Cruzeiro do sul- funcao afim

Prévia do material em texto

Matemática Aplicada
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Profa. Dra. Jussara Maria Marins
Revisão Textual:
Profa. Dra. Selma Aparecida Cesarin
Função Afim
• Introdução
• Casos Particulares da Função Afim
 · Identificar a característica da função afim para utilizar como modelo 
matemático na resolução de problemas que relacionam grandezas 
com taxa de variação linear;
 · Classificar uma função afim em crescente ou decrescente;
 · Calcular o valor numérico de uma função; 
 · Calcular a raiz de uma função e identificá-la graficamente;
 · Identificar uma função afim a partir de dois pontos;
 · Resolver problemas lineares a partir da função afim.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Função Afi m
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Função Afim
Introdução
Ao estudar funções, temos de ter clareza de que uma função transforma um 
objeto de um conjunto de entrada, a partir de uma regra, em outro objeto de um 
conjunto de saída.
O conjunto de entrada é chamado de domínio e o conjunto de saída é chamado 
de contradomínio. Além disso, podemos dizer que determinar a função matemati-
camente é descrever a transformação ou a regra de transformação.
Dessa forma, temos que uma função de um conjunto A em outro conjunto B é 
uma relação (transformação de um conjunto para o outro), na qual se satisfazem 
os dois itens:
Dom(f) = A
Se (x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f, então y = z
∀ (x ∈ A) (∃ y ∈ B) Se (x, y) ∈ f e (x, y’) ∈ f então y = y’
Ou seja: o conjunto de partida A é o conjunto chamado Domínio Dom(f) e 
para todos os elementos x que pertencem à A existe apenas um único elemento y 
correspondente no conjunto B, que chamaremos de Contradomínio.
Contido no Contradomínio está o conjunto Imagem Im(f), que é composto por 
todos os resultados y dessa transformação.
A notação de função é:
f: A → B
x → y =f(x)
Importante!
Lê-se: função de A em B, onde um valor de x, a partir da Lei da transformação, tem como 
resultado uma imagem y, chamado também de função de x, ou seja, f(x).
Importante!
As funções podem representar padrões entre a relação de duas grandezas como: 
tempo percorrido e velocidade, taxa e juros, velocidade de um objeto em queda 
em função da aceleração da gravidade, demanda e preço de venda, crescimento de 
uma população de bactérias e valor a ser cobrado por determinada quilometragem 
percorrida, entre outros.
8
9
Importante destacar que temos vários tipos de funções e cada qual representa 
um padrão de comportamento da relação entre as diversas grandezas.
Nesta Unidade, estudaremos a função Afim.
Uma função f: R → R chama-se função afim quando existem dois números reais 
a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x Є R.
A principal característica de uma função afim é que ela determina relações 
entre grandezas que possuem uma taxa de variação constante. Além disso, outra 
característica que devemos observar é que acréscimos iguais de x correspondem a 
acréscimos iguais para f(x).
A função afim f(x) = ax + b é definida em todo domínio R; a e b são chamados 
de constantes e temos que a constante a indica a taxa de variação da função e 
graficamente o coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função no 
plano cartesiano.
Já o valor da constante b representa o valor do resultado da função quando 
x = 0 e determina o ponto onde a reta, que representa o gráfico da função no 
plano cartesiano, intercepta o eixo das ordenadas, o eixo OY.
Importante!
Em uma função f(x) = ax + b, onde a e b são as constantes, a é a taxa de variação da 
função e b o coefi ciente linear, temos que x é variável do conjunto domínio e f(x) a 
imagem dessa função.
Em Síntese
Vejamos alguns exemplos:
f(x) = 5x + 1 função na qual temos as constantes a = 5 e b = 1
f(x) = -x -7 função na qual temos as constantes a = -1 e b = - 7
f(x) = 1/3x + 2 função na qual temos as constantes a = 1/3 e b = 2
f(x) = -6x função na qual temos as constantes a = -6 e b = 0
f(x) = -x função na qual temos as constantes a = -1 e b = 0
f(x) = x função na qual temos as constantes a = 1 e b = 0
f(x) = 6 função na qual temos as constantes a = 0 e b = 6
9
UNIDADE Função Afim
Casos Particulares da Função Afim
Destacamos a seguir alguns casos particulares da função afim que estão direta-
mente ligados às constantes a e b.
