que na 
evolução histórica dos conceitos há toda uma área de estudos e de ideias que 
se manifestam para formar conceitos e que esse grupo de ideias passa pela 
fi na peneira do saber científi co antes mesmo de escrever a primeira palavra 
sobre um conceito, um teorema ou uma demonstração. Todo esse estudo, 
discussões, análises de ideias são os obstáculos epistemológicos que se opõem 
à desconstrução de conceitos de determinada ciência. Todo esse processo fi ca 
velado após os novos conceitos evolutivos a serem aceitos. Assim, os obstáculos 
didáticos descritos por Bachelard referem-se a resistência oferecida por conceitos 
considerados verdadeiros, em um determinado período, e que, na realidade, 
difi cultam a formação de um novo saber. 
A Teoria dos Campos Conceituais nos ajuda a entender como os alunos 
constroem os conceitos. De acordo com Vergnaud (1996), o conhecimento 
emerge de resolução de problemas, a partir da ação do aluno sobre a situação. 
Essa ação necessita de uma refl exão para que se direcione para a formação e 
desenvolvimento. Para a formação de um conceito, faz-se necessário interagir 
com ele numa variedade de situações, entendendo que o conhecimento é fruto 
de uma maturação do indivíduo, de sua experiência e de sua prática. A teoria 
dos campos conceituais permite a análise de competências e difi culdades dos 
alunos, pois o processo cognitivo envolvido não tem nenhum vínculo com o uso 
de aprendizagem mecânica ou memorizadora de repetição seja de modelos, 
fórmulas ou qualquer outra maneira de automatizar uma aprendizagem. Assim, a 
105
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
As situações 
didáticas são 
ocorrências 
elaboradas 
intencionalmente 
pelo professor para 
defrontar os alunos 
com contextos que 
exijam dele a busca 
de conhecimentos 
para a análise 
e resolução das 
situações.
Situações que 
podem acontecer 
em sala de aula e 
que se caracterizam 
como momentos 
cruciais para a 
continuidade do 
processo ensino-
aprendizagem”.
A função do contrato 
didático é equilibrar 
questões implícitas e 
explícitas, buscando 
criar um espaço de 
diálogo e troca entre 
professor e alunos, 
tendo em vista que 
a comunicação tem 
sentido diferente 
para ambos os 
atores.
teoria dos campos conceituais está em sintonia com o problema do signifi cado do 
saber escolar visando a realização dos valores educacionais da matemática. 
Na teoria das Situações Didáticas, o professor propõe problemas 
para que os alunos possam interagir, discutir e construir os conceitos 
matemáticos de forma ativa e participativa. Sendo assim, o aluno, 
participa do processo e tem condições de usar o conhecimento 
construído no âmbito escolar, fora deste, de forma natural e espontânea. 
As situações didáticas são ocorrências elaboradas intencionalmente 
pelo professor para defrontar os alunos com contextos que exijam dele 
a busca de conhecimentos para a análise e resolução das situações. 
Assim, por meio da noção de situações didáticas é possível descrever 
atividades previstas para o ensino da matemática, cada qual voltada 
para o desenvolvimento de uma competência ou habilidade associada 
a essa disciplina. O funcionamento das situações didáticas ocorre 
sob o controle de regras e de condições que constituem a noção de 
contrato didático. 
Os efeitos didáticos se caracterizam como certos momentos 
decisivos para o sucesso ou para a continuidade da aprendizagem. 
Brousseau (2003) descreveu alguns efeitos didáticos, que conforme 
Pais (2008, p. 89) são “[...] situações que podem acontecer em 
sala de aula e que se caracterizam como momentos cruciais para a 
continuidade do processo ensino-aprendizagem”. Tais situações não 
podem ser consideradas determinantes quanto ao resultado fi nal da 
ação educativa, mas sim, dizem respeito a momentos localizados, 
cuja superação depende tanto do aluno como do professor. São 
consequências de vários aspectos: metodologia de ensino, obstáculos, formação 
do professor,nível dos alunos, conceitos, entre outros. Para Brousseau (2003), 
são cinco os efeitos didáticos: efeito Topázio, efeito Jourdain, efeito da Analogia, 
deslize metacognitivo e efeito Dienes. 
Proposta por Guy Brousseau (2006), no início da década de 1980, 
a ideia de contrato didático pretende estabelecer um conjunto de fatores 
referentes à relação didática entre professor e aluno, que procura defi nir 
as responsabilidades e os comportamentos que cada sujeito deve ter 
perante o outro nas práticas que possibilitam a construção do saber. A 
função do contrato didático é equilibrar questões implícitas e explícitas, 
buscando criar um espaço de diálogo e troca entre professor e alunos, 
tendo em vista que a comunicação tem sentido diferente para ambos 
os atores. Deve haver um espaço de signifi cações em relação ao 
saber onde, nada é comum ou preestabelecido. Na escola, o contrato 
didático é, pois, fundamental, pois dá responsabilidade ao aluno 
106
 Didática da Matemática
 Segundo 
Artigue (1996), a 
Engenharia Didática 
é um processo 
empírico que 
objetiva conceber, 
realizar, observar 
e analisar as 
situações didáticas.
também do sucesso das aulas e do melhor aproveitamento da matéria estudada. 
