Gabarito da 1ª Lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Resoluc¸a˜o da Lista 1
1. Para encontrarmos as intersecc¸o˜es com o eixo x, basta zera´-lo na func¸a˜o:
y =
02 + 3(0)
(3(0) + 1)2
= 0
De modo ana´logo, zeramos o y:
0 =
x2 + 3x
(3x + 1)2
x(x + 3) = 0
x = −3 e x = 0
Portanto, as intersecc¸o˜es encontram-se nos pontos (0, 0) e (−3, 0).
2. Usando as propriedades de logaritmo de poteˆncia, multiplicac¸a˜o e di-
visa˜o, temos que:
ln
(
x2 − 1
x3
)3
=
= 3 ln (x2 − 1)− 3 lnx3
= 3 ln [(x + 1)(x− 1)]− 9 lnx
= 3[ln (x + 1) + ln (x− 1)− 3 lnx]
3. Para que uma func¸a˜o seja par, e´ necessa´rio que f(−x) = f(x) para
qualquer valor de x no domı´nio da func¸a˜o. Do mesmo modo, para que
a func¸a˜o seja ı´mpar, e´ necessa´rio que f(−x) = −f(x), dadas as mesmas
condic¸o˜es. Sendo assim, temos que:
a) f(−x) = 6(−x)2 − 3 = 6x2 − 3 = f(x) (Func¸a˜o Par)
b)
f(−t) =
{
1 se t < 0
−1 se t > 0
−f(t) =
{ −1 se t > 0
1 se t < 0
(Func¸a˜o I´mpar)
c) f(−h) = (−h− 1)2 = (−1)2 · (h + 1)2 = (h + 1)2 6= ±f(h)
4. Trabalhando com o mo´dulo, a func¸a˜o tera´ a seguinte forma:
h(x) =
{
x + 2 se x ≥ 2
−x + 6 se x < 2
Sendo assim, a func¸a˜o tera´ D(h) = R e seu valor mı´nimo sera´ no ponto
(2, 4), resultando em Im(h) = [4,+∞). Por fim, temos o seguinte
esboc¸o:
2
5. Por se tratar de uma func¸a˜o par, ja´ que f(x) = f(−x), teremos simetria
em relac¸a˜o ao eixo y e na˜o teremos em relac¸a˜o a` origem, que ocorre em
func¸o˜es impares. Por fim, como Im(f) = R+, na˜o teremos simetria em
relac¸a˜o ao eixo x, pois toda a func¸a˜o esta´ apenas de um lado do eixo.
6. Para que o valor da func¸a˜o exista, devemos ter que:
x2 − 5x > 0
x(x− 5) > 0
f(x)g(x) > 0
Analisando o sinal das func¸o˜es separadamente e depois multiplicando,
temos que:
D(h) = (−∞, 0)
⋃
(5,+∞)
3