Função Identidade
É a função afim f(x) = ax + b, mas nesse caso específico, temos a = 1 e b= 0.
Ou seja: f(x) = ax + b determinada por f(x) = 1x + 0.
Ou seja: f(x) = x para todo x Є R.
Translação da Função Identidade
Definida por f(x) = ax + b para todo x Є R. Nessa caso, a = 1 e b ≠ 0.
Exemplos
f(x) = x + 3 f(x) = x - 2 f(x) = x + 1/3 f(x) = x - 3.
Função Linear
É a função afim f(x) = ax + b, mas nesse caso com b= 0; logo, é definida por 
f(x) = ax para todo x Є R.
Exemplos
f(x) = -2x f(x) = 4x f(x) = 1/5x f(x) = 0,3x
Função Constante
É a função afim f(x) ax + b, mas nesse caso com o coeficiente a igual a zero (a 
= 0), ou seja, f(x) = 0x + b, e como a constante a é igual a zero, qualquer que seja 
o valor de x, esse valor será anulado na função.
Podemos, então, definir a função por f(x) = b para todo x Є R.
Exemplos
f(x) = 3 f(x) = -2 f(x) = 1/5 f(x) = 2
Em uma função constante, teremos um único valor como resultado, seja qual for o valor 
de x, e esse valor será justamente o coeficiente linear b.Ex
pl
or
10
11
Valor Numérico de uma Função Afi m
O valor de uma função afim f(x) = ax + b é obtido por um número real x0, 
quando temos f(x0) = ax0 + b, ou seja, atribuímos um número real para a variável x 
e, a partir desse número real, por meio do cálculo da função, determinamos o valor 
da imagem, ou seja, o valor de f(x).
Exemplos
Na função f(x) = 2x – 4, vamos atribuir aleatoriamente alguns valores para 
exemplificar o cálculo do valor de f(x).
Por exemplo, para x0 = 3, vamos atribuir o número 3 para a variável x. 
Dessa forma:
f(x) = 2x – 4
f(3) = 2(3) – 4 = 2, ou seja, quando x0 = 3, o valor da função, ou seja, f(x0), 
também chamado de y0, será igual a = 2, f(3) = 2.
Em outro exemplo, atribuiremos novo valor (aleatório); escolhemos x0 = 5. Então:
f(x) = 2x – 4
f(5) = 2(5) – 4 = 6, ou seja, quando x0 = 5, y0= 5, f(5) = 6
Já para x0 = -4, teremos 
f(x) = 2x – 4
f(-4) = 2 (-4) – 4 = -12
Para cada valor atribuído a x, ao calcular a função, obtemos um valor para f(x).
Vamos observar outra função, agora determinada por f(x) = -2x + 5. Novamente 
atribuiremos, aleatoriamente, valores reais para x. Escolhemos, então, 3 e -1, e 
observamos os cálculos a seguir:
Para x0 = 3, então f(3) = -2(3) + 5 = -1 , ou seja, f(3) = -1, f(3) = -1.
Para x0 = -1, então f(-1) = -2(-1) + 5 = 7, ou seja, f(-1) = 7, f(-1) = 7.
Importante!
Para calcular o valor numérico de uma função, basta atribuir um valor real para x, 
calcular a função e determinar o valor de f(x).
Importante!
11
UNIDADE Função Afim
Valor inicial
Em uma função afim f(x) = ax + b, chamamos de valor inicial da função o 
resultado de f(x) quando x = 0, ou seja, o número b = f(0).