Esse contrato chama o aluno para ser protagonista junto com o professor. No 
contrato didático, o aluno também assume tarefas que deve desempenhar para 
que a aprendizagem ocorra. Assim, como, o compromisso do professor de levar 
aulas bem preparadas e desenvolvidas e possibilitar atividades que motivem a 
aprendizagem.
Terceira dimensão – AS QUESTÕES METODOLÓGICAS
A importância da questão metodológica está na fundamentação que ela 
permite à sistematização dos procedimentos operacionais de pesquisa. O método 
nos orienta para novos conhecimentos e viabiliza a validação deste. Nesse 
contexto, a Engenharia Didática é uma forma de organizar a pesquisa em didática 
da matemática, a partir da criação de uma sequência de aulas planejadas com a 
fi nalidade de obter informações para desvelar o fenômeno investigado.
Considerando o contexto da formação de professores, objetivamos a 
formação de professores refl exivos, através da junção da ação com a investigação. 
Podemos, então, observar que a teoria da Engenharia Didática se insere neste 
momento, pois exige e organiza a refl exão em diferentes níveis, onde destacamos:
• Refl exões sobre os conteúdos a serem ensinados;
• Refl exões da esfera didática, quando o assunto gira em torno do modo como 
o conteúdo em pauta é tradicionalmente ensinado e sobre possibilidades e 
limites para implementação de mudanças;
• Refl exões sobre questões de âmbito cognitivo, com observação, registro e 
análise da produção em sala de aula, cruzando os dados com resultados de 
teorias já estabelecidas.
 Segundo Artigue (1996), a Engenharia Didática é um processo 
empírico que objetiva conceber, realizar, observar e analisar as 
situações didáticas. A autora pondera que a Engenharia Didática possui 
dupla função, a qual pode ser compreendida como uma produção 
para o ensino tanto como uma metodologia de pesquisa qualitativa. 
Assim, a Engenharia Didática deve ser concebida sob dois enfoques: 
pode ser utilizada como metodologia qualitativa de pesquisa na área 
de Matemática, mas também é extremante útil para a elaboração de 
situações didáticas que confi gurem um quadro de aprendizagem 
signifi cativa em sala de aula.
107
QUESTÕES METODOLÓGICAS E A ENGENHARIA DIDÁTICA Capítulo 4 
Reforce os conceitos trabalhados neste material, assistindo ao 
vídeo “Didática da Matemática”. Disponível em: <https://youtu.be/
FpdcqZr9L4c>. Acesso em: 30 mai. 2016.
Algumas ConsideraÇões
Podemos observar que existe uma dialética entre o conhecimento escolar 
e o acadêmico, mas, apresentam tensões que precisam ser debatidas junto a 
formação inicial e formação continuada de professores. Há de se atentar para 
a especifi cidade do conhecimento matemático escolar e do conhecimento 
matemático científi co que o professor necessita para lidar com a sala de aula.
Qual a capacidade que devemos desenvolver para relacionar conteúdos 
matemáticos com problemas da prática cotidiana, envolvendo, inclusive, os 
vinculados as questões sociais?
Possuir competência matemática signifi ca entre outras coisas, conhecer, 
compreender, fazer, usar e possuir uma opinião bem fundamentada sobre 
a Matemática em uma variedade de situações e contextos, onde ela tem ou 
pode vir a ter um papel. E, como usar esta competência no processo ensino-
aprendizagem? A didática da matemática nos dá possibilidades de caminhos.
Podemos observar em pesquisas realizadas, nos PCN, nos livros didáticos, 
nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o ensino de Matemática, entre outros, 
a infl uência francesa na Educação Matemática no Brasil. No entanto, embora 
já possamos perceber aplicações da Didática da Matemática nas escolas, 
temos muito ainda a estudar e compartilhar quando tratamos do conhecimento 
acadêmico e do conhecimento a ser desenvolvido junto aos alunos.
A Didática da Matemática é uma das linhas de pesquisa da Educação 
Matemática e para tanto, precisamos relacionar esta tendência às demais, ou 
seja, a etnomatemática, a modelagem matemática, a história da matemática, 
entre outras. Tal estudo e relação nos possibilitará cada vez mais entender o 
complexo processo com o qual nos deparamos diariamente – o processo ensino-
aprendizagem. 
108
 Didática da Matemática
Referências
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