Vemos claramente que o valor inicial será numericamente igual ao valor do co-
eficiente linear, vez que:
(x)= ax + b, atribuindo x = 0 teremos:
f(0) = a.0 + b
f(0) = b
Exemplos
f(x) = 2x – 4, o valor inicial será dado por x0 = 0, ou seja, f(0), logo:
f(0) = 2.0 – 4 = -4
 f(x) = 3x + 2, o valor inicial será dado por x0 = 0, ou seja f(0), logo: temos 
f(0) = 3(0) + 2
f(0) = 3.0 + 2 = 2
Generalizando, temos que, na função f(x) = ax + b, quando temos x0 = 0, sempre 
teremos o resultado igual ao próprio b, já que f(0) = a.0+ b, ou seja, f(0) = b.
Gráfico da Função Afim
Para pensar no Gráfico da função afim, precisamos pensar no conjunto de 
pontos formados pelos pares ordenados da forma (x, y), nos quais x e y têm, entre 
si, a relação estabelecida pela função f(x) = ax + b e, nesse caso, f(x) é igual a y. 
Logo, os pares ordenados (x, y) são formados por (x, f(x)).
Importante!
Quaisquer que sejam os pares ordenados pertencentes a uma função, teremos que os 
pontos estarão alinhados e, portanto, formarão uma reta como representação gráfica da 
função. Podemos dizer que esse “padrão de alinhamento” é determinado pela relação de 
transformação de x em f(x), ou seja, de x em y.
Importante!
Exemplo
Na função f(x) = 2x + 3, para verificar alguns pontos, vamos escolher aleato-
riamente um valor real para x, ou seja x ∈ R, e calcularemos o valor número da 
função com esse valor atribuído a x.
12
13
Escolhemos x = 2. Calculando o valor numérico da função, temos:
f(x) = 2x + 3, então:
f(2) = 2.(2) + 3 = 7. Portanto, f(2) = 7, ou seja, x = 2 e y = 7, formando, então, 
o par ordenado (2, 7).
Para x = 4, temos:
2(4) + 3 = 11, ou seja, f(4) =11 e, como resultado, o par ordenado (4, 11).
Já para x = -3, temos que:
2(-3) +3 = -3, ou seja, f(-3) = -3. Logo, o par ordenado (-3, -3) também pertence 
à essa função.
No caso de x = 0, ou seja, o valor chamado inicial da função, temos:
2(0) + 3 = 3. Logo, o par ordenado será (0,3).
Ao traçar, no plano cartesiano, a reta que passa por esses pontos, temos:
Figura 1 – Gráfi co da função f(x) = 2x + 3
Você deve ter percebido que há um ponto, destacado em vermelho no Gráfico, 
de coordenadas x = 1 e y = 3, que não pertence à reta e também não foi citado 
por nós nos cálculos anteriores.
13
UNIDADE Função Afim
Vemos, claramente, no gráfico, que esse ponto destacado P (1, 3) não pertence 
à função, pois ele não está alinhando com os demais. Essa condição, de não 
pertencer à função, também é notada quando efetuamos os cálculos.
Vejamos:
f(x)= 2x + 3 para x = 1. Teremos:
f(1) = 2.1 + 3 = 5. Então, o par ordenado que pertence à função, quando x = 1 
é (1,5) e não (1,3); por isso esse ponto, claramente, não pertence à função.
Como o Gráfico de uma função afim é uma reta, para construí-lo basta determinar dois 
pontos distintos. Mesmo que você queira incluir outros pontos, verificará que eles não 
alterarão o traçado do Gráfico, já que qualquer ponto que pertença à função estará alinhado 
com a reta que representa essa função.
Ex
pl
or
Coeficientes da Função
Já vimos que na função afim f(x) = ax + b, a e b são constantes reais e coefi-
cientes dessa função, na qual a é a taxa de variação e b o coeficiente linear. Além 
disso, ambos representam o comportamento gráfico da função, conforme a Figura 
a seguir:
F(x) = ax = b
Taxa de variação
da função
Se a > 0 a taxa é crescente
Se a < 0 a taxa é decrescente
Responsável pela
translação do grá�co
da função a�m
Valor inicial ou
coe�ciente linear
Figura 2 – Coeficientes da função afim e alterações gráficas
Geometricamente, na representação gráfica, temos que:
b é a ordenada do ponto onde a reta, que é o gráfico da função f(x) = ax + b, 
intercepta o eixo OY (eixo das ordenadas), ou, ainda, b é o valor numérico de f(0);
a é a taxa de variação da função; graficamente indica qual é o coeficiente angular 
da reta que representa o gráfico da função. Se a é positivo (a > 0), a função será 
crescente; se a é negativo (a < 0), a função será decrescente. Se a = 0, teremos a 
função constante em b.
14
15
Na Figura a seguir, ilustramos a alteração Gráfica de acordo com o valor do co-
eficiente a, que é a taxa de variação da função:
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
0
1 2-1-2
x x
y 4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
0
1 2-1-2
y
A>0
função a�m crescente
A<0
função a�m decrescente
Figura 3 – Variação gráfi ca da função afi m a partir do coefi ciente a
Quando a é um valor real positivo, a função é classificada como crescente, visto 
que a cada aumento no valor de x (no sentido positivo), aumenta-se também o valor 
de f(x) ou y.
Quando a é um valor real negativo, a função afim é classificada como decres-
cente, visto que a cada aumento do valor x (no sentido positivo), o valor de f(x) ou 
y diminui.
Quanto maior o valor de a, temos que a taxa de variação dessa função será maior. 
Esse fenômeno pode ser observado no Gráfico que apresentará uma inclinação 
maior em relação ao eixo OX.
No plano cartesiano a seguir, temos cinco representações gráficas da função 
f(x) = x.
São elas: f(x) = 0,5x ; f(x) = x ; f(x) = 2x ; f(x) = 4x e f(x) = 8x
15
UNIDADE Função Afim
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
0
0 1-1-2-3-4-5 2 3 4 5 6
Eixo OY
Eixo OX
f(x) = 8x
f(x) =4x
f(x) =2x
f(x) =x
f(x) =0,5x
Figura 4 – Variação gráfica da função afim em virtude do coeficiente a
Quanto maior o valor do coeficiente, maior será a inclinação da reta, em relação ao eixo OX.
Se o valor do coeficiente a for igual a zero, como já vimos nesta Unidade, não 
teremos a taxa de variação e, portanto, teremos uma função constante f(x) = b.
Graficamente, teremos uma reta paralela ao eixo das abscissas (OX) e intercep-
tando y no valor do coeficiente b.
0
1
-1
-2
-3
2
3
0 1 2-2 -1
y
x
Figura 5 – Coeficiente a nulo; função constante
16
17
Zero da Função Afi m
Chamamos de ZERO da função, ou RAIZ equação, o número real que é 
atribuído ao valor de x e que faz com que f(x) seja igual a zero.
Geometricamente, o ZERO da função é ponto no qual o gráfico intercepta o 
eixo das abscissas (o eixo Ox).
No caso da função afim, temos apenas um “zero da função” ou “uma raiz da 
equação” para cada função f(x) = ax + b.
Na Figura a seguir, temos o exemplo da função f(x) = x + 3, que possui como raiz 
o ponto (-3,0), que é justamente o ponto que intercepta o eixo das abscissas OX.
0
0
4
3
2
11
-1
1 2-1-2-3-4
f(x) = x + 3
Raiz ou zero da função
Figura 6 – Zero da função afi m f(x) = x + 3
Para calcular o ZERO da função afim, basta resolver a equação: ax + b = 0
No exemplo da função
f(x) = x + 3
Para calcular a raiz, temos de igualar a equação x + 3 a zero e calcular o valor 
de x.
x + 3 = 0
x = -3
Ou seja, na função f(x) = x + 3, o número real x= -3 é o elemento do domínio 
que anula o valor da função, já que f(-3) = 0. Graficamente, é o ponto no qual o 
gráfico da função intercepta (corta) o eixo OX.
17
UNIDADE Função Afi m
Outros exemplos
Vamos calcular o zero da função f(x) = 2x + 9.
Para calcular o zero da função, vamos calcular a raiz da equação:
2x+ 9 = 0
2x = -9
x = -9/2 ou -4,5
Vamos calcular o zero da função f(x) = -3x + 4
Para calcular o zero da função,vamos calcular a raiz da equação:
f(x) = -3x + 4
-3x + 4 = 0
-3x = -4
x = -4/-3
x = 4/3
Importante!
Para calcular o ZERO ou RAIZ da função afi m f(x) = ax + b, basta resolver a equação: 
ax + b = 0.
Em Síntese
Como Determinar uma Função Afi m a partir de Dois Pontos
Sendo definidos, ou conhecidos, dois pontos distintos A e B que pertencem 
a uma determinada função f(x) = ax + b, podemos identificar a função por meio 
de um sistema de equações que contemplem as coordenadas (x, y) de ambos os 
pontos conhecidos. Para isso, basta substituir os pontos em cada uma das funções.
Determinar uma função afim a partir de dois pontos pode ser extremamente útil 
quando se conhece a relação entre os pontos e se sabe que ela é linear. Além disso, 
determinando-se a função, pode-se determinar outros pontos (ou outros resultados) 
para a mesma função.
Vejamos um exemplo de como determinar uma função a partir de dois pontos.
Sejam os pontos A (2,5) e B (-1,-1) os pontos da função f(x) = ax + b.
Do ponto A (2, 5) temos: x =2 e y = 5
Do ponto B (-1,-1) temos: x = -1 e y = -1
LEMBRE-SE de que f(x) é 
numericamente igual a y, 
nesse caso.
18
19
Para determinar a função, basta escrever a estrutura da função afim f(x) = ax 
+ b e, na sequência, reescrevê-la de acordo com os pontos dados, atribuindo 
respectivamente os valores de x e y de cada ponto.
f(x) = ax + b
5 = a2 + b
-1 = a(-1) + b
A partir desse sistema de equações, podemos determinar os valores dos 
coeficientes a e b.
2a + b = 5
-1a + b = -1
Da primeira equação, subtraímos a segunda e temos que:
2a + b = 5
-(-1a + b = -1)
3a + 0 = 6
a = 6/3 = 2
Como a = 2, calculamos o valor de b em qualquer uma das duas equações acima:
Como a = 2
Então: 5 = 2a + b
 5 = 2(2) + b
 5 – 4 = b
 1 = b
 b = 1
Conhecidos a = 2 e b = 1, determinamos a função f(x) = ax + b, que será então 
f(x) = 2x +1.
Importante!
Para identifi car uma função afi m, conhecidos dois pontos pertencentes à função, basta 
construir um sistema de duas equações do 1º grau a partir dos valores x e y informados 
para os dois pontos.
Em Síntese
No Gráfico a seguir, estão destacados os dois pontos que foram citados em 
nosso exemplo, mas devemos notar que a reta possui infinitos pontos e que esses 
pontos seguem um padrão de alinhamento definido entre os pares ordenados que 
carregam em si a associação de x com y a partir da função dada.
19
UNIDADE Função Afim
4
5
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
0 1 2 3-1-2-3-4
P
Q
Figura 7 – Gráfico da função f(x) = 2x +1
A partir da função, podemos identificar outros pontos. Vejamos um exemplo:
Na função f(x) = 2x +1, qual é a ordenada do ponto M (1,y)? 
Basta incluir os dados do ponto na equação da função: f(x) = 2x + 1. 
Sendo M (1,y) um ponto pertencente à função, então reescreveremos a função 
substituindo x por 1 e f(x) por y, que é a ordenada que queremos descobrir:
f(x) = 2x + 1
y = 2(1) + 1
y = 2 + 1 = 3; portanto y = 3.
Podemos verificar no Gráfico que essa informação procede, pois o ponto M = (1,3), embora 
não esteja destacado, faz parte da reta que representa o Gráfico da função.Ex
pl
or
Há aplicações interessantes da função afim em diversas áreas. Conhecer uma 
determinada função e, a partir dela, explorar o comportamento do fenômeno, ou 
dos dados, que ela representa, além de estimar pontos, resultados e tendências, é 
uma das aplicações do estudo da função afim.
20
21
Por exemplo: se uma operadora comercializa um pacote de serviços mensal no 
qual o cliente paga uma tarifa fixa por mês de R$ 35,00 e o valor de R$ 1,50 por 
minuto de ligação local, qual será o valor a pagar por um cliente que utilizou 104 
minutos em um mês?
Para responder essa questão, basta seguir o raciocínio de que o cliente pagará um 
valor fixo e, além dele, outro valor que dependerá da quantidade de minutos utilizados.
O valor total a pagar, que chamaremos de V, será dado por:
V = 1,5 * 104 + 35
V = 156 + 35
V = 191.
Ou seja, o valor a pagar, nesse caso, será de R$ 191,00.
Vamos supor que outro cliente utilize, no mês, 34 minutos. Qual será o valor 
a pagar?
Seguindo o mesmo raciocínio, teremos:
V = 1,5 * 34 + 35
V = 51 + 35
V = 86
Nesse caso, V = 86,00. 
Agora, generalizando para uma função matemática, para que o valor V a pagar 
seja em função da quantidade x de minutos utilizados no mês, temos a função 
V(x) = 1,5x + 35.
Ou seja: o cliente pagará 1,5 por minuto (representado por 1,5x e que vai 
variar de acordo com a quantidade x de minutos utilizados) somado ao valor fixo 
de 35,00.
Outro exemplo similar
Os serviços de táxi são cobrados por um valor fixo, chamado de bandeirada e 
um valor por quilômetro rodado. Em certa cidade, o valor da bandeirada é R$ 4,50 
e o valor por Km rodado é R$ 2,50.
A função do valor V a pagar em função da quantidade x de quilômetros rodados 
será descrita por: V = 2,5 x + 4,5.
Importante!
Devemos notar que 2,50 é o valor por Km rodado e que é a variável do preço a pagar, já 
que 4,50 é o valor fi xo, independente do valor rodado; porém, 1,5 é a taxa de variação 
por Km rodado; por isso, 4,50 equivalem ao valor de b na função e 1,50 ao valor de a.
Importante!
21
UNIDADE Função Afim
No próximo exemplo, além de definir duas funções, vamos compará-las.
• Situação problema: uma pessoa possui duas opções de cobertura de plano 
de saúde, que chamaremos de A e B, para sua faixa etária.
O plano A cobra um valor fixo de R$ 100,00 por mês e um valor de R$ 25,00 
por consulta realizada no período (mês). Já o plano B cobra um valor fixo de R$ 
160,00 por mês e R$ 15,00 por consulta no mesmo período determinado pelo 
plano A.
O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas.
Determine:
a) A função P do preço a pagar, em relação ao número x de consultas realizadas;
b) Em que condições é possível afirmar que o plano A é mais econômico que 
o plano B? E em que condições podemos afirmar que os dois planos são 
equivalentes?
Respostas
a) Para determinar a função, vamos descrever os valores cobrados:
• Plano A: Fixo 100,00 e 25,00 por consulta
• Plano B: Fixo 160,00 e 15,00 por consulta
Na sequência, escreveremos as funções A(x) e B(x), que retratarão o valor a 
pagar, no respectivo plano, de acordo com o número x de consultas.
Função para o plano A: A(x) = 25x + 100
Função para o plano B: B(x) = 15x + 160 
b) Para verificar em que condições o plano A é mais econômico que o plano B, 
vamos analisar as duas funções juntas e verificar quando A(x) será mais econômico, 
para o cliente do que de B(x), ou seja, A(x) < B(x).
A(x) < B(x)
25x + 100 < 15x + 160 e resolver essa inequação do 1º grau
25x – 15x < 160 – 100
10x < 60
x < 60 / 10
x < 6
x representa o número de consultas, ou seja: A(x) < B(x) para x < 6 , que 
representa que o Plano A será menos custoso ao cliente em relação ao plano B se 
o número de consultas não ultrapassar 6.
22
23
Os dois planos serão equivalentes quando estiverem ambos com o número de 
6 consultas, isto é, com exatamente 6 consultas, os planos apresentam o mesmo 
valor a pagar.
Com menos de 6 consultas (x < 6), o plano A será mais econômico que o B. 
Logo, para um número maior do que 6 consultas (x > 6), o plano B será mais 
econômico.
Por último, exemplificaremos outra aplicação da função afim que está na análise 
da Função Demanda.
Utilizada principalmente na área de negócios, a Função Demanda é a função 
que relaciona a quantidade demandada e o preço de um bem ou produto.
Sabe-se que quando o preço de venda de um produto aumenta, a procura 
diminui; porém, quando o preço diminui, a procura (demanda) aumenta. 
A Lei de demanda é caracterizada por uma função afim decrescente, ou seja, 
por um modelo matemático f(x) = -ax + b.
Vamos ao exemplo! 
Quando o preço é de R$ 40,00, sabe-se que 8 camisetas são vendida; porém, 
quando o preço é de R$ 30,00 o número de vendas sobe para 12 camisetas.
Encontre a função demanda que determina o preço p a cobrar em função da 
quantidade x de camisetas. Ou seja, p(x) = ax+ b.
Para determinar a função, precisamos de dois pontos nos quais x e y se 
relacionam a partir da função.
O enunciado deixa claro que a função é em relação à quantidade x de camisetas. 
Então, os pares ordenados (x,y) serão dados por (x camisetas, preço)
Como temos:
8 camisetas ao preço de 40,00 e 12 camisetas ao preço de 30,00, então, os 
pares serão: A (8,40) e B (12,30). 
Conhecidos os dois pontos, basta colocar as informações na estrutura da função 
afim e criar um sistema:
f(x) = ax + b
(Equação 1) 40 = 8a + b 
(Equação 2) 30 = 12a+ b 
O sistema ficará:
8a + b = 40
12a + b = 30
23
UNIDADE Função Afim
Da Equação 1 subtrairemos a Equação 2:
-4a = 10
a = 10/(-4) = -2,5
Com o valor de a = -2,5, substituímos em qualquer uma das duas equações para 
determinar o valor de b:
8a + b = 40
8(-2,5) + b = 40
b = 40 + 20
b = 60
Com a = -2,5 e b = 60, a função será dada por: 
P(x) = -2,5x + 60
A partir da função, pode-se calcular o valor de venda para, por exemplo: 10 
camisetas.
Nesta Unidade, vimos a função afim, suas características, como definir a função 
afim a partir de dois pontos, como identificar se uma função afim é crescente ou 
decrescente, calcular o zero de uma função (ou raiz da equação), além de identificar 
a aplicação da função afim na resolução de situações problema que envolvam 
características dessa função, principalmente a taxa de variação (representado pelo 
coeficiente a), que é constante.
Agora, reveja os exemplos e conceitos abordados. Além disso, para aprofundar 
sobre o tema, indicamos alguns links no material complementar.
24
25
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Exemplo de Função Linear: Gastar Dinheiro
No link a seguir, você tem um exemplo da Khan Academy, que ilustra a utilização da 
função afim em uma situação problema.
https://goo.gl/11e0dF
Modelagem com Equações Lineares: Mensalidade da Academia e Limonada
No link a seguir, você tem um exemplo da Khan Academy, que ilustra a utilização da 
função afim em uma situação problema.
https://goo.gl/qcg7Nz
Determinando uma Função afim pelo Valor de Dois Pontos
Outros exemplos de como identificar uma função afim a partir de dois pontos conhe-
cidos podem ser encontrados no link:
https://goo.gl/KercrU
Função de 1º Grau
No link a seguir, você poderá explorar um pouco mais sobre a função afim, gráficos, 
raízes e comportamento da função.
https://goo.gl/HqeNb
 Livros
Trama Matemática
No Livro Trama Matemática, das páginas 68 a 75, você pode explorar o assunto 
desta Unidade. O livro está disponível na Biblioteca Virtual Universitária – BARRETO, 
M. Trama matemática: Princípios e novas práticas no ensino médio. Campinas: 
Papirus, 2013.
25
UNIDADE Função Afim
Referências
BARRETO, M. Trama matemática: Princípios e novas práticas no ensino médio. 
Campinas: Papirus, 2013.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar. v.1. 
Conjuntos – Funções. São Paulo: Atual, 2013.
LIMA, E. L et al. Matemática do Ensino Médio. v.1. Rio de Janeiro: SBM, 2003.
26